Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
а) трехлетняя скользящая средняя:
yi+ y
y
=
i+1
гдеi– номер уровней динамического ряда для
= 1, n−2
;
i+1
+ y
i+2
3
,
i = 1
, 2, …,
n −2
или
(8.26)
i =
б) пятилетняя скользящая средняя:
yi+ y
y
=
i+2
i+1
+ y
i+2
+ y
+ y
i+3
i+4
5
, (i = 1, n−4)
и т. д. (8.27)
Вопрос о том, сколько уровней брать в качестве основания определения скользящей средней, остается открытым (нерешенным). Их число зависит от общего количества уровней всего динамического ряда и от степени
достоверности выявления тенденции. В примере 8.4 приведены пятилетние
скользящие средние. Сглаженный ряд на 4 года меньше фактического.
Если явление характеризуется сезонностью (поквартальной, помесячной), берется квартальная (четырехчленная скользящая средняя) и помесячная (12-месячная скользящая средняя). Пусть применяется 4-летняя скользящая средняя – тогда происходит смещение скользящего среднего уровня на полгода. Для отнесения скользящих средних к определенному году
производится центрирование, т. е. из двух рядом стоящих средних вычисляется еще одна средняя:
y
i+2
=
(i+2)−0,5
y
+ y
2
(i+2)+0,5
, (i = 1, n−4).
(8.28)
Обычно не рекомендуют вычислять центрированную скользящую
среднюю. Ее можно определить без предварительных расчетов скользящих
средних из четного числа уровней динамического ряда периода
сглаживания по формуле
1
yi+ y
i+2
2
=
y
i+1
+ y
i+2
+ y
4
i+3
1
+
y
i+4
2
.
(8.29)
Аналитическое выравнивание динамических рядов. Этот метод
имеет целью представление тенденции динамического ряда в виде математической функции. Уровни динамического ряда выражаются в виде
функции времени
yt= f (t).
В зависимости от конкретного характера динамического ряда эта формула может быть линейной и криволинейной. От правильности выбора
201
вида функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда,
зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. Трендовая
модель может быть использована при изучении сезонных колебаний, в прогнозировании и интерполяции (определение неизвестных уровней внутри
динамического ряда).
В отличие от механического сглаживания методом скользящих средних аналитическое выравнивание учитывает закономерность изменения основной тенденции развития явления и поэтому является более совершенным.
К числу математических функций, выражающих тенденцию динамического ряда, можно отнести уравнения прямой, параболы второго, третьего
и т. д. порядка, показательной функции и др. Приведем некоторые виды математических функций трендовых моделей динамических рядов (табл. 8.6).
Таблица 8.6
Математические функции трендовых моделей динамических рядов
Наименование функции Формула тренда
Прямая
Парабола второго порядка
Показательная
Степенная
Гипербола
yt= a0+ a1t
yt= a0+ a1t +a2t
yt= a0·a
yt= a0+ a1·
yt= a0·t
a
1
t
1
2
1
t
Остановимся на линейном выравнивании уровней динамического ряда
yt= a0+ a1t.
(8.30)
Задача аналитического выравнивания по прямой ставится так: необходимо из множества линий выбрать ту единственную прямую, которая
наилучшим образом отражала бы тенденцию. Для определения коэффициентов (параметров
a0и
a1)
пользуются методом наименьших квадратов
(МНК). Линия выбранного уравнения проводится таким образом, чтобы
она была как можно ближе расположена к фактическим уровням динамического ряда. Это означает, что сумма квадратов отклонений фактических
уровней (
yi) от рассчитанных по аналитическому уравнению
(yt)
должна
быть величиной минимальной:
n
(yi−
∑
i=1
yt) → min,
гдеn– число уровней динамического ряда,
yi–i-й уровень динамического ряда,
202
yt– выровненный уровень динамического ряда.
Метод наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравне-
ний для нахождения параметров
a0и
a1:
(
a0n + a
a
∑
0
Для упрощения расчетов параметров
t
ют, т. е. подбирают
таким образом, чтобы
t + a
∑
t =∑y;
∑
1
t2=∑yt.
∑
1
t = 0.
a0и
a1ряд динамики центриру-
Возможны два варианта.
1. Если число уровней динамического ряда является нечетным, центральный уровень ряда сделаем точкой (началом) отсчета условного времени:
Год
2016
2017
2018
2019 0
2020 1
2021 2
2022 3
Итого 0
t
−
3
−
2
−
1
Система нормальных уравнений запишется следующим образом:
(
a0n =∑y;
a
t2=∑yt.
∑
1
Решая систему, получим
y
∑
a0=
a1=
где
a0– средний уровень динамического ряда (см. гл. 8.2),
,
n
yt
∑
,
2
t
∑
(8.31)
(8.32)
a1– средний абсолютный прирост выравненного динамического ряда.
