Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Цех Январь Февраль
Средняя
выработка
деталей
за смену одним
рабочим, шт.
1 30 70 33 2343
2 40 80 41 3280
3 35 50 36 1944
Численность
рабочих, чел.
Средняя
выработка
деталей
за смену одним
рабочим, шт.
Произведено
всего деталей
за смену всеми
рабочими, шт.
ВЫЧИСЛИТЕ:
1) среднюю выработку деталей одного рабочего по трем цехам завода:
а) за январь; б) за февраль;
2) индекс производительности труда по каждому цеху и по трем цехам
вместе.
СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 4.31. Численность овец и настриг шерсти по сельскохозяй-
ственному предприятию характеризуются следующими данными:
Порода овец Базисный год Текущий год
Общий настриг
шерсти, кг
Грубошерстные 620 3,5 182 3,6
Полугрубые 354 4,1 105 4,0
Полутонкорунные 186 4,6 56 4,5
Настриг
шерсти с одной
овцы, кг
Численность
овец, голов
Настриг
шерсти с одной
овцы, кг
ОПРЕДЕЛИТЕ средний годовой настриг шерсти с одной овцы за каж-
дый год и СРАВНИТЕ полученные результаты.
ПРИВЕДИТЕ формулы средних и ОБОСНУЙТЕ их применение.
Задача 4.32. Имеются данные о посевной площади и урожайности
по четырем фермерским хозяйствам области за 2021–2022 г.:
Хозяйство
области
1 14 200 15 4000
2 16 500 20 6500
3 20 300 17 6000
4 15 100 16 9000
Урожайность,
ц/га
2021 2022
Посевная
площадь, га
Урожайность,
ц/га
Валовой сбор,
1. ОПРЕДЕЛИТЕ среднюю урожайность по хозяйствам для каждого
года.
2. КАК изменилась средняя урожайность в 2022 г. по сравнению
с 2021 г.?
81
ц
3. ДАЙТЕ обоснование применения формул для исчисления среднего
значения. СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 4.33. По трём предприятиям города имеются следующие дан-
ные:
Предприятие I квартал II квартал
Изготовлено
продукции, тыс.
шт.
1 560 100 700 106
2 750 105 800 103
3 850 98 900 100
Выполнение
задания, %
Задание
по договорам,
тыс. шт.
Ожидаемое
выполнение, %
ОПРЕДЕЛИТЕ по трем промышленным предприятиям города:
1) средний процент выполнения задания в I квартале;
2) средний процент ожидаемого выполнения задания во II квартале;
3) средний процент ожидаемого выполнения задания в I полугодии.
СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 4.34. По трём районам города имеются следующие данные
на начало 2023 г.:
Район города Число отделений
банка, ед.
1 14 2 000 2,5
2 9 1 500 4,5
3 7 1 000 5,5
Среднее число
вкладов в одно
отделение банка, ед.
Средний размер
одного вклада,
тыс. руб.
ОПРЕДЕЛИТЕ в целом по городу:
1) среднее число отделений банка на один район;
2) среднее число вкладов в одно отделение банка;
3) средний размер одного вклада в отделениях банка;
4) среднюю сумму вкладов в одно отделение банка.
ЧТО служит весами в трёx последних средних?
Задача 4.35. Распределение студентов 2-го курса (дневного отделения)
одного из факультетов университета по возрасту характеризуется следующими данными:
Группа студентов по возрасту, лет 18 19 20 21 22 Всего
Численность студентов, чел. 80 28 23 15 4 150
ВЫЧИСЛИТЕ по этим данным:
1) средний возраст студентов;
2) медиану и моду возраста студентов.
82
Задача 4.36. Имеются следующие данные о времени, затрачиваемом
студентами на дорогу в университет:
Время, затрачиваемое на дорогу
в университет, мин
До 15 24
15–30 36
30–45 90
45–60 80
60 и более 20
Итого 250
Численность студентов, чел.
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) среднее время;
2) медиану и моду времени, затрачиваемого студентом на дорогу
в университет.
ЧТО можно сказать о симметричности распределения студентов
по времени, затрачиваемому студентом на дорогу в университет?
