Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по теории статистики. Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей 38.00.00 Экономика и Управ.pdf
б) расчеты отклонения фактических данных от выравненных урав-
нений;
в) вычисление коэффициента корреляции, используя полученные
отклонения.
Год Урожайность, ц/га Себестоимость, руб./ц
2010 125 259
2011 94 338
2012 123 285
2013 143 305
2014 119 331
2015 123 430
2016 172 356
2017 171 377
2018 118 527
2019 150 492
2020 92 709
2021 161 542
2022 171 4
На основании расчетов СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 8.52. По данным предыдущей задачи ПРОИЗВЕДИТЕ экстрапо-
ляцию урожайности и себестоимости картофеля на предстоящие три года
(2023–2006 гг.) на основании:
1) среднего абсолютного прироста (∆);
2) среднего темпа роста (
T )
;
3) аналитического выравнивания уровней ряда динамики по прямой
(
yt= a0+ a1t)
.
СРАВНИТЕ полученные результаты. ОБЪЯСНИТЕ расхождение между
прогнозируемыми уровнями.
Прогнозируемые разными методами уровни урожайности и себестои-
мости картофеля ПРЕДСТАВЬТЕ в виде таблицы.
Задача 8.53. Имеются следующие данные о средней годовой выработке
продукции на одного работающего и фондоотдаче основных фондов предприятия за 2011–2022 гг. (см. таблицу).
Для анализа взаимосвязи средней годовой выработки на одного работающего и фондоотдачи ПРОВЕРЬТЕ ряды динамики на автокорреляцию.
Для этого ПРОВЕДИТЕ сопоставление фактических коэффициентов автокорреляции с табличными коэффициентами.
Автокорреляционные функции динамических рядов выработки и фондоотдачи ПРЕДСТАВЬТЕ в табличной форме.
221
Год Выработка продукции
на одного работающего,
тыс. руб./чел.
2011 986 2,80
2012 772 1,92
2013 734 2,54
2014 854 1,79
2015 930 2,98
2016 1 284 3,32
2017 918 2,59
2018 954 2,65
2019 1 367 3,48
2020 1 610 4,59
2021 1 692 3,53
2022 1 902 4,20
Фондотдача, руб./руб.
Возможны два варианта установления взаимосвязи этих признаков:
1) при отсутствии автокорреляции в динамических рядах ВЫЧИСЛИТЕ коэффициент корреляции на основании фактических уровней динамических рядов;
2) при наличии автокорреляции в динамических рядах и для ее устранения ПРОИЗВЕДИТЕ:
а) выравнивание рядов динамики по уравнению прямой;
б) расчеты отклонений фактических данных от выровненных урав-
нений;
в) вычисление коэффициента корреляции, используя полученные
отклонения.
На основе расчетов СДЕЛАЙТЕ выводы.
Задача 8.54. По данным предыдущей задачи ПРОИЗВЕДИТЕ экстра-
поляцию выработки продукции на одного работающего и фондоотдачи
на предстоящие три года (2023–2025 гг.) на основании:
1) среднего абсолютного прироста (∆);
2) среднего темпа роста (T);
3) аналитического выравнивания уровней ряда динамики по прямой
(
yt= a0+ a1t
).
Прогнозируемые разными методами уровни выработки и фондоотдачи
ПРЕДСТАВЬТЕ в табличной форме.
СРАВНИТЕ полученные результаты. ОБЪЯСНИТЕ расхождение между
прогнозируемыми уровнями.
Задача 8.55. Динамика урожайности сельскохозяйственных культур
в районе за 2012–2022 гг. описывается функциями следующего вида:
222
Сельскохозяйственные
культуры
Зерновые
Овощи
Картофель
Сахарная свекла
Примечание. * При отсчете времени от начального уровня ряда динамики.
Модели тренда* Тип функции
yt= 10,1 ·1,033
yt= 45,8 + 76,3 ·1,041
yt= 115,3 −4,98t + 0,349t
yt= 73,8 + 2,51t
t
t
2
Модифицированная
Парабола 2-й степени
Экспонента
экспонента
Прямая
1. ПРОИЗВЕДИТЕ расчет теоретических уровней по этим уравнениям
за 2012–2022 гг.
2. Предполагая, что закономерности изменения урожайности культур
сохранятся, ОПРЕДЕЛИТЕ ожидаемые уровни этих показателей на ближайшие три года (2023–2025 гг.).
Результаты прогноза ИЗЛОЖИТЕ в табличной форме.
СДЕЛАЙТЕ выводы об изменении и прогнозе динамики урожайности
сельскохозяйственных культур.
