Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Это значит, что возраст одной половины работников до 34,4 года,
а другой – свыше 34,4.
Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой, т. е. в на-
шем примере 35–40 лет. Внутри интервала мода определяется по формуле
d
Mo = x0+ h
где
x0– нижняя граница модального интервала,
h
– величина модального интервала,
d1– разность между частотой модального интервала (
интервала, предшествующего модальному (
−m
Mo−1
,
d2– разность между частотой модального интервала (
интервала, следующего за модальным (
−m
Mo+1
.
1
d1+ d
,
2
(4.7)
mMo) и частотой
m
), т. е.
Mo−1
d1= mMo−
mMo) и частотой
m
Mo+1
), т. е.
d2= mMo−
При использовании в интервальном вариационном ряду в качестве весов частостей (относительных частот) –fмода также определяется по формуле (4.7), однако при условии, что
d1– разность между частостью модального интервала (
стью интервала, предшествующему модальному (
= f
Mo
− f
Mo−1
;
d2– разность между частостью модального интервала (
стью интервала, следующего за модальным (
− f
Mo+1
.
f
Mo+1
fMo) и часто-
f
), т. е.
Mo−1
fMo) и часто-
), т. е.
d2= fMo−
d1=
Рассмотрим исчисление моды из интервального вариационного ряда
на примере распределения работников по возрасту (табл. 4.13). В данном
примере модальный интервал находится в пределах 35–40 лет, так как
на него приходится наибольшая частота (280). Моду определим по формуле (4.7):
3
Mo = 35 + 5
(280 −260) +(280 −105)
280 −260
= 35,5
года
.
Это значит, что модальный возраст работников равен 35,5 года. Таким
образом, мода является наиболее распространенной и в этом смысле наиболее типичной величиной в распределении. Но мода и средняя величина поразному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно
размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не
всей совокупности. В нашем примере если даже предположить, что возраст
3
Формула моды (Mo) выведена математически исходя из допущения, что в модальном
и двух соседних интервалах кривая распределения представляет собой параболу второго
порядка. Тогда
Mo
находится как абцисса вершины параболы.
71
всех работников пятой группы (35–40 лет) составляет 35,5 года, то и в этом
случае мода соответствует только 22,6% общей численности всех работников. Поэтому мода по своему обобщающему значению уступает средней,
которая характеризует совокупность в целом, так как складывается под
воздействием всех без исключения элементов совокупности.
Задачи
Задача 4.1. Имеются данные об уровне производительности труда про-
давцов (отношение объема розничного товарооборота к численности продавцов) и численности продавцов по трем отделам торгового предприятия
за месяц:
Отдел 1 2 3
Средний уровень производительности труда одного
продавца, тыс. руб. 250 280 350
Численность продавцов, чел. 4 8 12
ОПРЕДЕЛИТЕ средний уровень производительности труда одного
продавца (объем розничного товарооборота, приходящийся на одного продавца) в целом по трем отделам торгового предприятия за отчетный месяц.
Задача 4.2. Средняя месячная выработка тканей рабочими трех бригад
ткацкой фабрики и их средняя списочная численность за январь составили:
Бригада Выработка тканей на одного
рабочего, пог. м
1 740 10
2 820 15
3 960 13
Численность рабочих, чел.
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю месячную выработку тканей рабочими ткац-
кой фабрики в целом за январь.
Задача 4.3. Распределение занятых на малых предприятиях города
по стажу предпринимательской деятельности характеризуется данными
таблицы:
Группы занятых по стажу
предпринимательской деятельности, лет
До 1 года
1–3
3–5
5–7
7 и более
Итого 100,0
Численность занятых, % к итогу
5,8
27,5
42,8
13,4
10,5
72
ОПРЕДЕЛИТЕ средний стаж занятых предпринимательской деятель-
ностью на малых предприятиях города.
Задача 4.4. По трем отделениям банка города известны данные о чис-
ленности специалистов банковского дела и удельном весе имеющих среди
них высшее образование за 2023 г.:
Отделение банка 1 2 3
Число специалистов банковского дела 6 18 8
Удельный вес специалистов, имеющих высшее
экономическое образование, %
75,0 85,0 90,0
ОПРЕДЕЛИТЕ удельный вес специалистов, имеющих высшее экономическое образование, в целом по трем отделениям сберегательного банка
города за январь 2023 г.
Задача 4.5. Ниже приводятся данные о выработке хлебобулочных из-
делий на одного рабочего и о численности рабочих по трем кондитерским
фабрикам за 1-й кв. 2023 г.:
Кондитерская фабрика 1 2 3
Выработка хлебобулочных изделий одним рабо-
чим, тыс. руб.
