Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
где
∗
2
2
n
∑
i=1
∗
i j
=
∑
j=1
(n
ni∗·n
n
∗∗
χ2=
∗
и
n
– это теоретические частоты, рассчитываемые по формуле
i j
i j
−n
∗
n
i j
∗j
2
)
i j
,
.
(9.8)
(9.9)
Коэффициент Чупрова – Крамера:
r
2
χ
φ =
.
n
(9.10)
Пример 9.3. Получено выборочное распределение отношения респондентов к покупке товара А в зависимости от пола. Результаты приведены
в таблице:
Показатель Мужчины Женщины
Купили 35 15 50
Не купили 10 30 40
n
∗j
45 45 90
Определим силу связи между желанием совершить покупку и полом
респондента.
Решение
Найдем коэффициенты по формулам (9.4)–(9.10).
Коэффициент ассоциации (9.4)
n11n22−n21n
Q =
n11n22+ n21n
35 ·30 −10 ·15
12
=
35 ·30 +10 ·15
12
= 0,75.
Коэффициент коллигации (9.5)
1/2
1/2
√
35 ·30 −√10 ·15
√
=
35 ·30 +√10 ·15
= 0,461.
Y =
(n11n22)
(n11n22)
1/2
− (n12n21)
1/2
+ (n12n21)
Коэффициент контингенции (9.6)
n11n22−n21n
V =
√
n1∗n2∗n∗1n
12
= 0,447.
∗2
Рассчитаем коэффициенты Чупрова – Крамера (9.10) и Пирсона (9.7).
Для этого найдем статистику
χ2по формуле (9.8).
n
i∗
231
Для этого рассчитаем теоретические частоты по формуле
для всех клеток таблицы:
ni∗·n
∗
n
=
i j
∗j
n
∗∗
n1∗·n
∗
n
=
11
∗
n
12
∗
n
21
∗
n
22
=
=
=
n
∗∗
n1∗·n
n
∗∗
n2∗·n
n
∗∗
n2∗·n
n
∗∗
50·45
∗1
=
∗2
=
∗1
=
∗2
=
90
50 ·25
90
40 ·45
90
40 ·25
90
= 25;
= 25;
= 20;
= 20.
Получим таблицу сопряженности теоретических частот распределе-
ния:
Показатель Мужчины Женщины
Купили 25 25 50
Не купили 20 20 40
n
∗j
Вычислим статистику
2
2
(n
χ
2
набл
=
∑
i=1
∑
j=1
i j
−n
∗
n
i j
∗
i j
45 45 90
χ2:
2
)
=
(35 −25)
25
2
(15 −25)
+
25
2
(10 −20)
+
20
2
(30 −20)
+
Тогда коэффициенты Чупрова – Крамера и Пирсона
s
X
n + X
r
2
=
2
18
90 + 18
= 0,408.
φ =
r
r
2
X
n
18
=
= 0,447, P =
90
n
i∗
2
=18.
20
Таким образом, связь между желанием приобрести товар А и полом
средняя.
9.2. Регрессионный анализ
Корреляция и регрессия связаны между собой. Однако в регрессионном анализе исследуется форма стохастической связи, а в корреляционном
анализе – ее сила.
Под регрессионным анализом понимают метод стохастического анализа зависимостиYот переменных
Xj, рассматриваемых как неслучайные
232
величины, независимо от истинного закона распределения. С помощью
уравнения регрессии измеряют влияние каждого факторного признака
X
на результативный признакY.
Построение уравнения регрессии предполагает решение двух задач:
1) необходимо выбрать независимые перемененные, оказывающие
влияние на зависимую переменнуюY, и определить форму связи;
2) оценить параметры уравнения регрессии. Выбор уравнения зависит от сущности изучаемого явления. Если происходит постоянный
рост, выбирают прямую. Если явление происходит с постоянным
ускорением или замедлением, выбирают параболу. Если происходит рост явления, а затем насыщение и процесс становится постоянным, выбирают логические кривые.
