Практикум по теории вероятностей. Случайные события. Учебное пособие

чем, в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наугад из первой партии, переложено во вторую. После этого из второй партии наудачу выбирается одно изделие. Найти вероятность того, что оно бракованное.

Ответ. Р = 13213 .

Задача 11. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,96, а для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наугад выбранной винтовки.

Ответ. Р = 0,85.

Задача 12. В корзине находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад из корзины берут три мяча. После игры они возвращаются в корзину. Для второй игры также наугад из корзины берут три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

Ответ. Р = 0,089.

Задача 13. Имеются 5 ящиков с деталями. В двух из них 2 стандартных и 3 нестандартных детали. Еще в двух – по одной стандартной и 4 нестандартных деталей. Последний ящик содержит четыре стандартных и одну нестандартную деталь. Деталь, выбранная наугад из случайно выбранного ящика, оказалась стандартной. Определить вероятность того, что эта деталь была взята из последнего ящика.

2

Ответ. Р(Н3|А) = 5 .

Задача 14. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она произведена первым автоматом.

10

Ответ. Р(Н1|А) = 17 .

Задача 15. В стрелковой команде 2 отличных стрелка, 4 хоро-

81

ших и 4 посредственных. Вероятности попадания в мишень у этих стрелков равны 0,9; 0,7 и 0,5 соответственно. Наугад выбранный стрелок попал в мишень. Какова вероятность того, что это был отличный стрелок?

Ответ. Р = 0,273.

Задача 16. Вероятность сдачи зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдаст и зачет и экзамен?

Ответ. Р = 0,72.

Задача 17. Вероятность попадания в цель для стрелка равна 0,8. Если стрелок попал в цель при первом выстреле, то ему предоставляется право стрелять во вторую цель. Вероятность поражения обеих целей этим стрелком равна 0,6. Какова вероятность поражения второй цели?

Ответ. Р = 0,75.

Задача 18. Имеются две одинаковые урны, первая из которых содержит 2 черных и 3 белых шара, а вторая – 2 черных и 1 белый шар. Сначала наугад выбирается урна, затем из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что он белый?

Ответ. Р = 157 .

Задача 19. Имеются три одинаковых урны. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй – только белые шары, в третьей – только черные шары. Извлекается один шар из урны, выбранной случайным образом. Какова вероятность того, что он черный?

Ответ. Р = 158 .

Задача 20. Имеются две одинаковых урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй – 6 белых и 4 черных. Из урны, выбранной случайным образом, извлекается один шар. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что он извлечен из первой урны?

Ответ. Р ≈ 0,5385.

82

15. Варианты контрольных работ

Вариант 1

1.В наборе 10 букв «а, б, в , г, д, е , з, и, к, л». Из него, не глядя, выбрали 4 и сложили в ряд. Найти вероятность того, что образовалось слово «блик».

2.В ящике находятся 100 одинаковых на вид деталей, из которых 20 бракованных. Извлекается 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них 3 бракованных.

3.В трех ящиках лежат одинаковые на вид шары. В первом – 10 белых и 20 черных. Во втором – 30 белых и 10 черных. В третьем – 20 белых и 10 черных. Из них достали по одному шару. Найти вероятность того, что они одинаковые по цвету.

4.Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.

5.В двух ящиках находятся одинаковые на вид шары. В первом

–10 белых и 20 черных. Во втором – 20 белых и 10 черных. Из первого во второй переложили один шар. Затем из второго достали один шар, не глядя. Найти вероятность того, что это был белый шар.

Вариант 2

1.В наборе 10 цифр «0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9». Из него, не глядя,

выбрали 4 и сложили в ряд. Найти вероятность того, что образовалось число «1234».

2.В конверте 10 фотографий, среди которых одна нужная. Извлекается 5 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

3.В двух ящиках лежат одинаковые на вид шары. В первом – 10 белых и 20 черных. Во втором – 30 белых и 10 черных. Из них достали по одному шару. Найти вероятность того, что они разные по цвету.

4.Игровой кубик бросают 5 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет ровно 3 раза.

5.В ящике находятся одинаковые на вид шарики – 20 белых и 30 черных. Один из шаров удалили. Найти вероятность достать белый шар (после удаления одного шара).

83

Вариант 3

1.На полке стоит собрание сочинений из 15 томов. С полки сняли 5 книг. Какова вероятность того, что это 1, 2, 3, 4 и 5 тома в указанном порядке.

2.В студенческой группе 20 мальчиков и 10 девочек. В комиссию отбирают 5 случайных человек. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 девочки.

3.В двух ящиках лежат одинаковые на вид шары. В первом – 10 белых, 20 черных и 20 красных. Во втором – 30 белых, 10 черных и 10 красных. Из них достали по одному шару. Найти вероятность того, что они одинаковые по цвету.

4.Стрелок произвел 5 выстрелов в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет ровно 3 раза.

5.Из колоды карт (36 штук) удалили одну карту. После этого достают одну карту. Найти вероятность того, что это красная карта.

Вариант 4

1.В команде 15 игроков. Их формы лежат в куче. Пятеро спортсменов выбрали формы из кучи наугад. Какова вероятность того, что им достались их собственные формы.

2.В лотерее 100 билетов. Среди них 20 выигрышных. Найти вероятность того, что среди 5 купленных билетов окажется 3 выигрышных.

3.В двух коробках лежат одинаковые на вид лампы. В первом20 штук по 100 ватт и 30 штук по 200 ватт. Во втором 10 штук по 100 ватт и 40 штук по 200 ватт. Из них достали по одной лампе. Какова вероятность того, что они одинаковые по мощности.

