Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

ся по формуле:

Число размещений с повторениями определяется по формуле:

Akn (с повт.)= nk .

Число сочетаний с повторениями определяется по формуле:

Примеры

Пример 1. В президиум избрали 9 человек. Из них нужно выбрать председателя президиума и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Из множества, содержащего 9 различных элементов, выбирают 2 элемента. Следовательно, находим число размещений из 9 элементов по 2 элемента, т.е.

способа выбора председателя и его заместителя.

Пример 2. Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на окружности?

Решение. Из множества, содержащего 6 различных элементов, выбираются 2 элемента, т. к. хорда определяется двумя точками, лежащими на окружности. Порядок выбора элементов не имеет значения (точки А и В или точки В и А определяют одну и ту же хорду). Следовательно, необходимо найти число сочетаний из 6 элементов по

2:

Значит через 6 точек можно провести 15 хорд.

Пример 3. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими спосо-

21

бами им могут быть поставлены оценки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительную оценку?

Решение. Каждый из студентов может получить любую из оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно». Значит, рассматриваемое множество X состоит из трех различных элементов. Общее число поставленных оценок равно четырем и они могут повторяться. Следовательно, необходимо составить размещения с повторениями из трех элементов по четыре:

A34 (с повт.) = 34 = 81

способов проставления оценок.

Пример 4. Сколькими способами могут быть распределены I, II и III места между 10-ю участниками соревнований?

Решение. Предполагаем, что каждый участник может занять только одно место. Тогда число способов распределения мест равно числу размещений из 10 элементов по 3, т.е.

Пример 5. Имеется 9 книг, четыре из которых учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники оказались рядом?

Решение. Если представить себе все учебники как одну книгу, то на полке нужно будет расставить как бы шесть книг, а не девять. Эту операцию можно сделать N1 = P6 способами. Кроме того, в каждой из полученных комбинаций можно выполнить N2 = P4 перестановок учебников. Тогда искомое число способов расположения книг на полке определяется следующим образом:

N = N1·N2 = P6·P4 = 6!·4! = 720·24 = 17280.

Пример 6. Имеются пять карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Из этих карточек произвольным образом выбирают три и расставляют по порядку слева направо. При этом образуется трехзначное число. Сколько трехзначных чисел можно получить из этих пяти цифр?

Решение. Число трехзначных чисел равно числу размещений из пяти элементов по три, т.е.

22

Пример 7. В партии из 10 деталей 9 являются стандартными. Из этой партии деталей наугад выбирают 5. Сколькими способами можно отобрать 5 стандартных деталей?

Решение. Среди 5 отобранных деталей все 5 окажутся стандартными тогда, когда они отбираются из 9 имеющихся стандартных, т.е.

Пример 8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня. 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Число возможных способов расстановки фигур равно числу перестановок с повторениями элементов множества из 8 элементов, три из которых повторяются, т.е.

8!

N = P8(2, 2, 2, 1, 1) = 2!2!2!1!1! = 5040.

Пример 9. В цветочном магазине продаются цветы шести сортов. Сколько различных букетов можно составить из десяти цветов в каждом (букеты, отличающиеся лишь расположением цветов, считаются одинаковыми)?

Решение. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то число букетов равно числу сочетаний с повторениями из шести элементов по 10:

N = C106 (с повт.) =C1015 = 3003.

23

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В забеге участвуют 5 атлетов. Сколькими способами могут распределиться два первых места?

Ответ. A52 = 20.

Задача 2. Сколькими способами можно расставить на полке 4 книги?

Ответ. P4 = 24.

Задача 3. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 20 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?

Ответ. A520 = 1860480.

Задача 4. В комнате n лампочек. Сколько всего способов освещения комнаты, при которых горит k лампочек?

Ответ. Ckn .

Задача 5. Сколько четырехзначных чисел можно образовать из нечетных цифр, если цифры могут повторяться?

Ответ. N = A54 (с повт.)= 54 = 625.

Задача 6. Сколькими способами можно распределить 12 различных учебников между четырьмя студентами?

Ответ. N = A124 (с повт.)= 412.

Задача 7. Сколькими способами можно разложить в два кармана 9 монет разного достоинства?

Ответ. N = A92 (с повт.)= 29 = 512.

