Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

82

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 9y0

+ 18y = 3e3x sin 6x.

¡3x

¢

3)

3x

sin 6

4)

cos 6

+

sin 6

1)

Ae3x

x

2)

e3x

Ax

x

Bx

x

80.2.

¡

¢

e A cos 6x + B sin 6x

Axe sin 6x

y00

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

+ 9y =

¡

4x cos 3x.

+ Dx) sin 3x¢

2

2

3)

(Ax2+ B) cos 3x

4)

(Ax

+ Bx) cos 3x + (Cx

1)

2)

80.3.

Определить вид частного решения дифференциального ¢уравнения

(Ax + Bx + C) cos 3x

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

1)¡2x

0

¡

¢.

2) 2x

2

y00

4y

+ 29y = e2x

2 cos 4x + 6x sin 4x

3)

e2x

¡(Ax2+ B) cos 4x + (Cx +2D) sin 4x¢

¢

4) e2x¡Ax cos 4x + (Bx + Cx) sin 4x¢

80.4.

¡

¡

¢

e

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

e A cos 4x + (Cx + D) sin 4x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 8y0 + 16y = 48x2 + 208x + 118.

80.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 36y = 120 cos 6x + 48 sin 6x.

80.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0 + 8y = e¡3x¡ ¡ 70x ¡ 116¢.

80.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

+ 8y0

+ 65y = e9x

746 cos 2x + 272 sin 2x

80.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 6y0 + 9y = ¡

3e3x

x .

80.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y = 32 ctg 2x.

¡

80.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

y0

=

2y1

+

5y2

> y10

=

4y

2y

¡

:

2

¡ 1

¡

2

<

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) =

12 è y2(0) = 12.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

83

Вариант D - 81

81.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

Ax2

Bx

¡ 2)

3x

¢

y00 + 4y0

+ 3y = e3x

¡ 4x + 1 .

3)

3x

¡

+

2

¢

4) e ¡Ax + B¢

81.2.

вид частного решения дифференциального уравнения

e

Ax + Bx

Ax + B

Определить

y00 + 16y = 3x sin 4x.

1)

(Ax + B) sin 4x

2) (Ax2 + Bx + C) sin 4x

¢

81.3.

Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

3)

(Ax2 + Bx) cos 4x + (Cx2 + Dx) sin 4x

4) (Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

1)¡e3x

0Ax

x

Bx¡ sin 2x

2) e3x¢.A cos 2x + B sin 2x

y00

6y + 13y = e3x 3 cos 2x + 2 sin 2x

3)

e

3x

¡

2cos 2

+

2

¢

4)

e

3x

¡

¢

¡Ax

cos 2x + Bx

sin 2x¢

¡(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x¢

y00

+ 36y = 66 cos 5x + 55 sin 5x.

81.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 15y = e5x

¡40x + 106¢.

81.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 4y0 + 13y = e2x

18 cos 3x ¡ 12 sin 3x

3e2x

81.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 4y0 + 4y = p

2 .

81.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 64y =

896

16 ¡ x

cos2 8x.

81.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

=

0y

+ 5y

y0

=

5y

1

¡

y

2

:

1

2

1

2

<

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 9

è

y2

(0) = 3

.

>

Вариант

D - 82

82.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

30 x¡

2

¡

¡

¡2)

2

¢.

y00 + y

6y = e

3x

4x + 1

3)

e¡

¡Ax + Bx¢

4)

Ax3x

+ Bx

¢

82.2.

Определить вид

e¡

¡

Ax + B

Ax + B

частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 2x cos 4x + 2 sin 4x.

1)

2

2

2)

(Ax2+ B) cos 4x + C sin 4x

3)

(Ax

+ Bx) cos 4x + (Cx

+ Dx) sin 4x¢ 4)

82.3.

Определить вид частного

¢

(Ax + Bx) cos 4x + Cx sin 4x

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

y00 + 4y0 + 20y =

2xe¡2x cos 4x:

решения дифференциального уравнения

¡

e¡2x¡(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

e¡2x(Ax

3)

2+ Bx) cos 4x

2

4)

1)

2x

2

2)

2x

82.4.

¡

¢

e¡

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

e¡ (Ax + B) cos 4x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ y0 ¡ 12y = ¡60x2 ¡ 34x ¡ 28.

82.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 49y = 84 cos 7x

¡

112 sin 7x.

82.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 10y0 + 25y =

10e¡5x

25 + x2 .

82.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 16y = 256 tg 4x.

82.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

y0

=

¡

9y

1

¡

y

2

>

1

y1

(0) = 6 è y2(0) = 44.

:

¡

> y0

=

56y

1

+

6y

2

<

2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

85

83.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡

2

2)

¡3x

¢.

y00

4y0 + 4y = e3x 5x + 3

3)

Ax + Bx

4)

e3x

¡Ax2+ B¢

¢

83.2.

Определить

¡

Ax + B

e

Ax + Bx

вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 6 cos 2x + 3x sin 2x.

1)

2

2

2)

2

3)

(Ax

+ Bx) cos 2x + (Cx

+ Dx) sin 2x¢ 4)

Ax cos 2x + (Cx

+ Dx) sin 2x

83.3.

Определить вид частного

¢

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

A cos 2x + (Cx + D) sin 2x

решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0 + 45y = 5xe3x sin 6x:

¡(Ax

+ Dx) sin 6x¢

3)

e3x(Ax2+ B) sin 6x

4)

e3x

+ Bx) cos 6x + (Cx

1)

3x

2)

3x

¡

2

2

¢

83.4.