Задача 8.56. Известны данные о розничном товарообороте региона
за 2020 и 2022 гг.:
Год 2020 2021 2022
Оборот розничной торговли, млрд руб. 39,4 … 53,2
Методом интерполяции ОПРЕДЕЛИТЕ объем розничного товарооборо-
та в 2021 г. на основании:
1) среднего абсолютного прироста (∆);
2) среднего темпа роста (
T )
.
Результаты интерполяции ПРЕДСТАВЬТЕ в табличной форме. ОБЪЯСНИТЕ расхождения между уровнями объема розничного товарооборота,
полученными разными приемами интерполяции.
Задача 8.57. Известны данные об объеме валовой продукции предприя-
тия за I и IV кварталы 2022 г.:
Квартал I II III IV
Объем валовой продукции, млн руб. 26,8 … … 37,9
Методом интерполяции ОПРЕДЕЛИТЕ объем валовой продукции во II
и III кварталах 2022 г. на основании:
1) среднего абсолютного прироста (∆);
2) среднего темпа роста (
T )
.
Результаты интерполяции ПРЕДСТАВЬТЕ в табличной форме. ОБЪЯСНИТЕ расхождения между уровнями объема валовой продукции, полученными разными приемами интерполяции.
Г л а в а 9
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ
Важнейшей задачей экономических исследований является выявление факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса.
Различают два вида зависимости между экономическими явлениями –
функциональную и стохастическую. Функциональная зависимость подразумевает существование однозначного отображения множества значений
исследуемых величин, например зависимость производительности труда
от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени:
= f (x
чительных случайных факторов, поэтому каждому значению аргумента
соответствует множество значений переменнойY. Такая неоднозначность
есть проявление стохастической зависимости. Например, при изучении производительности трудаYв зависимости от среднегодовой стоимости основных фондовXкаждому значениюXсоответствует множество значенийY,
и наоборот. В этом случае говорят о наличии стохастической связи.
шается методами корреляционного и регрессионного анализа.
)
.
1,x2
При изучении реальных явлений сказывается влияние многих незна-
Обнаружение и измерение силы стохастической связи чаще всего ре-
9.1. Корреляционный анализ
Y =
X
Главной задачей корреляционного анализа является оценка взаимозависимости переменных величин на основании выборочных данных. Дополнительной задачей является обнаружение форм связи между признаками
(прямая, гипербола и т. д.).
Различают следующие виды корреляционной связи:
– относительно числа переменных, включенных в модель, бывает пар-
ная или множественная корреляционная связь, т. е. корреляция соответственно между двумя или несколькими признаками;
224
– относительно характеристики выделяют положительную корреля-
цию, когда с увеличением одного признака второй тоже увеличивается, и отрицательную, когда с увеличением одного признака,
значения второго уменьшаются;
– относительно формы связи различают линейную корреляцию, ког-
да взаимосвязь переменных характеризуется линейными отношениями, и нелинейную корреляцию, если переменные связаны нелинейным соотношением.
Как характеристику линейной зависимости для определения тесноты
связи между двумя признаками по результатам выборочного наблюдения
используют выборочный коэффициент линейной корреляции
xy − ¯x ¯y
r =
σxσ
.
y
(9.1)
9.1.1. Двумерная корреляционная модель
Объектом изучения при решении задач корреляционного анализа является генеральная совокупность и репрезентативная выборка из нее
(x2,y2)
, …,
(xn,yn)
.
(x1,y1)
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от−1 до 1.
Значения
ной зависимости между признаками почти наверное, т. е. существуют
такие, что
r = ±1
свидетельствуют о наличии линейной функциональ-
P{Y = aX + b}= 1
. Если
r = 0
, признаки некоррелируемы (неза-
aиb
висимы). Положительный знак указывает на положительную корреляцию,
т. е. с увеличениемXпризнакYрастет. Отрицательный знак свидетельствует об отрицательной корреляции. Чем ближе
|r|
к 1, тем зависимость
между признаками более существенна, и чем ближе к нулю, тем признаки
более независимы.
Если с помощью регрессионного анализа выявлено наличие статистической связи между признаками, обычно находят вид зависимостей, используя методы регрессионного анализа. В этом случае уравнение линейной
регрессии имеет вид
,
ˆy(x) = b0+ b1(x − ¯x).
(9.2)
Оценки коэффициентов регрессии находят по формулам
σ
b0= y, b1= r
Коэффициент детерминации
R2= r2показывает, какая доля вариа-
y
.
1
σ
x
ции результативного признака вызвана фактором, положенным в основание
группировки. Его значения находятся в пределах от 0 до 1.
