Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Таблица 5.4
К расчету показателей вариации выработки работников предприятия
m
|
)
m
)
xm
(x −x)
x
x −
|
2
m
2
)
)
Группы работников
по выработке, руб.
Численность работ3 300–3 900 10 3 600 36 000
3 900–4 500 40 4 200 168 000
4 500–5 100 70 4 800 336 000
5 100–5 700 50 5 400 270 000
5 700–6 300 30 6 000 180 000
Итого 200
x
ников, чел. (
Середина интервала
×
Произведение се-
редины интервала
(
на частоту (
990 000
Среднее квадратическое отклонение:
s
σ =
m
∑
(x −x)2m
∑
Коэффициент осцилляции:
R
KR=
·100 =
x
Коэффициент колеблемости:
d
w =
·100 =
x
Коэффициент вариации:
σ
v =
·100 =
x
(x −x)
Отклонение сере-
дины интервала
от средней
Произведение откло-
нения по модулю
на частоту
Квадрат отклонения
середины от сред-
−
1 350 13 500 1 822 500 18 225 000
−
750 30 000 562 500 22 500 000
−
150 10 500 22 500 1 575 000
+
450 22 500 202 500 10 125 000
+
1 050 31 500 1 102 500 33 075 000
×
=√427500 = 654
2400
4950
540
4950
654
4950
108 000 3 712 500 85 500 000
руб.
·100 = 48,5%.
·100 = 10,9%.
·100 = 13,2%.
ней
Произведение квадра-
та отклонений на час-
(x −x
тоту
5.3. Вычисление среднего квадратического отклонения по преобразованной формуле
Формулу для расчета дисперсии можно преобразовать следующим об-
разом:
σ2=
(x −x)2m
∑
∑
m
(x2−2xx + x2)m
∑
=
x2m
∑
=
m
∑
∑
m
−2x
91
x2m
∑
=
m
∑
xm
∑
m
∑
+ x
∑
2
∑
2xxm
∑
−
∑
m
.
m
∑
+
m
∑
x2m
m
=
Рассмотрим средний член разложения
xm
∑
2x
= 2x ·x = 2x2.
m
∑
Таким образом, получим
σ2= x2−2x2+ x2= x2−x2.
Значительно упрощаются расчеты дисперсии и среднего квадратического отклонения при применении преобразованных формул этих показателей:
σ2= x2−x2,
(5.11)
σ =qx2−x2,
где
x2– «средний квадрат» или средняя арифметическая из квадратов вари-
ант:
x2=
2
x
∑
,
или
n
x2=
x2m
∑
;
m
∑
(5.12)
x2– квадрат средней арифметической, т. е. рассчитывается средняя
арифметическая, а затем ее результат возводится в квадрат:
x =
∑
n
x
⇒ x2=
2
x
∑
,
или
n
x =
xm
∑
⇒ x2=
m
∑
2
xm
∑
∑
.
m
Пример 5.4. Произведем расчет среднего квадратического отклонения
стажа работы членов бригады по преобразованной формуле (табл. 5.5).
Таблица 5.5
К расчету среднего квадратического отклонения стажа работы членов бригады
Номер рабочего 1 2 3 4 Итого
Стаж работы, лет (x) 8 9 11 12 40
2
x
64 81 121 144 410
Средний стаж работы:
x =
x
∑
=
n
8 + 9 +11 +12
4
= 10
лет,тогда
x2=
x
∑
n
2
= 102= 100.
Средняя арифметическая из квадратов вариант (стажа работы)
2
x
x2=
∑
64 + 81 +121 +144
=
n
4
410
=
= 102,5.
4
92
Среднее квадратическое отклонение стажа работы членов бригады
по преобразованной формуле составит
σ =qx2−x2=p102,5 −100 =p2,5 = 1,58
года
.
5.4. Вычисление среднего квадратического отклонения по методу моментов
Метод моментов является упрощенным способом среднего квадратического отклонения и позволяет сократить арифметику его вычисления. Метод моментов применяется для интервальных группировок с постоянным
(равным) интервалом. Он основан на использовании двух свойств среднего
квадратического отклонения, применение которых значительно упрощает
и облегчает его вычисление. Рассмотрим эти свойства.
1. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же
постоянное числоa, среднее квадратическое отклонение не изменится.
Имеем вариантыx, уменьшим их на число а, получим новые варианты
y = x −a.
σy=
т. е.
не только по вариантам, но и по их отклонениям от какого-то постоянного
числаa.
возраста рабочих бригады по данным табл. 5.6.
Необходимо доказать, что
σy= σx.
Доказательство:
s
∑
(y −y)2m
m
∑
s
[(x −a) −(x −a)]2m
∑
=
m
∑
=
s
∑
(x −x)2m
m
∑
= σx,
σy= σx, что и требовалось доказать.
