Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Г л а в а 6
ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
6.1. Сущность, ошибки и виды выборочного наблюдения
Выборочным наблюдением называется такой вид несплошного наблюдения, который основан на теории вероятности и математической статистике.
Причины
1) экономическая эффективность выборочного наблюдения, так как
сокращаются затраты труда и средств по сравнению со сплошным
наблюдением;
2) необходимость сокращения сроков наблюдения;
3) невозможность применения сплошного наблюдения – возникает
в тех случаях, когда обследование и изучение отдельных единиц
совокупности связано с их уничтожением (проверка качества продукции, например на разрыв, вдавливание, тряску, удар, продолжительность горения электроламп и т. д.).
Основные понятия выборочного наблюдения:
1) генеральная совокупность – это совокупность, подлежащая изучению или наблюдению (N);
2) выборочная совокупность – это совокупность, подвергшаяся непо-
средственному наблюдению. Она выбирается из генеральной совокупности в порядке случайного, типического, серийного и механического отбора (n);
3) генеральная средняя
изучаемой генеральной совокупности;
4) выборочная средняя
совокупности;
5) генеральная доля
данным признаком во всей генеральной совокупности, например
доля брака во всей произведенной продукции (генеральной совокупности);
6) выборочная доля (w) – доля признака в выборочной совокупности.
применения выборочного наблюдения:
( ¯x)
, т. е. это средняя, рассчитанная для всей
( ˜x)
– это средняя, исчисленная для выборочной
(p)
– это доля единиц совокупности, обладающих
111
Средняя (генеральной или выборочной совокупности) и доля (генеральной или выборочной совокупности) являются сводными характеристи-
ками соответственно генеральной или выборочной совокупности.
В статистике принято выборочную долю (w) называть частностью –
это отношение единиц, обладающих данным признаком, в общем объеме
выборочной совокупности.
Ошибки выборочного наблюдения. При проведении любого статистического наблюдения (как сплошного, так и выборочного) могут происходить ошибки при регистрации единиц. Эти ошибки, в свою очередь, делятся на случайные и систематические. Однако только выборочному наблюдению кроме ошибок регистрации присущи ошибки репрезентативности
(представительности)
. Эти ошибки возникают в связи с тем, что состав
выборочной совокупности по изучаемому признаку имеет иную структуру,
чем состав генеральной совокупности.
Ошибки репрезентативности возникают даже при соблюдении всех
правил проведения выборочного наблюдения. Однако при должной организации выборки они могут быть доведены до сколько угодно малых
размеров. Ошибки репрезентативности характеризуют размер отклонения
между выборочными и генеральными сводными (обобщающими) характеристиками:
а) для среднего значения признака
б) для доли признака
w − p
.
|˜x − ¯x|
;
Размер ошибок следует рассматривать как в абсолютном, так и в относительном выражении. Например, процент утайки скота при его переписи
может оказаться одинаковым при сплошном и выборочном наблюдении,
но в первом случае было не учтено 1 000 голов, а во втором случае –
100 голов.
Соотношение ошибок сплошного и выборочного наблюдения:
1) при наличии систематических ошибок сплошное наблюдение дает
менее точный результат. В этом случае выборочное наблюдение
можно использовать в качестве контроля данных сплошного наблю-
дения (например, контрольные обходы при переписи скота);
2) если систематические ошибки не возникают, более точный результат дает сплошное наблюдение. В этом случае выборочное наблюдение может быть использовано с целью экономии затрат труда
и средств при условии, что сможем определить с достаточной точностью ошибку репрезентативности.
Виды выборочного наблюдения. Организация выборочного наблюдения
может быть разнообразна как по схемам, так и по методам проведения.
Различают две схемы проведения выборочного наблюдения:
1) повторную выборку;
2) бесповторную выборку.
112
1. Повторной называется выборка, при которой единицы генеральной
совокупности, отобранные в выборочную совокупность, после их изучения или обследования возвращаются обратно в генеральную совокупность.
При таком способе объем генеральной совокупности не изменяется. При
этом одна и та же единица генеральной совокупности может повторно
попасть под обследование.
Повторная выборка производится по схеме возвращенного шара в урну. Например, имеется урна с белыми и красными шарами, общее количество разноцветных шаров неизвестно. Необходимо с помощью повторной
выборки определить долю белых и красных шаров. Последовательно вытаскиваем 10 шаров. Первый белый – обозначим через 1 данный цвет и опять
опускаем в урну, второй – тоже белый – опять проставим 1 и возвращаем
его, третий – красный шар – обозначим его через 0 и т. д. Допустим, для
десяти шаров получим следующее распределение:
1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0.
Тогда доля белых шаров в выборочной совокупности (
6
w =
10
= 0,6
.
n = 10
) составит:
Можно привести другой пример: необходимо определить средний вес
одной овцы – после взвешивания ее опять выпускают в загон.