Задача 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются?

Ответ. N = A37 = 210.

Задача 9. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков на любой другой язык из этих же пяти языков?

Ответ. N = A52 = 20.

Задача 10. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

Ответ. N = P10 = 10! =3628800.

24

Задача 11. В классе 30 учеников. Ежедневно для дежурства выделяются два ученика. Сколькими способами можно составить график дежурств так, чтобы никакие два ученика не дежурили вместе дважды?

Ответ. N = C302 = 435.

Задача 12. Имеются 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки различные). Сколькими способами может быть накрыт стол для чаепития на трех человек, если каждый получит одну чашку, одно блюдце и одну ложку?

Ответ. N = A34 · A35 · A36 = 172800.

Задача 13. У одного человека имеется 7 книг, а у другого - 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги?

Ответ. N = C72 · C92 = 756.

Задача 14. В состав сборной команды включены 2 вратаря, 5 защитников, 6 полузащитников и 6 нападающих. Сколькими способами тренер может выставить на поле команду, в состав которой входят вратарь, 3 защитника, 4 полузащитника и 3 нападающих?

Ответ. N = C12 · C35 · C64 · C36 = 6000.

Задача 15. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 книг по теории вероятностей, 3 книги по теории игр и 2 книги по математической логике, если книги по каждому предмету одинаковые?

10!

Ответ. N = P10(5, 3, 2) = 5!3!2! = 2520.

Задача 16. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней она выдает сыну по одному плоду. Сколькими способами это может быть сделано?

9!

Ответ. N = P9(2, 3, 4) = 2!3!4! =1260.

Задача 17. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов можно построить, если длина каждого его ребра может выражаться целым числом от 1 до 10?

Ответ. N = C103 (с повт.) = 312!9!!= 220.

25

5. Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, называемое классическим.

Рассмотрим пример. Пусть в урне находятся 6 шаров, причем 2 из них красные, 3 – синие и 1 - белый. Из урны наудачу вынимается шар. Возможность извлечь из урны цветной (красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эта возможность характеризуется числом, которое называют вероятностью события (в данном случае – появления цветного шара). Таким образом, вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события. Возвращаясь к примеру, дадим количественную оценку возможности того, что вынутый наудачу из урны шар окажется цветным. Появление цветного шара рассмотрим в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (под испытанием понимают извлечение шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через

ω1,ω2 ,ω3, … и т. д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: ω1 - появление белого шара; ω2 ,ω3 - появление красного шара; ω4 ,ω5 ,ω6 - появление синего шара. Эти исходы обра-

зуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные. Элементарные исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере событию А (появлению цветного шара) благоприятствуют 5 элементарных ис-

ходов - ω2 ,ω3 ,ω4 ,ω5 ,ω6 . Таким образом, событие А наблюдается,

если в результате испытания наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Всего элементарных исходов 6, из них 5 - благоприятствующих наступлению события А. Следовательно, число, дающее количественную оценку степени возможности появления цветного шара (вероятность того, что извлеченный шар окажется цветным) равно

Р(А) = 56 .

Величину Р(А) называют вероятностью события А.

26

В общем случае вероятность события А определяется по фор-

муле:

Р(А) = mn ,

где n – общее число всех возможных элементарных исходов, образующих полную группу, из них m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Основные свойства вероятности

Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие А – достоверное, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует наступлению события А. В этом случае m=n и Р(А)=1.

Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует наступлению события А. В этом случае m=0 и Р(А)=0.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, наступлению случайного события благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, т.е. 0 < m < n. Следовательно,

0 < mn < 1

и поэтому, 0 < Р(А) < 1.

Итак, из этих свойств следует, что вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Примеры

Пример 1. В ящике 12 шаров – 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность извлечь черный шар?

Решение. Пусть событие А – извлечен черный шар. По условию задачи n = 3 + 4 + 5 = 12. Из них m = 4. Таким образом, вероятность события А:

27

Р(А) = mn = 124 = 13 .

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набран нужный номер.

Решение. Пусть событие А – набрана нужная цифра и, следовательно, нужный номер. Общее число возможных исходов n = 10, т. к. абонент мог набрать любую цифру из 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Появлению события А благоприятствует лишь один исход – набрана нужная цифра, поэтому m = 1. Таким образом, вероятность события А:

Р(А) = mn = 101 .

