Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

вочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором или третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) в двух справочниках; в) во всех трех справочниках.

Ответ. а) Р = 0,188; б) Р = 0,452; в) Р = 0,336.

Задача 15. В люстре 3 лампочки. Вероятность выхода из строя каждой лампочки равна 0,2. Освещение считается нормальным, если горят любые две лампочки. Найти вероятность того, что освещенность в комнате нормальная.

Ответ. Р = 0,896.

Задача 16. В двух урнах находятся шары: в первой – 5 белых, 9 черных, 6 красных и 12 синих; во второй – 4, 7,11 и 10 соответственно. Из обеих урн извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета.

Ответ. Р = 924269 .

Задача 17. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода?

Ответ. Р = 2031 .

Задача 18. Для разрушения объекта достаточно попадания одной авиабомбы. Найти вероятность того, что объект будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностью попадания 0,3; 0,4; 0,6; и 0,7 соответственно?

Ответ. Р ≈ 0,95.

13. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью p и не наступить с вероятно-

стью q=1-p.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) равна

61

постоянна и равна 0,2. Следовательно, выполняются условия схемы Бернулли. Тогда по формуле Бернулли получаем:

P6(2) = C 62 ·(0,2)2·(0,8)4 ≈ 0,246.

Пример 2.Прибор состоит из шести элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время t равна 0,6. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время t прибор будет работать безотказно?

Решение. Эксперимент заключается в проведении шести повторных независимых испытаний с двумя исходами каждый. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна q = 1–0,6 = 0,4. Тогда искомая вероятность определяется следующим образом:

P6(k ≥ 1) = 1 – (0,4)6 ≈ 0,9959.

Пример 3. Используя условия примера 2, найти число элементов, которые необходимо включить в прибор, чтобы с вероятностью не менее 0,9 прибор работал безотказно?

Решение. В задаче требуется, чтобы выполнялось условие

Pn(k ≥ 1) ≥ 0,9.

Поэтому имеем

1 – (0,4)n .≥ 0,9.

Отсюда получаем

(0,4)n ≤ 0,1.

Логарифмируя обе части, находим

n·lg0,4 ≤ lg0,1.

Откуда

n ≥ lglg00,,14 ≈ 2,5.

Значит, в приборе должно быть не менее трех элементов для того, чтобы прибор работал безотказно с вероятностью не менее 0,9.

Пример 4. Найти вероятность осуществления от двух до четы-

63

рех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

Решение. Эксперимент заключается в проведении пяти повторных независимых испытаний с двумя исходами в каждом (разговор состоялся, разговор не состоялся). Вероятность того, что разговор состоится, в каждом испытании постоянна. Имеет место схема Бернулли. Тогда искомая вероятность определяется следующим образом:

P5(2 ≤ k ≤ 4) = P5(2) + P5(3) + P5(4) = C 52 ·(0,7)2·(0,3)3 + +C 35 ·(0,7)3·(0,3)2 + C 54 ·(0,7)4·0,3 ≈ 0,801.

Пример 5. Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

Решение. Проводится 50 повторных независимых испытаний с двумя возможными исходами в каждом. Вероятность появления нестандартной детали в каждом испытании постоянна. Выполняются условия схемы Бернулли. Тогда в силу формулы

n·p – q ≤ k0 ≤ n·p + p

имеем

50·0,05 – 0,95 ≤ k0 ≤ 50·0,05 + 0,05.

Откуда получаем

1,55 ≤ k0 ≤ 2,55.

Так как число деталей должно быть целым, то наиболее вероятное число деталей равно 2.

Пример 6. Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 5 купленных комплектов 3 будут без брака.

Решение. Вероятность покупки комплекта посуды без брака p = 0,9 (q = 0,1). Тогда искомая вероятность определяется по формуле Бернулли:

P5(3) = C 35 ·p3·q2 = 10·(0,9)3·(0,1)2 = 0,0729.

Пример 7. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что из

64

10 визитов страхового агента 5 закончатся заключением договора? Решение. Искомая вероятность определяется по формуле Бер-

нулли при n = 10, p = 0,25, q = 0,75:

P10(5) = C105 ·(0,25)5·(0,75)5 = 0,008.

Пример 8. Что более вероятно, выиграть у равносильного соперника три партии из четырех или пять партий из восьми (ничейный исход партии исключен)?

Решение. Так как соперники равносильны, то p = q = 0,5. Вероятность выиграть три партии из четырех равна

P4(3) = C 34 ·( 12 )3·( 12 ) = 14 .

Вероятность выиграть пять партий из восьми равна

P8(5) = C 85 ·( 12 )5·( 12 )3 = 327 .

Таким образом, так как 14 ≥ 327 , то более вероятно выиграть

три партии из четырех.

Пример 9. Что более вероятно, выиграть у равносильного соперника не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми (ничейный исход партии исключен)?

Решение. Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех равна

P1 = P4(3) +P4(4) = C 34 ·( 12 )3·( 12 ) + C 44 ·( 12 )4 = 14 + 161 = 165 .

Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми равна

P2 = P8(5) + P8(6) + P8(7) + P8(8) = C 85 ·( 12 )5·( 12 )3 +

65

Поскольку 25693 ≥ 165 , то более вероятно выиграть не менее пя-

ти партий из восьми.