Задача 4.37. Распределение рабочих завода тяжелых зуборезных стан-
ков по степени выполнения норм выработки за отчетный месяц характеризуется следующими данными:
Группа рабочих по степени выполнения
норм выработки, %
До 90 42
90–100 152
100–110 250
110–120 100
120 и выше 56
Итого 600
Численность рабочих, чел.
ОПРЕДЕЛИТЕ медиану и моду степени выполнения норм выработки
рабочими завода тяжелых зуборезных станков.
Задача 4.38. Известны следующие данные о распределении населения
по среднедушевому доходу в 2021 г.:
Группа населения по среднедушевому
доходу в месяц, руб.
До 500,0 2,3
500,1–750,0 29,1
750,1–1 000,0 102,0
1 000,1–1 500,0 454,2
1 500,1–2 019,0 586,2
2 019,1–3 000,0 870,0
3 000,1–4 000,0 390,2
4 000,1 и выше 242,4
Итого 2 676,4
Численность населения, тыс. чел.
83
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) средний доход на душу населения в месяц в 2021 г.;
2) медиану и моду среднедушевого дохода населения.
СДЕЛАЙТЕ выводы о распределении населения по уровню средне-
душевого дохода.
Задача 4.39. ОПРЕДЕЛИТЕ медиану и моду стажа занятых предпри-
нимательской деятельностью в фирмах города по данным задачи 4.3.
СРАВНИТЕ вычисленные вами показатели среднего стажа занятых,
медианы и моды стажа занятых предпринимательской деятельностью.
ЧТО можно сказать о симметричности распределения занятых пред-
принимательской деятельностью по среднему стажу?
Задача 4.40. Ниже приводятся данные о числе городов и численности
городского населения региона:
Группа городов
по численности жителей,
тыс. чел.
10–20 78,7 22,5
20–50 13,1 15,8
50–100 4,9 12,7
100–500 2,3 23,7
500 и выше 1,0 25,3
Итого 100,0 100,0
Число городов,
% к итогу
Численность жителей,
% к итогу
ОПРЕДЕЛИТЕ медиану и моду численности жителей городского на-
селения региона.
Г л а в а 5
ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
5.1. Понятие о вариации признаков
При изучении явлений и процессов статистика встречается с разнообразной вариацией признаков, характеризующих отдельные единицы совокупностей. Величины признаков варьируют под воздействием разных причин и условий. Чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного
признака, тем больше его вариация. Вариацией признака называется ко-
леблемость его значений при переходе от одной единицы совокупности
к другой.
Источник вариации, ее причины лежат прежде всего в природе явлений. Всем общественным явлениям присущи внутренние тенденции развития. Каждое явление в любой момент находится на особой стадии, определяемой законом его развития. Помимо внутренних, необходимых причин
на уровень явлений и их вариацию влияют причины внешние, случайные.
Таким образом, вариация вызывается совокупностью взаимодействующих
необходимых и случайных, внутренних и внешних причин. При этом действие разных причин органически переплетено.
Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два ряда распределения, имеющих одинаковую среднюю арифметическую величину, могут значительно отличаться
друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого
признака. В одном ряду индивидуальные значения признака могут мало
отличаться друг от друга, поэтому средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой данной совокупности. Другой ряд
распределения может характеризоваться значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, вследствие чего средняя арифметическая
будет ненадежной характеристикой этой совокупности и не имеет практического значения.
Пример 5.1. Имеются следующие данные о стаже работы рабочих
двух бригад (табл. 5.1):
85
Таблица 5.1
Стаж работы рабочих двух бригад
Бригада Численность
рабочих, чел.
1 4 8 9 11 12
2 4 4 8 12 16
Стаж работы отдельных рабочих, лет
Средняя арифметическая в обоих случаях будет одинаковой, хотя
в первой бригаде средняя значительно меньше отличается от индивидуальных значений признака, чем во второй:
x
x1=
∑
=
n
8 + 9 +11 +12
4
= 10
лет
; x2=
x
∑
=
n
4 + 8 +12 +16
4
= 10
лет
Следовательно, с помощью средней величины нельзя охарактеризовать
колеблемость признака. Для этого необходимы специальные показатели, которые называются показателями вариации. Они могут быть абсолютными
и относительными.