Численность рабочих, % к численности рабочих
первой кондитерской фабрики
140 190 250
100 135 210
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю месячную выработку рабочих по всем трем
кондитерским фабрикам в целом. КАКУЮ формулу средней вы применили? КАКОЕ свойство этой средней позволяет применить ее в данной
задаче?
Задача 4.6. Группировка малых предприятий региона отрасли про-
мышленности по численности работающих на конец года характеризуется
данными:
Группа малых предприятий
по численности
работающих, чел.
До 15
15–30
30–50
50–75
75–100
100 и более
Всего 181 100,0 650,2
Число малых предприятий Выручка от реализации
всего в % к итогу
63
42
33
21
15
7
34,8
23,2
18,2
11,6
8,3
3,9
продукции за год (включая
НДС), млн руб.
174,0
139,2
127,4
92,8
74,7
42,1
ОПРЕДЕЛИТЕ в целом по региону на конец года:
1) среднюю численность работающих на одном малом предприятии
двумя способами:
73
а) на основании данных о числе предприятий;
б) на основании данных об удельном весе малых предприятий;
2) среднюю выручку одного малого предприятия от реализации продукции (включая НДС).
Задача 4.7. Распределение средней списочной численности рабочих
механического цеха по тарифным разрядам за март характеризуется следующими данными:
Тарифный разряд 1 2 3 4 5
Численность рабочих, чел. 10 12 20 60 13
Объем выполненных работ в нормо-часах по тарифным разрядам
за этот же месяц характеризуется следующими данными:
Тарифный разряд 1 2 3 4 5
Объем выполненных работ (нормо-час) 1 300 3 300 3 500 5 800 4 500
ОПРЕДЕЛИТЕ средний тарифный разряд рабочих, средний тарифный
разряд работ. УСТАНОВИТЕ, насколько уровень квалификации рабочих
соответствует сложности выполняемой ими работы.
Задача 4.8. Известны следующие данные о распределении рабочих
АОЗТ по тарифным разрядам:
Тарифный разряд 1 2 3 4 5 6
Удельный вес рабочих, % к итогу 2,3 5,2 10,6 20,8 29,3 31,8
ОПРЕДЕЛИТЕ средний тарифный разряд рабочих предприятия.
Задача 4.9. Распределение предприятий региона по численности ра-
ботников характеризуется следующими данными:
Группы предприятий по
численности работников, чел.
До 25
25–50
50–100
100–200
200–500
500 и более
Итого 378 100,0
Количество предприятий
ед. в % к итогу
162
90
57
37
20
12
42,8
23,8
15,1
9,8
5,3
3,2
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю численность работников на предприятиях ре-
гиона (двумя способами):
1) на основании данных о числе предприятий;
2) на основании данных об удельном весе предприятий.
74
Задача 4.10. ОПРЕДЕЛИТЕ средний удельный вес мужчин в общей
численности рабочих ПАО, если известны следующие данные по отдельным его цехам на конец года:
Удельный вес, %
Цех мужчин в численности
рабочих соответствующего
цеха
1 72,3 21,5
2 86,4 32,8
3 93,8 45,7
рабочих цеха в численности
ПАО
Задача 4.11. Известны следующие данные по фирме о проценте брака
и стоимости всей произведенной продукции по трем ее видам за квартал:
Показатель Цех 1 Цех 2 Цех 3
Процент брака 0,8 1,2 2,5
Стоимость произведенной про-
дукции, млн руб.
125 150 200
ОПРЕДЕЛИТЕ средний процент брака во всей произведенной фирмой
продукции.
Задача 4.12. Распределение ПАО в области по численности работа-
ющих на 1 января 2023 г. характеризовалось следующими данными:
Группа ПАО по численности
работающих, чел.
Число предприятий, % к итогу 40,5 27,0 20,3 8,1 2,7 1,4 100,0
До 50 50–
150
150–
300
300–
500
500–
1 000
1 000
и выше
Итого
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю численность работающих в АООТ области
на 1 января 2023 г.
Задача 4.13. Распределение хозяйств области по поголовью крупного
рогатого скота на 1 января 2023 г. характеризуется данными таблицы:
Группа хозяйств по поголовью крупного рогатого скота
Число хозяйств, %
к итогу
До 100 100–
36,2 21,3 9,5 5,8 1,8 25,4 100,0
300
300–
500
500–
1 000
1 000
и вы-
ше
Не имеющие
крупного
рогатого скота
Итого
ОПРЕДЕЛИТЕ среднее поголовье крупного рогатого скота по области:
1) в хозяйствах, имеющих крупный рогатый скот;
2) во всех хозяйствах включая те, что не имеют крупного рогатого
скота.
75
Задача 4.14. Урожайность зерновых в двух сельскохозяйственных
предприятиях района составляет соответственно 22,0 и 24,0 ц/га.