Следовательно, среднее квадратическое отклонение можно исчислить
Пример 5.5. Произведем расчет среднего квадратического отклонения
Таблица 5.6
К расчету среднего квадратического отклонения возраста рабочих бригады
Номер рабочего 1 2 3 4 Средняя
Возраст, лет (x) 38 39 41 42 40
y = x−a(a = 30
) 8 9 11 12 10
арифметическая
Средние квадратические отклонения признаковyиxсоставят
r
2
(8−10)2+ (9−10)2+(11−10)2+(12−10)
=
4
r
2
10
=
4
σy=
r
(y −y)
∑
n
93
=1,58,
r
2
=
лет, т. е.
(38 −40)2+ (39 −40)2+ (41 −40)2+ (42 −40)
4
σy= σx= 1,58.
2
=
σx=
r
=
r
10
4
(x −x)
∑
n
= 1,58
2. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в одно и то же
число разb, среднее квадратическое отклонение соответственно уменьшится или увеличится в то же самое число разb.
Имеем вариантыx, разделим их на числоb, получим новые варианты
x
y =
, причем
b
Доказательство:
s
(y−y)2m
∑
σy=
b = 0
. Необходимо доказать, что
v
u
u
u
∑
t
=
m
∑
v
2
x
x
−
b
b
m
∑
u
1
u
m
t
=
2
b
(x−x)2m
∑
∑
m
σy=
σ
x
.
b
s
1
(x−x)2m
∑
=
·
b
∑
=
m
что и требовалось доказать. Это свойство также используется для упрощенного вычисления среднего квадратического отклонения.
Пример 5.5. Произведем расчет среднего квадратического отклонения
выработки рабочих бригады по данным табл. 5.7.
Таблица 5.7
К расчету среднего квадратического отклонения выработки рабочих бригады
Номер рабочего 1 2 3 4 Средняя
Выработка, руб./мес. (x) 4000 4 500 5 500 6 000 5 000
x
y =
,
b
b = 500
8 9 11 12 10
арифметическая
σ
x
,
b
Средние квадратические отклонения признаковyиxсоставят:
r
2
(8−10)2+(9−10)2+(11−10)2+(12−10)
=
4
σy=
r
∑
(y−y)
n
r
σx=
=
= 1,58 ·500 = 790
(4000−5 000)2+(4 500−5 000)2+(5 500−5 000)2+(6 000−5 000)
σy=
4
σ
790
x
=
b
500
= 1,58,
r
2500 000
= 790
4
руб.,т. е.
руб.
94
2
=
или
σx= σy·b =
r
10
4
=1,58;
2
=
Оба этих свойства при использовании метода моментов в расчете сред-
него квадратического отклонения применяются одновременно:
x −a
y =
,
тогда
b
Для упрощения расчетов среднего квадратического отклонения
σy=
σ
x
.
b
(σy)
условных (новых) вариант применяется преобразованная формула этого
показателя (5.12):
σy=qy2−y2.
В дальнейшем осуществляется пере-
ход от среднего квадратического отклонения условных (новых) вариант
к среднему квадратическому отклонению изучаемого признакаx:
σx= σy·b.
Пример 5.7. По данным табл. 5.4 произведем расчет среднего квадратического отклонения выработки работников предприятия по методу моментов (табл. 5.8).
Таблица 5.8
К расчету среднего квадратического отклонения выработки работников предприятия
Группа
работников
по заработ-
ной плате,
руб.
3 300–3 900 10 3 600
3 900–4 500 40 4 200
4 500–5 100 70 4 800 0 0 0 0
5 100–5 700 50 5 400 1 50 1 50
5 700–6 300 30 6 000 2 60 4 120
Итого 200
Численность
работников,
чел. (m)
по методу моментов
Середина
интервала (x)
× ×
x −a
y =
b
a = 4800
b = 600
−
2
−
1
;
;
V ·m y
−
20 4 40
−
40 1 40
50
2
×
y2m
250
y
Для максимального сокращения арифметики величиныaиbвыбирают так же, как и при исчислении средней арифметической по методу
моментов (см. гл. 4 «Средние величины»). В нашем примере
(серединное значение средней группы: 4 500–5 100),
b = 600
a = 4800
(величина по-
стоянного интервала группировки).
Произведем расчет среднего квадратического отклонения
ных (новых) вариант по преобразованной формуле
σy=qy2−y2. В свою
(σy)
услов-
очередь,
y2=
y2m
∑
∑
250
=
m
= 1,25, y2=
200
Тогда среднее квадратическое отклонение
риант составит
σy=qy2−y2=√1,25 −0,0625 = 1,09.
2
ym
∑
∑
=
m
(σy)
2
50
= 0,0625.
200
условных (новых) ва-
Вычислим среднее
95
квадратическое отклонение выработки работников предприятия
(σx) :
σx= σy·b = 1,09 ·600 = 654
руб.