225
Пример 9.1. На основании данных обследования группы предприятий исследовать методами корреляционного анализа зависимость прибыли
от реализации продукцииY(млн руб.) от средней годовой численности
промышленно-производственного персонала
X
(чел.) (табл. 9.1).
Решение
Построим поле корреляции (рис. 9.1), из которого видно, что между
показателямиXиYдействительно наблюдается линейная связь.
Рис. 9.1. Поле корреляции
Составим расчетную табл. 9.1.
Используя полученные суммы по столбцам, вычислим средние значения, средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции:
σx=
σy=
¯x =
s
s
1
∑
n
i
xi=
1350
15
= 90; ¯y =
1
∑
n
i
yi=
96
15
= 6,4;
r
1
2
x
−( ¯x)2=
∑
i
n
i
146478
15
−902=p1665,2 = 40,8;
r
1
2
y
−( ¯y)2=
∑
i
n
i
1
xy =
n
∑
i
635,78
xiyi=
−6,42=p1,42 = 1,19;
15
9255,1
15
= 617.
226
Таблица 9.1
К расчету коэффициента корреляции и уравнения регрессии
N X Y X
1 150 7,2 22 500 51,84 1 080,0 7,900
2 38 5,8 1 444 33,64 220,4 5,100
3 85 7,5 7 225 56,25 637,5 6,275
4 28 4,4 784 19,36 123,2 4,850
5 146 8,4 21 316 70,56 1 226,4 7,800
6 34 4,5 1 156 20,25 153,0 5,000
7 95 7,0 9 025 49,00 665,0 6,525
8 50 5,0 2 500 25,00 250,0 5,400
9 134 6,4 17 956 40,96 857,6 7,500
10 120 8,0 14 400 64,00 960,0 7,150
11 74 6,0 5 476 36,00 444,0 6,000
12 140 7,8 19 600 60,84 1 092,0 7,650
13 110 6,2 12 100 38,44 682,0 6,900
14 60 5,8 3 600 33,64 348,0 5,650
15 86 6,0 7 396 36,00 516,0 6,300
Итого 1 350 96,0 146 478 635,78 9 255,1 96,000
2
2
Y
XY ˆy
Коэффициент корреляции вычислим по формуле (9.1):
r =
xy −x ·y
σxσ
=
y
617 −90 ·64
40,8 ·1,19
= 0,84.
Таким образом, расчеты подтвердили, что между прибыльюYи сред-
ней годовой численностью промышленно-производственного персонала
наблюдается положительная линейная корреляционная связь (
r = 0,84
X
).
Найдем параметры уравнения линейной регрессии по формуле (9.2):
ˆy (x) = b0+ b1(x −x) ,
b0= y = 6,4, b1= r
Коэффициент регрессии
σ
y
= 0,84 ·
σ
x
b1= 0,025
1,19
≈0,025.
40,8
показывает, что при изменении
средней годовой численности персонала на одного человека прибыль от реализации увеличивается на 0,025 млн руб.
Ожидаемое среднее значение прибыли при заданной численности производственного персонала можно оценить с помощью выборочного уравнения линейной регрессии:
ˆy (x) = 6,4 + 0,025(x −90) = 4,15 + 0,025x.
227
Подставив значенияXв уравнения регрессии, рассчитаем прогнозные значения (ˆy) прибыли от реализации для каждого наблюдения (см.
табл. 9.1).
Коэффициент детерминации
R2= r2= 0,842= 0,7056
, что означает, что
70,56% вариации признакаYобъясняется вариацией независимой переменнойX, а 29,44% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели
случайных факторов.
9.1.2. Корреляционный анализ порядковых переменных: ранговая корреляция
По функциональным особенностям различают следующие основные
типы шкал измерения – номинальную, порядковую, количественную.
Количественная шкала устанавливает не только отношения порядка,
но и величину интервалов между градациями.
Номинальная шкала (шкала наименований) представляет собой простое перечисление различающихся между собой явлений или объектов. Объекты могут быть только пронумерованы, причем цифры, присваиваемые
разным градациям, служат лишь для отличия их друг от друга. Номера
градаций могут быть изменены произвольным образом.
Если категории признака можно упорядочить относительно друг друга, то в этом случае строится порядковая шкала. Присвоенные изучаемой
переменной ранги должны соответствовать изменению у объектов интенсивности изучаемого признака. Однако порядковая шкала не устанавливает,
насколько одна градация отличается от другой.
