Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Таблица 8.3
Остатки товарно-материальных ценностей торговой базы за I квартал 2023 г.
Дата 1.01. 1.02. 1.03. 1.04.
Млн руб. 12,0 18,0 24,0 8,0
Результат будет искаженным, так как остатки товарно-материальных
ценностей на начало и конец периода были меньше, чем на другие даты.
Определим средние остатки за каждый месяц:
янв.
февр.
y
март
12,0 + 18,0
=
18,0 + 24,0
=
24,0 + 8,0
=
= 15,0
2
2
2
= 21,0
= 16,0
млн руб.;
млн руб.;
млн руб.
y
y
Исходя из средних месячных остатков товарно-материальных ценностей по формуле средней арифметической простой можно определить средние остатки за I квартал:
y
15,0 + 21,0 +16,0
=
I кв.
3
= 17,3
млн руб.
Таким образом, произведено преобразование моментного динамического ряда в интервальный, затем вычислен средний уровень ряда. Однако
эти предварительные расчеты можно не производить, тогда в общем виде
формула средней хронологической для моментного динамического ряда
запишется так:
y
1
+ y2+ y3+ . .. +y
2
y =
n −1
n−1
y
n
+
2
.
(8.2)
Итак, средняя хронологическая для моментного динамического ряда
равна частному от деления полусуммы крайних уровней плюс сумма полных значений промежуточных уровней, деленная на число уровней без
одного. В примере 8.4 получим
yI.=
12,0
+ 18,0 + 24,0+
2
4 −1
8,0
2
= 17,3
млн руб.
Точнее, для моментных динамических рядов речь идет не о среднем
уровне, а о среднем значении функции выравненного динамического ряда.
191
8.3. Абсолютные показатели динамики
К ним относятся:
1) абсолютный прирост;
2) средний абсолютный прирост.
Абсолютный прирост характеризует скорость изменения уровней
динамического ряда. Он показывает, на сколько единиц увеличился или
уменьшился уровень ряда, и может иметь как положительный, так и отрицательный знак. Абсолютный прирост измеряется в тех же единицах, что
и уровни динамического ряда. Он может быть двух видов:
а) цепным;
б) базисным.
В общем виде покажем примеры их расчета. Имеемnравностоящих
во времени уровней динамического ряда:
y1, y2, y3,. . .yn.
Тогда система цепных абсолютных приростов запишется следующим
образом:
δ
= y2−y1;
2/1
δ
= y3−y2;
3/2
(8.3)
δ
n/n−1
δ
4/3
= y4−y3;
.. .
= yn−y
n−1
.
Система базисных абсолютных приростов имеет следующий вид:
δ
= y2−y1;
2/1
δ
= y3−y1;
3/1
δ
4/1
= y4−y1;
(8.4)
.. .
δ
= yn−y1,
n/1
где
y1– начальный уровень динамического ряда, принимаемый за базу для
сравнения.
Средний абсолютный прирост характеризует среднюю скорость из-
менения явления во времени и является обобщающей характеристикой
изменения уровней динамического ряда. Существует несколько способов
расчета этого показателя, приведем три основных.
192
1. Вычисление среднего абсолютного прироста на основании цепных
абсолютных приростов за все рассматриваемые периоды:
δ
+ δ
+ δ
4/3
n −1
+ . .. +δ
n/n−1
,
(8.5)
где
2/1
δ =
n −1
– число цепных абсолютных приростов.
3/2
Данная формула раскрывает статистическую природу среднего абсо-
лютного прироста как средней арифметической простой.
2. Вычисление среднего абсолютного прироста на основании базисно-
го абсолютного прироста всего динамического ряда:
δ
n/1
δ =
n −1
.
(8.6)
Применение этой формулы обусловлено тем, что базисный абсолютный прирост всего динамического ряда равен сумме последовательных
цепных абсолютных приростов:
δ
= δ
+ δ
+ δ
n/1
2/1
3/2
+ . .. +δ
4/3
n/n−1
.
(8.7)
3. Вычисление среднего абсолютного прироста на основе крайних
уровней динамического ряда:
yn−y
n −1
1
,
(8.8)
δ =
так как
δ
= yn−y1.
n/1
(8.9)
Итак, в зависимости от имеющихся данных применяется та или иная
формула среднего абсолютного прироста.