2. Если число уровней динамического ряда является четным, точкой
отсчета условного времени является середина двух средних уровней динамического ряда (для упрощения дальнейших расчетов точки отсчета удваиваются):
203
Год
2017
2018
2019
– 0 0
2020 0,5 1
2021 1,5 3
2022 3,5 7
Итого 0 0
t
−
2,5
−
1,5
−
0,5
2t
−
5
−
3
−
1
В этом случаеtне соответствует реальному периоду времени. Параметры (
где
a0и
a1) характеризуют:
a0– средний уровень динамического ряда (то же самое, что и в пер-
вом варианте выбора условной точки отсчета времени);
a1– средний абсолютный прирост выровненного динамического ряда
за полпериода (полгода), тогда за год –
2a1.
Выразим тенденцию динамического ряда озимой пшеницы за 2013–
2022 гг. в виде трендовой модели с помощью уравнения прямой
+ a
t
. Для расчета параметров тренда составим табл. 8.7.
1
К расчету параметров линейной трендовой модели
Год Урожайность,
ц/га (y)
2013 17
2014 18
2015 16
2016 18
2017 20
2018 19 1 1 19 19,71
2019 21 3 9 63 20,33
2020 22 5 25 110 20,95
2021 22 7 49 154 21,57
2022 21 9 81 189 22,19
Итого 194 – 330 102 194,00
t t
−
9 81
−
7 49
−
5 25
−
3 9
−
1 1
2
yt yt= a0+ a1t
−
153 16,61
−
126 17,23
−
80 17,85
−
54 18,47
−
20 19,09
yt= a0+
Таблица 8.7
a0= 19,4
a1= 0,31
.
.
Параметры линейного уравнения тренда
a0=
∑
=
n
10
= 19,4
ц/га
, a1=
∑
∑
194
y
204
102
yt
=
330
= 0,31
2
t
ц/га
.
Сумма фактических уровней динамического ряда равна сумме выров-
ненных уровней динамического ряда, т. е.
yi=∑yt= 194.
∑
Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид
y = 19,4 + 0,31t.
Средний уровень динамического ряда равен
y = a0= 19,4
Средний абсолютный прирост выровненного динамического ряда (
ц/га
.
a1)
равен 0,31 ц/га.
Задачи
Задача 8.1. К КАКИМ видам динамических рядов по признакам –
1) способ получения, 2) время, к которому относится показатель, 3) статистическая природа и 4) аддитивность – относятся ряды, характеризующие изменение следующих статистических показателей: а) производство
определенного вида продукции (электроэнергии, чугуна, стали); б) остатки продукции на складах предприятия; в) урожайность зерновых культур;
г) удельный вес городского населения; д) численность населения; е) численность родившихся; ж) средняя годовая численность населения; з) мощность электростанции; и) расход электроэнергии на единицу произведенной продукции; к) себестоимость единицы продукции; л) численность родившихся (на 1 000 жителей)?
КАКИЕ из этих показателей зависят от длительности рассматриваемо-
го периода и КАКИЕ не зависят?
Задача 8.2. Имеются следующие данные о поголовье крупного рогато-
го скота сельскохозяйственного предприятия (на начало соответствующего
месяца):
Месяц I
Число голов 350 360 390 415 435 460 500 470 460 448 434 420 390
II III IV V VI VII VIII IX X XI XII I
2022
2023
ВЫЧИСЛИТЕ среднее поголовье скота: 1) за каждый квартал;
2) за каждое полугодие; 3) за год. МОЖНО ЛИ определять среднее
годовое поголовье скота в хозяйстве при условии, что известно лишь
поголовье на начало и конец года? МОТИВИРУЙТЕ свой ответ. КАКУЮ
ошибку (в сторону завышения или занижения) дадут эти формулы?
205
Примечание.
Среднее поголовье скота за каждое полугодие ОПРЕДЕЛИТЕ по вычисленным показателям среднего поголовья скота по отдельным кварталам I и II полугодия и непосредственно
по исходным данным.
Среднее годовое поголовье скота за год ОПРЕДЕЛИТЕ по показателям среднего поголовья скота за I и II полугодия и непосредственно по исходным данным.
Задача 8.3. Запасы товарно-материальных ценностей на предприятии
торговли составили на начало соответствующего квартала:
Дата 1.01.2022 1.04.2022 1.07.2022 1.10.2022 1.01.2023
Тыс. руб. 148,4 157,6 180,0 161,2 148,8
ОПРЕДЕЛИТЕ средний запас товарно-материальных ценностей:
1) за I и II полугодия;
2) за год (непосредственно по исходным данным и по вычисленным
полугодовым средним).
