Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
совокупности (f), т. е. изменения структуры совокупности, структурных
сдвигов. В силу этого индекс переменного состава не обязательно должен
находиться в границах соответствующих индивидуальных индексов. Он может оказаться больше наибольшего индивидуального индекса или меньше
наименьшего. Такое положение получило название парадокса индекса переменного состава.
Разность между числителем и знаменателем индекса переменного со-
става (
∆x
)
показывает абсолютное изменение средней величины изучае-
(x, f )
мого показателя за счет совместного влияния двух факторов:
или
∆x
∆x
= x1−x0=
(x,m)
(x, f )
= x1−x0=
x1m
∑
m
∑
x1f
∑
f
∑
x0m
∑
1
−
1
1
−
1
0
,
m
∑
0
x0f
∑
0
.
f
∑
0
(7.43)
(7.44)
С учетом того что индекс переменного состава зависит от двух факторов, возникает вопрос: в какой степени изменение средней величины
произошло вследствие изменения отдельных этих факторов? Для оценки
влияния каждого фактора на изменение средней величины строят два индекса: 1) постоянного состава; 2) структурных сдвигов. При построении
этих индексов поочередно устраняется (элиминируется) влияние одного
из факторов, зафиксировав его на постоянном уровне.
Индекс постоянного состава. Он показывает изменение средней вели-
чины показателя только за счет изменения уровня показателя в отдельных
частях совокупности, или можно сказать по-другому – индекс постоянного состава показывает изменение в среднем показателя за счет изменения
усредняемых уровней показателя – это общепринятая точка зрения. Данный индекс взвешивается по весам отчетного периода:
Ix=
или, заменив в формуле (7.45)
x1m
∑
∑
m
∑
Ix=
m
m
1
:
1
наf(
x1f
∑
x0f
∑
∑
∑
1
1
x0m
m
f =
.
1
,
1
∑
m
), получим
m
(7.45)
(7.46)
В формуле (7.45) используют в качестве весов абсолютные показатели
(m), в формуле (7.46) – относительные показатели (f). В индексе посто-
янного состава устраняется влияние второго фактора –mилиf, т. е. изменение частей совокупности или структуры совокупности – и оценивается
влияние изменения первого фактора –x(изменение уровня индексируемого
показателя).
161
Разность между числителем и знаменателем индекса постоянного со-
става (
∆xx) показывает абсолютное изменение средней величины изучаемо-
го показателя за счет изменения уровня показателя в отдельных частях
совокупности:
∆xx=
x1m
∑
m
∑
x0m
∑
1
−
1
1
,
m
∑
1
(7.47)
или
∆xx=∑x1f1−∑x0f1.
(7.48)
Индекс влияния структурных сдвигов. Этот индекс принято взвеши-
вать по весам базисного периода:
If=
или, заменив в формуле (7.49)
x0m
∑
∑
m
∑
If=
m
m
1
÷
1
наf(
x0f
∑
x0f
∑
∑
1
0
x0m
∑
f =
.
0
m
0
∑
,
m
), получим:
m
(7.49)
(7.50)
В формуле (7.49) индексируемым является абсолютный показательm,
в формуле (7.50) – относительный показательf. В индексе структурных
сдвигов устраняется влияние первого фактора
x
и оценивается влияние
изменения второго фактора –mилиf.
Индекс структурных сдвигов показывает, как изменилась средняя величина показателя за счет изменения структуры совокупности, или в какой
мере влияет изменение состава (структуры) совокупности за изучаемый
период на изменение среднего уровня показателя.
Разность между числителем и знаменателем индекса структурных
сдвигов (
∆xf)
показывает абсолютное изменение средней величины изу-
чаемого показателя за счет изменения структуры совокупности:
∆xf=
m
∑
x0m
∑
∆ ¯xf=∑x0f1−∑x0f0.
x0m
∑
1
−
1
0
,
m
∑
0
(7.51)
(7.52)
Между индексами переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов имеет место следующая взаимосвязь:
I¯x= Ix·If.
