Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

дом, являются нестандартными. Из большой партии (независимо друг от друга) производится случайная выборка радиоламп. Сколько ламп нужно выбрать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выборка содержала хотя бы одну нестандартную лампу.

Ответ. n ≥ 45.

Задача 22. При высаживании рассады помидоров только 80% растений приживаются. Найти вероятность того, что из десяти посаженных кустов помидоров приживется не менее девяти.

Ответ. Р10(k ≥ 9) ≈ 0,3758.

Задача 23. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильные ответы будут даны: а) на три вопроса; б) не менее, чем на три вопроса?

Ответ. а) Р4(3) = 0,0256; б) Р4(k ≥ 3) = 0,0272.

Задача 24. Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности или ложности десяти утверждений?

Ответ. Р ≈ 0,1719.

14. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть события Н1, Н2, … , Нn образуют полную группу несовместных событий, т.е. в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из событий (сумма Н1 + Н2 + … + Нn есть достоверное событие) и любые два события Нi и Нk попарно несовместны. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из со-

бытий Н1, Н2, … , Нn. В этом случае события Н1, Н2, … , Нn называют гипотезами. Тогда вероятность события А равна сумме произведений

вероятностей гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P(H1)·P(А|H1) + P(H2)·P(А|H2) + … + P(Hn)·P(А|Hn).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пусть вероятности гипотез Н1, Н2, … , Нn известны до опыта, а в результате опыта произошло событие А. Тогда условные вероятности

71

гипотез Н1, Н2, … , Нn (при условии, что событие А произошло) мож-

но вычислить по формулам Бейеса:

= P(Hk ) P(A Hk ) , где k=1,2,…., n.

P(A)

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез, вычисленных до испытания, по результатам проведенного испытания, в итоге которого произошло событие А.

Пример 1. Имеется три ящика. В первом ящике 10 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров. В третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

Решение. Введем гипотезы: Н1 – выбран первый ящик, Н2 – выбран второй ящик, Н3 – выбран третий ящик. Событие А – появление белого шара. Вероятности гипотез одинаковы, так как выбор любого ящика равновозможен

1

P(H1) = P(H2) = P(H3) = 3 .

Условные вероятности события А: P(А|H1) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); P(А|H2) = 1020 = 12 (вероятность

извлечения белого шара из второго ящика); P(А|H3) = 0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика). Тогда полная вероятность события А определяется следующим образом:

P(A) = P(H1)·P(А|H1) + P(H2)·P(А|H2) + P(H3)·P(А|H3) = = 13 ·1 + 13 · 12 + 13 ·0 = 12 .

Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных. Во второй коробке – 10 радиоламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки случайным образом выбрали и переложили одну лампу в первую коробку. После этого из первой коробки

72

извлекли одну лампу. Найти вероятность того, что она окажется стандартной.

Решение. Обозначим через А событие – из первой коробки извлечена стандартная лампа. Введем гипотезы: Н1 – из второй коробки в первую переложили стандартную лампу; Н2 – из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу. Вероятности гипотез:

ятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую переложили стандартную

лампу; P(А|H2) = 1821 – вероятность того, что из первой коробки извле-

чена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую переложили нестандартную лампу. Тогда полная вероятность события А:

P(A) = P(H1)·P(А|H1)+P(H2)·P(А|H2)= 109 · 1921 + 101 · 1821 = 0,9.

Пример 3. На сборку поступают однотипные изделия из трех цехов. Вероятности изготовления бракованного изделия первым, вторым и третьим цехами равны 0,03; 0,01 и 0,02 соответственно. Все поступившие детали складываются вместе (перемешиваются). Из первого цеха поступает в три раза больше изделий, чем из второго, а из третьего цеха в два раза меньше, чем из второго. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным?