Пример 3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и набрал ее наудачу, помня о том, что они различны. Найти вероятность того, что набран нужный номер.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две верные цифры. Общее число возможных исходов n равно количеству различных комбинаций из двух неодинаковых цифр, а это число равно коли-

честву размещений из десяти цифр по две, т.е. n = A102 = 10·9 = 90.

Благоприятствует событию В лишь один исход, т.е. m = 1. Поэтому искомая вероятность

Р(В) = mn = 901 .

Пример 4. Имеется 5 одинаковых карточек с буквами О, П, Р, С, Т на них. Перевернутые буквами вниз карточки выкладывают в одну линию, не видя букв. Затем их снова переворачивают. Найти вероятность того, что получится слово «СПОРТ».

Решение. Обозначим через событие А – появление слова «СПОРТ». Такая возможность всего одна, поэтому m=1. Карточки можно выложить 120 способами – число перестановок из пяти элементов, поэтому n = P5 = 5!=120. Тогда искомая вероятность

Р(А) = mn = 1201 .

Пример 5. Найти вероятность того, что при бросании игральной

28

кости выпадет четное число очков.

Решение. Общее количество возможных исходов при одном подбрасывании игральной кости n = 6, а число благоприятных исхо-

дов m = 3 (выпало 2, 4, или 6). Поэтому искомая вероятность Р = mn =

12 .

Пример 6. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадут: а) хотя бы одна шестерка; б) очки, дающие в сумме 4; в) одинаковые очки на обеих костях.

Решение. Общее число возможных исходов n = 6·6 = 36 по правилу произведения.

а) Пусть событие А – выпала хотя бы одна шестерка. Число благоприятствующих исходов m = 11. Эти исходы легко перечислить по выпавшим очкам: 1 и 6, 2 и 6, 3 и 6, 4 и 6, 5 и 6, 6 и 6; 6 и 1, 6 и 2, 6 и 3, 6 и 4, 6 и 5 на первой и второй костях соответственно. Таким образом, искомая вероятность

Р(А) = mn = 1136 .

б) Обозначим через В – событие выпали очки, дающие в сумме 4. Число благоприятствующих исходов m = 3. Эти исходы легко перечислить по выпавшим очкам: 1 и 3, 2 и 2, 3 и 1 на первой и второй костях соответственно. Таким образом, искомая вероятность:

Р(В) = mn = 363 = 121 .

в) Обозначим через С – событие выпали одинаковые очки на обеих костях. Число благоприятствующих исходов m = 6. Эти исходы легко перечислить: 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6 на первой и второй костях соответственно. Таким образом, искомая вероятность:

Р(В) = mn = 366 = 16 .

29

Пример 7. На сборку поступают 3000 деталей с первого станка и 2000 деталей со второго станка. Первый станок дает 0,2% брака, второй – 0,3% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

Решение. С первого станка на сборку поступают 6 бракованных деталей (3000·0,002 = 6). Со второго станка тоже 6 бракованных деталей (2000·0,003 = 6). Суммарное число бракованных деталей, поступающих на сборку, m = 12. Общее число деталей, поступающих на сборку, n = 3000+2000 = 5000. Тогда искомая вероятность

Р(А) = mn = 500012 = 0, 0024 .

Пример 8. В партии из N деталей имеются M стандартных (остальные бракованные). Наудачу выбирают n деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m стандартных деталей.

Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которым можно выбрать n деталей из N, т.е. число сочетаний из

N элементов по n элементов – CnN . Пусть событие А – среди отобран-

ных n деталей оказалось ровно m стандартных. Найдем число исходов, благоприятствующих событию А: m стандартных деталей из M

стандартных деталей можно выбрать СmM способами. При этом остальные n-m бракованных деталей из N – M бракованных можно выбрать СnN−-mM способами. Следовательно, по правилу произведения число ис-

ходов, благоприятствующих событию А равно СmM · СnN−-mM . Тогда искомая вероятность

Пример 9. В партии из 10 деталей имеются 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 выбранных наугад деталей окажется ровно 4 стандартных.

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи с N=10, M=7, n=6, m=4:

30