Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

М. Г. Ахмадиев, Т. Х. Каримов, И. И. Хамдеев

ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Учебное пособие

Казань Издательство КНИТУ

2017

1

УДК 519.21(075)

ББК 22.171я7

А95

Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

зав. каф. прикладной математики КГАСУ д-р техн. наук, проф. Ф. Г. Ахмадиев д-р физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики КГАСУ С. Н. Тимергалиев

Ахмадиев М. Г.

А95 Практикум по теории вероятностей. Случайные события : учебное пособие / М. Г. Ахмадиев, Т. Х. Каримов, И. И. Хамдеев; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2017. – 88 с.

ISBN 978-5-7882-2238-7

Приведены основные понятия и формулы теории вероятностей. Рассмотрено большое количество примеров, приведены задачи для самостоятельного решения и варианты контрольных работ.

Предназначено для студентов, изучающих курс высшей математики, а также преподавателей, ведущих практические занятия по курсу высшей м а- тематики.

Подготовлено на кафедре высшей математики.

УДК 519.21(075)

ББК 22.171я7

ISBN 978-5-7882-2238-7 © Ахмадиев М. Г., Каримов Т. Х.,

Хамдеев И. И., 2017

©Казанский национальный исследовательский

технологический университет, 2017

2

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. В природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно не были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему – модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. Предметом теории вероятностей являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Методы теории вероятностей приспособлены для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным. Чем больше количество однородных случайных явлений участвуют в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.

Теория вероятностей возникла в результате изучения и математического обоснования азартных игр. Схемы азартных игр дают исключительные по простоте и прозрачности модели случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы, а возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условиях действительной массовости явлений.

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями в области азартных игр. В XV – XVII веках французские математики

3

Блез Паскаль и Пьер Ферма, итальянский математик Джироламо Кардано, нидерландский математик Христиан Гюйгенс начали разрабатывать математическую модель, описывающую вероятность исходов в играх, зависящих от случая, по заказу известных игроков в азартные игры. В первых их работах зарождались основные понятия теории вероятностей и попытки создания теории азартных игр. Дальнейший этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли. Изучая накопленные ранее факты, он получил теоретическое обоснование закона больших чисел, затем английского математика Абрахама Муавра, французских математиков Пьера Симона Лапласа и Дени Пуассона, немецкого математика Карла Фридриха Гаусса и др.

Наиболее плодотворный период развития теории вероятностей связан с именами П. Л. Чебышева и его учеников – А. А. Маркова и А. М. Ляпунова, представителя Петербургской математической школы В. Я. Буняховского – автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей. В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Следующий толчок в развитии этой области науки сделали советские математики С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.

Теория вероятностей находит обширное применение в современной электротехнике и радиотехнике, метеорологии и астрономии, теории автоматического регулирования и машинной математике, в различных областях военной науки: теория стрельбы и бомбометания, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация. Целые разделы областей современной науки базируются на математическом аппарате и методах теории вероятностей. Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из логически точных и строгих разделов математики.

1. Основные понятия и определения

Под событием понимается любой факт, интересующий исследователя. Например, появление или исчезновение определенного сигна-

4

ла светофора перед водителем автомобиля, рождение ребенка, начало или окончание мировой войны – все это события, независимо от их масштабности. О событии говорят, что оно происходит или не происходит, появляется или нет. Например, никогда невозможно точно предсказать, какова будет прибыль предприятия, какой урожай соберут фермеры и т. д. В обоих случаях присутствует неопределенность и результат можно предсказать при определенных обстоятельствах или условиях. Событием называют результат испытания (опыта, явления), произведенного при определенной совокупности условий. События можно разделить на три вида: достоверные, невозможные, случайные. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет. Например, выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости; после ночи обязательно наступит утро. Невозможным называют событие, которое в результате данного испытания заведомо не произойдет. Например, при бросании игральной кости невозможно, чтобы не выпало никакого числа очков; после зимы сразу не наступит лето. Событие называют случайным, если в результате данного испытания оно может как произойти так и не произойти. Например, при бросании монета может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому при бросании монеты выпадение «герба» - событие случайное. Каждое случайное событие является следствием очень многих случайных причин, и учесть их влияние на результат невозможно, так как число этих причин бывает велико и законы их действия неизвестны. Дело обстоит по-другому, если рассматриваются случайные события, которые многократно наблюдаются при одних и тех же условиях, т.е. речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям. Итак, теория вероятностей – это математическая дисциплина, изучающая закономерности массовых случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, наперед нельзя определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз при одних и тех же условиях.

Случайные события разделяются на: a) несовместные или сов-

5

местные, б) единственно возможные, в) равновозможные. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление любого другого в одном и том же испытании. События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Например, если стрелок произвел выстрел по цели, то произойдет одно из событий: попадание или промах - несовместные события. События называются единственно возможными, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием. События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое, т.е. имеют одинаковые шансы наступления. Например, при одном подбрасывании игральной кости появление одного из очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 - равновозможные события. При одном бросании монеты появление герба и появление надписи – события несовместные, единственно возможные и равновозможные.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления или не появления другого. Например, пусть монета брошена два раза. Событие А – появление герба при первом испытании, событие В – появление герба при втором испытании. Вероятность появления герба при первом испытании не зависит от появления или не появления герба при втором испытании. Также вероятность выпадения герба при втором испытании не зависит от результата первого испытания. Поэтому события А и В

– независимые. События А1, А2, …, Аn называются независимыми в их совокупности, если на вероятность осуществления любого из них не влияет факт осуществления произвольной комбинации остальных.

