Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

Пример 10. На книжной полке случайным образом расставлены 10 книг. Найти вероятность того, что 3 определенные книги окажутся рядом.

Решение. Общее число возможных исходов n = 10!. Определим число исходов, благоприятствующих событию А – 3 определенные книги оказались рядом. Переставляются 7 книг m1=7! способами. Далее 3 определенные книги переставляются между собой m2=3! способами. Затем эти 3 определенные книги, как единое целое, располагаются 8-ю способами между 7-ю книгами. Тогда по правилу произведения число благоприятствующих исходов равно m = m1·m2·8= 7!·3!·8 и искомая вероятность

Р(А) = mn = 7!103!!8 = 151 .

Пример 11. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекаются 3 карты. Найти вероятность того, что этими картами окажутся шестерка, десятка и туз.

Решение. Число всевозможных исходов равно n = С336 , а число

благоприятных исходов m = С14 · С14 · С14 по правилу произведения. Тогда искомая вероятность

Пример 12. Из 35 экзаменационных билетов, пронумерованных числами от 1 до 35, наудачу извлекается один билет. Какова вероятность того, что номер извлеченного билета делится на 3?

Решение. Число возможных исходов n=35. Число благоприятных исходов m=11, их легко перечислить – 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Следовательно, искомая вероятность равна

Р(А) = mn = 1135 .

31

Замечание. При решении задач с помощью классического определения вероятности, нужно обратить внимание на то, чтобы все рассматриваемые элементарные исходы были попарно несовместны, равновозможны и образовывали бы полную группу событий.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Участники жеребьевки вытягивают из урны жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

Ответ. Р(А) = 10081 .

Задача 2. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: А, Т, М, Р, С, О. Карточки перемешивают и четыре из них не глядя выкладывают в ряд. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТРОС».

Задача 3. Восемь различных книг расставлены на книжной полке. Найти вероятность того, что 2 определенные книги окажутся рядом.

Ответ. Р(А) = 6!2!7 = 1 .

8! 4

Задача 4. Библиотечка состоит из десяти различных книг, 5 из которых стоят по 4 рубля каждая, три – по одному рублю и две книги по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят в сумме 5 рублей.

Задача 5. Десятерых приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещают в гостинице в двух трехместных и одном четырехместном номерах. 1) Сколько способов их расселения существует? 2) Какова вероятность того, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?

Ответ. 1) n=4200; 2) P(A)= 152 .

32

Задача 6. На столе экзаменатора 20 билетов. Найти вероятность того, что: а) экзаменующийся вытянет билет с однозначным номером; б) экзаменующийся вытянет билет с двузначным номером.

Ответ. а) 209 ; б) 1120 .

Задача 7. В учебной группе 25 студентов. Из них 8 человек учатся на отлично, 10 – на хорошо, 5 – на удовлетворительно и 2 – на неудовлетворительно. Для проверки знаний из группы выбрали трех студентов. Какова вероятность того, что эти студенты: а) отличники; б) учатся на хорошо; в) один из выбранных учится на удовлетворительно и двое учатся неудовлетворительно.

Ответ. а) 292556 ; б) 1958 ; в) 5858 .

Задача 8. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «АНАНАС». Ребенок, не знающий букв, перемешал их и сложил в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «АНАНАС».

Задача 9. Какова вероятность того, что число на выбранном наугад листке нового отрывного календаря: а) кратно 5; б) равно 29.

Ответ. Если год не високосный, то: а) Р = 36571 ; б) Р = 36511 . Задача 10. В группе 6 юношей и 18 девушек. По жребию разыг-

рывается один билет в театр. Какова вероятность того, что он достанется девушке?

Ответ. Р = 34

Задача 11. В урне 10 шаров – 6 белых и 4 черных. Из нее извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба шара – белые?

Задача 12. В урне 20 шаров с номерами от1 до 20. Какова вероятность извлечь шар с номером 37?

Ответ. Р = 0.

33

Задача 13. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

Ответ. Р = 14 .

Задача 14. В первом ящике находятся шары с номерами от1 до 5, а во втором с номерами от 6 до 10. Из них извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что сумма их номеров: 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11.

Ответ. 1) Р = 1; 2) Р = 15 ; 3) Р = 53 .

Задача 15. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 билетов – выигрышные и 500 – без выигрышей. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

Ответ. Р(А)= 1998499 .

Задача 16. Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки?