Взаимосвязь индексов (7.53) позволяет также на основе двух известных индексов определить третий – неизвестный.
162
(7.53)
Аналогичная взаимосвязь имеет место между общим и факторными
абсолютными изменениями средней величины:
∆x
(x, f )
x1f1−∑x0f0= (∑x1f1−∑x0f1) + (∑x0f −∑x0f0).
∑
= ∆x
x
+ ∆xf;
Пример 7.3. Продажа яблок на двух рынках города характеризуется
следующими данными (табл. 7.3).
Продажа яблок на рынках города
Рынок Продажа яблок, т Средняя цена 1 кг, руб. Индивидуальный
Август
(
q0)
1 35 80 13,4 14,0 104,5
2 65 30 16,6 17,8 107,2
Итого 100 110 15,48 15,04 97,2
Сентябрь
(
q1)
Август
(
p0)
Сентябрь
(
p1)
индекс цен, %
(
Определите по двум рынкам вместе:
1) индекс цен переменного состава;
2) индекс цен постоянного состава;
3) индекс влияния структурных сдвигов реализации товара на динамику средней цены;
4) изменение средней цены (в абсолютных величинах) в сентябре в целом по рынкам города и за счет влияния отдельных факторов.
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
Решение
1. Вычислим индекс цен переменного состава по формуле (7.41):
Ip=
p1q
∑
q
∑
p0q
∑
1
:
∑
1
14,0 ·80 +17,8 ·30
0
=
q
0
80 + 30
13,4 ·35 +16,6 ·65
:
35 + 65
(7.54)
Таблица 7.3
ip)
=
=
1654
110
1548
:
100
=
15,04
15,48
= 0,972,
или
97,2%.
В целом по двум рынкам вместе средняя цена 1 кг яблок снизилась
в сентябре по сравнению с августом на 2,8%, или на 0,44 руб. (15,04–
15,48).
2. По формуле (7.45) определим индекс цен постоянного состава:
Ip=
p1q
∑
q
∑
1
=
1
:
1654
∑
110
p0q
∑
14,0 ·80 +17,8 ·30
1
=
q
1
1570
:
110
=
80 + 30
15,04
14,27
= 1,054,
13,4 ·80 +16,6 ·30
:
80 + 30
или
105,4%.
=
163
Индекс цен постоянного состава, характеризуя среднее изменение цены на двух рынках вместе, не может выходить за пределы значений индивидуальных индексов цен по отдельным рынкам (см. гр. 5 табл. 7.3), что
и подтверждается в данном примере.
3. Расчет индекса влияния структурных сдвигов реализации товара
на динамику средней цены произведем по формуле (7.49):
If=
p0q
∑
q
∑
p0q
∑
1
:
∑
1
14,27
0
=
q
0
15,48
= 0,922.
Изменение структуры реализации яблок по рынкам города в сентябре
по сравнению с августом привело к снижению средней цены яблок по двум
рынкам вместе на 7,8%.
Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов (7.53):
Ip= Ip·If;
0,972 = 1,054 ·0,922.
4. Вычислим изменение средней цены (в абсолютных величинах)
в сентябре в целом по рынкам города:
а) за счет совместного влияния двух факторов по формуле (7.43):
∆p
= p1− p0= 15,04 −15,48 = −0,44
(p, f)
руб.
;
б) за счет изменения уровня цен по отдельным рынкам города по фор-
муле (7.47):
∆pp=
p1q
∑
q
∑
1
p0q
∑
1
−
1
= 15,04 −14,27 = 0,77
q
∑
1
руб.
;
в) за счет изменения структуры реализации яблок по рынкам города
по формуле (7.51):
∆pf=
p0q
∑
q
∑
1
p0q
∑
1
−
0
= 14,27 −15,48 = −1,21
q
∑
0
руб.
