Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
Методы вычисления средней арифметической
На практике используются три метода расчета средней арифметической: 1) определение общей средней на основе групповых (частных) средних; 2) вычисление средней арифметической по данным интервального
вариационного ряда; 3) вычисление средней арифметической по методу
моментов.
1. Определение общей средней на основе групповых (частных)
средних.
Пример 4.4. Имеем следующие данные о заработной плате работников
двух предприятий (табл. 4.5).
Таблица 4.5
Заработная плата работников предприятий за январь 2023 г.
Предприятие Средняя заработная плата,
1 3 500 30,0
2 3 900 70,0
Итого
руб. (x)
×
Численность работников, %
к итогу (f)
100,0
Как исчислить среднюю заработную плату (x), приходящуюся на одного работника, в целом по двум предприятиям? Подсчитаем среднюю
заработную плату по формуле средней арифметической простой (4.1):
(h
(
h
(
h
(
руб.
h
h
x =
(
h
(
∑
h
(
h
x
=
(
n
h
3500 +3 900
h
h
h
(
(
(
(
2
(
h
(
h
(
(
= 3 700
h
h
Очевидно, что такой расчет средней заработной платы был бы верен
лишь в том случае, если бы на предприятиях было по одному работнику,
что абсурдно, или одинаковое их число, чего тоже практически не бывает.
Правильным будет такое решение, которое учтет различия в численности
работников предприятий. Это значит, что групповую (частную) заработную
плату одного работника надо взвесить по численности работающих, т. е.
используется формула (4.2):
xm
x =
∑
∑
3500 ·30,0 + 3 900 ·70,0
=
m
100,0
= 3 780
руб.
Применение весов дало возможность учесть все значения осредняемого признака.
2. Вычисление средней арифметической по данным интервального
вариационного ряда. Для вычисления средней необходимо от интервалов
перейти к их серединам.
61
Пример 4.5. Распределение рабочих предприятия по стажу работы
приведено в табл. 4.6.
Таблица 4.6
Распределение рабочих предприятия по стажу работы
Группы рабочих по стажу
работы, лет
До 2 228 1,0
2–5 100 3,5
5–10 50 7,5
10–20 22 15,0
Итого 400
Численность рабочих, чел.
(m)
Серединное значение
интервала (x)
×
Определим средний стаж работы по формуле средней арифметической
взвешенной (4.2):
xm
x =
∑
∑
1,0 ·228 +3,5 ·100 +7,5 ·50 + 15,0·22
=
m
400
= 3,2
года
.
Принимая серединные значения интервалов в качествеx, условно
предполагаем, что варианты в каждом интервале располагаются равномерно, хотя в действительности этого может и не оказаться. Однако практика
показывает, что такие допущения близки к действительности, особенно
если численность явлений достаточно велика.
3. Вычисление средней арифметической по методу моментов. Метод моментов является упрощенным способом расчета средней арифметической, он позволяет сократить арифметику ее вычисления. Метод моментов применяется для интервальных группировок с постоянным или равным
интервалом. Он основан на использовании 1 и 2 свойств средней арифме-
тической, причем эти оба свойства применяются одновременно:
тогда
к средней величине осредняемого признакаx:
x−a
y =
В дальнейшем осуществляется переход от новой средней величины
.
b
x = b ·y + a.
y =
x −a
b
Пример 4.6. Произведем расчет средней заработной платы работников
предприятия по методу моментов (табл. 4.7).
Чтобы максимально сократить арифметику, необходимо правильно вы-
брать величиныaиb. В качествеaобычно берут:
1) при нечетном числе групп в группировке серединное значение средней группы. В нашем примере средняя группа 4 500–5 100, тогда
a = 4 800
;
2) в случае четного числа групп в группировке в качествеaиспользуют любое из двух серединных значений двух средних групп.
,
y
62
Таблица 4.7
К расчету средней заработной платы работников предприятия по методу моментов
Группы
работников
по заработной
плате, руб.
3 300–3 900 10 3 600
3 900–4 500 40 4 200
4 500–5 100 70 4 800 0 0
5 100–5 700 50 5 400 1 50
5 700–6 300 30 6 000 2 60
Итого 200
Численность
работников, чел.
(m)
Середина
интервала (x)
× ×
x −a
y =
b
a = 4800
b = 600
−
2
−
1
;
;
y ·m
−
−
20
40
50
В качествеbберут величину постоянного интервала группировки:
= 600
.
b =
Произведем расчет новой средней величиныy:
ym
y =
∑
∑
50
=
200
= 0,25.
m
Тогда средняя заработная плата (x) работников предприятия составит
x = b·y+ a = 600 ·0,25 + 4 800 = 4 950
руб.