К абсолютным показателям вариации относятся вариационный раз-
мах, среднее линейное (абсолютное) отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Эти показатели характеризуют абсолютную колеблемость (вариацию) признаков и выражаются в тех же единицах измерения,
что и изучаемый признак (у дисперсии единицы измерения не записываются).
К относительным показателям вариации относятся коэффициенты осцилляции, колеблемости и вариации. Эти показатели характеризуют относительную колеблемость (вариацию) признаков и выражаются чаще в процентах.
Значение показателей вариации заключается в следующем: 1) показатели вариации дополняют средние величины, за которыми скрываются
индивидуальные различия; 2) показатели вариации характеризуют степень
однородности статистической совокупности по данному признаку; 3) показатели вариации характеризуют границы вариации признака.
.
5.2. Показатели вариации и способы их расчета
5.2.1. Абсолютные показатели вариации
Вариационный размах (R), или размах вариации, – это разность
между максимальным и минимальным значением варьирующего признака
в изучаемой совокупности:
R = x
max−xmin
86
.
(5.1)
Вариационный размах характеризует пределы изменения варьирующего признака. Его величина зависит только от двух крайних значений признака, в то время как колеблемость в целом складывается из всех его значений.
Очень низкое и очень высокое значения признака могут быть обусловлены
случайными обстоятельствами (т. е. эти значения являются аномальными
в совокупности). В этих случаях вариационный размах дает искаженную
амплитуду колебания признака в сравнении с нормальными ее размерами.
Поэтому прежде чем определить величину вариационного размаха, следует «очистить» совокупность от аномальных наблюдений. В приведенном
выше примере (см. табл. 5.1) размах вариации равен в первой бригаде
12 −8 = 4
года, во второй
16 −4 = 12
лет.
Среднее линейное (абсолютное) отклонение
(d)
представляет собой
среднюю арифметическую из абсолютных отклонений конкретных вариант от их средней арифметической. При исчислении среднего линейного
отклонения принимаются во внимание только абсолютные значения отклонений (без учета знаков «+» или «−»), так как алгебраическая сумма
отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю,
т. е.
(x −x)m = 0
∑
(одно из свойств средней арифметической). Различают
простое и взвешенное среднее линейное отклонение. Простое отклонение
используют для несгруппированных данных, а взвешенное – для сгруппированных:
|
|
x −x
∑
d =
d =
∑
|
x −x|m
∑
– простое отклонение
n
– взвешенное отклонение
m
;
.
(5.2)
(5.3)
Символыx,x,n,mимеют те же значения, что и в предыдущей главе.
Отклонения берутся по модулю, на что указывают прямые скобки в числителе формул.
Рассмотрим вычисление среднего линейного отклонения по данным
табл. 5.1, результаты расчетов представим в табл. 5.2.
Среднее линейное отклонение:
|
|
d =
∑
x −x
n
; d1=
6
4
= 1,5
года
; d2=
16
4
= 4,0
года
.
Как видно из расчетов, среднее линейное отклонение стажа рабочих
во второй бригаде почти в 2,7 раза больше, чем в первой. Среднее линейное отклонение используется в настоящее время редко из-за трудностей
в применении математических методов анализа вариации, которые возникают в результате абстрагирования от знака отклонения. Поэтому в статистике для характеристики колеблемости признака чаще всего пользуются
дисперсией и средним квадратическим отклонением.
87
Таблица 5.2
К расчету показателей вариации стажа работы рабочих двух бригад
Номер
рабо-
Итого 40 40 – – 6 16 10 80
Стаж работы, лет Отклонение
чего
Бригада1Бригада2Бригада1Бригада2Бригада1Бригада2Бригада1Бригада
1 8 4
2 9 8
3 11 12
4 12 16
индивидуальных
значений
признака
от средней
−
−
+
+
(x −x)
2
−
1
−
1
+
2
+
Абсолютные
индивидуальные
отклонения
от средней|x −x
6 2 6 4 36
2 1 2 1 4
2 1 2 1 4
6 2 6 4 36
Квадраты
отклонений
индивидуальных
|
значений
от средней
(x −x)
2
2
Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений
признака от средней арифметической. Дисперсия обозначается греческой
буквойσ(сигма) в квадрате и вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсии (в зависимости от исходных данных):
2
(x −x)
∑
σ2=
σ2=
(x −x)2m
∑
∑
m
– простая дисперсия
n
– взвешенная дисперсия
;
.
