Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Итак, с вероятностью, равной 0,988, можно гарантировать, что
пределы средней для генеральной совокупности составят
−30,24 ≤
x ≤800 +30,24] = 0,988
;
P[800 −
б) предельная ошибка выборки с вероятностью, равной 0,997, соста-
вит
∆ = t ·µ = 2,97·12 = 35,64
При
˜x = 800
ч определим пределы средней для генеральной сово-
ч, или
P[|˜x − ¯x|≤35,64] = 0,997
.
купности:
P[800 −35,64 ≤x ≤800 +35,64] = 0,997,
т. е. с увеличением вероятности (P) пределы среднего значения
также увеличиваются.
Пример 6.4.
Пусть по условию примера 6.1 необходимо определить
предельную ошибку доли бракованных электроламп, которую следует гарантировать с вероятностью, равной 0,954. По таблице нормального распределения (см. приложение) находим
t = 2
.
Решение. Предельная ошибка выборки с вероятностью, равной 0,954,
составит
А. М. Ляпунова запишем
∆w= t µw= 2·0,0255 = 0,051
P[|p −w|⩽ 0, 051] = 0,954
, или 5,1%. На основании теоремы
.
Доля бракованных электроламп по данным выборочного обследования
составляет 0,070, или 7,0%. В этой связи с вероятностью, равной 0,954,
можно гарантировать, что пределы бракованных электроламп для генеральной совокупности составят
P[0,070 −0,051 ⩽ p ⩽ 0,070 +0,051] = 0,954
.
Типическая выборка может быть также повторной и бесповторной.
При типическом отборе формулы расчета предельных ошибок выборки
приведены в табл. 6.3.
Предельные ошибки выборки при типическом отборе
Схема отбора Предельная ошибка выборки
для средней для доли
Повторный
Бесповторный
∆x= t
∆x= t
s
s
2
σ
n
1 −
n
N
∆w= t
2
σ
n
∆w= t
s
s
w(1 −w)
w(1 −w)
n
В предыдущей главе «Показатели вариации» рассмотрено правило сложения дисперсий: общая дисперсия признака (
из внутригрупповых дисперсий (
σ2) и межгрупповой дисперсии (
σ2) равна сумме средней
σ2= σ2+ δ2. При этом отмечено, что:
121
Таблица 6.3
n
n
1 −
N
δ2)
, т. е.
1) общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов (как случайных, так и систематических);
2) межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию,
которая возникает под влиянием постоянных причин (факторов);
3) средняя из внутригрупповых дисперсий используется для определения влияния случайных факторов и их роли в общей вариации.
В процессе применения типического отбора исключается влияние межгрупповой вариации на общий размер вариации, так как в выборку попадут представители всех типических групп в тех же пропорциях, что и в
генеральной совокупности. В этой связи при исчислении средней и предельной ошибки выборки при типическом отборе используется не общая
дисперсия (как при случайном и механическом отборе), а средняя из внут-
ригрупповых дисперсий. В формулах табл. 6.3 приведены:
из внутригрупповых дисперсий по выборочной совокупности;
σ2– средняя
w(1 −w)
средняя из внутригрупповых дисперсий доли (альтернативного признака)
по выборочной совокупности.
Из правила сложения дисперсий следует неравенство
σ2< σ2., по-
этому ошибка типической выборки меньше ошибки как случайной, так
и механической выборки, т. е. результаты типической выборки являются
более точными.
Серийный (гнездовой) отбор.
При такой выборке отбору в выборочную совокупность подлежат не отдельные единицы совокупности, а целые
группы (серии, гнезда). В каждой отобранной группе (серии) проводится
сплошное наблюдение. Серийная выборка может производиться по схемам
как повторного, так и бесповторного отбора. Предельная ошибка выборки
при отборе равновеликими сериями зависит не от величины общей дисперсии, а от межсерийной (межгрупповой) дисперсии3. Формулы ее расчета
представлены в табл. 6.4, гдеs– число отобранных серий,S– общее число
серий в генеральной совокупности.