Допустим, что распределение работников по заработной плате вклю-
чает шесть групп (руб.):
3 300–3 900
3 900–4 500
4 500–5 100
5 100–5 700
5 700–6 300
6 300–6 900
В этом примере имеются две средние группы, т. е. в качествеaможно
использовать либо 4 800, либо 5 400.
4.3. Средняя гармоническая
Средняя гармоническая представляет собой обратную величину сред-
ней арифметической из обратных значений варьирующего признака.
Пример 4.7. По двум предприятиям имеются следующие данные
о производстве продукции и выполнении плана по ее производству
за IV квартал 2022 г. (табл. 4.8).
63
Таблица 4.8
Производство продукции и выполнение плана по двум предприятиям
Предприятие Фактический выпуск
1 1 120,0
2 1 200,0
за IV квартал 2022 г.
продукции, млн руб.
Процент выполнения плана
по производству продукции
Определим средний процент выполнения плана по производству продукции по двум предприятиям вместе (x) по формуле средней арифметической простой (4.1):
(h
(
(
(
= 160,0%,
h
h
h
(
h
h
x =
(
h
(
h
∑
(
h
h
x
=
(
(
n
120,0 + 200,0
h
(
h
(
(
h
(
(
h
h
2
т. е. в целом по двум предприятиям план по производству продукции
в IV квартале 2022 г. был выполнен на 160,0% или перевыполнен на 60,0%.
Верно ли это? Покажем, что этот расчет является неправильным. В главе «Абсолютные и относительные величины» приведена формула расчета
относительной величины выполнения плана:
y
1
=
,
y
пл
где
y1и
K
вып.пл
y
– соответственно фактический показатель (фактический вы-
пл
пуск продукции) и плановое задание (по выпуску продукции
на IV квартал 2022 г.).
На основе данной формулы определим уровень планового задания
по производству продукции по каждому предприятию:
y
K
вып.пл
1
.
yпл=
По первому предприятию:
По второму предприятию:
y
пл.1
y
пл.2
=
=
1
120,0
1
200,0
·100 = 0,833
·100 = 0,500
млн руб.
млн руб.
В целом по двум предприятиям план по производству продукции составит 0,833+0,500=1,333 млн руб. Тогда, используя формулу относительной величины выполнения плана в качестве исходного соотношения (базы,
основы) расчета данного показателя, определим средний процент выполнения плана по производству продукции за IV квартал 2022 г.:
x =
1 + 1
0,833 + 0,500
·100 = 150,0%.
64
Итак, применение в данном примере формулы средней арифметической является неправомерным действием, искажающим (точнее, завышающим) результат и не обоснованным логической сущностью этого показателя. Фактически по двум предприятиям вместе план по производству
продукции выполнен на 150,0%, а не на 160,0%, как вычислено ранее
по формуле средней арифметической. Данный расчет можно произвести
без промежуточных вычислений уровня планового задания по производству продукции по каждому предприятию, т. е.
1
120,0
1 + 1
+
1
200,0
= 150,0%,
x =
где в знаменателе дроби сумма обратных значений осредняемого признака
(процента выполнения плана), а в числителе – число единиц совокупности.
Такой результат получен по формуле средней гармонической простой
x =
1
x
1
1 + 1 +. . .+ 1
1
+
+ . .. +
x
2
,
или
1
x
n
x =
n
,
1
∑
x
(4.3)
гдеx,n– то же, что в формулах средней арифметической.
Пример 4.8. Изменим условие примера 4.7. Допустим, что фактический выпуск продукции по предприятиям составил соответственно 7,2
и 2,0 млн руб., проценты выполнения плана не изменились (табл. 4.9).
Таблица 4.9
Производство продукции и выполнение плана по двум предприятиям
Предприятие Фактический выпуск
1 7,2 120,0
2 2,0 200,0
за IV квартал 2022 г.
продукции, млн руб.
Процент выполнения плана
по производству продукции
Для расчета среднего процента выполнения плана по двум предприятиям вместе используем то же самое исходное соотношение данного показателя, т. е. получим
x =
7,2 + 2,0
7,2
120,0
+
2,0
200,0
= 131,4%.