Произведем проверку взаимосвязи исчисленных показателей (в абсолютном выражении – руб.), используя уравнение (7.54):
∆p
= ∆pp+ ∆pf;
(p, f)
(−0,44) = 0,77 + (−1,21).
В данном примере имеет место парадокс индекса переменного состава:
индивидуальные индексы цен по отдельным рынкам города отражают рост
164
цен яблок в сентябре по сравнению с августом (на 4,5% и 7,2% – соответственно по рынкам города), однако индекс средней цены переменного
состава – снижение средней цены на 2,8%. Это противоречие возникло
в связи с тем, что в отчетном периоде (сентябре) существенно увеличилась
доля (удельный вес) реализации яблок на том рынке (первом), на котором
в базисном периоде (августе) имелись более низкие цены (13,4 руб.). Так,
на первом рынке в августе удельный вес реализации яблок составил 35,0%,
а в сентябре 72,7%.
Задачи
Задача 7.1. Производство электроэнергии за 2014–2021 гг. характери-
зуется следующими данными:
Год 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
Млрд кВт·ч 23,8 27,7 26,9 30,1 31,1 37,2 38,8 39,0
ОПРЕДЕЛИТЕ цепные и базисные (в процентах к 2014 г.) индексы
производства электроэнергии за 2015–2021 гг.
Полученные результаты ПРЕДСТАВЬТЕ в таблице. СДЕЛАЙТЕ вы-
воды.
Задача 7.2. Известны следующие данные об изменении физического
объема продукции топливной промышленности региона за каждый год
по отношению к 2019 г.:
Год 2019 2020 2021 2022
Индекс, % 100,0 59,0 48,9 31,0
ОПРЕДЕЛИТЕ индексы физического объема продукции топливной
промышленности (в процентах к предыдущему году).
Полученные результаты ПРЕДСТАВЬТЕ в таблице. ОХАРАКТЕРИЗУЙТЕ исходные и вычисленные индексы.
Задача 7.3. Динамика физического объема продукции пищевой про-
мышленности региона характеризуется следующими цепными индексами:
Год 2019 2020 2021 2022
Индекс, % … 68,5 86,9 95,2
ОПРЕДЕЛИТЕ индексы физического объема продукции топливной
промышленности (в процентах к 2019 г.).
Полученные результаты ПРЕДСТАВЬТЕ в таблице. ОХАРАКТЕРИЗУЙТЕ исходные и вычисленные индексы.
165
Задача 7.4. Трудоемкость единицы продукции в базисном и текущем
периодах составило соответственно 0,25 и 0,20 ч. ОПРЕДЕЛИТЕ индивидуальные индексы трудоемкости продукции и производительности труда.
Задача 7.5. НА СКОЛЬКО процентов снизилась трудоемкость продук-
ции, если выработка ее в единицу времени увеличилась на 25,0%?
Задача 7.6. Известны следующие данные о заработной плате работни-
ков трех предприятий:
Предприятие Индекс, %
фонда заработной
платы
1 110,0 105,0
2 95,0 104,5
3 107,8 107,8
средней заработной
платы
ОПРЕДЕЛИТЕ индекс численности работников для каждого пред-
приятия.
Задача 7.7. Валовой сбор зерновых по области уменьшился в отчет-
ном году по сравнению с прошлым годом на 6,7%, а посевные площади
сократились на 12,8%.
КАК изменилась средняя урожайность зерновых?
Задача 7.8. Стоимость произведенной предприятием продукции в со-
поставимых ценах возросла на 6,2%, а производительность труда повысилась на 2,8%.
КАК изменились общие затраты труда на предприятии?
Задача 7.9. Производительность труда на предприятии в текущем пе-
риоде по сравнению с базисным повысилась на 5,0%, при этом численность рабочих увеличилась на 36 человек и составила 472 человека.
КАК изменился физический объем продукции?