–
Предельные ошибки выборки при серийном отборе
Схема отбора Предельная ошибка выборки
для средней для доли
r
2
δ
Повторный
Бесповторный
3
Расчет межгрупповой дисперсии количественного и качественного признака приведен
в главе 5 «Показатели вариации».
∆x= t
∆x= t
x
s
r
2
δ
s
x
1 −
s
S
∆w= t
∆w= t
r
r
δ
2
δ
w
s
122
Таблица 6.4
2
w
s
s
1 −
S
Межгрупповая (межсерийная) дисперсия выборки вычисляется по фор-
муле
∑
2
δ
=
x
где
˜xi– средняяi-й группы,
˜x
– общая средняя по всей выборочной совокупности.
( ˜xi− ˜x)
s
2
,
(6.17)
Межгрупповая дисперсия доли серийной выборки определяется
по формуле
(wi− ˜w)
∑
2
δ
=
w
где
wi– доля признака вi-й серии,
˜w
– общая доля во всей выборочной совокупности.
2
,
s
(6.18)
6.3. Определение необходимого уровня вероятности при заданной ошибке выборки
Расчет предельной ошибки выборки осуществляется по формуле
(6.10):
произвести следующим образом:
мера необходимо определить уровень вероятности, с которой можно гарантировать ошибку, не превышающую 28 ч.
лицы интеграла Лапласа
= 0,9802
(∆ = tµ)
. Тогда расчет коэффициента кратности (доверия) можно
∆
t =
.
µ
(6.19)
Пример 6.5. Пусть в условии ранее приведенного предыдущего при-
Решение. На основании формулы (6.19) получим
F(t)
(см. приложение) определяем, что
t =
28
12
= 2,33
. Из таб-
P(t) =
.
6.4. Определение необходимой численности выборки
Формулы необходимой численности выборки различны при повторном
и бесповторном отборе. Приведем четыре способа расчета.
1. Необходимая численность выборки для повторного отбора для
среднего значения признака определяется на основании формулы предельной ошибки выборки (6.11):
r
2
123
σ
.
n
∆ = t
Возведем в квадрат обе части уравнения (6.11):
2
σ
2
∆2= t
,
n
тогда получим
2
t2σ
n =
.
2
∆
(6.20)
2. Необходимая численность выборки для повторного отбора для до-
ли признака определяется на основе формулы предельной ошибки выборки
(6.14):
∆ = t
r
w(1 −w)
.
n
Путем несложных преобразований получим формулу необходимой численности выборки
t2w(1 −w)
n =
.
2
∆
(6.21)
При сравнении формул (6.20) и (6.21) напомним, что дисперсия выборочной совокупности для доли (альтернативного признака) определяется
по формуле (6.5)
σ2= w (1−w).
3. Необходимая численность выборки для бесповторного отбора для
среднего значения признака определяется на основании формулы предель-
ной ошибки выборки (6.12):
s
∆ = t
2
σ
n
1 −
n
.
N
Преобразовав уравнение, получим формулу необходимой численности выборки:
n =
∆2N +t2σ
Nt2σ
2
.
2
(6.22)
4. Необходимая численность выборки для бесповторного отбора для
доли признака определяется на основании формулы предельной ошибки
выборки (6.15):
∆ = t
r
w(1 −w)
n
1 −
n
.
N
124
Возведя обе части в квадрат, получим формулу необходимой численности
выборки:
Nt2w(1 −w)
n =
∆2N +t2w(1 −w)
.
(6.23)
Пример 6.6. Пусть необходимо определить объем выборки из
100 000 электроламп при условии, что предельное значение ошибки
средней продолжительности горения электроламп по выборке не будет
превышать 20 ч (
0,988 (
P = 0,988
продолжительности горения электроламп равна 10 000 (
∆x= 20)
с гарантированной вероятностью, равной
). По данным прошлых наблюдений дисперсия
σ2= 10 000
).