Задача 8.4. Средний месячный объем продукции предприятия соста-
вил в 2022 г. 800 тыс. руб. ОПРЕДЕЛИТЕ средний квартальный объем
продукции этого предприятия в 2022 г.
Для КАКИХ динамических рядов абсолютных величин среднее месячное значение показателя за год меньше среднего квартального значения
этого показателя за год в 3 раза?
Задача 8.5. По одному из промышленных предприятий известны сле-
дующие данные за 2022 г.:
Квартал I II III IV
Стоимость брака, тыс. руб. 55,0 69,0 89,0 125,0
Процент брака 1,8 1,7 1,6 1,5
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) средний процент брака продукции по предприятию:
а) за I полугодие;
б) за II полугодие;
в) в целом за 2022 г.;
2) среднюю квартальную стоимость брака по полугодиям и в целом
за 2022 г.;
3) среднюю квартальную стоимость всей произведенной продукции
в 2022 г.
Задача 8.6. Списочная численность работников фирмы в 2022 г. на на-
чало каждого квартала составила:
Дата 2022 2023
1.01 1.04 1.07 1.10 1.01
Спис. числ., чел. 350 380 490 510 530
206
ВЫЧИСЛИТЕ среднюю списочную численность работников фирмы
за 2022 г.
Задача 8.7. Имеются следующие данные о средней списочной числен-
ности работников коммерческой фирмы за I полугодие 2022 г.:
Период Январь Февраль Март I полугодие
Спис. числ., чел. 120 140 170 160
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю списочную численность работников фирмы:
1) за I квартал 2022 г.;
2) за 2 квартал 2022 г.
Задача 8.8. Средняя списочная численность работников фирмы за каж-
дый месяц в 2022 г. составила:
Месяц I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Спис. числ., чел. 220 240 250 270 300 310 320 350 360 370 380 390
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) среднюю списочную численность работников в I и II полугодии;
2) среднюю списочную численность работников за 2022 г.;
3) абсолютный прирост (абсолютное уменьшение) средней списочной
численности работников фирмы во II полугодии по сравнению
с I полугодием.
Задача 8.9. Имеются следующие данные о вкладах населения в Сбер-
банк РФ в одном из регионов (на начало месяца), млн руб.:
2022 2023
1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.01
2 043 2 357 2 486 2 741 3 513 3 752 4 115 4 439 4 901 5 476 6 112 6 523 6 804
ОПРЕДЕЛИТЕ средний размер вклада населения региона:
1) за каждый квартал;
2) за каждое полугодие;
3) за год.
Примечание.
Средний размер вклада за каждое полугодие ОПРЕДЕЛИТЕ по вычисленным показа-
телям среднего размера вклада по отдельным кварталам I и II полугодий и непосредственно
по исходным данным.
Средний размер вклада за год ОПРЕДЕЛИТЕ по показателям среднего размера вклада
за I и II полугодия и непосредственно по исходным данным.
Задача 8.10. На основании отчетов сельскохозяйственных предпри-
ятий установлено, что 5 хозяйств района начали массовый сев озимой
207
пшеницы 25 июля, 9 хозяйств 1 августа, 6 хозяйств 5 августа и 3 хозяйства – 8 августа. Закончили же массовый сев на 3 августа 3 хозяйства,
на 7 августа 9 хозяйств, на 12 августа 8 хозяйств и на 15 августа –
3 хозяйства.
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю дату начала и конца сева озимой пшеницы.
Задача 8.11. По данным оперативной отчетности сельскохозяйствен-
ных предприятий о ходе уборки урожая установлено, что массовая уборка
сахарной свеклы была начата 7 хозяйствами 1 октября, 16 хозяйствами
5 октября и 4 хозяйствами 10 октября. Массовая уборка сахарной свеклы
была окончена 6 хозяйствами 25 октября, а остальными 10 ноября.
ОПРЕДЕЛИТЕ продолжительность периода уборки сахарной свеклы
в районе.
Задача 8.12. Объем товарооборота коммерческого предприятия со-
ставил:
Год 2019 2020 2021 2022
Млн руб. 280 290 340 400
ОПРЕДЕЛИТЕ для показателей объема товарооборота:
1) ежегодные абсолютные приросты и темпы роста (цепные к предыдущему году);
2) абсолютные приросты и темпы роста за 2020–2022 гг. (базисные
к 2019 г.);
3) средний годовой абсолютный прирост, средний годовой темп роста и средний годовой темп прироста за 2020–2022 гг.;
4) абсолютное значение одного процента прироста за каждый год
(по сравнению с предыдущим годом).
Результаты вычислений ОФОРМИТЕ в виде таблицы и ПРОАНА-
ЛИЗИРУЙТЕ их.
Задача 8.13. Товарооборот магазина за 2022 г. характеризуется при-
веденными ниже данными:
Квартал Товарооборот, млн руб.
