Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

Решение. Пусть событие А – работник имеет высшее образование, событие В – работник имеет среднее специальное образование. Тогда событие А·В – работник имеет и высшее и среднее специальное образование. Вероятности этих событий равны:

P(A) = 190500 = 0,38; P(B) = 180500 = 0,36; P(A·B) = 500230 = 0,46.

Следовательно, искомая вероятность равна

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A·B) = 0,38 +0,36 – 0,46 = 0,28.

Пример 3. В каждой серии лотерейных билетов имеется по 100 билетов. Крупные выигрыши по условиям лотереи падают лишь на один номер лотерейного билета выигрышной серии. Найти вероятность того, что первый крупный выигрыш в лотерее выпадет на билет с номером, кратным или 4, или5, или 9.

Решение. Пусть событие А – появление номера, кратного 4, событие В – кратного 5, событие С – кратного 9. Требуется определить вероятность события А+В+С:

P(A+B+C) = P(A)+P(B)+Р(С)–P(A·B)–P(В·С)–P(A·С)+P(A·B·С).

Среди чисел от 1 до 100 имеется 25 чисел, кратных 4; 20 чисел, кратных 5 и 11 чисел, кратных 9. Поэтому Р(А)=0,25, Р(В)=0,2 и Р(С)=0,11. Чисел, кратных 4 и 5 одновременно – 5, кратных 4 и 9 – 2 и кратных 5 и 9 – 2. Тогда вероятности событий А·В, А·С и В·С равны:

P(A·B) = 0,05, P(A·C) = P(B·C) = 0,02. Чисел, кратных 4, 5 и 9 одно-

временно, в первой сотне чисел нет, поэтому Р(А·В·С) = 0. Тогда искомая вероятность

P(A+B+C) = 0,25+0,2+0,11-0,05-0,02-0,02 = 0,47.

Пример 4. На схеме приведена электрическая цепь:

51

Выход из строя за отведенное время различных элементов цепи– независимые события, вероятности которых приведены в таблице:

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Решение. Обозначим через А – выход из строя хотя бы одного из элементов А1 или А2, через В – выход из строя всех трех элементов В1, В2 и В3. Тогда событие С = А + В означает разрыв цепи. Найдем вероятности событий А и В:

P(A)=Р(А1+А2)=Р(А1)+Р(А2)–Р(А1·А2)=0,6+0,5–0,6·0,5=0,8; P(B)=Р(В1·В2·В3)=Р(В1)·Р(В2)·Р(В3)=0,4·0,7·0,9=0,252.

Тогда искомая вероятность определяется по формуле:

P(С)= P(A+B) = P(A)+P(B)–P(A·B) = 0,8 +0,252 – 0,8·0,252 ≈0,85.

Пример 5. Два истребителя одновременно атакуют бомбардировщик. Вероятность попадания у первого истребителя равна 0,5, второго – 0,4. Определить вероятность: а) одного попадания; б) двух попаданий; в) хотя бы одного попадания.

Решение. Введем следующие обозначения: А1 – попадание первого истребителя, А2 – попадание второго истребителя. Тогда:

а) Событие А = A1 A2 + A1 A2 – одно попадание.

Р(А) = Р(A1 A2 + A1 A2 ) = Р(A1 A2 )+Р(A1 A2 ) =

=Р(A1 )·Р(A2 )+Р(A1 )·Р(A2 ) = 0,5·(1 – 0,4) + (1 – 0,5)·0,4 = =0,3+0,2 = 0,5 ;

б) Событие В = А1·А2 – два попадания.

Р(В) = Р(А1·А2) = Р(А1)·Р(А2) = 0,5·0,4 = 0,2;

с) Событие С = А1 + А2 – хотя бы одно попадание. Вероятность события С найдем двумя способами:

1) Р(С) = Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1·А2) = Р(А1) + +Р(А2) –

Р(А1)·Р(А2) = 0,5 + 0,4 – 0,5·0,4 = 0,7. (События А1 и А2 – совместные, т. к. попадание первого истребителя не исключает попадание второго);

52

2)Р(С) = 1 – Р(C ) = 1 – Р(A1 · A2 ) =1 – Р(A1 )·Р(A2 ) =

=1 – 0,5·0,6 = 0,7.