Ответ. Р = 0,8.

Задача 17. На 15 карточках написаны целые числа от 1 до 15. Извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на этих карточках, равна десяти?

Ответ. Р ≈ 0, 0381.

Задача 18. В коробке 4 красных и 6 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что два из них окажутся красными?

Ответ. Р = 0,3.

Задача 19. Из 60 вопросов, включенных в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что из предложенных ему трех вопросов, он знает два?

Ответ. Р ≈ 0, 0358.

Задача 20. В одном ящике имеется 12 однотипных деталей, 4 из которых нестандартные. В другом 15 деталей, 3 из которых нестандартные. Из каждого ящика наудачу извлекаются по 2 детали. Найти вероятность того, что из первого ящика извлечены 2 нестандартных, а из второго ящика – 2 стандартных детали.

Ответ. Р = 352

34

6. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме того, часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Бывает трудно утверждать, что эти события равновозможные. Например, при бросании игральной кости предполагают, что она правильная и изготовлена из однородного материала. На практике не всегда можно исходить из соображений симметрии. При бросании неправильной игральной кости, например. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности вводится статистическое определение вероятности, впервые сформулированное немецким математиком Рихардом фон Мизесом.

Допустим, что в серии из n фактически проведенных испытаний событие А произошло m раз (например 52 появления герба при 100

той появления события А и обозначается через Р*(А). Доказано и опытным путем подтверждено, что при возрастании n значение относительной частоты Р*(А) стабилизируется и приближается к некоторому числу Р(А).

Пример 1. Было проведено 10 серий бросаний монеты по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказа-

лись равными 0,501, 0,485, 0,503, 0,536, 0,485, 0,488, 0,500, 0,497,

0,494, 0,484. Как видно, эти частоты группируются около числа 0,5.

Статистической вероятностью события А в данном испыта-

нии называют число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты Р*(А) при неограниченном увеличении числа испытаний n.

Пример 2. Многократно проводились опыты бросаний монеты, в которых подсчитывали число появлений герба. Результаты опытов приведены в таблице:

35

Как видно, относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. Принимая во внимание то, что вероятность появления герба при бросании монеты равна 0,5, мы убеждаемся, что относительная частота колеблется около значения вероятности.

Таким образом, из вышеизложенного следует, что

Р*(А) →Р(А) при n →∞.

Это обстоятельство на практике используется для определения статистической вероятности, когда за вероятность события в одном испытании принимается относительная частота появлении события А в серии достаточно большого количества фактически проведенных испытаний.

Пример 3. При 20 выстрелах было зафиксировано 15 поражений цели. За вероятность поражения цели при одном выстреле можно принять

Р*(А) = 1520 = 34 .

Таким образом, отличие относительной частоты Р*(А) от вероятности Р(А) состоит в том, что относительная частота определяется после опыта по результатам серии фактически проведенных испытаний, а вероятность определяется до проведения опыта, не зависит от числа испытаний и является объективной характеристикой данного события.

Пример 4. Из 500 протестированных ламп 415 проработали более 1000 часов. На основе данного эксперимента можно заключить, что вероятность нормального функционирования более 1000 часов для ламп данного типа составляет

500415 =0,83.

Из этого примера видно, что если бы была протестирована только одна лампа, то вероятность составила бы 0 или 1. Отсюда следует необходимость повторения эксперимента для более точного прогноза. Чем больше число повторения экспериментов, тем точнее прогноз.

Пример 5. Чтобы узнать какова для данного станка вероятность изготовить годную деталь, поступают следующим образом: проверя-

36

ют одну или несколько партий деталей, изготовленных станком; подсчитывают число годных деталей; вычисляют относительную частоту и вероятность принимают равной этой частоте. Пусть при проверке партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда статистическая вероятность наудачу выбранной детали быть годной будет равна

Р = 190200 = 0,95.

Вероятность найдена приближенно, т. к. 0,95 – это относительная частота.

Свойства классической вероятности сохраняются для статистической вероятности:

Если событие достоверное, то m=n и относительная частота равна 1. Следовательно, статистическая вероятность достоверного события равна 1.

Если событие невозможно, то m=0. Следовательно, относительная частота равно 0. Значит, статистическая вероятность невозможного события равна 0.

Для любого испытания m – число появлений события А удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ m ≤ n, где n – общее число ис-

пытаний. Значит, относительная частота Р*(А) равна mn и удовлетво-

ряет двойному неравенству 0 ≤ Р*(А) ≤ 1. Следовательно, статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события требуются:

а) возможность проведения неограниченного числа испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого количества испытаний.