Найти общее решение

e

(Ax + Bx) sin 6x

e (Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

83.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 8y0

+ 16y = e4x¡12x + 6¢.

83.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

+ 6y0 + 45y = e6x

620 cos 4x + 15 sin 4x

83.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 6y0

2e3x

+ 9y = ¡px2 + 81.

83.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y = 16 ctg 2x.

¡

83.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y100

=

¡5y1

3y2

>

y

=

3y

+

5y

y1(0) = 10 è y2(0) = 5.

:

2

¡ 1

¡

2

<

84.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

2x0

3

¡

2 ¡

¢.

2)

2x

2

y00 + 4y

+ 4y = e

2x 3x + 2

3) e¡2x

¡Ax3 + Bx2¢

4)

e¡2x

¡Ax + Bx¢

84.2.

¡

¢

e¡

¡

¢

e¡

Ax + Bx + Cx + D

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = ¡2x2 + 1x + 3.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx + D

2) Ax3 + Bx2 + Cx

3)

Ax4 + Bx3 + Cx2

4) Ax2 + Bx + C

84.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 4y0 + 4y =

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 4y0 + 20y = e¡2x

64 cos 4x + 24 sin 4x

84.8.

решение дифференциального уравнения

2e¡2x

84.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

72

px2 ¡ 16.

+ 9y =

.

cos2 3x

84.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y10

=

¡

4y

1

¡

4y

2

<

2

=

:

y0

4y1

+

5y2

¡

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 4 è y2(0) =

2.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

87

y00 + 3y0 = 6x2 + 4x

¡

4.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx

2) Ax3 + Bx2 + Cx + D

3)

Ax4 + Bx3 + Cx2

4) Ax2 + Bx + C

85.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 5e¡2x cos 4x.

1)

Ae¡2x cos 4x

2) Axe¡2x cos 4x

3)

e¡2x

A cos 4x + B sin 4x

4) e¡2x Ax cos 4x + Bx sin 4x

85.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00

8y0 + 25y = e4x

4x cos 6x + 6 sin 6x

1)¡e4x

¡(

Ax2

Bx

¡ ¡ x

Cx2

Dx

¢. x 2) e4x

¡(

Ax

B

x

C

x

3)

e

4x

2

+

x

) cos 6

+ (

+

) sin 6 ¢ 4)

e

4x

Ax

+

B

) cos 6

x

+

sin 6

¢

x

Ax

Bx

x

¡(

Cx

D

85.4.

¡

cos 6

+

sin 6

¢

+

) cos 6

+ (

+

) sin 6

¢

y0

=

6y

y2

> y10

=

81y1

¡

12y

2

<

2

1

¡

>

y1(0) = 5 è y2(0) = 6.

:

Вариант

D - 86

86.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 2y0 = e¡2x

4x ¡ 2 .

1)

Ax2x+ B

¡

2)

¢

2x

2

+ Bx¢

3)

4)

e¡

2 ¡Ax

e¡

Ax + B

Ax + Bx

86.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 25y = 4e¡2x sin 5x.

1)

2x

Ax

x

Bx

x 2) e

2x A

x

B

x

3)

e¡

¡2x

cos 5

+

sin 5

¢

4)

¡

2¡x

cos 5

+

sin 5

¢

Axe¡

sin 5x

Ae¡

sin 5x

86.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

6y

+ 25y = e3x

3 cos 6x + 2x sin 6x

1)¡3x

0

¡

¢.

2)

3x

2

+ Cx) sin 6x¢

3)

e3x

¡(Ax2+ B) cos 6x + (Cx +2D) sin 6x¢

4)

e3x¡Ax cos 6x + (Bx

e

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

e A cos 6x + (Cx + D) sin 6x

86.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

¡

¢

¡

y00 ¡ 8y0 + 16y = 144x2 ¡ 0x ¡ 70.

86.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y = 28 cos 2x ¡ 28 sin 2x.

86.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 6y0 + 9y = e3x¡0x ¡ 0¢.

86.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 34y = e6x

712 cos 3x + 366 sin 3x .

дифференциального уравнения

2e¡5x

86.8. Найти общее ¡решение

¢

y00 + 10y0 + 25y =

¡p36 ¡ x2 .

86.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 49y = 588 ctg 7x.

86.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

<> y10

= 5y1

¡ y2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

89

y00 + y0

¡ 6y = 3 cos 2x.

1)

A cos 2x + B sin 2x

2) Ax cos 2x + Bx sin 2x

3)

Ax cos 2x

4) A cos 2x

87.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = 5x cos 5x.

1)

(Ax2 + Bx + C) cos 5x

2) (Ax + B) cos 5x

¢

87.3. Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

3)

(Ax2

+ Bx) cos 5x + (Cx2 + Dx) sin 5x

4) (Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x

y00

4y + 20y = e2x 3 cos 4x

3 sin 4x

1)¡e2x

0A cos 4x + B¡sin 4x

¢

¡

2) e2x¢.(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

3)

e

2x

¡

2

cos 4x + Bx

2

4)

e

2x

¡

¢

¡Ax

sin 4x¢

¡Ax cos 4x + Bx sin 4x¢

y00

+ 25y = 72 cos 4x + 27 sin 4x.

¡ 6y0 + 9y = e3x¡24x + 14¢.

87.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

87.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 4y0 + 13y = e¡2x

54 cos 3x ¡ 24 sin 3x

10e7x

87.8.

решение дифференциального уравнения

y00

¡ 14y0 + 49y = ¡

25 + x2 .

87.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y =

32

¡cos2 2x.

87.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y100

=

¡4y1

¡