Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

3 – только музыкой. Значит, музыкой или спортом увлекаются 23 сту-

дента, и потому событие A +B означает, что только двое из студентов не имеют этих увлечений.

Пример 6. На рисунке изображены электрические схемы. Включатели изображены кружками, в которых указан номер включателя. Записать через событие Аk (включен включатель с номером k) для

каждой схемы следующие события: А – в цепи идет ток иA – в цепи не идет ток.

Решение. 1) По электрической цепи пойдет ток, только если одновременно включены все включатели. Это означает совместное появление событий А1, А2 и А3, т.е. событие А – по цепи идет ток – записывается в виде произведения событий:

А = А1 ·А2 ·А3.

По цепи ток не пойдет, если будет выключен хотя бы один

включатель. Поэтому событие A – «ток не идет» записывается в виде:

A= A1 + A2 + A3 .

2)По цепи пойдет ток, если будет включен хотя бы один включатель. Поэтому событие «в цепи идет ток» записывается в виде сум-

мы событий: А = А1 +А2 +А3. По цепи ток не пойдет, если все включатели выключены. Таким образом, событие «в цепи не идет ток» запи-

11

сывается в виде произведения событий: A = A1 A2 A3 .

3) По цепи ток пойдет, если включены включатели первый и третий (произведение событий А1·А3) или же включен второй. Поэтому событие «по цепи пойдет ток» записывается в виде:

А = А1·А3+А2.

По цепи ток не пойдет, если выключены включатели первый или третий (сумма событий А1+А3) одновременно со вторым. Поэтому

A= (A1 +A3 ) A2 – событие «ток не идет».

4)По цепи ток идет, если включены 1-й включатель одновре-

менно со 2-м или 3-м (А2+А3): A = A1 ·( А2+А3) – событие «ток идет». Ток по цепи не пойдет, если выключен 1-й включатель или

выключены 2-й и 3-й включатели. Таким образом, A = A1 +A2 A3 – событие «ток не идет».

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Из урны, содержащей шары белого, черного и синего цвета, наудачу извлекается один шар. События А1 и А2 соответственно означают появление белого или черного шаров. Что означает событие

А1 + А2?

Ответ. Появление белого или черного шара.

Задача 2. Имеется 100 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 100. Событие А – извлечение жетона, номер которого кратен двум, а событие В – извлечение жетона, номер которого кратен пяти. Что означают события: 1) А + В; 2) А·В?

Ответ. 1) Появление жетона, номер которого кратен или двум или пяти или десяти; 2) появление жетона, номер которого кратен десяти.

Задача 3. Дана электрическая цепь с элементами е1 и е2, соединенными последовательно:

.

Событие А1 – выход из строя элемента е1, событие А2 – выход из строя элемента е2. Что означает событие А1 + А2?

12

Ответ. Выход из строя цепи.

Задача 4. Дана электрическая цепь с элементами е1 и е2, соединенными параллельно:

.

Событие А1 – выход из строя элемента е1, событие А2 – выход из строя элемента е2. Что означает событие А1·А2?

Ответ. Выход из строя цепи.

Задача 5. Какие из следующих пар событий противоположны:

1)экзамен сдан на «отлично»; экзамен сдан на «удовлетворительно»;

2)хотя бы одна пуля при двух выстрелах попала в цель; ни одна из двух пуль при двух выстрелах не попала в цель; 3) вынутая наугад кость из полного набора домино – «дубль»; вынутая кость не «дубль»?

Ответ. Вторая и третья.

Задача 6. Если событие А1 – выигрыш по билету одной лотереи, А2 – выигрыш по билету другой лотереи, то что означают события

В =A1 A2 +A1 A2 ; C = A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 .

Ответ. Событие В – выигрыш по билету только одной лотереи, безразлично какой. Событие С – выигрыш по билету хотя бы одной лотереи.

Задача 7. События А1, А2, А3 означают соответственно попадание в цель при первом, втором и третьем выстрелах. Описать события:

В = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ;

С =A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

Ответ. Событие В – попадание при одном выстреле. Событие С – попадание при двух выстрелах.

Задача 8. Известно, что события А и В произошли, а событие С не произошло. Определите, произошли или не произошли следую-

щие события: А + В·С, (А + В)·С,A B +C , А·В·С.

13

Ответ. Событие А + В·С произошло, остальные не произошли. Задача 9. Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие Аi (i = 1, 2, 3,…, n) означает, что i-ая изготовленная деталь имеет дефект.