Решение. Объем выборочной совокупности составит:
а) при повторном отборе
2
n•=
t2σ
2
∆
2,522·10 000
=
20
2
= 156,76
шт.
;
б) при бесповторном отборе
2
n‡=
Nt2σ
N∆2+t2σ
2
100000 ·2,522·10 000
=
100000 ·202+ 2,522·10 000
= 158,5шт.
Из расчетов видно, что ответы почти одинаковы.
6.5. Способы распространения данных выборочного наблюдения
на генеральную совокупность
Применяют два основных способа – прямой и косвенный (способ коэффициентов).
1. Прямой способ основан на том, что выборочная средняя принимает-
ся приближенно равной генеральной средней (
˜x≈x)
, или
˜x−∆x⩽ x ⩽ ˜x+ ∆x.
Пример 6.7. Допустим, средняя продолжительность горения электроламп по выборке составит 1 000 ч (
˜x = 1 000
ч). Условно считаем, что средняя продолжительность горения электроламп в генеральной совокупности
либо равна 1 000 ч, либо находится в пределах
x = 1000 ±∆x.
По этому способу также выборочная доля принимается приближенно
равной генеральной доле (
w ≈p
), или
w −∆w⩽ p ⩽ w +∆w.
2. Косвенный способ применяется в тех случаях, когда выборочные
наблюдения проводят с целью контроля (уточнения) данных сплошного
наблюдения, если заранее предполагается возможность появления систематической ошибки.
Пример 6.8. При переписи (сплошном учете) скота в одном из районов было учтено 18 000 голов крупного рогатого скота. Однако из предшествующих обследований допускается возможность утайки скота. Поэтому
125
после сплошного учета была произведена 10%-ная контрольная выборочная перепись скота в хозяйствах, составляющих 10% всех хозяйств района.
По данным выборки установлено, что в обследуемых хозяйствах нахо-
дилось 1 616 голов, а по данным сплошного учета в них было 1 600 голов.
Решение. Составим коэффициент недоучета:
=
1616
1000
= 1,010,
K
недоуч
т. е. фактически должно быть на 1,0% больше скота, чем установлено при
сплошном наблюдении.
Тогда уточняем данные сплошного наблюдения:
18000 ·1,010 = 18180
голов
.
Задачи
Задача 6.1. Методом случайной бесповторной выборки производится
10%-ное обследование успеваемости студентов дневной формы обучения
высшего учебного заведения по результатам летней экзаменационной сессии. Получены следующие данные об успеваемости:
Баллы успеваемости 2 3 4 5 Всего
Численность студентов, чел. 5 16 73 66 160
ОПРЕДЕЛИТЕ с вероятностью 0,988 по вузу в целом:
1) средний балл успеваемости студентов вуза по выборке;
2) предельную ошибку выборки среднего выборочного балла успеваемости;
3) пределы (доверительный интервал), в которых находится средний
балл успеваемости в целом по вузу.
Задача 6.2. КАКОВ должен быть объём выборки (численность обсле-
дованных студентов) в условиях предыдущей задачи, чтобы предельная
ошибка доли студентов, имеющих неудовлетворительную оценку, не превысила 5%?
Задача 6.3. Для определения среднего уровня квалификации рабочих
предприятия произведено 5%-ное выборочное обследование по способу
случайного бесповторного отбора. Распределение рабочих по тарифному
разряду по данным обследования оказалось следующим:
Тарифные разряды 1 2 3 4 5 6 Всего
Численность рабочих, чел. 4 8 15 33 24 16 100
126
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) с вероятностью 0,954 в целом для предприятия:
а) средний тарифный разряд рабочих предприятия по результа-
там выборочного обследования;
б) предельную ошибку среднего тарифного разряда рабочих пред-
приятия;
в) пределы (доверительный интервал), в которых будет находить-
ся средний тарифный разряд рабочих;
г) долю (удельный вес) рабочих предприятия по выборке с та-
рифным разрядом от 4-го и выше;
д) предельную ошибку доли всех рабочих с тарифным разрядом
от 4-го и выше;
е) доверительный интервал для этой доли;
ж) доверительный интервал для численности рабочих, имеющих
4-й тарифный разряд и выше;
2) с какой вероятностью могут быть гарантированы пределы (довери-
тельный интервал) 3,88–4,38, в которых будет находиться средний
тарифный разряд рабочих предприятия.