8.4. Относительные показатели динамики
Они характеризуют интенсивность изменения уровней динамического
ряда за определенный промежуток времени и выражаются в виде коэффициентов или процентов. К относительным показателям динамики относятся:
1) темп роста;
2) темп прироста;
3) средний темп роста;
4) средний темп прироста;
5) абсолютное значение 1%-ного прироста;
6) коэффициент (темп) опережения.
193
Темп (коэффициент) роста показывает, во сколько раз увеличился
уровень ряда (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть
базисного уровня составляет уровень текущего периода (если он меньше
единицы) за некоторый период времени.
Если коэффициенты роста выражают в процентах, их называют темпами роста. В дальнейшем эти понятия разграничивать не будем. Имеется
в виду, что
T = K ·100.
(8.10)
Коэффициенты (темпы) роста могут быть: а) цепными; б) базисными.
Приведем эти системы коэффициентов роста:
а) система цепных коэффициентов роста:
y
2/1
2
=
, K
y
1
K
3/2
y
3
=
, K
y
2
4/3
y
4
=
,. . .,K
y
3
n/n−1
y
n
=
;
y
n−1
(8.11)
б) система базисных коэффициентов роста:
2/1
y
=
y
K
Темп прироста (
2
, K
1
T′) характеризует относительную величину прироста
3/1
y
3
=
, K
y
1
4/1
=
y
4
, ..., K
y
1
n/1
y
n
=
.
y
1
(8.12)
и показывает, на сколько процентов увеличился (уменьшился) уровень текущего периода по сравнению с уровнем предшествующего (базисного)
периода.
Так же как и для темпов роста, различают цепные и базисные темпы
прироста:
а) система цепных темпов прироста (%):
δ
T
′
i/i−1
i/i−1
=
·100, (i = 2,n),
y
i−1
(8.13)
или
′
T
i/i−1
= T
i/i−1
−100;
(8.14)
б) система базисных темпов прироста (%):
δ
i/1
′
T
=
i/1
·100, (i = 2,n),
y
1
или
′
T
= T
−100.
i/1
i/1
194
(8.15)
(8.16)
Средний темп (коэффициент) роста является обобщающим показателем интенсивности развития за весь анализируемый период. Он характеризует среднюю относительную скорость изменения уровней динамического
ряда за анализируемый период.
Существует несколько способов расчета среднего темпа (коэффициента) роста. Рассмотрим три способа.
1. Вычисление среднего коэффициента роста на основании цепных
коэффициентов роста за все рассматриваемые периоды:
p
n−1
где
K =
n −1
– число цепных коэффициентов роста.
K
2/1·K3/2·K4/3
· ·K
n/n−1
,
(8.17)
Данная формула раскрывает статистическую природу среднего коэффициента роста как среднюю геометрическую из последовательных цепных коэффициентов роста.
2. Вычисление среднего коэффициента роста на основании базисного
коэффициента роста всего динамического ряда:
p
n−1
K =
K
n/1
.
(8.18)
Применение данной формулы обусловлено тем, что
K
n/1
= K
2/1·K3/2·K4/3
·. .. ·K
n/n−1
.
(8.19)
3. Вычисление среднего коэффициента роста на основании крайних
уровней динамического ряда:
r
y
n
n−1
K =
.
y
1
(8.20)
Формула (8.20) используется в связи с тем, что
y
n/1
n
=
.
y
1
K
На основании формулы (8.10) средний темп роста составит
T = K ·100.
При расчете среднего темпа роста необходимо правильно ответить на
два вопроса:
1) какой степени извлекать корень. Степень
(n −1)
определяется как
разность точки отсчета (номера) конечного уровня динамического
ряда и начального;
2) как извлекать корень степени
n −1
, т. е. 5, 10, 13 и т. д. Для этого
могут быть использованы:
195
(8.21)
а) специальные таблицы для исчисления средних годовых месяч-
ных, квартальных темпов роста и прироста;
б) логарифмирование:
lgK =
1
n −1
lgK
n/1
;
(8.22)
в) программы в микрокалькуляторах и компьютерах.