2. Бесповторный называется выборка, при которой единицы генеральной совокупности, отобранные в состав выборочной совокупности, обратно
в генеральную после обследования не возвращаются. При этом способе
объем генеральной совокупности сокращается, и в конечном счете он будет
меньше на объем выборки:
(N −n)
. Каждая единица генеральной совокуп-
ности может быть отобрана в выборочную только один раз.
В теории вероятности бесповторная выборка называется выборкой,
проводимой по схеме невозвращенного шара, т. е. в нашем примере после
обследования цвета шар не возвращается в урну.
И повторная, и бесповторная выборка может производиться следующими способами:
1) случайного отбора (случайная выборка);
2) типического отбора;
3) серийного (гнездового) отбора;
4) механического отбора.
1. Случайный отбор единиц в выборочную совокупность характери-
зуется следующим:
а) отбор единиц производится из всей генеральной совокупности в це-
лом;
б) отбор единиц носит случайный характер и производится с исполь-
зованием либо способа жеребьевки, либо таблиц случайных чисел.
113
При использовании жеребьевки все единицы генеральной совокупности нумеруются. Случайный отбор может также осуществляться
по таблице случайных чисел. Она составлена с помощью ЭВМ
на специальном датчике случайных чисел.
2. Типический отбор (типическая выборка) характеризуется следу-
ющим:
а) вся генеральная совокупность делится на типические группы по ка-
кому-либо типическому признаку (например, при нахождении среднего роста студентов их предварительно разбивают по полу на две
группы – юношей и девушек);
б) отбор типических единиц в выборочную совокупность производит-
ся не из всей генеральной совокупности, а из типических групп.
Например, на потоке 2-го курса университета учится 200 студентов,
из них 60 юношей и 140 девушек. Необходимо определить с помощью типической выборки средний рост студентов, причем объем
выборочной совокупности равен 30 человекам, т. е. 15% (
30
200
·100
тогда в выборочную совокупность попадут:
– юноши:
– девушки:
итого:
n = 30
15 ·
15 ·
чел. (
60
100
140
100
9 + 21
= 9
= 21
чел.;
чел.;
);
в) отбор единиц в выборочную совокупность из типических групп
производится с помощью случайной выборки.
3. Серийный (гнездовой) отбор:
а) вся генеральная совокупность предварительно разбивается на гнез-
да, серии или части;
б) отбор единиц в выборочную совокупность производится не отдель-
ными единицами, а целыми сериями;
в) отобранные серии (гнезда) обследуются сплошным наблюдением.
Например, необходимо провести анализ брака продукции. На складе
находится 100 ящиков с деталями, из них берем наугад 10 ящиков и проводим обследование всех деталей в них.
Серийный отбор является наиболее простым в организации, но он
наименее точен по результатам (ящик может быть вообще со всеми бракованными деталями).
Самым точным из всех способов является типическая выборка, но она
наиболее сложна в организации (например, при изучении средней продолжительности телефонных разговоров их необходимо разделить на служебные и личные, однако это сделать трудно). Случайная выборка занимает
промежуточное положение и по точности, и по сложности организации
между серийным и типическим отбором.
),
114
4. Механический отбор (механическая выборка) характеризуется сле-
дующим:
а) отбор производится из всей совокупности в целом, т. е. из генераль-
ной совокупности;
б) отбор единиц производится не в случайном порядке, а с использо-
ванием механических приемов – либо по алфавиту, либо по списку,
либо по определенному интервалу. Например, при изучении брака
мы отбираем в выборочную совокупность каждую пятую, десятую
и т. д. деталь.
Промежуток, через который единицы попадают в выборку, зависит
от принятой пропорции отбора, которая устанавливается делением численности генеральной совокупности на объем выборки. Если эта пропорция оказывается дробной, берется ближайшее целое число. Например, если надо провести 10%-ю механическую выборку студентов потока (всего
200 чел.), составляется список их фамилий по алфавиту и механически
отбирается каждый десятый студент:
1, 11, 21, ..., 191,
или также начать отсчет с любого другого числа, например:
7, 17, 27, ..., 197.
Всего в выборку попадут 20 чел.
Механическая выборка – разновидность случайной выборки, однако
она производится бесповторным отбором.
По точности эти четыре метода располагаются следующим образом:
серийный<механический<случайный<типический.
На практике часто применяют комбинированные способы отбора, которые включают в себя черты разных способов (например, способ, сочетающий серийный и механический отбор).
6.2. Определение средней и предельной ошибки выборки
Средняя ошибка выборкиµпоказывает, насколько в среднем возможные варианты выборочных средних отклоняются от их генеральной средней.