Пример 10. В ящике 30 шаров: 20 белых и 10 черных. Извлекаются четыре шара подряд. Каждый извлеченный шар возвращают обратно в ящик и перемешивают шары перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется два белых шара?

Решение. Вероятность извлечения белого шара Р = 3020 = 32 , ве-

роятность извлечения черного шара q = 13 . Эти вероятности не изме-

няются в ходе испытания, так как извлеченные шары возвращаются обратно. Тогда искомая вероятность определяется по формуле:

P4(2) = C 24 ·p2·q2 = 14 23 ·( 32 )2·( 13 )2 = 278 .

Пример 11. Вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.

Решение. Обозначим через А событие «попадание в цель хотя бы один раз при трех выстрелах». Тогда имеем

P(A) = 1 – q3 = 0,973, где q – вероятность промаха при одном выстреле. Отсюда

q = 31−0,973 = 0,3.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле

p = 1 – q = 1 – 0,3 = 0,7.

Применяя формулу Бернулли находим искомую вероятность

P4(3) = C 34 ·(0,7)3·0,3 = 4·0,343·0,3 =0,4116.

Пример 12. Вероятность того, что расход воды на химическом предприятии за одни сутки не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход воды

66

не превысит установленной нормы в течение 4-х суток.

Решение. Вероятность нормального расхода воды в течение суток постоянна и равна P = 0,75 в любые сутки из шести. Следовательно, вероятность перерасхода воды в каждые сутки также постоянна и равна q = 0,25. Тогда искомая вероятность равна

P6(4) = C 64 ·p4·q2 = 16 25 ·(0,75)4·(0,25)2 =0,3.

Пример 13. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика (вероятности рождения мальчика и девочки принять одинаковыми).

Решение. Предположим, что вероятность рождения девочки p = 0,5 и вероятность рождения мальчика q = 0,5. Тогда искомая вероятность равна

Пример 14. Вероятность попадания в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение. Здесь n = 25, p = 0,7, q = 0,3. Следовательно,

25·0.7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25·0,7 + 0,7.

Откуда получаем

17,2 ≤ k0 ≤ 18,2.

Таким образом, окончательно, получаем k0 = 18, так как число попаданий в цель k0 – целое число.

Пример 15. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1-го октября в данной местности

равна 71 . Определить наивероятнейшее для данной местности число дождливых дней 1-го октября за 40 лет.

Решение. Имеем n = 40, p = 71 , q = 76 . Тогда по формуле

n·p – q ≤ k0 ≤ n·p + p

имеем

67

Так как число дней должно быть целым, то наиболее вероятное число k0 равно 5.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она выпадет гербом вверх?

Ответ. Р = 647 .

Задача 2. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она выпадет гербом вверх не более трех раз ?

Ответ. Р = 3221 .

Задача 3. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, отвечал только один ученик. Какова вероятность того, что среди отвечавших было два мальчика и одна девочка?

Ответ. Р = 94 .

Задача 4. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и 15 черных шаров. Из каждого ящика извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров два белых и два черных шара?

Ответ. Р = 12827 .

Задача 5. Пусть всхожесть ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

Ответ. Р = C 57 ·(0,9)5·(0,1)2.

Задача 6. В семье десять детей. Считая вероятность рождения

68

девочки и мальчика равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье пять мальчиков.

Ответ. Р = 25663 .

Задача 7. В семье десять детей. Считая вероятность рождения девочки и мальчика равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье не менее трех и не более восьми мальчиков.

Ответ. Р = 1024967 .

Задача 8. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что в данный момент он включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включены 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Ответ. а) Р = P6(4) = 0,246; б) P = P6(6) = 0,26; в) P = P6(0) = 0,000064.

Задача 9. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

Ответ. Р = 0,19.

Задача 10. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Ответ. а) Р = 647 ; б) Р = 5764 .

Задача 11. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0,3. Какова вероятность того, что из шести бросков 3 кольца окажутся на колышках (броски считать независимыми).

Ответ. Р = Р6(3) ≈ 0,1852.

Задача 12. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Ответ. Р = Р5(k ≥ 1) = 0,9976.

Задача 13. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько независимых выстрелов нужно произвести, чтобы

69

с вероятностью не менее 0,99 в мишени была хотя бы одна пробоина?

Ответ. n ≥ 21.

Задача 14. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий.

Ответ. k0 = 22.

Задача 15. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы равна 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

Ответ. n = 10

Задача 16. Произведено 400 независимых испытаний. Какова должна быть вероятность появления события А в каждом испытании, чтобы наиболее вероятное число появления события А была равна 150 (вероятность появления события А в каждом испытании величина постоянная)?

Ответ. 0,3741≤ Р ≤ 0,3765.

Задача 17. На самолете имеется 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна p. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

Ответ. Р = P4(1) = 4·p3·(1-p).

Задача 18. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее – отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

Ответ. Р4(2) > P6(3).

Задача 19. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Ответ. Р = Р7(5) ≈ 0,2753.

Задача 20. В горном районе создано n автоматических сейсмических станций. Каждая станция в течение года может выйти из строя с вероятностью p. Какова вероятность того, что в течение года хотя

бы одна станция потребует ремонта?

Ответ. Р = Pn(k ≥ 1) = 1 – (1 – p)n.

Задача 21. Известно, что 5% радиоламп, изготовленных заво-

70