Средний темп прироста показывает, на сколько долей единицы или
процентов изменялся уровень динамического ряда за весь анализируемый
период. Он вычисляется как разность среднего темпа роста и 100:
T′= T −100.
(8.23)
Абсолютное значение 1%-ного прироста показывает, какой абсолютной величине соответствует изменение уровней ряда на 1% по сравнению
с предыдущим уровнем. Данный показатель вычисляется как отношение
абсолютного прироста за данный период к темпу прироста в процентах
за тот же период:
A
i/i−1
δ
i/i−1
=
′
T
i/i−1
=
yi−y
yi−y
y
i−1
i−1
i−1
·100
y
i−1
=
100
.
(8.24)
6. Коэффициент (темп) опережения используется для сравнитель-
ного анализа изменения во времени как одноименных, так и разноименных явлений, определяется делением темпов роста сравниваемых
показателей, вычисленных за один и тот же период времени:
T
1
=
,
T
2
(8.25)
причем
T1> T2.
K
опер.
Коэффициент опережения характеризует, на сколько процентов один
из показателей больше другого.
Пример 8.3. Производство электроэнергии электростанциями в характеризуется следующими данными (табл. 8.4):
Таблица 8.4
Производство электроэнергии электростанциями
Год 2017 2018 2019 2020 2021
Производство электроэнергии, млрд кВт·ч 30,1 31,1 37,2 38,8 39,0
Для анализа динамики производства электроэнергии ВЫЧИСЛИТЕ:
1) среднее годовое производство электроэнергии за 2017–2021 гг.;
196
2) цепные (ежегодные) абсолютные приросты и темпы роста за 2018–
2021 гг.;
3) базисные абсолютные приросты и темпы роста за 2018–2021 гг.;
4) средний годовой абсолютный прирост за 2018–2021 гг.;
5) средний годовой темп роста за 2018–2021 гг.;
6) средний годовой темп прироста за 2018–2021 гг.
Решение
1. Определим среднее годовое производство электроэнергии за 2017–
2021 гг.:
y =
∑
n
y
, ¯y =
30,1 + 3,11 +37,2 +38,8 +39,0
5
= 35,2
млрд кВт·ч
2. Вычислим цепные (ежегодные) абсолютные приросты и темпы рос-
та производства электроэнергии за 2018–2021 гг.:
а) цепные (ежегодные) абсолютные приросты:
δ
= yi−y
i/i−1
δ1= 31,1 −30,1 = 1
δ2= 37,2 −31,1 = 6,1
, (i = 2, n);
i−1
млрдкВт·ч
млрд кВт·ч и т. д.
;
;
б) цепные (ежегодные) коэффициенты (темпы) роста:
y
=
y
= 1,033
= 1,196
i
, (i = 2, n);
i−1
, или
, или
119,6%
103,3%;
, и т. д.
K2=
K1=
37,2
31,1
K
i/i−1
31,1
30,1
3. Определим базисные абсолютные приросты и базисные коэффици-
енты (темпы) роста за 2018–2021 гг.:
а) базисные абсолютные приросты:
.
δ
δ
2000/1998
δ
= yi−y1, (i = 2, n);
i/1
1999/1998
= 31,1 −30,1 = 1,0
= 37,2 −30,1 = 7,1
млрд кВт·ч;
млрд кВт·ч и т. д.;
197
б) базисные коэффициенты (темпы) роста:
y
i/1
i
=
, (i = 2, n);
y
1
K
K
K
2
баз
31,1
=
1
баз
37,2
=
30,1
30,1
= 1,236
= 1,033
, или
, или
123,6%
103,3%;
, и т. д.
4. Средний годовой абсолютный прирост за 2018–2021 гг.:
а) на основании цепных абсолютных приростов за все рассматривае-
мые периоды:
δ
+ δ
+ δ
2/1
δ =
1 + 6,1 +1,6 +0,2
¯
δ =
5 −1
3/2
4/3
n −1
= 2,23
+ . .. +δ
млрд кВт·ч
n/n−1
;
;
б) на основании базисного абсолютного прироста всего динамического
ряда:
δ
n/1
¯
δ =
8,9
5 −1
δ =
= 2,23
;
n −1
млрд кВт·ч
;
в) на основании крайних уровней динамического ряда:
yn−y
n −1
1
;
δ =
39 −30,1
¯
δ =
5 −1
= 2,23
млрд кВт·ч
.
