Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Теорема 1.4.13. Пусть для целой функции f(z) вида (1.4.1.) с ве-
щественными коэффициентами число положительных нулей (с учетом кратностей) равно N+, а число перемен знака в последовательности коэффициентов Тейлора f равно W−. Если число W−конечно,
то число N+также конечно и разность W−−N+представляет собой
неотрицательное четное число.
Обсудим теперь вопрос, для каких функций f число перемен знака
совпадает с числом положительных нулей. Пусть все нули функции
f являются вещественными и разложение Адамара для функции f (z)
имеет вид
f(z) =
∞
j=1
1 −
z
, (1.4.37.)
β
j
где все βj— вещественные.
Оно выполняется, если, например, f (z) является целой функцией не
выше чем первого порядка минимального типа [43, гл. 7].
Теорема 1.4.14. Если у функции вида (1.4.37.) число перемен знака
W−в ряду коэффициентов Тейлора равно m, то число положительных
нулей (считая их вместе с кратностямим) также равно m. Если у
коэффициентов Тейлора функции бесконечное число перемен знака, то
число положительных нулей f(z) бесконечно.
Доказательство. Пусть число W−конечно и равно m. Число положи-
тельных корней функции равно k (k может равняться нулю) и по теореме 1.4.13 k 6 m. Пусть они равны α1, . . . , αk. Если число отрицательных
корней также конечно, то f — полином, и утверждение теоремы следует
из правила знаков Декарта (теорема 1.3.5). Пусть число отрицательных
корней f бесконечно и они равны −γ1, . . . , −γs, . . ..
Рассмотрим полином
Ps(z) =
s
j=1
1 +
z
γ
j
k
j=1
1 −
α
z
.
j
Тогда число переменв ряду коэффициентов полинома Ps(z) равно k по
теореме Декарта 1.3.5 для каждого s. Обозначим его коэффициенты
через b
(s)
, . . . , b
0
(s)
s
,
61
b
(s)
s+1
= 0, . . . (b
(s)
= 1). Так как полиномы Ps(z) равномерно сходятся к
0
функции f(z) при s → ∞, то для каждого фиксированного j последовательность b
(s)
→ bjпри s → ∞. Поэтому для каждой перемены знака
j
у функции f(z) соответствующие коэффициенты полинома Ps(z) также
образуют перемену знака при достаточно больших s. Поэтому m 6 k,
т.е. m = k.
Пусть число перемен знака W−бесконечно. Тогда возможны два случая: число отрицательных нулей конечно или бесконечно. Пусть число
отрицательных нулей f(z) — конечно и равно p. Если число положительных корней конечно и равно k, то
f(z) =
p
j=1
1 +
z
γ
j
k
j=1
1 −
α
z
,
j
так что по теореме 1.3.5 Декарта число перемен знака равно k, что
противоречит предположению.
Пусть число отрицательных нулей бесконечно, а число положительных корней конечно и равно k. Тогда из предыдущего рассуждения при
достаточно больших s число перемен знака у полинома Ps(z) равно k и
оно не меньше, чем число перемен знака у функции f . Что противоречит предположению.
Если функция f не представляется в виде (1.4.37.), тогда предыдущая теорема 1.4.14 становится не верной.
Пример 1.4.6. Пусть функция f(z) имеет вид
f(z) = (1 −z)e−z.
Ее порядок равен 1. В ряду ее коэффициентов бесконечное число перемен знака. А вещественный корень только один. Поэтому теорема 1.4.14
не выполняется для функции f(z).
Возможна ситуация, когда каноническое произведение функции может быть функцией не выше, чем первого порядка, минимального типа,
а сама функция — нет. В этом случае возникает вопрос о факторизации функции, т.е. о выделении в ней канонического произведения. Этот
вопрос рассмотрен в 1.6.
62
1.5. Результант двух полиномов
Сначала рассмотрим классический результант Сильвестра и Кэли.
Пусть даны два полинома:
P (z) = a0zn+ a1z
Q(z) = b0zs+ b1z
n−1
+ . . . + an,
s−1
+ . . . + bs,
z ∈ C, aj, bj∈ C и a0= 0, b0= 0.
Как определить, имеют они общий корень или нет. Предположим,
что α1, . . . , αnесть корни P (z), а β1, . . . , βs— корни Q(z). Построим
выражение
n
s
R(P, Q) = a
s
b
0
n
0
k=1
(αk− βj), (1.5.1.)
j=1
которое известно как результант полиномов P и Q. Ясно, что эти полиномы имеют общий корень тогда только тогда, когда R(P, Q) = 0.
Результант (1.5.1.) можно также вычислить прямо через коэффициенты P и Q, не находя самих корней.