Чаще всего встречаются следующие уравнения регрессии:
1) прямая:
2) парабола:
3) гипербола:
4) полиномиальное:
5) множественное:
6) степенное:
7) логарифмическое:
y(x) = β0+ β1x
;
y(x) = β0+ β1x + β2x2;
y(x) = β0+ β
1
1
x
y(x) = β0+ β1x + β2x2+ . .. +βnxn;
y(x) = β0+ β1x1+ β2x2+ . .. +βnxn;
β
y(x) = β0x
1
x2β2.. .. ..x
1
y(x) = lnβ0+ β1lnx1+ β2lnx2+ . .. +βnlnxn.
;
β
n
;
n
Для линейных уравнений теория разработана достаточно полно. Поэтому степенные уравнения регрессии логарифмированием могут быть преобразованы в линейные уравнения относительно параметров
βj. Также пу-
тем подстановок можно преобразовать гиперболическое и полиномиальное
уравнения в линейные.
В общем линейная модель регрессионного анализа имеет вид
k
y =
где
fj– некоторая функция переменных
ε
– случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дис-
персией
σ2.
βjfj(x1,x2,. . .,xk) + ε,
∑
k=0
x1,
x2, …,
xn,
j
9.2.1. Двумерное линейное уравнение регрессии
Предположим, что на основании исследуемого явления необходимо
оценить линейное уравнение регрессии
˜y = M(y/x) = β0+ β1x,
где
β0,
β1– неизвестные параметры генеральной совокупности, которые
необходимо оценить по результатам репрезентативной выборки.
233
Пусть из генеральной совокупности (
объемомn: (
x1,
y1), (
x2,
y2), …, (
xn,
X,Y
) произведена выборка
yn). Тогда модель регрессионного
анализа будет иметь вид
yi= β0+ β1xi+ εi,
где
εi– независимые нормально распределенные случайные величины
с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
M(εi) = 0,D(εi) = σ2для всех
В качестве оценок неизвестных параметров
i = 1
, 2, …,n.
β0,
β1следует брать та-
σ2, т. е.
кие значения выборочных характеристик, которые минимизируют сумму
квадратов отклонений значений результативного признака
математического ожидания
ˆyi. Такой метод оценки называется методом
yiот условного
наименьших квадратов.
Таким образом,
Q =
n
(yi− ˆyi)2=
∑
i=1
n
(yi−b0−b1xi)2→ min .
∑
i=1
Подставив вместо неизвестных параметров
найдем частные производныеQпо
∂Q
или
∂Q
∂b
∂b
=−2
0
= −2
1
(
nb0+ b
b
∑
0
b0и
n
(yi−b0−b1x
∑
i=1
n
(yi−b0−b1xi)xi= 0,
∑
i=1
∑
1
xi+ b
1
b1, приравняв их к 0:
xi=∑yi;
2
x
=∑xiyi.
∑
i
β0,
β1их оценки
0;
) =
i
Система (9.11) называется системой нормальных уравнений. Решая ее,
получим оценки коэффициентов регрессии:
1
x
xiyi−
∑
b1=
∑
b0= y −b1x =
∑
n
1
2
x
−
i
n
1
∑
n
i
(∑xi)
yi−b
∑
y
i
;
2
1
xi.
1
∑
n
Таким образом, получаем оценку уравнения регрессии в виде
ˆy (x) = b0+ b1x.
234
b0и
(9.11)
(9.12)
(9.13)
(9.13)
b1,
Качество полученной модели оценивают по остаточной дисперсии:
S2=
1
n −2
(yi− ˆyi)2=
∑
1
n −2
(yi−b0−b1xi)
∑
2
(9.14)
или по коэффициенту детерминации
2
.
2
(9.15)
R2= 1 −
(yi− ˆyi)
∑
(yi−y)
∑
Для интерпретации модели можно использовать коэффициент эластичности
e1= b
x
,
1
y
(9.16)
который показывает, насколько процентов изменяется результативный признак при увеличении факторного признака на 1%.
Пример 9.4. На основании данных 12 предприятий провести регрес-
сионный анализ зависимости себестоимостиY(тыс. руб.) от производства
X
(млн руб.), предполагая, что имеет место линейная зависимость.