В среднем выработка работников предприятия отклоняется от средней
выработки на 654 руб. Сравнивая вышеприведенные расчеты с расчетами
среднего квадратического отклонения в примере 5.3, отметим, что метод
моментов значительно упрощает арифметику.
5.5. Показатели вариации для альтернативного признака
Выше были рассмотрены показатели вариации для количественных
признаков. Однако может наблюдаться и вариация качественных признаков.
При наличии двух взаимно исключающих друг друга вариантов говорят
о наличии альтернативной изменчивости качественных признаков. Альтер-
нативным называется такой качественный признак, варианты которого могут принимать только одно из двух значений (например, изделие может
быть годным или бракованным, преподаватель вуза имеет ученую степень
или не имеет, студент сдал экзамен или не сдал и т. д.). Вариация альтернативного признака выражается в том, что одни единицы совокупности
обладают данным признаком, другие – не обладают.
Альтернативный признак принимает два значения:
1 – наличие альтернативного признака у единицы совокупности;
0 – отсутствие признака.
Обозначим:
N
– общее число единиц совокупности;
pиM
– соответственно доля и число единиц совокупности, об-
ладающих альтернативным признаком:
q
и (
N −M
) – соответственно доля и число единиц совокупности, не
обладающих альтернативным признаком:
p =
M
N
;
q =
N −M
N
= 1 −
M
= 1 −p,
N
т. е.
p + q = 1.
Построим ряд распределения по качественному признаку (табл. 5.9).
Таблица 5.9
Вариационный ряд распределения качественного
Варьирующий признак (x) 1 0
Частости (
(альтернативного) признака
m
f =
)
m
∑
p q
96
Вычислим среднюю арифметическую альтернативного признака:
xm
∑
x =
тивного признака определим по следующей формуле:
=
∑
признака составит
=∑x f = 1 ·p +0 ·q = p,
m
∑
(x −x)2f = (1− p)2p + (0 −p)2q = q2p + p2q = pq(q + p) = pq.
Итак,
В свою очередь, среднее квадратическое отклонение альтернативного
т. е.
σ2= pq.
x = p
. Тогда дисперсию альтерна-
∑
σ2=
(x −x)2m
=
m
∑
(5.13)
σ =√pq.
Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25.
Оно получается при
p = q = 0,5.
(5.14)
5.6. Правило сложения дисперсий
5.6.1. Межгрупповая и внутригрупповая дисперсия
На вариацию признака влияют различные причины, факторы. Все они
делятся на случайные и систематические. Например, к случайным факторам изменения урожайности культур можно отнести метеорологические
условия, к систематическим – качество обработки почвы, внесение органических и минеральных удобрений и др. Поэтому и вариация может быть
случайной, вызванной действием случайных причин, и систематической,
обусловленной действием постоянных причин-факторов. В связи с этим
возникает необходимость оценки влияния разных факторов, определяющих
колеблемость индивидуальных значений признака. В этом случае можно
выделить три вида дисперсий:
1) общая дисперсия
2) межгрупповая дисперсия
3) средняя из внутригрупповых дисперсий
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности
под влиянием всех факторов, вычисляется по формулам (5.4) и (5.5):
σ2=
σ2;
(x −x)
∑
n
δ2;
2
; σ2=
σ2.
(x −x)2m
∑
∑
.
m
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию,
которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу
группировки. Для определения влияния постоянного фактора на величину
97
вариации пользуются аналитической группировкой, т. е. расчленяют по исследуемому постоянному фактору всю совокупность на группы и определяют, как изменяется, варьирует общий результат под влиянием фактора, положенного в основании группировки. Вариация, обусловленная фактором,
положенным в основание группировки, называется межгрупповой вариа-
цией. Межгрупповая дисперсия измеряет колеблемость групповых средних
вокруг общей средней и определяется по формуле
(xi−x)2m
где
∑
δ2=
xiи
mi– соответственно групповые средние и численность (частоты,
∑
i
,
m
i
(5.15)
веса) по отдельным группам,
x
– общая средняя по всей совокупности.
Средняя из внутригрупповых дисперсий. Для определения влияния
случайных факторов и их роли в общей вариации вычисляют дисперсию
в пределах каждой группы, т. е. внутригрупповую дисперсию, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий.
Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, которая возникает под влиянием всех факторов, кроме положенного в основание группировки. Для ее расчета необходимо предварительно определить внутригрупповые дисперсии по каждой группе, а затем
среднюю из них. Внутригрупповые, или частные дисперсии определяются
по формуле
(xi−xi)2m
∑
2
σ
=
i
где
xi– индивидуальные значения признака (варианты) вi-й группе.