65
План по производству продукции по двум предприятиям вместе выполнен на 131,4%, или перевыполнен на 31,4%. Расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной
w1+ w2+ . .. +w
x =
w
1
+
x
1
w
2
x
2
+ . .. +
n
,
или
w
n
x
n
x =
w
∑
,
w
∑
x
(4.4)
гдеw– веса (частоты) вариационного ряда.
Средняя гармоническая применяется также при расчетах индекса покупательной способности рубля, который обратно пропорционален индексу
цен на товары и услуги.
4.4. Критерий выбора вида средней арифметической или средней гармонической
В экономических расчетах наиболее часто используются средние арифметические и реже – средние гармонические. Выбор того или иного вида
средней зависит от исходных данных и исходного соотношения – логической формулы средней. Исходное соотношение составляется на основе
теоретического и экономического анализа. Приведем примеры составления
исходных соотношений:
Средняявыработкаодногоработника
средняязаработнаяплата
объемпроизведеннойпродукции
=
численностьработников
фондзаработнойплаты
=
численностьработников
;
;
средняяурожайность(ц/га
валовыйсбор(урожай, ц
) =
посевнаяплощадь(га
)
.
)
Далее используются следующие критерии:
1) если в исходном соотношении известен знаменатель, а числитель неизвестен, но его можно определить на основе других известных величин, следует использовать среднюю арифметическую
(простую или взвешенную в зависимости от условия задачи):
x
∑
,
=
или
n
x =
xm
∑
;
m
∑
x =
2) если в исходном соотношении известен числитель, а знаменатель
неизвестен, но его можно определить на основе других известных
величин, следует применять среднюю гармоническую (простую или
66
взвешенную в зависимости от условий задачи):
w
∑
=
;
w
∑
3) если в исходном отношении известны и числитель, и знаменатель,
x
т. е. их можно определить последовательно путем простого суммирования, используют среднюю в неявной форме – как отношение
одного объемного показателя к другому:
x =
w
∑
m
∑
x =
.
n
,
или
1
∑
x
x =
4.5. Описательные средние (медиана и мода)
Помимо перечисленных в статистике употребляются еще две особые
разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов и не являются результатом каких-либо алгебраических
действий; условно их можно назвать описательными (структурными) средними. Эти средние – медиана и мода. Особенность описательных средних
состоит в том, что они, будучи вполне определенными значениями признака, могут быть использованы, как и другие средние, в качестве обобщающей характеристики всей совокупности в целом.
Медиана. Название «медиана» взято из геометрии, где им именуется
отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны и разделяющий, таким образом, сторону треугольника на две равные части. В статистике медиана также делит на две равные части, но не сторону треугольника, а ранжированный (построенный
в порядке возрастания или убывания) вариационный ряд. Итак, медиана –
это варианта, делящая ранжированный вариационный ряд на две равные
части. Значения вариант одной из этих частей меньше медианы, а другая
часть содержит варианты, значения которых больше медианы. Медиана
не зависит ни от амплитуды колебаний ряда, ни от распределения частот
в пределах двух равных частей ряда, поэтому ее применение позволяет
получить более точные результаты, чем при использовании других форм
средних. Обозначают медиану символомMe.
Пример 4.9. Допустим, что имеется группа рабочих из 7 человек.
Требуется охарактеризовать эту группу с точки зрения стажа работы. Если
расположить стаж рабочих в порядке возрастания варьирующего признака,
т. е. стажа работы, получим следующий ранжированный ряд (табл. 4.10):
Для характеристики среднего стажа работы можно найти среднюю
арифметическую:
7 + 8 +8 +9 +10 + 11 + 14
x =
7
67
= 9,6
года.
Таблица 4.10
Ранжированный ряд семи рабочих по стажу работы
Порядковые номера рабочих по стажу работы 1 2 3 4 5 6 7
Стаж работы, лет 7 8 8 9 10 11 14
Но для этих же целей можно определить медиану. Это значит найти
такого рабочего, стаж работы которого разделяет всю совокупность на две
равные части: трое имеют стаж работы меньше его, а трое – больше. Такой
рабочий имеет порядковый номер 4 и стаж работы 9 лет. Следовательно,
медианой для данной совокупности по признаку стажа работы будет 9 лет
(
Me = 9
лет).
Если всем единицам ранжированного вариационного ряда дать порядковые номера, номер медианы в ряду с нечетном числом членовnопреде-
лится как
7 + 1
2
среднюю из двух центральных вариант, порядковые номера которых
n
и
2
n + 1
.
Так, в нашем примере из 7 членов ряда номер медианы
2
= 4
, т. е. медианой является варианта, стоящая в ряду 4-й по порядку.