Решение
Так как нам необходимо оценить параметры уравнения регрессии
по выборке, состоящей из 12 предприятий, уравнение регрессии будем
искать в виде
ˆy (x) = b0+ b1x
.
Линейную форму связи можно обнаружить с помощью поля корреляции (рис. 9.2).
Рис. 9.2. Поле корреляции
Для нахождения неизвестных параметров регрессии необходимо решить систему уравнений (9.11) или воспользоваться формулами (9.12)
235
и (9.13). Для этого составим расчетную таблицу 9.5 и найдем суммы
по столбцам.
Таблица 9.5
К расчету параметров уравнения регрессии
N X Y X
1 112 64 12 544 4 096 7 168
2 74 41 5 476 1 681 3 034
3 100 47 10 000 2 209 4 700
4 111 61 12 321 3 721 6 771
5 94 51 8 836 2 601 4 794
6 92 45 8 464 2 025 4 140
7 108 59 11 664 3 481 6 372
8 104 57 10 816 3 249 5 928
9 84 43 7 056 1 849 3 612
10 87 46 7 569 2 116 4 002
11 64 28 4 096 784 1 792
12 70 34 4 900 1 156 2 380
Итого 1 100 576 103 742 28 968 54 693
2
2
Y
XY
Из таблицы определяем суммы и записываем в систему уравнений
(9.11) для нахождения
b0и
b1(
n = 12
):
(
12b0+ 1 100b1= 576,
1100b0+ 103 742b1= 54 693.
Решая эту систему, получим
b0= −11,58иb1= 0,65
. Эти значения
также можно получить, применяя формулы (9.12) и (9.13).
Уравнение регрессии имеет вид
ˆy (x) = −11,58 + 0,65x.
Коэффициент
b1= +0,65
показывает, что при увеличении производ-
ства на 1 млн руб. себестоимость в среднем возрастает на 0,65 тыс. руб.
Коэффициент эластичности
1
x
i
e1= b
x
1
y
= b
∑
n
1
1
y
i
∑
n
= b
x
∑
i
1
y
∑
i
= 0,65
1100
576
= 0,124
свидетельствует о том, что при увеличении объема производства на 1%
себестоимость продукции в среднем вырастает на 0,124%.
236
Для того чтобы оценить качество построенной модели, найдем коэф-
фициент детерминации по формуле (9.15). Для этого составим табл. 9.6.
Таблица 9.6
К расчету коэффициента детерминации
N X Y ˆy y − y (y −y)
1 112 64 61,22 16 256 2,78 7,73
2 74 41 36,52
3 100 47 53,42
4 111 61 60,57 13 169 0,43 0,185
5 94 51 49,52 3 9 1,48 2,19
6 92 45 48,22
7 108 59 58,62 11 121 0,38 0,14
8 104 57 56,02 9 81 0,98 0,96
9 84 43 43,02
10 87 46 44,97
11 64 28 30,02
12 70 34 33,92
Сумма 1 100 576 576 0 1 320 0 88,01
Средняя 91,67 48
× × × × ×
−
7 49 4,48 20,07
−
1 1 0
−
3 9
−
5 25
−
2 4 1,03 1,06
−
20 400
−
14 196 0,08 0,006
2
y − ˆy (y − ˆy)
−
−
−
−
6,42
3,22 10,37
0,02 0,0004
2,02 4,08
2
Среднее значение
Остаточная дисперсия
y = 48
ˆs2=
.
1
n −2
(yi− ˆyi)2=
∑
1
12 −2
88,01 = 8,801.
Рассчитаем коэффициент детерминации:
2
2
= 1 −
88,01
1320
= 0,94.
R2= 1 −
(yi− ˆyi)
∑
(yi−y)
∑
Так как коэффициент детерминации близок к единице, модель адек-
ватна статистическим данным.
Задачи
Задачи 9.1–9.6. Результативные и факторные признаки задач представ-
лены в табл. 9.7.
ИССЛЕДОВАТЬ на основании корреляционного и регрессионного анализа зависимость одного из результативных признаков от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения
(факторные признаки) по данным табл. 9.8. ПОСТРОЙТЕ уравнение ли-
нейной регрессии, найти коэффициенты корреляции, детерминации и эластичности. СФОРМУЛИРОВАТЬ выводы.