Решение. Введем следующие гипотезы: Н1 – взятое изделие поступило из первого цеха; Н2 – взятое изделие поступило из второго цеха; Н3 – взятое изделие поступило из третьего цеха. Событие А – взятое изделие оказалось бракованным. Количество изделий, поступивших на сборку из первого, второго и третьего цехов, относятся как 6:2:1 соответственно. С учетом этого найдем вероятности гипотез

События Н1, Н2, Н3 – образуют полную группу несовместных

73

событий. Сумма их вероятностей равна 1. Событие А может наступить только вместе с одним из этих со бытий. Условные вероятности события А заданы в условии задачи:

P(А|H1) = 0,03; P(А|H2) = 0,01; P(А|H3) = 0,02.

Вероятность наступления события А определим по формуле полной вероятности:

P(A) = P(H1)·P(А|H1) + P(H2)·P(А|H2) + P(H3)·P(А|H3) = = 23 ·0,03 + 92 ·0,01 + 19 ·0,02 = 0,922 ≈ 0,0244.

Пример 4. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых машин и две из 45 легковых автомашин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что проезжающая по шоссе автомашина подъедет к бензоколонке для заправки?

Решение. Введем гипотезы: Н1 – проезжающая машина – грузовая; Н2 – проезжающая машина – легковая. Так как количество грузовых автомобилей относится к количеству легковых автомобилей

как 3:2, то вероятности гипотез будут следующими: Р(Н1) = 53 = 0,6;

Р(Н2) = 52 = 0,4. События Н1 и Н2 - несовместны и образуют полную

группу. Событие А - проезжающая по шоссе автомашина подъедет к бензоколонке для заправки. Оно может произойти только вместе с

одним из событий Н1 или Н2. Условные вероятности P(А|H1) = 301 ,

P(А|H2) = 452 заданы в условиях задачи. Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

P(A)=P(H1)·P(А|H1)+P(H2)·P(А|H2)=0,6· 301 +0,4· 452 ≈0,0378.

74

шедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

Решение. Гипотеза Н1 – изделие стандартное. Вероятность Р(Н1) = 0,96. Гипотеза Н2 – изделие нестандартное. Вероятность Р(Н2) = 1 – 0,96 = 0,04. Событие А – изделие признается пригодным. Условные вероятности P(А|H1) = 0,98; P(А|H2) = 0,05. Тогда по формуле полной вероятности:

P(A)=P(H1)·P(А|H1)+P(H2)·P(А|H2)=0,96·0,98+0,04·0,05=0,9428.

Вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту, находим по формуле Бейеса при k = 1:

P(H1|A) = P(H1) P(A H1) = 0,96 0,98 = 0,988.

P(A) 0,9428

Пример 8. Для проверки деталей на стандартность их отправляют к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6; ко второму – 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94; вторым контролером – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Гипотеза Н1 – деталь проверил первый контролер, гипотеза Н2 – деталь проверил второй контролер. По условию задачи имеем:

Р(Н1) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);

Р(Н2) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);

P(А|H1) = 0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером);

P(А|H2) = 0,98 (вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной вторым контролером).

Искомая вероятность определяется по формуле Бейеса:

76

До испытания вероятность гипотезы Н1 равнялась 0,6. После того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы изменилась и стала равной 0,59. Формула Бейеса позволила переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Пример 9. Часы одной марки изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 20% всей продукции, второй – 30%, третий – 50%. В продукции первого завода спешат 5% всех часов, второго – 3%, третьего – 2%. Купленные часы спешат. Какова вероятность, что они изготовлены на первом заводе?

Решение. Событие А – купленные часы спешат. Гипотезы: Н1 – купленные часы изготовлены первым заводом, Н2 – вторым, Н3 – третьим заводом. Вероятности гипотез: Р(Н1) = 0,2; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,5. Условные вероятности события А при условии осуществления этих гипотез, согласно условию задачи, соответственно равны:

P(А|H1) = 0,05; P(А|H2) = 0,03; P(А|H3) = 0,02. По формуле полной ве-

роятности имеем:

Р(А) = 0,2·0,05 + 0,3·0,03 + 0,5·0,02 = 0,029.