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю урожайность зерновых в этих двух сельскохозяйственных предприятиях, если посевная площадь, занятая под зерновые
культуры во втором сельскохозяйственном предприятии (с более высокой
урожайностью), на 70,0% выше посевной площади, занятой под зерновые
культуры в первом сельскохозяйственном предприятии.
КАКОЕ свойство средней арифметической использовано при определении средней урожайности?
Задача 4.15. Удельный вес населения с доходами ниже прожиточно-
го минимума в двух районах области за отчетный период составил 15,8
и 26,9%.
ОПРЕДЕЛИТЕ средний удельный вес населения с доходами ниже прожиточного минимума в целом по двум районам, при условии что:
1) численность населения с доходами ниже прожиточного минимума
во втором районе была в 1,6 раза больше численности населения
с доходами ниже прожиточного минимума в первом районе;
2) численность населения в первом районе была в 1,8 раза больше
численности населения во втором районе.
КАКИЕ виды средних величин вы применяли при решении задачи?
СФОРМУЛИРУЙТЕ свойство средней величины, использованное при решении задачи.
Задача 4.16. Распределение банков региона по величине собственно-
го капитала на 1 января 2023 г. характеризуется следующими данными
(млн руб.):
Группа банков по величине собственного капитала, млн руб.
Число банков 35 25 18 10 8 6 12
100–
160
160–
220
220–
280
280–
340
340–
400
400–
460
ОПРЕДЕЛИТЕ по методу моментов среднюю величину собственного
капитала банков региона на 1 января 2023 г.
Задача 4.17. По кондитерской фабрике известны следующие данные
о распределении рабочих по заработной плате за январь 2023 г.:
Группа рабочих по заработной плате,
тыс. руб.
20–30 46,8
30–40 30,9
40–50 18,2
50 и выше 4,1
Итого 100,0
Численность рабочих, % к итогу
76
460
и вы-
ше
ОПРЕДЕЛИТЕ по методу моментов среднюю заработную плату рабо-
чих кондитерской фабрики за январь 2023 г.
Задача 4.18. По двум группам фермерских хозяйств района имеются
следующие данные:
Группа хозяйств Число хозяйств Посевная площадь
зерновых, тыс. га
А 4 90,6 20,4
В 11 154,2 19,2
Средняя
урожайность
зерновых, ц/га
ОПРЕДЕЛИТЕ по двум группам фермерских хозяйств района:
1) среднюю посевную площадь зерновых, тыс. га;
2) среднюю урожайность зерновых, ц/га;
3) средний валовой сбор зерновых одного хозяйства, ц.
КАКИЕ виды средних следует использовать при определении первых
двух средних? ЧТО является весами при определении средней урожайности?
Задача 4.19. ОПРЕДЕЛИТЕ средний процент брака в составе всей
произведенной сыроваренным заводом продукции за отчетный месяц
по следующим данным:
Вид продукции Процент брака Стоимость брака, тыс. руб.
А
Б
В
1,5
2,0
2,8
120
90
60
КАКОЙ вид средней следует здесь использовать? ЧТО является ве-
сами этой средней?
Задача 4.20. ВЫЧИСЛИТЕ средний процент рабочих, перевыполня-
ющих норму выработки по предприятию в целом, по следующим данным
за отчетный месяц:
Показатель Цех 1 Цех 2 Цех 3
Численность рабочих, перевыполняющих норму,
чел.
Процент рабочих, перевыполняющих норму 80,0 85,0 95,0
140 250 580
Задача 4.21. По трём бригадам, занятым на выполнении строительно–
монтажных работ (СМР) одного и того же вида, известны следующие
данные за январь:
77
Бригада Затраты рабочего времени
на единицу СМР, чел.·ч
1 4,5 9,2
2 5,9 6,3
3 7,2 3,1
Общие затраты рабочего
времени на весь объем СМР,
тыс. чел.·ч
ОПРЕДЕЛИТЕ средние затраты рабочего времени на единицу
строительно-монтажных работ по трём бригадам в целом за январь.
Задача 4.22. Имеются данные об уровне производительности труда
продавцов (отношение объема розничного товарооборота к численности
продавцов) и объеме розничного товарооборота по четырём отделам торгового предприятия за месяц:
Показатель Отдел 1 Отдел 2 Отдел 3 Отдел 4
Уровень производительности труда продавцов,
тыс. руб.
Объем розничного товарооборота, тыс. руб. 460 1 000 2 240 4 200
230 250 280 350
ОПРЕДЕЛИТЕ средний уровень производительности труда одного
продавца (объем розничного товарооборота, приходящийся на одного продавца) в целом по четырём отделам торгового предприятия за отчетный
месяц.