Записать событие, состоящее в том, что: 1) ни одна из деталей не имеет дефектов; 2) только одна деталь имеет дефект; 3) не более двух деталей имеют дефекты.

+ A1 A2 A3 An−1 An +…+ A1 A2 An−2 An-1 An .

Задача 10. Баскетболист производит три броска мячом в корзину. Событие Аk – попадание при k–том броске (k = 1, 2, 3). Записать с

Задача 11. Стрелок поражает щит, на котором изображены круг и квадрат.

Событие А – попадание в круг, В – попадание в квадрат. Записать с помощью событий А и В следующие события: 1) С – попадание хотя бы в одну фигуру; 2) D – попадание одновременно в обе фигуры; 3) E – промах.

Ответ. С = А + В; D = А·В; E = A · B .

Задача 12. Экзаменатор предлагает студенту три вопроса. Событие Аk – студент знает ответ на k–ый вопрос (k = 1, 2, 3). С помо-

14

щью Аk и Ak записать события: 1) А – студент знает ответы на все три вопроса; 2) В – студент не знает ответ ни на один вопрос; С – студент знает ответ на один вопрос; D – студент знает ответ хотя бы на один вопрос.

Ответ. 1) А = А1 ·А2 ·А3 ; 2) B = A1 A2 A3 ;

3) C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ; 4) D = А1 +А2 +А3.

Задача 13. Экзаменационный билет содержит два теоретических и два практических вопроса. Событие Аk – студент знает ответ на k–ый теоретический вопрос (k = 1, 2), Вk – студент знает ответ на k–

ый практический вопрос (k = 1, 2). С помощью событий Аk, Вk, Ak и

Bk записать следующие события: 1) А – студент знает ответы на все вопросы; 2) В – студент знает ответы только на практические вопросы; 3) С – студент знает ответы на один теоретический и на один практический вопросы.

Ответ. 1) А = А1·А2·В1·В2; 2) В =A1 A2 B1 B2 ;

3)C = (A1 A2 +A1 A2 ) (B1 B2 +B1 B2 ) .

3.Основные элементы комбинаторики

При решении многих задач, связанных с вычислением вероятностей событий, требуется подсчитывать число различных комбинаций, составленных по определенным правилам из элементов заданного множества. Задачи, связанные с подсчетом количества таких комбинаций, называют задачами комбинаторики. Комбинаторные задачи бывают самых разных видов, решаемых в большинстве случаев с помощью двух основных правил – правило суммы и правило произведения.

Если изучаемые комбинации разбиваются на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только в один класс, то в этом случае общее число комбинаций будет равно сумме чисел комбинаций всех классов.

Правило суммы. Если событие А может произойти m способами, а событие В – другими n способами, причем события А и В – несовместные, тогда осуществление либо события А либо события В может произойти m + n способами.

15

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать одну четную или одну нечетную цифру из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Решение. Среди этих цифр три четные и четыре нечетные. Четные цифры можно выбрать 3-мя способами, нечетные цифры можно выбрать 4-мя способами. Тогда по правилу суммы получим, что одну четную или одну нечетную цифру можно выбрать 3 + 4 = 7 способами.

При составлении комбинаций из двух элементов, в зависимости от того, сколькими способами выбирается первый элемент, а затем второй элемент, приходится подсчитывать число способов выбора пары элементов в определенном порядке.

Правило произведения. Если элемент А может быть выбран m способами и после каждого из этих выборов элемент В может быть выбран n способами, то выбор упорядоченной пары (А, В) может быть осуществлен m·n способами.

В общем случае правило произведения таково: если требуется совершить последовательно k операций, причем первая операция совершается n1 числом способов, после ее совершения вторая операция совершается n2 числом способов, таким образом, продолжая, k-ая операция совершается nk числом способов. Тогда общее число способов совершения этих операций равно произведению:

n = n1·n2·...·nk.

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать одну четную и одну нечетную цифру из совокупности цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Решение. Среди этих цифр три четные и четыре нечетные. Четные цифры можно выбрать 3-мя способами, нечетные цифры можно выбрать 4-мя способами. Тогда по правилу произведения получим, что пару цифр (одну четную и одну нечетную) можно выбрать 3·4 = 12 способами.

Пример 3. Сколькими способами можно производить трехцветный полосатый флаг, имея в наличии материал трех цветов?

