Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

Площадь этой области mesG = 1 – 0,25 = 0,75. Таким образом, вероятность события А – встреча состоится, определяется отношением:

Р(А) = mesGmesΩ = 0,175 =0,75.

Пример 5. На отрезок ОА длины L числовой оси наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрез-

ность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет на

отрезок СD длины L3 . Таким образом, искомая вероятность равна

Р = LL3 = 13

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника.

Ответ. а) Р = π2 ; б) Р = 34π3 .

Задача 2. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

Ответ. Р = 0,5.

Задача 3. Два самолета должны прилететь на аэродром между 13 и 14 часами. Время их стоянки 20 минут. Какова вероятность их

41

встречи на аэродроме.

Ответ. Р = 95 .

Задача 4. На автостанцию прибывают автобусы двух разных маршрутов. Автобусы одного маршрута прибывают три раза в час, другого – четыре раза в час. Найти вероятность того, что интервал времени между прибытиями автобусов этих двух маршрутов будет не более 10 минут.

Ответ. Р = 56 .

Задача 5. Определить вероятность попадания бомбы в объект площадью 1500 м2, если сброшенные с самолета бомбы равномерно распределяются по площади 4000 м2.

Ответ. Р = 83 .

Задача 6. Противник в течение часа делает десятиминутный артиллерийский обстрел участка шоссе. Какова вероятность избежать обстрела, если время преодоления опасного участка равна 5 минутам?

Ответ. Р = 0,767.

8. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B).

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1 + A2 + ··· + An) = P(A1) + P(A2) + ··· + P(An).

Если события A1, A2, …, An образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

P(A1) + P(A2) + ··· + P(An) = 1.

42

Это следует из того, что сумма этих событий – достоверное событие.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

_

P(A) + P(A) =1.

Пример 1. В урне 40 шаров: 20 красных, 5 синих и 15 белых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется цветным?

Решение. Пусть событие А – появление красного шара, В – появление синего шара. Тогда событие А+В – появление цветного шара. События А и В несовместны (появление красного шара исключает появление синего шара). Поэтому искомая вероятность по теореме сложения вероятностей будет равна:

P(A+B) = P(A) + P(B) = 2040 + 405 = 12 + 18 = 85 .

Пример 2. По трем трамвайным маршрутам курсируют 28 трамваев. По первому – 7, по второму – 9 и по третьему 12 трамваев. Для студента попутными являются первый и второй. Какова вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай попутного маршрута?

Решение. Пусть событие А – к остановке первым придет трамвай первого маршрута. Событие В - к остановке первым придет трамвай второго маршрута. Событие А+В – к остановке подойдет нужный (попутный) трамвай. Вероятности событий А и В соответственно равны:

P(A) = 287 , P(B) = 289 .

Поскольку события А и В – несовместны, то по теореме о вероятности суммы двух несовместных событий находим:

P(A+B) = P(A) + P(B) = 287 + 289 = 1628 = 74 .

Пример 3. Партия состоит из 100 изделий, среди которых 5 бра-

43

кованных. Для испытания выбирают 50 изделий. Партия принимается, если на 50 изделий приходится не более одного бракованного. Найти вероятность того, что партия изделий будет принята?

Решение. Обозначим через А событие, что на 50 изделий нет ни одного бракованного. Через В – событие, что на 50 изделий ровно одно бракованное. Событие С = А + В - событие, что партия принята. События А и В – несовместны. Поэтому вероятность суммы двух несовместных событий определяется по формуле:

Пример 4. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 2 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область?

Решение. Событие А – стрелок попал в первую область и событие В – стрелок попал во вторую область несовместны (области не пересекаются). Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получаем:

P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,45 + 0,35 = 0,8.

Пример 5. Стрелок производит один выстрел по мишени, состоящей из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца равны 0,1; 0,15 и 0,2 соответственно. Определить вероятность попадания в мишень.

Решение. Пусть событие А0 – попадание в центральный круг, А1 – попадание в первое кольцо, А2 – попадание во второе кольцо. Событие А – попадание в мишень. События А0, А1, А2 – несовместны. Поэтому по теореме сложения вероятностей имеем:

P(A)=P(A0+A1+A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0,1+0,15+0,2=0,45.