5. Средний годовой темп роста за 2018–2021 гг.:
а) на основании цепных коэффициентов роста за все рассматриваемые
периоды:
K =
p
n−1
K
2/1·K3/2·K4/3
·. .. ·K
n/n−1
;
б) на основании базисного коэффициента роста всего динамического
ряда:
K =
n−1
p
K
n/1
;¯K =
p
5−1
1,296 = 1,067
, или
106,7%;
198
в) на основании крайних уровней динамического ряда:
K =
n−1
r
y
n
;¯K =
y
1
5−1
s
39,0
30,1
= 1,067
, или
106,7%.
6. Средний годовой темп прироста за 2018–2021 гг.:
¯
T′= 106,7 −100 = 6,7
%
.
8.5. Методы изучения тенденции развития общественных явлений
Закономерность изменения уровней динамического ряда принято называть тенденцией. Изучение тенденции основано на том, что уровни любого
динамического ряда образуются под влиянием двух факторов: 1) систематических; 2) случайных. Например, урожайность зерновых культур конкретного района зависит от детерминированных факторов (внесение удобрений,
мелиорация, улучшение качества обработки почвы и др.) и недетерминированных компонентов (метеорологические условия).
Для выявления общей тенденции динамического ряда как результата
действия систематических факторов необходимо исключить из уровней динамического ряда влияние случайной компоненты.
Часто приходится исследовать такие ряды динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые разные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенденция развития явления неясна. Глазомерная (визуальная) оценка тенденции недостаточна. Для решения задачи по выявлению
основной тенденции используют три метода (способа): 1) метод укрупнения интервалов; 2) метод механического сглаживания (метод скользящей
средней); 3) метод аналитического выравнивания.
Пример 8.4. Средняя урожайность озимой пшеницы сельскохозяйственного предприятия за 2013–2022 гг. характеризуется следующими данными (табл. 8.5.):
Таблица 8.5
Урожайность озимой пшеницы сельскохозяйственного предприятия за 2013–2022 гг.
Год 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
Ц/га 17 18 16 18 20 19 21 22 22 21
1. Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов,
к которым относятся уровни ряда (например, месячные – в квартальные,
квартальные – в годовые, годовые – в трех-, пятилетние и т. д.).
199
Произведем расчет средней урожайности по пятилетиям:
¯y
2013−2017
¯y
2018−2022
17 + 18 +16 +18 +20
=
19 + 21 +22 +22 +21
=
5
5
= 17,8
= 21,0
ц/га
ц/га
;
.
Таким образом, средняя урожайность за последние пять лет повыси-
лась по сравнению с предыдущими пятью годами на 3,2 ц/га, или на 18,0%.
Метод механического сглаживания (метод скользящей средней).
Суть этого метода заключается в том, что фактические уровни динамического ряда заменяются скользящими средними, которые исчисляются для
определенного последовательно скользящего интервала и относятся к середине каждого из них:
¯y
2013−2017
¯y
2014−2018
¯y
2015−2019
¯y
2016−2020
¯y
2017−2021
17 + 18 +16 +18 +20
=
18 + 16 +18 +20 +19
=
16 + 18 +20 +19 +21
=
18 + 20 +19 +21 +22
=
20 + 19 +21 +22 +22
=
5
5
5
5
5
= 17,8
= 18,2
= 18,8
= 20,0
= 20,8
ц/га
ц/га
ц/га
ц/га
ц/га
;
;
;
;
;
¯y
2018−2022
19 + 21 +22 +22 +21
=
5
= 21,0
ц/га
.
Из расчетов на основе пятилетних скользящих средних четко обнару-
жена тенденция роста урожайности за 2013–2022 гг.
Число уровней, для которых исчисляется средняя, получило название
периода сглаживания. Скользящая средняя может исчисляться:
а) для нечетного числа уровней – это обычный метод (3, 5, 7 и т. д. –
скользящая средняя);
б) для четного числа уровней – это метод центрированных скользящих
средних.
Формулы скользящих средних на основе нечетного числа уровней име-
ют вид:
200