37

7. Геометрическая вероятность

Недостатком классического определения вероятности является то, что оно основано на рассмотрении конечной группы равновероятных событий и его нельзя применить к испытаниям с бесконечным числом исходов. Еще в XVIII веке с развитием теории артиллерийской стрельбы на основе классической вероятности было введено опреде-

ление геометрической вероятности. Пусть G – размер цели, а Ω–

площадь рассеивания снарядов при стрельбе. Тогда отношение G

Ω

может служить мерой вероятности поражения цели.

Ясно, что кроме площадей, можно использовать отношение линейных и объемных мер. В геометрическом определении вероятности отношению чисел (как в классическом определении вероятности) ставится в соответствие отношение мер геометрических объектов.

Пусть G – часть области Ω. Обозначим меру (длина, площадь или объем) областей G и Ω через mesG и mes Ω соответственно. В

область Ω наудачу брошена точка. Пусть событие А – попадание этой точки в область G. При этом предполагается, что вероятность

попадания точки в некоторую подобласть области Ω пропорциональна площади этой подобласти и не зависит ни от ее расположения

относительноΩ, ни от ее формы. При этих предположениях вероятность попадания брошенной наудачу точки в область G определяется отношением

Р(А) = mesmesGΩ .

Вероятность, определенная как отношение мер геометрических объектов, называется геометрической вероятностью.

Здесь ситуация напоминает классическое определение вероятности, поскольку, как и в классическом определении вероятности, важна равновозможность всех исходов (предполагается, что положе-

ние точки равномерно распределено по области Ω). Но исходов эксперимента бесконечное множество, поэтому приходится считать не их количество, а занимаемую ими длину отрезка, или площади, или объема.

38

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу брошена точка. Пусть выполнены следующие предположения: брошенная точка может оказаться в любой части отрезка L, вероятность попадания в эту часть пропорциональна ее длине и не зависит от расположения этой части относительно L. При этих предположениях вероятность попадания точки в отрезок l определяется отношением:

Р = длинадлинаLl .

Примеры

Пример 1. На участке между 50 и 80 километрами телефонной линии произошел разрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв провода произошел между 60 и 65 километрами линии?

Решение. Мерой области (телефонной линии) служит длина. Пусть область Ω - участок между 50 и 80 километрами. Мера этой

области равна 30 км., т.е. mes Ω=30. Область G - пятикилометровый участок. Поэтому вероятность попадания разрыва на участок G длиной mesG=5 определяется отношением:

Р(А) = mesmesGΩ = 305 = 16 ,

где событие А – попадание разрыва в участок пятикилометровой длины.

Пример 2. Известно, что телефонный звонок должен произойти от 11 часов до 11 часов 30 минут. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 минут этого промежутка времени, если момент звонка случаен?

Решение. Промежуток времени от 11 часов до 11 часов 30 минут представим в виде отрезка длиной 30 единиц, а промежуток времени от 11 часов 20 минут до 11 часов 30 минут в виде отрезка длиной 10 единиц. Тогда искомая вероятность определяется равенством:

Р = 1030 = 13 .

39

Пример 3. Имеется кольцо, образованное из двух концентрических окружностей радиусами 5 и 10 единиц. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное заданными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

Решение. Площадь большого круга mes Ω=π 102=100π . Площадь кольца mesG = π ·(102 – 52) = 75π . Искомая вероятность

Р = 10075ππ = 0,75.

Пример 4. Двое договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течении 30 минут, но не позднее 13 часов, и уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится, если каждый из них случайным образом выбирает время своего прихода на место встречи в промежутке от 12 до 13 часов?

Решение. Обозначим момент прихода первого из них через x , второго через y. Для простоты примем, что встреча должна состояться между 0 и 1 часами. Пару чисел (x,y) рассмотрим как прямоугольные координаты точки, брошенной в квадрат {0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1}, площадь

которого (mes Ω) равна 1. Для того, чтобы встреча состоялась, необходимо, чтобы x − y ≤ 12 , или, что то же самое x—0,5 ≤ y ≤ x+0,5.

Благоприятствующие встрече исходы расположены в заштрихованной части квадрата, а именно, в области между параллельными прямыми:

x-y = 0,5 и x-y = - 0,5.

40