Очевидно, что
R(P, Q) = (−1)nsR(Q, P ).
Так как
Q(z) = b
тогда
Q(αk) = b
и, следовательно,
R(P, Q) = a
Точно таким же путем получим
R(Q, P ) = b
0
0
63
s
j=1
s
j=1
s
0
n
0
(z − βj),
(αk− βj)
n
Q(αk).
k=1
s
P (βj).
j=1
Теорема 1.5.1 (Сильвестр). Результант полиномов P и Q равен
определителю
D =
a
a1. . . a
0
0 a0. . . a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . a
b
b
1
0
. . . b
. . . b
0
0 b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . b
n
n−1an
0
s
s−1
0
0 . . . 0
. . . 0
a1. . . a
0 . . . 0
b
. . . 0
s
b
. . . b
1
s строк
n
n строк
s
.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный определитель
M =
n+s−1
β
1
n+s−2
β
1
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
2
β
1
β
1
1 1 . . . 1 1 1 . . . 1
n+s−1
β
2
n+s−2
β
2
2
β
2
β
2
. . . β
. . . β
. . . β
. . . β
n+s−1
s
n+s−2
s
2
s
s
n+s−1
α
1
n+s−2
α
1
2
α
1
α
1
n+s−1
α
2
n+s−2
α
2
2
α
2
α
2
. . . α
. . . α
. . . α
. . . α
n+s−1
n
n+s−2
n
2
n
n
.
Так как M есть определитель Вандермонда, получаем формулу
s
j=1
n
(βj− αk)
k=1
(αk− αj).
16k<j6n
M =
(βk− βj)
16k<j6s
Отсюда имеем, по определению R(P, Q), что
s
n
a
b
DM = DR(Q, P )
0
0
(βk− βj)
16k<j6s
(αk− αj). (1.5.2.)
16k<j6n
Но можно вычислить произведение DM определителей D и M , используя формулу для определителя произведения матриц. Умножая матрицы, соответствующие нашим определителям, и беря в расчет, что αj—
64
корни P , а βk— корни Q, получаем, что DM=
s−1
β
P (β1) β
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
β1P (β1) β2P (β2) . . . βsP (βs) 0 . . . 0
P (β1) P(β2) . . . P (βs) 0 . . . 0
0 0 . . . 0 α
0 0 . . . 0 α
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 Q(α1) . . . Q(αn)
s
=
P (βj)
j=1
n
k=1
=
s−1
P (β2) . . . β
2
Q(αk)
s
P (βj)
j=1
s−1
P (βs) 0 . . . 0
s
β
s−1
1
β
s−1
2
. . . β
s
. . . . . . . . . . . .
β
1
β
. . . β
2
s
1 1 . . . 1
n
Q(αk)
k=1
(βk− βj)
k<j
s−1
n−1
Q(α1) . . . α
1
n−2
Q(α1) . . . α
1
n−1
α
1
. . . . . . . . . . . .
α
1
1 1 . . . 1
α
α
n−1
2
2
(αk− αj).
k<j
n−1
n
n−2
n
. . . α
. . . α
Q(αn)
Q(αn)
n−1
n
n
=
=
Это означает, что
s
n
a
b
DM = R(P, Q)R(Q, P)
0
0
(βk− βj)
k<j
(αk− αj). (1.5.3.)
k<j
Сравнивая (1.5.2.) и (1.5.3.) и деля на общие множители, которые не
равны тождественно нулю, находим, что R(P, Q) = D.
На практике часто встречаются ситуации, когда коэффициенты P и
Q зависят от параметров. В этом случае нужно проверить, что a0= 0 и
b0= 0. Следовательно, в общем не всегда стоить ожидать, что равенство
нулю результанта эквивалентно существованию общего корня P и Q.
Действительно, если a0= b0= 0, то R(P, Q) = 0, но P и Q могут не
иметь общих корней.
Следствие 1.5.1. Для заданных полиномов P и Q с произвольными
старшими коэффициентами результант R(P, Q) равен нулю тогда и
только тогда, когда P и Q имеют общий корень или оба старших
коэффициенты равны нулю (a0= b0= 0). (В случае a0= 0 или b0= 0
используется тождество R(P, Q) = D).
65
Пример 1.5.1. Пусть P = a0z2+ a1z + a2, а Q = b0z2+ b1z + b2. Тогда
R(P, Q) =
a0a1a20
0 a0a1a
b0b1b20
0 b0b1b
2
= (a0b2− a2b0)2− (a0b1− a1b0)(a1b2− a2b1).
2
В частности, если P = z2− 4z − 5 и Q = z2− 7z + 10, получаем, что
R(P, Q) = 0 и общий корень P и Q есть z = 5.