Существуют специальные формулы расчета средней ошибки случай-
ной выборки (приведем 4 формулы).
1. Средняя ошибка выборки для среднего значения признака при по-
вторном отборе
r
2
115
σ
,
n
(6.1)
µx=
где
σ2– дисперсия признака в выборочной совокупности, которая опреде-
ляется по данным выборочного наблюдения по формулам, изложенным в главе «Показатели вариации»,
n
– объем выборочной совокупности.
Итак, средняя ошибка для среднего значения признака при повторном
отборе зависит от степени колеблемости значений признака в выборочной
совокупности и от численности выборки (n).
2. Средняя ошибка для среднего значения признака при бесповорот-
ном отборе
s
2
µx=
n
где
– доля выборки в генеральной совокупности.
N
σ
n
1 −
n
,
N
(6.2)
Сравнительная оценка ошибок для повторного и бесповторного отбора
µб= µп·r1 −
n
.
N
(6.3)
При бесповторном отборе мы получаем более точный результат. Отсюда вытекает следствие: практически при небольшой доле выборки, т. е.
при маломn, лучше пользоваться формулой ошибки для повторного отбора
даже в том случае, когда выборка бесповторная, так как второй сомножи-
тельr1 −
n
не имеет практического значения.
N
Пример 6.1. ВЫЧИСЛИТЕ среднюю ошибку выборки при определении средней продолжительности горения электроламп, если из всей продукции – 10 000 ламп – обследуется 100 ламп, из которых 7 электроламп
оказались бракованными. Выборочная дисперсия продолжительности горения электроламп, по данным прошлых выборочных наблюдений, составляет 14 400.
Решение:
а) ВЫЧИСЛИМ среднюю ошибку выборки для средней продолжи-
тельности горения электроламп при повторном отборе:
r
µx=
r
2
σ
n
14400
=
100
= 12ч.
Допустим, выборочная средняя (˜x) составит 800 ч, тогда может оказаться, что генеральная средняя будет находиться в пределах
x = 800ч±12;
116
б) вычислим среднюю ошибку выборки для бесповторного отбора:
µx=
s
2
σ
1 −
n
s
n
=
N
14400
100
1 −
100
10000
= 11,94ч.
Из данного примера видно, что при незначительной доле выборочной
n
совокупности в объеме генеральной совокупности (
100
=
N
10000
= 0,01
, или
1%) средние ошибки при повторном и бесповторном отборе отличаются
несущественно.
Определение средней ошибки выборки при измерении доли при-
знака в генеральной совокупности. Дисперсия для альтернативного при-
знака в генеральной совокупности равна
σ2= p ·q,
(6.4)
(см. главу «Показатели вариации»). В этой связи в выборочной совокуп-
ности она составит
σ2= w(1 −w),
(6.5)
гдеw– доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выборочной со-
вокупности.
3. Средняя ошибка для доли признака при повторном отборе:
r
µw=
w(1 −w)
n
.
(6.6)
4. Средняя ошибка для доли признака при бесповторном отборе:
µw=
r
w(1 −w)
n
1 −
n
.
N
(6.7)
Пример 6.2. По данным примера 6.1 определим среднюю ошибку
выборки доли бракованных электроламп (
µ
).
w
Решение
1. Доля (удельный вес) бракованных изделий, по данным выбороч-
ного наблюдения, составит
доля (удельный вес) годных электроламп по выборке будет равна
100 −7
=
100
= 0,930
, или 93,0%.
w =
7
100
= 0,070
, или 7,0%. Соответственно
1 −w =
2. ВЫЧИСЛИМ среднюю ошибку выборки для доли бракованных из-
делий при повторном отборе:
µw=
r
w(1 −w)
n
r
0,07(1 −0,07)
=
100
= 0,0255,
или
2,55%.
117
Тогда может оказаться, что доля (удельный вес) бракованных изделий в генеральной совокупности будет находиться в пределах
или
±0,0255,
p = 7,0% ± 2,55
.
p = 0,07 ±
3. ВЫЧИСЛИМ среднюю ошибку выборки для доли бракованных из-
делий при бесповторном отборе:
s
n
N
0,07(1−0,07)
=
100
1−
100
10000
=0,0254,
или
2,54%.
µw=
r
w(1−w)
1 −
n
6.2.1. Определение предельной ошибки выборки или определение ошибки выборки при заданном уровне вероятности
Случайный и механический отбор. На практике пользуются не средней, а предельной ошибкой выборки, т. е. пределами, за которые не выйдет
фактическая ошибка выборки. Предельная ошибка выборки зависит от того, с какой вероятностью должна гарантироваться ошибка выборки.
Теоремы П. Л. Чебышёва и А. М. Ляпунова. В выборочном исследовании пользуются теоремами русских математиков академиков П. Л. Чебышёва и А. М. Ляпунова, сформулированными для случайного отбора.