4.Устройство содержит 5 блоков, работающих независимо. Надежность каждого из них равна 0,9. Найти вероятность того, что ровно 3 из них выйдут из строя.

5.В группе 10 мальчиков и 20 девочек. Из мальчиков на физкультуру ходят 70%, из девочек – 50%. По списку наугад выбрали одного студента. Найти вероятность того, что выбранный студент ходит на физкультуру.

84

Вариант 5

1.В группе 20 студентов. Их зачетки лежат вперемешку. Пятеро из них выбирают из кучи зачетки наугад. Какова вероятность того, что им достались их собственные зачетки.

2.В ящике находятся одинаковые на вид шары – 20 белых и 30 черных. Найти вероятность того, что среди 5 выбранных случайным образом шаров окажется 3 белых.

3.В первой корзинке 10 пирожков с капустой, 20 пирожков с мясом и 20 пирожков с рыбой. Во второй корзинке 20 пирожков с капустой, 10 пирожков с мясом и 20 пирожков с рыбой (все одинаковые на вид). Из каждой корзинки достали по пирожку. Найти вероятность того, что их начинки одинаковые.

4.Баскетболист выполнил 5 штрафных бросков. Вероятность попадания 0,8. Найти вероятность того, что он попал ровно 3 раза.

5.В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных на отлично, 4 – на хорошо, 2 – на удовлетворительно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеются 20 вопросов. Отличник может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно – на 10, плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответил правильно на три вопроса.

Вариант 6

1.В наборе 10 букв «а, б, в , г, д, е , з, и, к, л». Из него, не глядя, выбрали 5 и сложили в ряд. Найти вероятность того, что образовалось слово «белка».

2.В ящике находятся 50 одинаковых на вид деталей, из которых 30 бракованных. Извлекается 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них 4 бракованных.

3.В трех ящиках лежат одинаковые на вид шары. В первом – 20 белых и 10 черных. Во втором – 10 белых и 30 черных. В третьем – 30 белых и 10 черных. Из них достали по одному шару. Найти вероятность того, что они одинаковые по цвету.

4.Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

5.В двух ящиках находятся одинаковые на вид шары. В первом

–20 белых и 10 черных. Во втором – 10 белых и 20 черных. Из первого во второй переложили один шар. Затем из второго достали один шар, не глядя. Найти вероятность того, что это был черный шар.

85

Вариант 7

1.В наборе 10 цифр «0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9». Из него, не глядя,

выбрали 5 и сложили в ряд. Найти вероятность того, что образовалось число «12345».

2.В конверте 12 фотографий, среди которых одна нужная. Извлекается 5 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

3.В двух ящиках лежат одинаковые на вид шары. В первом – 20 белых и 10 черных. Во втором – 10 белых и 30 черных. Из них достали по одному шару. Найти вероятность того, что они разные по цвету.

4.Игровой кубик бросают 5 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет ровно 2 раза.

5.В ящике находятся одинаковые на вид шарики – 30 белых и 10 черных. Один из шаров удалили. Найти вероятность достать белый шар (после удаления одного шара).

Вариант 8

1.На полке стоит собрание сочинений из 12 томов, расположенных в произвольном порядке. С полки сн яли 4 книги. Какова вероятность того, что это 1, 2, 3 и 4 тома в указанном порядке.

2.В студенческой группе 10 мальчиков и 20 девочек. В комиссию отбирают 7 случайных человек. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 девочки.

3.В двух ящиках лежат одинаковые на вид шары. В первом – 20 белых, 10 черных и 20 красных. Во втором – 10 белых, 30 черных и 10 красных. Из них достали по одному шару. Найти вероятность того, что они одинаковые по цвету.

4.Стрелок произвел 6 выстрелов в мишень. Вероятность попадания в единичном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет ровно 2 раза.

5.Из колоды карт (36 штук) удалили одну карту. После этого достают одну карту. Найти вероятность того, что это черная карта.

86

Список литературы

1.Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е. С. Вентцель. – М.: Наука, 1964. – 576 с.

2Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2001.

–479 с.

3.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебник для вузов: в 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1980. – 366 с.

4.Виленкин, И. Я. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: учебник для вузов / Н. Я. Виленкин, В. Г. Потапов. – М. Просвещение, 1979. – 111 с.

5.Баврин, И. И. Высшая математика: учебник для вузов / И. И. Баврин. – М. Высшая школа, 2001. – 612 с.

6.Ахмадиев, М. Г. Высшая математика: кратные интегралы, криволинейные интегралы, ряды, теория вероятностей: учебное пособие / М. Г. Ахмадиев [и др.]. – Казань: изд-во Казан. гос. технол. ун-

та, 2006. – 74 с.

7.Задачи и упражнения по теории вероятностей: метод. указания / сост.: Ф. Г. Фоменко, Р. Ш. Хуснутдинов. – Казань: Изд-во КГТУ, 1991. – 58 с.

8.Хуснутдинов, Р. Ш. Сборник задач по курсу теории вероятностей и математической статистике / Р. Ш. Хуснутдинов. – Казань: Изд-во КГТУ, 2002. – 447 с.

87

Ответственный за выпуск проф. Р. Ш. Хуснутдинов

Издательство Казанского национального исследовательского технологического университета

Отпечатано в офсетной лаборатории Казанского национального

исследовательского технологического университета 420015, Казань, К. Маркса, 68

88