Тогда условная вероятность гипотезы Н1 при условии, что событие А имело место, вычислим по формуле Бейеса:

Р(Н1|А) = P(H1) P(A H1) = 0,2 0,05 = 0,345. P(A) 0,029

Таким образом, несмотря на то, что продукция первого завода составляет 20%, её доля в браке – 34,5%.

Пример 10. В группе из десяти студентов, явившихся на экзамен, трое подготовлены на отлично, четверо – на хорошо, двое – удовлетворительно и один – плохо. Программа экзамена содержит 20 вопросов. Отличник может ответить на все 20, хорошо подготовленный студент – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса, выбранных случайным образом. Найти вероятность того,

77

что это был студент, подготовившийся: а) отлично; б) плохо. Решение. Событие А – студент ответил на заданные вопросы.

Гипотезы: Н1 – студент подготовлен отлично, Н2 - студент подготовлен хорошо, Н3 - студент подготовлен удовлетворительно, Н4 - студент подготовлен плохо. По условию задачи вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,3; Р(Н2) = 0,4; Р(Н3) = 0,2; Р(Н4) = 0,1; условные вероятности:

Р(А|H1) = 1; Р(А|H2) = = 1620 1915 1418 ≈0,491;

Р(А|H3) = 1020 199 188 ≈0,105 ;

Р(А|H4) = = 205 194 183 ≈0,009 .

По формуле полной вероятности находим

Р(А)=P(H1)P(А|H1)+P(H2)P(А|H2)+P(H3)P(А|H3)+P(H4)P(А|H4)= =0,3·1 + 0,4·0,491 + 0,2·0,105 + 0,1·0,009 ≈ 0,518.

После того, как стало известно, что событие А произошло, по формуле Бейеса находим условные вероятности гипотез:

Пример 11. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой автомашины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая машина?

Решение. Введем гипотезы: Н1 – проезжающая машина – грузовая; Н2 – проезжающая машина – легковая. Поскольку количество грузовых и легковых автомашин относится как 3:2, то имеем

78

Р(Н1) = 53 ; Р(Н2) = 52 . Пусть событие А - проезжающая по шоссе ав-

томашина подъедет к бензоколонке для заправки. По условию задачи условные вероятности: P(А|H1) = 0,1; P(А|H2) = 0,2. По формуле полной вероятности находим

P(A)=P(H1)·P(А|H1)+P(H2)·P(А|H2)= 53 ·0,1 + 52 ·0,2 =0,14.

Искомая вероятность определяется по формуле Байеса:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень у первого стрелка равна 0,7; у второго – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

Ответ. Р = 0,88.

Задача 2. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом №1 и 4 детали, изготовленных заводом №2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом №1.

Ответ. Р = 9295 .

Задача 3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационный норматив для лыжника равна 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норматив.

Ответ. Р = 0,86.

Задача 4. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1 и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8. Для завода №2 эта вероятность равна 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из случайно выбранной коробки. Найти вероятность того, что извле-

79

чена стандартная деталь.

Ответ. Р = 0,84.

Задача 5. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором ящике – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем ящике – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что случайным образом выбранная деталь – стандартная.

Ответ. Р = 6043 .

Задача 6. В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок службы, для каждого из них соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что выбранный наугад кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

Ответ. Р = 0,875.

Задача 7. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. После этого из второго ящика извлекается одна лампа. Найти вероятность того, что она окажется нестандартной.

Ответ. Р = 13213 .

Задача 8. В ящик, содержащий три одинаковых детали, добавили одну стандартную деталь. Затем из него извлекли одну деталь. Найти вероятность того, что она стандартная, если равновероятны все возможные предположения о количестве стандартных и нестандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

Ответ. Р = 0,625.

Задача 9. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре, из второй группы

– шесть и из третьей группы – пять студентов. Вероятность того, что выбранный студент попадет в сборную команду ВУЗа, для первой группы равна 0,9; для второй – 0,7 и для третьей группы – 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную команду. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот студент?

Задача 10. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук. При-

80