237
Обозначения и наименование показателей:
где
y1– производительность труда, тыс. руб./чел.;
y2– рентабельность, %;
x1– средняя годовая стоимость основных производственных фондов,
млн руб.;
x2– фондоотдача, тыс. руб. на 1 млн руб. основных фондов;
x3– объем производства единицы продукции, млн руб.
Таблица 9.7
Номер задачи Результативный
Факторный признак
признак
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
y
1
y
1
y
1
y
2
y
2
y
2
x
1
x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
Таблица 9.8
y
1
y
2
x
1
x
2
x
9,26 204,2 167,67 1,45 0,23
9,38 209,6 186,10 1,30 0,24
12,11 222,6 220,45 1,37 0,19
10,81 236,7 169,30 1,65 0,17
9,35 62,0 39,53 1,91 0,23
9,87 53,1 40,41 1,68 0,43
8,17 56,5 102,96 1,94 0,31
9,12 52,6 37,02 1,89 0,26
5,88 46,6 45,74 2,06 0,49
6,30 53,2 40,07 1,96 0,36
6,22 30,1 45,44 1,02 0,37
5,49 18,1 41,08 1,85 0,43
6,50 13,6 136,14 0,88 0,35
6,61 89,7 42,39 0,62 0,38
4,32 63,0 37,39 1,07 0,42
7,37 46,3 101,78 1,60 0,30
7,02 103,5 47,55 1,53 0,32
8,25 73,3 32,61 1,40 0,25
8,15 76,6 103,25 2,22 0,31
8,72 90,0 38,95 1,32 0,26
3
238
Задача 9.7. Полагая, что между признакамиX(количество выпущен-
ной продукции) иY(затраты топлива) имеет место линейная корреляционная связь, ОПРЕДЕЛИТЕ выборочное уравнение линейной регрессии,
выборочный коэффициент линейной корреляции и коэффициент детерминации. ПОСТРОЙТЕ поле корреляции и линию регрессии. СДЕЛАЙТЕ
вывод о направлении и тесноте связи между признакамиXиY. Используя
полученное уравнение линейной регрессии, ОЦЕНИТЕ ожидаемое среднее
значение признакаYпри
Продукция, тыс. руб. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Затраты топлива, т 3,1 3,2 3,2 3,3 3,5 3,4 3,5 3,6 3,8 3,9
x∗= 13 тыс. руб. СФОРМУЛИРУЙТЕ выводы.
Задача 9.8. Полагая, что между признакамиX(урожайность хлопка)
иY(себестоимость) имеет место линейная корреляционная связь, ОПРЕДЕЛИТЕ выборочное уравнение линейной регрессии, выборочный коэффициент линейной корреляции и коэффициент детерминации. ПОСТРОЙТЕ
поле корреляции и линию регрессии. СДЕЛАЙТЕ вывод о направлении
и тесноте связи между признакамиXиY. Используя полученное уравнение
линейной регрессии, ОЦЕНИТЕ ожидаемое среднее значение признака
при
x∗= 17 ц/га. СФОРМУЛИРУЙТЕ выводы.
Урожайность, ц/га 5 6 6 7 10 11 13 13 14 16
Себестоимость, руб./ц 8 7 6 6 5 4 4 3 3 2
Y
Задача 9.9. Полагая, что между признакамиX(урожайность зерновых)
иY(себестоимость) имеет место линейная корреляционная связь, ОПРЕДЕЛИТЕ выборочное уравнение линейной регрессии, выборочный коэффициент линейной корреляции и коэффициент детерминации. ПОСТРОЙТЕ
поле корреляции и линию регрессии. СДЕЛАЙТЕ вывод о направлении
и тесноте связи между признакамиXиY. Используя полученное уравнение
линейной регрессии, ОЦЕНИТЕ ожидаемое среднее значение признака
при
x∗= 14 ц/га. СФОРМУЛИРУЙТЕ выводы.