(5.4)
(5.5)
Дисперсия является фундаментальным показателем вариации. Однако
ее применение в ряде случаев бывает не совсем удобным, так как размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. Поэтому в таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее
квадратическое отклонение.
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному
из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака
от их средней, т. е. из дисперсии:
σ =
r
∑
(x −x)
n
2
– простое отклонение
;
(5.6)
s
(x −x)2m
∑
σ =
∑
– взвешенное отклонение
m
.
(5.7)
Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько единиц
в среднем отклоняются варианты от их средней арифметической.
88
Рассмотрим вычисление дисперсии и среднего квадратического отклонения по данным о стаже рабочих в двух бригадах, для чего воспользуемся
расчетами, приведенными в табл. 5.2.
Дисперсия:
σ2=
∑
Среднее квадратическое отклонение:
σ=
r
(x −x)
∑
2
n
r
; σ1=
2
(x −x)
10
4
;
n
=p2,5=1,58
10
2
σ
=
1
= 2,5; σ
4
80
2
=
2
= 20,0.
4
r
лет
; σ2=
80
=p20,0=4,47
4
года
Исчисленные показатели наглядно показывают разную колеблемость
стажа отдельных рабочих в разных бригадах. В этой связи дисперсия
и среднее квадратическое отклонение являются наиболее распространенными на практике при изучении колеблемости.
Сопоставление средних линейных и средних квадратических отклонений по нескольким совокупностям дает возможность определить степень
их однородности в отношении того или иного признака. Чем меньше вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение, тем совокупность более однородна, тем более
типичной будет средняя величина.
5.2.2. Относительные показатели вариации
Абсолютные показатели вариации не всегда бывают достаточными для
характеристики колеблемости признака, так как характеризуют абсолютный размер отклонений. При сравнении колеблемости разных признаков
в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного
и того же признака в нескольких совокупностях пользуются относительными показателями вариации. Эти показатели вычисляются как отношение
абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или к медианеMe), чаще всего они выражаются в процентах. Различают следующие
относительные показатели вариации:
Коэффициент осцилляции (
KR=
KR):
R
x
·100%.
(5.8)
Коэффициент колеблемости (w):
.
d
w =
·100%, w =
x
Коэффициент вариации (v):
σ
v =
·100%, v =
x
89
d
Me
σ
Me
·100%.
·100%.
(5.9)
(5.10)
Пример 5.2. Рассчитаем относительные показатели вариации на основании средней арифметической по данным табл. 5.2. Результаты расчетов
представим в табл. 5.3.
Таблица 5.3
К расчету относительных показателей вариации стажа рабочих двух бригад
Бригада Средний
стаж
работы,
лет
1 10 4 1,5 1,58 40,0 15,0 15,8
2 10 12 4,0 4,47 120,0 40,0 44,7
Абсолютные показатели
вариации, лет
вариаци-
онный
размах
среднее
линейное
откло-
нение
среднее
квадратиче-
ское
отклонение
Относительные показатели
вариации, %
коэффи-
циент
осцил-
ляции
коэффи-
циент
колебле-
мости
вариации
коэффи-
циент
Наиболее распространенным относительным показателем колеблемости является коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки, но и как характеристику однородности совокупности.
Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу
и тем менее представительна средняя. Совокупность считается однородной,
если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Основываясь на коэффициенте вариации (табл. 5.3),
можно сделать вывод, что по стажу работы совокупность рабочих первой
бригады является однородной.
Чаще производят расчеты показателей вариации для интервального
вариационного ряда.
Пример 5.3. Вычислим показатели вариации для интервального вариационного ряда по данным табл. 5.4.
Средняя арифметическая взвешенная:
xm
x =
∑
∑
990000
=
m
200
= 4 950
Вариационный размах (размах вариации):
R = x
max−xmin
= 6 000−3600 = 2 400
Среднее линейное (абсолютное) отклонение:
|
d =
x −x|m
∑
∑
m
108000
=
200
= 540
Дисперсия:
σ2=
∑
(x −
∑
x)2m
m
85500 000
=
200
= 427 500.
90
руб.
руб.
руб.