Задача 7.10. КАК изменилась производительность труда на предпри-
ятии, если при том же объеме произведенной продукции общие затраты
труда снизились на 15,8%?
Задача 7.11. По имеющимся в таблице данным о средних розничных
ценах на масло на рынках города в I квартале 2023 г. ОПРЕДЕЛИТЕ
недостающие показатели:
Месяц Цена за 1 кг, руб. Индивидуальные индексы цен, %
цепные базисные
Январь ? … 100,0
Февраль 60,5 ? ?
Март ? 108,9 126,3
166
Задача 7.12. Имеются следующие данные о ценах и объемах реализа-
ции товаров по региону за два квартала:
Товар Единица
измерения
за единицу,
А кг 20 7 500 21 9 500
Б м 30 2 000 45 2 500
В шт. 15 1 000 25 1 500
I квартал II квартал
цена
руб.
количество цена
за единицу,
руб.
количество
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота
и стоимости реализованных товаров;
2) общие индексы цен двумя способами: а) по формуле агрегатного
индекса цен с текущими весами (индекс Пааше); б) по формуле
агрегатного индекса цен с базисными весами (индекс Ласпейреса);
3) общие индексы физического объема товарооборота и стоимости реализованных товаров;
4) сумму экономии (перерасхода) населения от изменения цен на эти
товары: а) фактическую сумму – на основе формулы Пааше;
б) условную сумму – на основе формулы Ласпейреса.
Задача 7.13. По продовольственному магазину имеются следующие
данные за два периода:
Продукты Количество реализованных товаров,
Базисный
период
Масло 4 500 4 200 42 60
Сыр 920 830 47 55
кг
Отчетный
период
Цена за 1 кг, руб.
Базисный
период
Отчетный
период
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота
и стоимости реализованных товаров (товарооборота);
2) общие индексы: а) цен (индексы Пааше и Ласпейреса); б) физического объема товарооборота; в) стоимости реализованных товаров
(товарооборота);
3) сумму экономии (перерасхода) населения от изменения цен на эти
товары: а) фактическую сумму – на основании формулы Пааше;
б) условную сумму – на основании формулы Ласпейреса.
Задача 7.14. Цены и количество проданных товаров на рынке харак-
теризуются следующими данными:
167
Продукты Продано, т Цена за 1 кг, руб.
Сентябрь Октябрь Сентябрь Октябрь
Картофель 62,5 70,9 70,5 90,0
Фрукты
и цитрусовые
48,2 51,6 200,3 220,7
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота
и стоимости реализованных товаров (товарооборота);
2) общие индексы цен (индексы Пааше и Ласпейреса);
3) общие индексы физического объема товарооборота и стоимости реализованных товаров (товарооборота);
4) сумму экономии (дополнительных затрат) населения от изменения
цен на эти товары: а) фактическую сумму – на основании формулы
Пааше; б) условную сумму – на основании формулы Ласпейреса.
СДЕЛАЙТЕ выводы. ПОКАЖИТЕ взаимосвязь исчисленных общих
индексов.
Задача 7.15. Цены и количество реализованных продуктов на рынке
характеризуются следующими данными:
Продукты Продано, т Цена за 1 кг, руб.
Сентябрь Декабрь Сентябрь Декабрь
Картофель 80 50 60,5 90,5
Морковь 20 16 80,3 120,7
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота
и стоимости реализованных товаров;
2) общие индексы цен (индексы Пааше и Ласпейреса);
3) общие индексы физического объема товарооборота и стоимости реализованных товаров;
4) сумму экономии (дополнительных затрат) населения от изменения
цен на эти товары: а) фактическую сумму – на основании формулы
Пааше; б) условную сумму – на основании формулы Ласпейреса.
СДЕЛАЙТЕ выводы. ПОКАЖИТЕ взаимосвязь исчисленных индек-
сов.
Задача 7.16. Имеется следующая информация о реализации продуктов
на рынке:
Продукты Количество, т Цена за 1 кг, руб.