Задача 4.23. По трём сельскохозяйственным предприятиям района из-
вестны следующие данные о посевной площади, урожайности и валовом
сборе зерновых:
Показатель Сельскохозяйственные предприятия
1 2 3
Урожайность, ц/га 19,0 21,0 23,0
Посевная площадь, тыс. га 1,3 2,7 3,8
Валовой сбор, тыс. ц 24,7 56,7 87,4
ОПРЕДЕЛИТЕ последовательно тремя способами среднюю урожайность в целом по трем сельскохозяйственным предприятиям, используя
данные:
1) об урожайности и посевной площади;
2) об урожайности и валовом сборе;
3) о посевной площади и валовом сборе.
КАКИЕ формулы средних вы использовали?
Задача 4.24. Имеются следующие данные по трем заводам:
78
Январь Февраль
Завод Фактический
выпуск
продукции,
млн руб.
1 10,3 102,1 10,2 104,2
2 12,8 96,8 11,5 100,5
3 9,4 100,0 10,1 98,6
Процент
выполнения
плана
План
по производству
продукции,
млн руб.
Процент
выполнения
ОПРЕДЕЛИТЕ средний процент выполнения плана по выпуску про-
дукции по трем заводам за каждый период.
ПРИВЕДИТЕ формулы средних и ОБОСНУЙТЕ их применение.
Задача 4.25. Имеются данные по трем предприятиям за отчетный ме-
сяц:
плана
Предприятие Средняя заработная
плата рабочих,
тыс. руб.
1 2,5 165,0 22,5
2 3,0 240,0 32,0
3 5,0 325,0 45,0
Фонд заработной
платы рабочих,
тыс. руб.
Средняя выработка
продукции
на 1 рабочего,
тыс. руб.
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) среднюю заработную плату рабочих трех предприятий;
2) среднюю выработку на одного рабочего по трем предприятиям.
КАКИЕ виды средних вы использовали при определении средней за-
работной платы и средней выработки рабочих? КАКОЙ показатель использован в каждой из этих средних в качестве веса?
Задача 4.26. Имеются следующие данные по двум заводам:
Завод 1 Завод 2
Изделие Процент
брака
1 0,9 18 1 1,2 1 200
2 1,1 22 2 2,0 800
3 0,6 24 3 0,7 1 000
Стоимость
брака,
тыс. руб.
Изделие Процент
брака
Стоимость
всей
продукции,
тыс. руб.
ОПРЕДЕЛИТЕ процент брака по каждому предприятию.
УКАЖИТЕ, какие виды средних следует использовать для расчета
и почему.
Задача 4.27. Имеются следующие данные по цехам предприятия за ян-
варь и февраль:
79
Цех Январь Февраль
Средняя
заработная
плата рабочих,
тыс. руб.
1 3,2 105 3,4 407,8
2 3,5 90 3,7 320,5
3 3,9 98 4,5 450,6
Численность
рабочих, чел.
Средняя
заработная
плата рабочих,
тыс. руб.
Фонд
заработной
платы рабочих,
тыс. руб.
ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю заработную плату рабочих по заводу в целом
за январь и февраль.
СРАВНИТЕ полученные результаты. ПРИВЕДИТЕ формулы средних
и ОБОСНУЙТЕ их применение.
Задача 4.28. Известны следующие данные о численности населения
с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума за 2021 г.:
Показатель 2021 г.
I квартал II квартал III квартал IV квартал
Тыс. чел. 1 397,6 1 090,5 953,0 801,8
% от общей численности насе-
ления
52,2 40,8 65,6 30,0
ОПРЕДЕЛИТЕ за 2021 г.:
1) среднюю численность населения с денежными доходами ниже величины прожиточного минимума;
2) средний процент населения с денежными доходами ниже величины
прожиточного минимума.
ПРИВЕДИТЕ формулы средних и ОБОСНУЙТЕ их применение.
Задача 4.29. Имеются следующие данные по трем заводам, выпуска-
ющим одинаковую продукцию:
Завод Базисный период Отчетный период
Затраты
рабочего
времени
на единицу
продукции, ч
1 2,0 2 1,8 3 960
2 2,5 5 2,3 11500
3 2,2 3 2,0 6 400
Изготовлено
продукции, тыс.
шт.
Затраты
рабочего
времени
на единицу
продукции, ч
Общие затраты
рабочего
времени на весь
объем
продукции, ч
ВЫЧИСЛИТЕ средние затраты времени на единицу продукции
по трем заводам за каждый период. УКАЖИТЕ, какие виды средних
необходимо применить.
Задача 4.30. Выработка деталей класса «А» за смену рабочими трех
цехов завода характеризуется следующими данными:
80