Теорема П. Л. Чебышёва: с вероятностью как угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки
отклонение выборочной средней от генеральной средней окажется сколь
угодно малой:
P(|˜x −x| ⩽ ε) →1
при
n → ∞,
(6.8)
гдеP– вероятность.
На практике пользуются центральной предельной теоремой А. М. Ля-
1
пунова
где
P[|˜x −x|⩽ tµ] = F (t),
F(t)
– функция нормального распределения, или функция (интеграл)
(6.9)
Лапласа.
Значение этой функции определяется по таблице приложения, выдержка из которой приводится в табл. 6.1.
1
Академик А. М. Ляпунов доказал, что вероятность отклонений выборочной средней
от генеральной средней при достаточно большом числе отобранных единиц подчиняется
закону нормального распределения, функция распределения вероятности имеет вид
+t
w
2
t
2
−
F (t ) =
√
2π
2
e
dt.
0
118
Таблица 6.1
Функции нормального распределения для разных значений аргумента
t
F (t )
1 1,5 2 2,5 3 3,5
0,683 0,886 0,954 0,9545 0,997 0,9995
t
Итак, с увеличением аргумента функции Лапласа (t) растет уровень
вероятности (P), с которой будет гарантирована предельная ошибка отклонений выборочных сводных характеристик (˜xиw) от генеральных (xиp).
Теоремы П. Л. Чебышёва и А. М. Ляпунова относятся к группе теорем
закона больших чисел, которые позволяют решать три задачи выборочного
наблюдения:
1) определение предельной ошибки выборки;
2) нахождение необходимого уровня вероятности при заданной ошибке выборки;
3) расчет необходимой численности выборки.
Предельной называется максимальная ошибка выборки, которую можно гарантировать при заданном уровне вероятности. Она определяется
по формуле
∆ = tµ.
(6.10)
Предельная ошибка выборки равнаt-кратному числу средних ошибок
выборки. Для ее расчета необходимо:
1) определить среднюю ошибку выборки;
2) на основании заданного уровня вероятности (P) по таблице интеграла вероятности
F(t)
(см. приложение) определить коэффициент
кратности средней ошибки выборки (аргумент функции нормального распределенияt);
3) перемножить два полученных показателя.
Приведем 4 формулы расчета предельной ошибки.
1. Предельная ошибка для среднего значения признака при повторном
способе отбора
∆x= t
r
2
σ
.
n
(6.11)
Из формулы (6.11) видно, что предельная ошибка прямо пропорцио-
нальна коэффициенту доверия (t), среднему квадратическому отклонению
(σ) и обратно пропорциональна корню квадратному из численности вы-
борки (
r
1
).
n
2. Предельная ошибка выборки для среднего значения признака при
бесповторном отборе
∆x= t
s
2
σ
n
1 −
n
.
N
(6.12)
119
Пределы генеральной средней представим в общем виде:
˜x −∆x≤ ¯x≤ ˜x + ∆x.
(6.13)
3. Предельная ошибка для доли признака при повторном отборе
r
∆w= t
w(1 −w)
n
.
(6.14)
4. Предельная ошибка для доли признака при бесповторном отборе
∆w= t
r
w(1 −w)
n
1 −
n
.
N
(6.15)
Пределы генеральной доли представим в общем виде:
w −∆w⩽ p ⩽ w + ∆w.
(6.16)
Рассмотренные формулы средней и предельной ошибки выборки для
среднего значения признака и для доли признака применяются при случай-
ном и механическом виде отбора. Представим формулы этих предельных
ошибок выборки в табл. 6.2.
Предельные ошибки выборки при случайном и механическом отборе
Схема отбора Предельная ошибка выборки
Повторный
Бесповторный
для средней для доли
r
2
σ
∆x= t
∆x= t
r
n
1 −
n
N
2
σ
n
∆w= t
r
∆w= t
r
w(1 −w)
w(1 −w)
n
Таблица 6.2
2
n
n
1 −
N
Пример 6.3. Пусть по условию примера 6.1 необходимо определить
предельную ошибку средней продолжительности горения электроламп, которую следует гарантировать с вероятностью, равной:
а)
P = 0,988(t = 2,52
б)
P = 0,997(t = 2,97
);
).
Решение:
а) предельная ошибка выборки с вероятностью, равной 0,988, соста-
вит
∆x= tµx= 2,52 ·12 = 30,24
А. М. Ляпунова запишем:
P[|˜x −x|≤30,24] = 0,988
ч, или на основании теоремы
.
Средняя продолжительность горения электроламп, по данным выборочного обследования, составляет 800 ч (
2
Напомним, что механический отбор производится только по схеме бесповторной вы-
борки.
˜x = 800
).
120