I 80
II 94
III 116
IV 144
1. Для анализа динамики объема товарооборота ВЫЧИСЛИТЕ:
а) абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста (цепные
к предыдущему кварталу, базисные к I кварталу) по кварталам.
Полученные данные ПРЕДСТАВЬТЕ в таблице;
208
б) средний квартальный уровень ряда динамики, средний квар-
тальный абсолютный прирост, средний квартальный темп роста
и средний квартальный темп прироста.
2. ПРОВЕДИТЕ аналитическое выравнивание ряда динамики объема
товарооборота:
а) по прямой
б) по параболе 2-го порядка
yt= a0+ a1t
;
yt= a0+ a1t + a2t2.
3. ПОСТРОЙТЕ график динамики объема товарооборота и СДЕЛАЙ-
ТЕ выводы.
Задача 8.14. Производство сахара-песка за 2016–2021 гг. характери-
зуется следующими данными:
Год 2016 2017 2018 2019 2020 2021
Тыс. т 3 758 4 745 6 808 6 077 6590 6 197
Для анализа динамики производства сахара-песка ВЫЧИСЛИТЕ:
1) за 2016–2021 гг. среднее годовое производство;
2) за 2016–2021 гг.:
а) абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста (цеп-
ные к предыдущему году, базисные к 2016 г.), абсолютное
содержание одного процента прироста (для каждого года).
Полученные показатели ПРЕДСТАВЬТЕ в таблице;
б) ПОКАЖИТЕ взаимосвязь цепных и базисных темпов роста.
3) за 2016–2018 гг. и 2018–2021 гг.:
а) средние годовые абсолютные приросты производства;
б) средние годовые темпы роста и прироста производства.
ИЗОБРАЗИТЕ динамику производства сахара-песка за 2016–2021 гг.
на графике. СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 8.15. Добыча нефти включая газовый конденсат за 2017–
2021 гг. характеризуется следующими данными:
Год 2017 2018 2019 2020 2021
Млн т 516 305 878 891 889
Для анализа динамики добычи нефти включая газовый конденсат,
ВЫЧИСЛИТЕ:
1) за 2017–2021 гг. среднюю годовую добычу нефти;
2) за 2019–2021 гг.:
а) абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста (цеп-
ные к предыдущему году, базисные к 2017 г.), абсолютное
содержание одного процента прироста (для каждого года).
Полученные показатели ПРЕДСТАВЬТЕ в таблице;
209
б) ПОКАЖИТЕ взаимосвязь цепных и базисных темпов роста.
3) за 2017–2018 гг. и 2019–2021 гг.:
а) средние годовые абсолютные приросты добычи;
б) средние годовые темпы роста и прироста добычи.
ИЗОБРАЗИТЕ динамику добычи нефти включая газовый конденсат
за 2017–2021 гг. на графике. СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 8.16. Темпы роста объема розничного товарооборота области
за пять лет характеризовались следующими данными:
Год 2018 2019 2020 2021 2022
Процент к предыдущему году 109,8 108,5 108,2 107,3 106,4
ОПРЕДЕЛИТЕ средний годовой темп роста объема розничного това-
рооборота в этой области за 2018–2022 гг.
Задача 8.17. Средние годовые темпы роста производительности тру-
да на предприятии составили:
1) за пять лет (2015–2019 гг.) 109,8%;
2) за три года (2020–2022 гг.) 92,6%.
ОПРЕДЕЛИТЕ средний годовой темп роста производительности тру-
да на предприятии за 2015–2022 гг.
Задача 8.18. Объем промышленной продукции предприятия в 2022 г.
составил 70,0 млн руб. ОПРЕДЕЛИТЕ объем продукции в 2020 г., если
известно, что ее производство снизилось соответственно:
1) в 2022 г. по сравнению с 2021 г. на 13,1%;
2) в 2021 г. по сравнению с 2020 г. на 8,6%.
Задача 8.19. Средние годовые темпы роста объема валовой продук-
ции (в сопоставимых ценах) предприятия составили:
1) за 2016–2019 гг. 115,6%;
2) за 2020–2022 гг. 110,2%.
ОПРЕДЕЛИТЕ средний годовой темп роста объема валовой продук-
ции предприятия за 2016–2022 гг.
Задача 8.20. Средние годовые темпы прироста посевных площадей
сельскохозяйственных предприятий области составили:
1) за пять лет (2014–2018 гг.) (+2,4%);
2) за четыре года (2019–2022 гг.) (−8,9%).
ОПРЕДЕЛИТЕ средний годовой темп прироста посевных площадей
в области за 2014–2022 гг.
Задача 8.21. Пятилетним планом экономического развития района
на 2018–2022 гг. предусмотрено довести в 2022 г. валовой сбор зерна
до 350–360 тыс. т.
210