Под ранговой корреляцией понимают статистическую связь между пе-
ременными, измеренными в порядковых шкалах. Ранг характеризует порядковое место, которое занимает объект в рядуnобъектов. В случае неразличимости рангов используют объединенные ранги, которым присваивается
один и тот же ранг, равный среднеарифметической от рангов, входящих
в данную группу. Например, объекты, стоящие на 4–5 местах, одинаковы,
тогда присваивается ранг, равный 4,5.
Для измерения степени тесноты связи используют коэффициент ран-
говой корреляции Спирмена:
2
,
(9.3)
R = 1 −
6∑(Ry−Rx)
n2(n −1)
где
Ry−Rx– разность рангов.
Коэффициент ранговой корреляции изменяется в пределах от−1 до
+
1 и имеет тот же смысл, что и коэффициент корреляции. Положительный
знак указывает на положительную корреляцию, отрицательный – на отрицательную. Если|r|ближе к 1, зависимость более существенна, чем ближе
к нулю, тем признаки более независимы.
228
Пример 9.2. Найти по данным табл. 9.2 коэффициент ранговой корре-
ляции между товарооборотомXи издержками обращенияy, тыс. руб.
Таблица 9.2
Расчет коэффициента Спирмена
X Y X R
1,0 0,5 1,0 1 0,5 1 1 1 0
3,2 0,9 3,2 2 0,9 2 3 2 1
5,6 1,0 5,6 3 1,0 3 4 3 1
10,4 0,8 10,4 4 0,8 4 2 4 4
20 1,3 20 5 1,3 5 5 5 0
Итого
× × × × × × ×
x
Y R
y
R
y
Rx(Ry−Rx)
6
Для решения задачи расположим значения признаков в порядке воз-
растания, т. е. ранжируем признак по возрастанию. Присваиваем им ранги
Rxи
Ry. Затем располагаем ранги в том порядке, который соответствует
значениям, данным по условию задачи.
Коэффициент Спирмена определим по формуле (9.3):
R = 1 −
6 ·6
52(5 −1)
= 0,64.
Вывод: связь между издержками обращения и товарооборотом суще-
ственная и прямая.
9.1.3. Корреляционный анализ переменных, измеренных в номинальных шкалах
Распределение пары признаков, измеренных в номинальных шкалах,
также можно задать таблицей сопряженности (табл. 9.3).
Частоты в ячейках таблицы будем обозначать
ni∗,
и столбцам –
n∗jсоответственно,
n = n∗∗– общее число наблюдений.
n
, суммы по строкам
i j
В том случае, когда признаки могут принимать всего по две градации,
их называют дихотомическими. Тогда получают таблицы сопряженности
2 ×2
, которые представляют собой двумерное распределение частот при-
знаковXиY(табл. 9.4).
Для анализа взаимосвязи дихотомических признаков наиболее часто
используют следующие коэффициенты.
Коэффициент ассоциации (коэффициент Юла):
n11n22−n21n
Q =
n11n22+ n21n
12
.
12
(9.4)
Коэффициент равен нулю, если признаки независимы, и равен едини-
це, если
n12= n21, т. е. в случае полного совпадения признаков.
2
229
Таблица 9.3
Таблица сопряженности размером
Y
X
1
2
1 2 …
n
11
n
21
n
12
n
22
…
…
j
n
1 j
n
2 j
m ×n
…
…
…
m n
n
1m
n
2m
… … … … … …
… … … … … …
… … … … … …
i n
i1
n
i2
…
n
i j
…
n
im
… … … … … …
… … … … … …
… … … … … …
n n
n
∗j
l1
n
∗1
n
l2
n
∗2
…
…
n
l j
n
∗j
…
…
n
lm
n
∗m
Таблица 9.4
Таблица сопряженности размером 2
Y
X
0
1
n
∗j
0 1
n
11
n
21
n
1
∗
n
12
n
22
n
2
∗
n
i∗
n
1∗
n
2∗
n∗∗= n
×
2
Коэффициент коллигации:
√
n11·n22−√n21·n
Y =
√
n11·n22+√n21·n
12
.
12
n
n
n
n
n
i∗
1∗
2∗
i∗
l∗
∗∗
(9.5)
Выполняется равенство
Q = 2Y(1 + Y2)
.
Коэффициенты ассоциации и коллигации обладают свойством не изменять при умножении любой строки или столбца таблицы на произвольную
положительную константу.
Коэффициент контингенции:
n11n22−n21n
V =
√
n1∗n2∗n∗1n
12
.
∗2
(9.6)
Точечная оценка коэффициента Пирсона определяется по формуле
s
2
P =
X
X2+ n
,
(9.7)
230