Базисный
период
Картофель 10 60 70,0 90,6
Морковь 15 20 50,5 80,5
Свекла 7 5 90,8 100,0
Отчетный
период
Базисный
период
Отчетный
период
168
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота
и объема товарооборота в фактических ценах;
2) общие индексы цен (индекс Пааше), физического объема товарооборота и объема товарооборота в фактических ценах;
3) абсолютное изменение объема товарооборота в целом и за счет
действия отдельных факторов (вследствие изменения цен и физического объема товарооборота).
СДЕЛАЙТЕ выводы. ПОКАЖИТЕ взаимосвязь исчисленных индек-
сов.
Задача 7.17. Имеются следующие данные о производстве продукции
по заводу:
Продукция Произведено продукции,
А 5 6 200,1 200,9
Б 2 7 100,4 100,9
Базисный
период
тыс. шт.
Отчетный
период
Себестоимость единицы
продукции, руб.
Базисный
период
Отчетный
период
ВЫЧИСЛИТЕ:
1) общий индекс издержек производства продукции;
2) общий индекс физического объема продукции;
3) общий индекс себестоимости продукции;
4) сумму экономии (дополнительных затрат) завода от изменения себестоимости продукции.
ПОКАЖИТЕ взаимосвязь исчисленных общих индексов.
Задача 7.18. Имеются следующие данные о производстве продукции
по сельскохозяйственному предприятию:
Продукты Произведено, т Себестоимость 1 кг, руб.
Базисный
период
Говядина 988 1 240 540 620
Свинина 735 874 850 960
Баранина 564 387 480 590
Текущий
период
Базисный
период
Текущий
период
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) индивидуальные индексы себестоимости, физического объема производства и издержек производства продукции;
2) общие индексы себестоимости продукции, физического объема производства продукции и издержек производства продукции;
3) экономию (дополнительные затраты) сельскохозяйственного предприятия от изменения себестоимости по трем видам продукции
вместе.
169
Задача 7.19. Имеются следующие данные о трудоемкости продукции
предприятия и объемах ее производства:
Продукция 2021 г. 2022 г.
произведено,
тыс. шт.
А 550 1 500 582 1 440
Б 326 2 380 348 2 300
затраты
на 100 изделий,
чел.·ч
произведено,
тыс. шт.
затраты
на 100 изделий,
чел.·ч
ОПРЕДЕЛИТЕ общие индексы физического объема продукции (взвешенного по трудоемкости базисного периода), производительности труда
и затрат труда. ПОКАЖИТЕ взаимосвязь вычисленных индексов.
Задача 7.20. Известны следующие данные по предприятию за отчет-
ный период:
Изделие Затраты рабочего времени
на единицу продукции
в периоде, чел.·ч
базисном текущем базисном текущем
1 5,0 4,5 2 000 2200
2 3,0 2,8 1 000 1300
Произведено продукции
в периоде, шт.
ВЫЧИСЛИТЕ общие индексы производительности труда, совокупных
затрат рабочего времени и физического объема продукции (взвешенного
по трудоемкости базисного периода).
ПОКАЖИТЕ взаимосвязь вычисленных индексов.
Задача 7.21. Предлагаются три различных варианта условных данных
о продаже двух товаров:
Товар Количество проданных товаров
в периоде, ц
базисном текущем базисном текущем
Вариант I
А 500,0 600,0 200,0 350,0
Б 300,0 250,0 500,0 420,0
Вариант II
А 500,0 600,0 200,0 250,0
Б 300,0 250,0 500,0 500,0
Вариант III
А 550,0 500,0 300,0 250,0
Б 300,0 250,0 500,0 420,0
Цена 1 кг., руб.
в периоде
1. Не производя никаких расчетов, для каждого варианта ОЦЕНИТЕ
направление изменения цен и физических объемов (в сторону роста или
снижения) для каждого товара в отдельности и в целом по двум товарам.
170