Задача 6.4. Принимая распределение по квалификации, приведенное
в предыдущей задаче, за результаты проведенного по этому предприятию выборочного наблюдения, ОПРЕДЕЛИТЕ, какую численность рабочих
предприятия следует подвергнуть наблюдению для определения среднего
тарифного разряда с тем, чтобы предельную ошибку выборки, равную
0,2 тарифного разряда, можно было гарантировать с вероятностью 0,988.
Задача 6.5. На предприятии работает 1 200 рабочих. Было проведено
выборочное обследование их возраста. Методом случайного бесповторного
отбора обследовалось 80 человек. Получены следующие результаты обследования:
Возраст рабочих, лет До 30 30–40 40–50 50–60 60 и выше Итого
Численность рабочих, чел. 36 22 12 8 2 80
С вероятностью 0,988 ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) средний возраст рабочих предприятия по результатам выборочного
обследования;
2) предельную ошибку среднего возраста всех рабочих предприятия;
3) возможные пределы (доверительный интервал), в которых находится средний возраст всех рабочих предприятия.
Задача 6.6. Для определения средней продолжительности горения
электроламп из партии в 10 000 шт. в порядке случайной бесповторной
выборки обследовано 100 шт.
С вероятностью 0,997 ВЫЧИСЛИТЕ:
127
1) предельную ошибку средней продолжительности горения всех
электроламп, если среднее квадратическое отклонение продолжительности горения обследованных электроламп по результатам
выборочного обследования составило 150 ч;
2) доверительный интервал для средней продолжительности горения
всех электроламп, если средняя продолжительность горения 100 обследованных электроламп составила 1 240 ч.
Задача 6.7. В порядке механической выборки было подвергнуто испы-
танию на разрыв 120 нитей из партии пряжи. В результате обследования
установлена средняя крепость пряжи 360 г при среднем квадратическом
отклонении 24 г.
С вероятностью 0,988 ОПРЕДЕЛИТЕ пределы (доверительный интервал), в которых находится средняя крепость пряжи в партии.
Задача 6.8. Для определения средней продолжительности телефонных
разговоров по сотовой системе связи в порядке случайной бесповторной
выборки обследовано 150 телефонных разговоров. При этом было установлено, что среднее квадратическое отклонение по длительности разговора
равно 55 с.
КАКОВА вероятность того, что предельная ошибка средней продолжительности телефонных разговоров не превышает 9 с?
Задача 6.9. С целью изучения качества продукции производится выбо-
рочное 10%-ное обследование партии готовой продукции из 4 000 изделий
по способу механического отбора. При этом было установлено, что 32 изделия не соответствуют стандарту.
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) долю (удельный вес) изделий, не соответствующих стандарту,
по выборке;
2) с вероятностью 0,997 пределы (доверительный интервал), в которых
находится доля нестандартной продукции предприятия.
Задача 6.10. Методом случайной бесповторной 5%-ной выборки об-
следовано 90 предприятий отрасли промышленности области, из которых
25 предприятий имели долю нестандартной продукции свыше 0,6%.
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) долю (удельный вес) предприятий, выпускающих более чем 0,6%
нестандартной продукции, в отрасли промышленности по выборке;
2) с вероятностью 0,954 пределы (доверительный интервал), в которых
будет находиться доля этих предприятий в данной отрасли.