Решение. Флаг представляет собой материал, сшитый из полос разного цвета. Выбор цвета верхней полосы можно произвести 3-мя способами из трех цветов. После выбора верхней полосы среднюю полосу из оставшихся 2-х цветов можно выбрать 2-мя способами, а для нижней полосы после выбора цвета для верхней и средней полос

16

остается один цвет. Тогда всего можно получить n = 3·2·1 = 6 различных флагов.

Пример 4. В группе 30 студентов. Сколькими способами могут быть выбраны староста и его заместитель?

Решение. По условию задачи каждый студент может быть выбран старостой. Следовательно, существует 30 вариантов выбора старосты. Его заместителем может стать любой из оставшихся 29 студентов. Таким образом, любой из 30 вариантов выбора старосты может осуществляться с любым из 29 вариантов выбора его заместителя. Тогда, в силу правила произведения существует 30·29 = 870 вариантов выбора его старосты и его заместителя.

Пример 5. На книжной полке лежат 20 книг по алгебре, 12 – по теории вероятностей, 7 – по математическому анализу, 25 – по литературе. Сколькими способами можно выбрать книгу по математике?

Решение. Найдем число способов, которым можно выбрать книгу по алгебре, теории вероятностей или математическому анализу. Книгу по алгебре можно выбрать 20-ю способами, по теории вероятностей – 12-ю способами и по математическому анализу – 7-ю способами. Эти события несовместны. Поэтому по правилу суммы находим, что книгу по математике можно выбрать 39-ю способами (20 + 12 + 7 = 39).

Пример 6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если каждая цифра входит в число только один раз (т.е. цифры не повторяются)?

Решение. На место сотен можно поставить любую цифру из трех (таких способов m = 3). После этого на место десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр, т. к. ц ифры в числе не повторяются (таких способов n = 2). Наконец, на место единиц можно поставить оставшуюся одну цифру без выбора (таких способов k = 1). Тогда в силу правила произведения число трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5 равно

N = m·n·k = 3·2·1 = 6.

Графической иллюстрацией правила произведения является специальный граф, называемый «деревом». Из исходной точки дерева проводится n1 ветвей, соответствующих выбору объекта А1. Из каждого конца полученной ветви дерева проводится n2 ветвей, соответствующих выбору объекта А2 и т. д. Для нашей задачи имеем следующее «дерево»:

17

чисел, вставляя пропущенные цифры в число *2*5 и в число 3*7*?

Ответ. N1 = 90, N2 = 100.

Задача 6. У одного человека имеется 7 книг по математике, а у другого – 9. Сколькими способами они могут осуществить обмен книги на книгу?

Ответ. N = 63.

Задача 7. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв слова «ромб»?

Ответ. N = 24.

Задача 8. В магазине имеется 5 сортов конфет. Сколько различных покупок, содержащих не более трех сортов конфет, можно сделать?

Ответ. N = 85.

Задача 9. Сколько двухзначных или трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Ответ. N = 80.

4. Основные понятия и формулы комбинаторики

Размещениями из n элементов по k (0 ≤ k ≤ n) называют упорядоченные подмножества, состоящие из k различных элементов заданного множества из n элементов и отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k обозначается через Akn и определяется по формуле:

где n! = n· (n-1) · (n-2) · (n-3) ·…·2·1, причем 0! = 1.

Пример. Сколько сигналов можно составить из 8 флажков различного цвета, взятых по два?

Решение. Искомое число сигналов равно числу размещений из 8 элементов по 2, т.е.

Перестановками из n элементов называют множества, полу-

19

ченные из всех n элементов заданного множества и отличающиеся друг от друга лишь порядком расположения элементов (перестановки это частный случай размещений при n = k).

Число перестановок из n элементов обозначается через Pn и вычисляется по формуле:

Pn = n! .

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число получаемых трехзначных чисел равно числу перестановок из трех элементов:

N = P3 = 3! = 3·2·1 = 6.

Сочетаниями из n элементов по k (0 ≤ k ≤ n) называют неупорядоченные подмножества, состоящие из k различных элементов заданного множества из n элементов и отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по k элементов обозначается через Ckn и определяется по формуле:

Пример. Сколькими способами из 8 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 5 человек?

Решение. Число способов составления комиссии из 8 человек по 5 человек равно

Замечание. Выше предполагалось, что все n элементов xi заданного множества X = {x1, x2, … , xn} различны. Если же среди n элементов элемент x1 входит n1 раз, элемент x2 входит n2 раз, …, элемент xk входит nk раз, то число перестановок с повторениями вычисляет-

20