Пример 6. В группе из 27 студентов семеро занимаются бегом, трое – аэробикой и четверо – спортивными танцами. Найти вероят-

44

ность того, что наугад вызванный студент не занимается спортом? Решение. Пусть событие А – студент занимается спортом, со-

бытие A – студент не занимается спортом. Найдем вероятность события А как сумму вероятностей событий:

P(А) = 257 + 253 + 254 = 1425 .

Тогда искомая вероятность

Р(A ) = 1 – Р(А) = 1 - 1425 = 1125 .

Пример 7. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 3 - неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых пяти телевизоров будет хотя бы один неисправный?

Решение. События А и A - среди выбранных телевизоров «нет ни одного неисправного» и «есть хотя бы один неисправный» являются противоположными. Общее число способов выбрать 5 телевизоров из 10 равно

n = C105 = 510!5!! = 252.

Число исправных телевизоров равно 10 – 3 = 7. Число способов выбрать 5 телевизоров из 7 равно

m = C57 = 21.

Тогда вероятность события А – среди выбранных телевизоров нет ни одного неисправного равна

P(A) = 25221 = 121 .

Искомая вероятность события A равна

P( A ) = 1 – P(A) = 1 - 121 = 1211 .

Пример 8. В ящике имеется n деталей из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди извлеченных наудачу k деталей окажется хотя бы одна стандартная?

45

Решение. События А (среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная) и A (среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной) – противоположные. Найдем Р(A ). Общее число способов, которыми можно отобрать k деталей из n деталей, равно Ckn . Число нестандартных деталей равно n – m. Из этого числа деталей можно Cnk-m способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому

вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша (безразлично какого) для владельца одного лотерейного билета?

Ответ. Р = 0,02.

Задача 2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбивает 10 очков, равна 0,1. Вероятность выбить 9 очков рана 0,3. Вероятность выбить 8 очков или меньше равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок сможет выбить не менее 9 очков.

Ответ. Р = 0,4.

Задача 3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей окажется хотя бы одна стандартная.

Ответ. Р = 4445 .

Задача 4. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных шести деталей окажется не более одной нестандартной детали.

46

дартной детали. Событие В – ровно одна нестандартная деталь. Тогда

Задача 5. События A, B, C и D образуют полную группу. Вероятности этих событий заданы: P(A) = 0,1; P(B) = 0,4; P(C) = 0,3. Чему равна вероятность события D?

Ответ. Р(D) = 0,2.

Задача 6. По статистическим данным ремонтной мастерской на 20 остановок токарного станка в среднем 10 приходится на смену резца, 3 – на неисправности привода и 2 на несвоевременность подачи заготовок. Остальные остановки происходят по иным причинам. Найти вероятность остановки станка по иным причинам?

Ответ. Р = 0,25.

9. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A·B) = P(A)·P(B).

Вероятность произведения n событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1·A2···An) = P(A1) ·P(A2) ··· P(An).

Пример 1.Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) – 0,7.

Решение. События А и В – независимые. Поэтому, по теореме умножения вероятностей, искомая вероятность определяется следующим образом:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) = 0,8·0,7 = 0,56.

Пример 2.Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка равна 0,9, второго –

47

0,8. Какова вероятность бесперебойной работы обоих станков? Решение. Пусть событие А1 – бесперебойная работа первого

станка. Событие А2 – бесперебойная работа второго станка. Тогда бесперебойная работа обоих станков есть событие А1·А2. Поскольку эти события независимые, то

Р(А1·А2) = Р(А1)·Р(А2) = 0,9·0,8 = 0,72.

Пример 3. Фирма претендует на получение заказов от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения заказа от первой корпорации равна 0,45. Они также полагают, что вероятность обращения второй корпорации к ним равна 0,9. Найти вероятность того, что фирма получит оба заказа.

Решение. Пусть событие А1 – фирма получит заказ от первой корпорации. Событие А2 – фирма получит заказ от второй корпорации. Событие А = А1·А2 – фирма получит заказ от обеих корпораций. Так как эти события независимые, то

Р(А) = Р(А1·А2) = Р(А1)·Р(А2) = 0,45·0,9 = 0,405.