Задача 6.11. В порядке случайной бесповторной 1%-ной выборки бы-
ло отобрано 500 единиц готовой продукции предприятия, из которых
28 единиц было забраковано.
128
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) долю (удельный вес) бракованной продукции по данным выборочного обследования;
2) с вероятностью 0,988 пределы (доверительный интервал), в которых
находится доля бракованной продукции в целом по предприятию.
Задача 6.12. С целью определения процента макаронных изделий выс-
шего сорта из суточного объема производства методом 5%-ной механической выборки обследовано 600 кг изделий, из которых 537 кг отнесено
к высшему сорту.
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) долю (удельный вес) макаронных изделий высшего сорта по данным выборочного обследования;
2) с вероятностью 0,954 пределы (доверительный интервал), в которых
находится доля этих изделий в общем объеме суточного производства.
Задача 6.13. На заводе с численностью рабочих 2 000 чел. в порядке
механической выборки предполагается определить долю рабочих со стажем работы до 15 лет и более.
КАКОВА должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью
0,988 предельная ошибка доли не превышала 0,05 (если на основе предыдущих обследований установлено, что дисперсия доли равна 0,128)?
Задача 6.14. В целях изучения норм расходования сырья при изготов-
лении продукции проведена 15%-ная механическая выборка, в результате
которой получено следующее распределение изделий по массе:
Масса изделия, г Число изделий, шт.
До 20 4
20–21 10
21–22 15
22–23 40
23–24 25
24 и более 6
Итого 100
1. По данным ряда распределения ОПРЕДЕЛИТЕ: а) среднюю массу
изделия по выборке; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации; г) моду и медиану; д) удельный вес с массой веса от 22
до 24 г.
2. ИЗОБРАЗИТЕ ряд графически в виде гистограммы и полигона распределения.
3. С вероятностью 0,972 ОПРЕДЕЛИТЕ предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя масса
изделия для всей партии изготовленных изделий.
129
4. С вероятностью 0,995 УСТАНОВИТЕ предельную ошибку выборочной доли (удельного веса) и границы доли (удельного веса) изделий
с массой веса от 22 до 24 г.
СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 6.15. С целью изучения длительности горения электроламп
производится 2%-ное обследование партии продукции в 15 000 шт. по способу механического отбора. В результате обследования получено следующее распределение электроламп по длительности горения:
Группа электроламп по длительности горения, ч
Число обследованных электроламп, шт.
800–
1 000
1 000–
1 200
23 50 80 90 57 300
1 200–
1 400
1 400–
1 600
1 600–
1 800
Итого
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) среднюю длительность горения электроламп по выборке;
2) предельную ошибку выборочной средней и пределы (доверительный интервал), в которых находится средняя длительность горения
электроламп во всей обследуемой партии (с вероятностью 0,988);
3) долю (удельный вес) электроламп с длительностью горения не менее 1 400 ч;
4) предельную ошибку выборочной доли и возможные пределы, в которых находится доля электроламп с длительностью горения не менее 1 400 ч во всей обследуемой партии (с вероятностью 0,988);
5) пределы, в которых находится число электроламп во всей обследуемой партии с длительностью горения не менее 1 400 ч (с той же
вероятностью);
6) вероятность того, что пределы, в которых может быть гарантирована средняя длительность горения электроламп, составляют 1 341–
1 403 ч.
Задача 6.16. Методом механического отбора произведено 2%-ное об-
следование веса мороженого, изготовленного молочным комбинатом за сутки. Распределение 200 шт. отобранного мороженого по весу дало следующие результаты:
Вес мороженого, г 94–97 97–100 100–103 103–106 Итого
Количество мороженого, шт. 110 130 40 20 300
ОПРЕДЕЛИТЕ с вероятностью 0,954:
1) средний вес мороженого по выборке;
2) предельную ошибку среднего веса суточной продукции мороженого;
130