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или не наступления другого.

2. Действия над событиями

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример. Из орудия произведены два выстрела. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле. Тогда А+В – новое событие, заключающееся в том, что произошло попадание при первом выстреле, или при втором выстреле,

6

или при обоих выстрелах.

Замечание. Если А и В – несовместные события, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Сумму двух событий на рисунке можно изобразить следующим образом:

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Суммой n событий А1, А2, …, Аn называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением А·В событий А и В называют событие, состоящее в совместном появлении обоих событий.

Пример. Если событие А – деталь годная, событие В – деталь окрашенная, то событие А·В – деталь годная и окрашенная.

Произведение двух событий А и В на рисунке можно изобразить следующим образом:

Рис. 4.

Произведением n событий А1, А2, …, Аn называют событие, со-

стоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример. Пусть событие А1 – сдан первый экзамен, событие А2 – сдан второй экзамен, событие А3 – сдан третий экзамен. Тогда событие А1·А2·А3 означает, что сданы все три экзамена.

Два несовместных и единственно возможных события называются противоположными. Событие, противоположное событию А,

обозначается через A .

Пример. Событие А – попадание в цель и событие A – промах являются противоположными событиями.

На рисунке противоположные события можно изобразить сле-

7

дующим образом:

Рис. 5.

Используя приведенные выше определения, построим таблицы операций над событиями. Если рассматриваемое событие произошло, то будем ставить ему в соответствие цифру 1, а если не произошло – цифру 0. Тогда получим следующие таблицы, соответствующие операциям сложения и умножения событий и для противоположных событий:

Примеры

Пример 1. По мишени производится три выстрела. Обозначим

через Ак и Ak - попадание и промах при к-том выстреле (к=1, 2, 3). Записать события: 1) А – все три попадания; 2) В – все три промаха; 3) C – хотя бы одно попадание; 4) D – хотя бы один промах; 5) E – не менее двух попаданий.

Решение. 1) Событие А (все три попадания) – это событие, состоящее из трех попаданий – попадание при первом выстреле А1, попадание при втором выстреле А2 и попадание при третьем выстреле А3. Поэтому событие А запишется в виде произведения событий А1,

А2 и А3: А = А1 ·А2 ·А3.

2) Событие В (все три промаха) - это событие, состоящее из трех промахов - промах при первом выстреле A1 , промах при втором

выстреле A2 и промах при третьем выстреле A3 . Поэтому событие В запишется в виде произведения событий:

8

B= A1 · A2 · A3 ;

3)Событие С (хотя бы одно попадание) в силу определения

суммы событий А1, А2 и А3 можно записать в виде С = А1 + +А2 + А3. Событие С – хотя бы одно попадание – означает, что произошло

одно, два или три попадания, т.е. это событие, состоящее в появлении

или А1, или А2, или А3; или А1А2, или А1А3, или А2А3; или А1, А2 А3. Поэтому С можно записать как сумму событий: одно попадание и два

промаха, два попадания и один промах, все три попадания, т.е. в виде

С= A1 A2 A3 + + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

+A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + +А1 ·А2 ·А3.

4)Первый способ. Событие D (хотя бы один промах) – записываем как сумму событий

D = A1 + A2 + A3 .

Второй способ. Событие D – хотя бы один промах – это событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A1 , илиA2 ,

илиA3 ; или A1 A2 , илиA1 A3 , илиA2 A3 ; илиA1 A2 A3 . Поэтому событие D можно записать как сумму событий, т.е. в виде:

D= A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 +

+A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

5)Событие Е (не менее двух попаданий) – это событие, состоящее из двух попаданий или из трех попаданий. Поэтому событие Е можно записать в виде:

E = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + А1 ·А2 ·А3.

Пример 2. Событие А означает, что хотя бы одна пуля при четырех выстрелах попала в цель. Что означает событие A ?

Решение. Событие A означает, что ни одна пуля из четырех не попала в цель

9

Пример 3. Известно, что события А и В произошли, а событие С не произошло. Определить, произошло или не произошло событие

(А + B )·(В + C ).

Решение. Используя таблицу операций над событиями, получим

где 1 означает, что событие произошло, а 0 – не произошло. Значит,

событие (А + B )· (В + C ) произошло.

Пример 4. Назовите противоположные события для следующих событий: 1) А – выпадение двух гербов при бросании двух монет; 2) В – появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой находятся белые, черные и красные шары; 3) С – три попадания при трех выстрелах; 4) D – хотя бы одно попадание при пяти выстрелах; 5) Е – выигрыш первого игрока при игре в шахматы.

Решение. 1) Событие A – выпадение хотя бы одной цифры; 2) B – появление черного или красного шара; 3) C – хотя бы один

промах; 4) D – все пять промахов; 5) E – выигрыш второго игрока или ничья.

Пример 5. Из 25 студентов группы 20 человек увлекаются спортом (событие А), 9 – увлекаются музыкой (событие В), 6 – музыкой и

спортом (событие А·В). Что означают события A· B , A ·B, A +B? Решение. По условию задачи построим рисунок

Рис. 6.

Овалы означают события А и В, пересечение овалов - событие АВ. Пересечению овалов соответствует число студентов, увлекаю-

щихся музыкой и спортом, т.е. 6 человек. События A· B и A ·B означают соответственно, что 14 студентов увлекаются только спортом, а

10