Пример 4. Имеются 3 ящика, содержащих по 10 деталей. Причем, в первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем

– 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все три извлеченные детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть событие А1 – появление стандартной детали из первого ящика; А2 - появление стандартной детали из второго ящика; А3 - появление стандартной детали из третьего ящика; А= А1 А2 А3 - появление стандартной детали из всех трех ящиков. По условию задачи

Р(А1) = 0,8; Р(А2) = 0,7; Р(А3) = 0,9.

Так как события А1, А2, А3 – независимые в совокупности, то искомая вероятность равна:

Р(А)=Р(А1·А2·А3)=Р(А1)·Р(А2)·Р(А3)=0,8·0,7·0.9=0,504.

Пример 5. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении той же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке

48

изготовлено две детали, на втором станке – три. Найти вероятность того, что все изготовленные детали первосортные.

Решение. Пусть событие Аk означает, что k-ая деталь изготовлена на первом станке и является первосортной (k=1,2). Событие Вi означает, что i-ая деталь изготовлена на втором станке и является первосортной (i = 1, 2, 3). Событие С – все пять деталей – первосортные: С = А 1·А2·В1·В2·В3. Так к ак события Аk и Вi – независимые в совокупности, то

Р(С) = Р(А1·А2·В1·В2·В3) = Р(А1)·Р(А2)·Р(В1)·Р(В2)·Р(В3) = = 0,7·0,7·0,8·0,8·0,8 = 0,251.

Пример 6. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом. Причем, в первой урне 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета?

Решение. Введем обозначения: А1 – из первой урны извлечен белый шар, А2 – из второй урны извлечен белый шар; В1 - из первой урны извлечен черный шар, В2 – из второй урны извлечен черный шар; С1 – из первой урны извлечен красный шар, С2 – из второй урны извлечен красный шар. Событие D - извлеченные шары оказались одного цвета:

D = A1·A2+B1·B2+C1·C2.

События А1·А2, В1·В2 и С1·С2 – несовместные. Кроме того, события А1 и А2, В1 и В2, С1 и С2 – независимые, поэтому

P(D)=P(A1·A2+B1·B2+C1·C2)=P(A1·A2)+P(B1·B2)+P(C1·C2) =

= P(A1)·P(A2)+P(B1)·P(B2)+P(C1)·P(C2) = = 245 · 1024 + 1124 · 248 + 248 · 246 =0,323.

Пример 7. Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут равна 0,7. В помещение с благоприятными для существования этих организмов условиями поместили 2 только что родившихся организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?

Решение. Пусть событие А1 – первый организм жив через 20 минут, событие А2 – второй организм жив через 20 минут. Предполо-

49

жим, что между ними нет внутривидовой борьбы за выживание, т.е. события А1 и А2 – независимы. Событие А = A1·A2 – оба организма живы через 20 минут. Тогда искомая вероятность

Р(А) = Р(A1·A2) = P(A1)·P(A2) = 0,7·0,7 = 0,49.

10. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A·B).

Эту теорему можно обобщить для любого конечного числа совместных событий. Например, для трех совместных событий она выглядит следующим образом:

P(A+B+С)=P(A)+P(B)+Р(С)– P(A·B)–P(В·С)–P(A·С)+P(A·B·С).

Пример 1. Для строительной компании вероятность заключить контракт с одной фирмой равна 0,4 и с другой фирмой – 0,3. Вероятность того, что обе фирмы будут заключать контракт, равна 0,12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы с одной фирмой?

Решение. Пусть событие А – компания заключит контракт с одной фирмой, событие В – компания заключит контракт со второй фирмой, причем события А и В – совместные. Событие А+В – компания заключит контракт хотя бы с одной фирмой. Тогда искомая вероятность определяется следующим образом:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A·B) = 0,3 +0,4 – 0,12 = 0,58.

Пример 2. В организации 500 работников, из них 190 имеют высшее образование, 180 – среднее специальное, а 230 сотрудников имеют и высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет или высшее или среднее специальное образование?

50