∑
i
,
m
i
(5.16)
На величину внутригрупповых, или частных дисперсий не влияет
групповой признак. Поэтому чтобы получить представление о вариации
признака под влиянием всех случайных причин, следует исчислить среднюю из внутригрупповых дисперсий, которая будет равна
2
σ
m
∑
i
σ2=
i
.
m
∑
i
(5.17)
В математической статистике доказано, что общая дисперсия признака
(
σ2)
равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий (
повой дисперсии (
δ2)
:
σ2)
и межгруп-
σ2= σ2+ δ2.
(5.18)
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Логика
этого правила проста: общая дисперсия, возникающая под воздействием
98
всех факторов, должна быть равна сумме дисперсий, возникающих под
влиянием всех прочих факторов, и дисперсии за счет фактора, положенного
в основание группировки. Правило сложения дисперсий используется для
оценки тесноты связи между признаками в дисперсионном и корреляционном анализе.
5.6.2. Эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение
В статистическом анализе широко используется показатель «эмпири-
ческий коэффициент детерминации» (
2
η
)
, который характеризует долю
э
(удельный вес) межгрупповой дисперсии, обусловленной влиянием факто-
ра, положенного в основании группировки, в общей дисперсии:
2
δ
2
η
=
.
э
2
σ
(5.19)
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации на-
зывается эмпирическим корреляционным отношением (
η
):
э
s
2
ηэ=
δ
.
2
σ
(5.20)
Оно характеризует влияние факторного признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое
корреляционное отношение по своему абсолютному значению колеблется
в пределах от 0 до 1:
0 ⩽ ηэ⩽ 1
. Чем ближе эмпирическое корреляционное отношение к 1, тем большее влияние оказывает факторный признак
на результативный. Если
η = 0
, факторный признак не оказывает влияние
на результативный, что свидетельствует о полном отсутствии связи между
этими признаками (в этом случае
δ2= 0
). Если
η = 1
, результативный
признак изменяется только под воздействием одного факторного признака,
т. е. вариация, обусловленная влиянием этого признака, будет равна общей вариации (
δ2= σ2). В этом случае речь идет о функциональной связи
между факторным и результативным признаками. Принято считать, что:
– если
– если
– если
– если
0,3 < ηэ⩽ 0,5
0,5 < ηэ⩽ 0,7
0,7 < ηэ⩽ 0,9
0,9 < ηэ< 1
, связь умеренная;
– заметная;
– высокая;
– весьма высокая.
Пример 5.8. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий,
межгрупповую дисперсию и общую дисперсию выработки рабочих двух
бригад по данным (несгруппированным), представленным в табл. 5.10. В
первой бригаде рабочие не посещали курсы профессиональной переподготовки, во второй – прошли профессиональную подготовку.
99
Таблица 5.10
К расчету показателей вариации производительности труда рабочих двух бригад
Бригада 1 Бригада 2
Табельный
номер
рабочего
Итого 90 – 10
Примечание. Отметим, что уровень квалификации рабочих во второй бригаде более высокий,
чем в первой. Так, средний тарифный разряд рабочих в первой бригаде равен 3,5 разряда,
а во второй – 4,6 разряда.
Изготовлено
деталей
за час, шт.,
1 13
2 14
3 15 0 0 3 21 0 0
4 17 2 4 4 23 2 4
5 16 1 1 Итого 84 – 14
6 15 0 0
xi−x1(xi−x1)2Табельный
x
i
−
2 4 1 18
−
1 1 2 22 1 1
номер
рабочего
Изготовлено
деталей
за час, шт.,
x
i
xi−x2(xi−x2)
−
3 9
Решение
1. Для расчета внутригрупповых дисперсий выработки рабочих вы-
числим средние по каждой бригаде:
2
x =
x
∑
n
; x1=
90
∑
= 15
шт.
6
; x2=
84
∑
= 21
4
шт.
Промежуточные расчеты для вычисления внутригрупповых дисперсий
представлены в табл. 5.10. По формуле (5.4) определим внутригрупповые
дисперсии выработки рабочих по каждой бригаде:
(xi−x1)
∑
2
σ
=
1
2
10
=
n
= 1,67; σ
6
2
2
=
(xi−x2)
∑
2
14
=
n
4
= 3,5.
2. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле
средней арифметической взвешенной (5.18):
2
σ
m
σ2=
i
i
=
m
i
1,67 ·6 +3,5 ·4
6 + 4
∑
∑
=
10 + 14
10
24
=
= 2,4.
10
3. Вычислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно
определим общую среднюю выработку рабочих двух бригад. Расчет можно
произвести двумя способами:
а) по формуле средней арифметической простой непосредственно
по данным табл. 5.10:
x
x =
13 + 14 +15 +17 +16 + 15 + 18+ 22+ 21 + 23
∑
=
n
10
174
=
10
= 17,4
шт.
100
;