Если же вариант – четное число, медиану приходится определять как
+ 1.
Изменим условие предыдущего примера: группа рабочих состоит
n
2
из 8 человек, рабочий с порядковым номером 8 в ранжированном ряду
имеет стаж работы 16 лет (табл. 4.11).
Таблица 4.11
Ранжированный ряд восьми рабочих по стажу работы
Порядковые номера рабочих по стажу работы 1 2 3 4 5 6 7 8
Стаж работы, лет 7 8 8 9 10 11 14 16
В данном случае
Me =
9 + 10
2
= 9,5
года. Однако если число единиц
в совокупности достаточно большое и различия между величинами рядом
стоящих вариант незначительные, можно считать медианой одну из цент-
ральных вариант с порядковым номером
деляя медиану при четном числе членов ряда.
n
. Так обычно поступают, опре-
2
Мода. Модой в статистике называют такое значение варьирующего
признака, которое встречается чаще, чем какие-либо другие. Итак, мода –
это варианта, обладающая наибольшей частотой. Мода отражает некоторый
наиболее типичный уровень признака, характерный для данной совокупности. Обозначают моду символомMo.
Отыскание медианы и моды для дискретного и интервального вариа-
ционных рядов производится по-разному.
68
Определение медианы и моды по данным дискретного ряда не пред-
ставляет трудностей.
Пример 4.10. В табл. 4.12 представлено распределение рабочих пред-
приятия по тарифному разряду.
Таблица 4.12
Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду
Тарифный разряд рабочих Численность рабочих, чел. Накопленные
1 15 15
2 35 50
3(Mo) 45 95
4(Me) 40 135
5 35 170
6 30 200
Итого 200
частоты
×
Чтобы определить медиану тарифного разряда рабочих, необходимо
найти ее порядковый номер, а затем по накопленным частотам (частостям)
определить величину варианты, обладающей таким номером. В нашем примере, где число членов ряда 200 (четное число), принимаем за медиану
одну из центральных вариант, номер которой
ленным частотам определяем, что 100-й член ряда имеет 4-й тарифный
разряд, т. е.
Me = 4
-му тарифному разряду рабочих.
200
2
= 100.
Затем по накоп-
В данном примере наибольшая численность рабочих имеет 3-й тарифный разряд, т. е. мода равна 3-му тарифному разряду:
Mo = 3
.
Пример 4.11. Покажем, как найти медиану и моду для интервально-
го ряда на примере распределения работников предприятия по возрасту
(табл. 4.13).
Прежде всего определяют интервалы, в которых находятся медиана
и мода. Их называют соответственно медианным и модальным интервалами.
Медианный интервал определяется по накопленным частотам. Внутри
интервала медиана вычисляется по формуле
2
m
∑
−S
Me−1
Me = x0+ h
где
x0– нижняя граница медианного интервала,
2
Формула медианы (Me) выведена исходя из допущения о равномерности нарастания
накопленной частоты внутри интервала.
2
m
,
Me
69
(4.5)
h
– величина медианного интервала,
m
– сумма частот или число членов ряда, тогда
∑
аны,
S
– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих меди-
Me−1
m
∑
– номер меди-
2
анному,
mMe– частота медианного интервала.
Таблица 4.13
Распределение работников предприятия по возрасту
Группы работников
по возрасту, лет
До 20 45 45
20–25 120 165
25–30 225 390
30–35 (Me) 260 650
35–40 (Mo) 280 930
40–45 105 1035
45–50 85 1 120
50–55 70 1 190
55–60 50 1 240
Итого 1 240
Численность работников,
чел.
Накопленные частоты
×
Если в интервальном вариационном ряде в качестве весов используются частости (относительные частоты), то как определение медианного
интервала, так и вычисление медианы осуществляется аналогично. Однако
в формуле (4.5) в качестве весов вместо частот (m) используются частости (f):
f
∑
−S
Me−1
2
f
f
∑
– номер медианы,
2
,
Me
(4.6)
где
Me = x0+ h
f
– сумма частостей, тогда
∑
S
– сумма накопленных частостей интервалов, предшествующих
Me−1
медианному,
fMe– частость медианного интервала.
Исчислим медиану по данным табл. 4.13. Медианный интервал находится в пределах 30–35 лет, так как в пределах этого интервала находится
варианта, которая делит совокупность на две равные части:
1240
2
= 620.
Подставляя в формулу (4.5) необходимые численные значения, получим
1240
−390
Me = 30 + 5
2
260
= 34,4
лет
.
70