Пример 6. В посевах пшеницы 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно растение окажется здоровым.

Решение. Введем следующие обозначения: А1 – первое растение здоровое, А2 – второго растение здоровое. Тогда событие А = А1 + А2

– хотя бы одно растение здоровое (первое, второе или оба растения). Поскольку события А1 и А2 – совместные, то

Р(А) = Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1·А2) = = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1)·Р(А2) = 0,95 + 0,95 – 0,95·0,95 = 0,9975.

11. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Условной вероятностью Р(А|В) называют вероятность появления события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило.

Пример 1. В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны дважды извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что вторым был белый шар, при условии, что первым был черный шар.

Решение. Пусть событие В – первым извлечен черный шар. После этого в урне осталось 7 шаров – 5 белых и 2 черных шара. Тогда условная вероятность события А – достать вторым белый шар при условии, что первым был черный шар, равна

Р(А|В) = 75 .

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(A·B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B).

Вероятность произведения n зависимых событий определя-

ется по формуле:

53

P(A1·A2…An)=P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1·A2)·…·P(An|A1·A2·…·An-1).

В частности, для трех зависимых событий:

P(A·B·C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A·B).

Пример 2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков был конусный, а второй – эллиптический?

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А):

Р(А) = 103 .

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик был конусным:

Р(В|А) = 79 .

Тогда искомая вероятность определяется по формуле

P(A·B) = P(A)·P(B|A) = 103 · 79 = 307 .

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что будут извлечены белый, черный и синий шары в указанной последовательности.

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании

Р(А) = 125 .

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар:

Р(В|А) = 114 .

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вы-

54

численная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный:

Р(С|А·В) = 103 .

Тогда искомая вероятность определяется по формуле

P(A·B·С) = P(A)·P(B|A)·Р(С|А·В) = 125 · 114 · 103 = 221 .

Пример 4. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика поочередно извлекли два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть событие А – появление первого белого шара, событие В – появление второго белого шара. Имеем

Р(А) = 146 = 73 , Р(В|А) = 135 .

Следовательно, искомая вероятность равна

P(A·B) = P(A)·P(B|A) = 73 · 135 = 1591 .

Пример 5. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие первосортное, если известно, что 4% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяет требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие А – выбранное изделие небракованное, событие В – выбранное изделие первого сорта. Вероятность того, что выбранное изделие небракованное, следует из условия задачи

Р(А) = 1 – 0,04 = 0,96.

Вероятность того, что изделие, выбранное среди небракованных изделий, является первосортным – условная вероятность

Р(В|А) = 0,75.

Тогда искомая вероятность – вероятность того, что изделие не-

55

бракованное и первосортное равна

P(A·B) = P(A)·P(B|A) = 0,96·0,75 = 0,72.

Пример 6. Студент подготовился к 20 вопросам из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Решение. Вероятность того, что студент знает ответ на предложенный ему первый вопрос (событие А)

Р(А) = 2025 .

Вероятность того, что студент знает ответ на предложенный ему второй вопрос (событие В) при условии, что он знает ответ на первый вопрос

Р(В|А) = 1924 .

Вероятность того, что студент знает ответ на предложенный ему третий вопрос (событие С) при условии, что он знает ответ на предложенные ему первый и второй вопросы

Р(С|А·В) = 1823 .

Тогда искомая вероятность:

Р(A·B·С) = P(A)·P(B|A)·Р(С|А·В) = 2025 · 1924 · 1823 = 11557 .

Пример 7. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 0,8. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

Решение. Пусть событие А – попадание в первую мишень, В – попадание во вторую мишень. Событие А·В – поражение обеих мишеней. Поскольку Р(А) = 0,8 и Р(А·В) = 0,5, то в силу формулы

56

произведения вероятностей зависимых событий имеем

0,5 = 0,8·Р(В|А).