Y
Урожайность, ц/га 2 4 7 7 9 8 10 11 12 13
Себестоимость, руб./ц 8 7 6 6 5 4 4 3 3 2
Задача 9.10. Полагая, что между признакамиX(валовой продукцией)
иY(себестоимость) имеет место линейная корреляционная связь, ОПРЕДЕЛИТЕ выборочное уравнение линейной регрессии, выборочный коэффициент линейной корреляции и коэффициент детерминации. ПОСТРОЙТЕ
поле корреляции и линию регрессии. СДЕЛАЙТЕ вывод о направлении
и тесноте связи между признакамиXиY. Используя полученное уравнение
линейной регрессии, ОЦЕНИТЕ ожидаемое среднее значение признака
при
x∗= 9 тыс. руб. СФОРМУЛИРУЙТЕ выводы.
Y
239
Продукция, тыс. руб. 2,4 2,8 3,4 3,6 4,0 4,4 4,8 5,3 5,5 6,0 5,6 6,1 6,8 7,0 8,0
Себестоимость, руб./ц 0,6 0,9 1,2 0,8 1,4 1,8 1,6 2,0 2,4 2,7 2,4 2,5 3,0 3,5 4,0
Задача 9.11. Полагая, что между признакамиX(стоимость основных
фондов) иY(выработка) имеет место линейная корреляционная связь,
ОПРЕДЕЛИТЕ выборочное уравнение линейной регрессии, выборочный
коэффициент линейной корреляции и коэффициент детерминации. ПОСТРОЙТЕ поле корреляции и линию регрессии. СДЕЛАЙТЕ вывод о направлении и тесноте связи между признакамиXиY. Используя полученное уравнение линейной регрессии, ОЦЕНИТЕ ожидаемое среднее значение признакаYпри
Стоимость фондов, млн руб. 5,4 5,8 5,4 7,6 6,0 6,4 7,8 7,3 8,5 8,0 8,6 9,1 9,8 9,0 9,9
Выработка сахара, тыс. ц 1,6 1,9 2,2 2,8 2,4 2,8 3,6 3,0 4,4 4,7 4,4 5,5 5,0 5,5 5,0
x∗= 10 тыс. руб. СФОРМУЛИРУЙТЕ выводы.
Задача 9.12. Полагая, что между признакамиX(объемом продукции)
Y
(прибылью) имеет место линейная корреляционная связь, ОПРЕДЕЛИ-
и
ТЕ выборочное уравнение линейной регрессии, выборочный коэффициент
линейной корреляции и коэффициент детерминации. ПОСТРОЙТЕ поле
корреляции и линию регрессии. СДЕЛАЙТЕ вывод о направлении и тесноте связи между признакамиXиY. Используя полученное уравнение
линейной регрессии, ОЦЕНИТЕ ожидаемое среднее значение признака
при
x∗= 7 тыс. руб. СФОРМУЛИРУЙТЕ выводы.
Объем продукции, млн руб. 1,7 2,2 8,6 1,3 3,4 3,9 4,7 5,8 3,6 6,4
Балансовая прибыль, тыс. руб. 20 75 41 82 106 129 145 180 210 250
Y
Задача 9.13. НАЙТИ уравнение линейной зависимости между
объемом производства и затратами и вычислить коэффициент ранговой
корреляции Спирмена между ними, используя следующие данные:
Объем производства, тыс. шт. 1,2 1,8 2,0 2,5 3,0 3,2 3,5 4,0 4,5 5,2
Затраты, тыс. руб. 12 10 14 8 6 7 5 3 4 2
Задача 9.14. НАЙТИ уравнение линейной зависимости между стоимо-
стью основных фондов и валовой продукцией и вычислить коэффициент
ранговой корреляции Спирмена между ними, используя следующие данные:
Стоимость фондов, млн руб. 2,0 2,3 2,9 3,0 3,4 3,6 3,7 4,5 4,7 4,9
Валовая продукция, млн руб. 6,8 5,1 4,6 6,1 6,5 10,0 11,6 12,0 12,7 13,2
Задача 9.15. НАЙТИ уравнение линейной зависимости между вало-
вым сбором зерновых культур и количеством внесенных на гектар удобрений и вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена между
ними, используя следующие данные:
240