Отсюда искомая условная вероятность:

Р(В|А) = 85 = 0,625.

12. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий A1,A2,···,An , независимых в совокупности, причем вероятности появления каждого из событий известны. Вероятность появления хотя бы одного из событий Аk равна разности между единицей и произведени-

ем вероятностей противоположных событий A1,A2 , ,An :

Р(А) = 1 - P(A1) P(A2 ) P(An ) .

Если события A1,A2,···,An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий рав-

на

Р(А) = 1 – qn, где q = 1 – p.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех трех орудий.

Решение. Факт попадания в цель какого-либо из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий. Поэтому события А1 – попадание из первого орудия, А2 – попадание из второго орудия, А3 – попадание из третьего орудия – независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2, А3 – вероятности промахов, соответственно равны

Р(A1 ) = q1 = 1 – p1 = 1 – 0,8 = 0,2; P( A2 ) = q2 = 1 – p2 = 1 – 0,7 = 0,3;

57

P( A3 ) = q3 = 1 – p3 = 1 – 0,9 = 0,1.

Тогда искомая вероятность:

P(A) = 1 – P(A1) P(A2 ) P(A3 ) = 1–q1·q2·q3 = = 1–0,2·0,3·0,1=0,994.

Пример 2. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей появится 6 очков хотя бы на одной из костей.

Решение. Пусть события А1 – появление 6 очков на первой игральной кости, А2 – появление 6 очков на второй игральной кости, А3 – появление 6 очков на третьей игральной кости. Так как

вероятность:

P(A) = 1 – ( 56 )3 = 21691 .

Пример 3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Решение. Пусть событие А – хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. Чтобы найти его вероятность, нужно рассмотреть все варианты – один учебник в переплете, два учебника в переплете и три учебника в переплете. Рассмотрим противоположное со-

бытие A – ни одного учебника в переплете. Его вероятность

Поэтому искомая вероятность

58

Пример 4. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях равна 0,936 (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же). Найти вероятность появления события в единичном испытании.

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, применима формула: Р(А) = 1 – qn. По условию имеем Р(А) = 0,936 и n = 3. Следовательно,

1 – q3 = 0,936; q3 = 1 – 0,936 = 0,064; q = 0,4.

Тогда вероятность появления события в единичном испытании:

p = 1 – 0.4 = 0,6

Задачи для самостоятельного решения к разделам 8 – 12

Задача 1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в цель, равна 0,9. Стрелок произвел три выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела попали в цель.

Ответ. Р = 0,729.

Задача 2. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий – выпадение герба и выпадение шестерки.

Ответ. Р = 121 .

Задача 3. В двух ящиках находятся детали: в первом ящике 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Ответ. Р = 0,12.

Задача 4. В студии расположены три телекамеры. Для каждой из них вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

Ответ. Р = 0,936.

Задача 5. Предприятие изготавливает 95% изделий стандартных, причем из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первосортным.

Ответ. Р = 0,817.

59

Задача 6. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,6. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал бы в десятку хотя бы один раз?

Ответ. n ≥ 2.

Задача 7. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в единичном испытании (предполагается, что она одинакова в обоих испытаниях).

Ответ. Р = 0,5.

Задача 8. Вероятность поражения цели у одного стрелка равна 0,8, у второго 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Ответ. Р = 0,44.

Задача 9. В урне 9 белых и один черный шар. Извлечены сразу три шара. Какова вероятность того, что все они белые?

Ответ. Р = 0,7.

Задача 10. Произведены три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате произойдет ровно одно попадание?

Ответ. Р = 0,375.

Задача 11. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, если выйдет из строя элемент А или два элемента – В и С, которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3; 0,2; 0,2 соответственно. Определить вероятность разрыва цепи.

Ответ. Р = 0,328.

Задача 12. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные окажутся мужчинами?

Ответ. Р = 247 .

Задача 13. . На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них по теории вероятностей. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется по теории вероятностей.

Ответ. Р = 6791 .

Задача 14. Студент разыскивает нужную формулу в трех спра-

60