Приведем другое важное свойство результанта R(P, Q). Запишем систему
s−1
z
P (z) = a0z
s−2
z
P (z) = a0z
n+s−1
n+s−2
+ a1z
+ a1z
n+s−2
n+s−3
+ . . . + anz
+ . . . + anz
s−1
s−2
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . .
P (z) = a0zn+ a1z
n−1
z
Q(z) = b0z
n−2
z
Q(z) = b0z
n+s−1
n+s−2
n−1
+ b1z
+ b1z
+ . . . + an, (1.5.4.)
n+s−2
n+s−3
+ . . . + bsz
+ . . . + bsz
n−1
n−2
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . .
Q(z) = b0zs+ b1z
s−1
+ . . . + bs.
Рассматривая правую часть, как полином степени n + s − 1, видим, что определитель ее коэффициентов точно равен R(P, Q). Если
мы умножим каждое из уравнений на миноры, ассоциированные с соответствующим элементом в последнем столбце R(P, Q) и сложим их
вместе, т.е разложим определитель по последнему столбцу, тогда получим тождество
AP + BQ ≡ R(P, Q),
где A — полином степени s − 1, а B — полином степени n − 1.
1.5.1. Дискриминант полинома
Рассмотрим задачу, когда полином P (z) имеет кратные корни. Здесь ее
можно решать, используя понятие дискриминанта полинома P. Пусть
66
n−1
+ . . . + a
n
P (z) = a0zn+ a1z
и α1, . . . , αnего нули. Обозначим через D(P ) выражение
D(P ) = a
2n−2
0
n>k>j>1
(ak− aj)2= a
2n−2
0
n(n−1)
(−1)
2
(ak− aj).
j=k
Очевидно, что D(P ) = 0 тогда и отлько тогда, когда полином P имеет
кратные корни.
Дискриминант D(P ) легко выражается через результант R(P, P′).
Имеем
R(P, P′) = a
n−1
0
n
k=1
P′(αk).
Дифферецируя равенство
n
P (z) = a
0
k=1
(z − αk),
получаем
n
P′(z) = a
0
k=1j=k
(z − αj),
откуда следует, что
P′(αk) = a
(αk− αj).
0
j=k
Поэтому имеем
R(P, P′) = a
2n−1
0
(αk− αj) = a
j=k
= a0(−1)
2n−1
0
n(n−1)
2
(−1)
D(P ),
n(n−1)
2
n>k>j>1
и, следовательно,
n(n−1)
R(P, P′) = a0(−1)
2
D(P ).
Есть также другой путь нахождения дискриминанта D(P ) .
(αk− αj)2=
67
Теорема 1.5.2. Дискриминант D(P ) имеет вид
D(P ) = a
2n−2
0
n S1S
S
1
. . . . . . . . . . . . . . .
S
n−1
S2S
SnS
2
3
n+1
. . . S
. . . S
. . . S
n−1
n
2n−2
, (1.5.5.)
где Sj— степенные суммы корней P (z).
Доказательство. Рассмотрим определитель Вандермонда
1 1 . . . 1
d =
α
1
. . . . . . . . . . . .
n−1
α
1
α
α
2
n−1
2
Тогда очевидно, что D(P ) = a
. . . α
. . . α
2n−2
d2. Вычисляя d2другим путем, умно-
0
n
n−1
n
=
(αk− αj).
n>k>j>1
жая матрицу d на транспонированную матрицу, получаем требуемое
представление.
Заметим, что определитель в этой теореме совпадает с определителем матрицы квадратичной формы, возникающей в доказательстве
теоремы Эрмита 1.3.2.
Следует также отметить, что размерность определителя (1.5.5.) равна n, в то время как размерность определителя R(P, P′) равна (2n −1).
Пример 1.5.2. Пусть P = z2+ bz + c тогда
D(P ) =
2 S
S1S
1
, где S1= −b, S2= b2− 2c,
2
поэтому D(P) = b2− 4c.
1.6. Результант двух целых функций
В этом параграфе мы обобщаем классический результант Сильвестра
на целые функции. Нам необходимо классический результант представить в несколько ином виде и переформулироваить теоремы предыдущего параграфа. Используя методы комплексного анализа, вводим
68
концепцию результанта для целой функции и целой функции с конечным числом нулей.
Для данных полиномов f и g классический результант R(f, g) можно
определить различными способами:
a) использовав определитель Сильвестра (см., например, [29, 92,
108], а также предыдущий параграф);
б) использовав формулу произведения R(f, g) =
{x:f(x)=0}
(см., на-
пример, [29, 92, 108], а также предыдущий параграф);
в) использовав формулу Безу-Кэли [28, 76].
В нашем подходе основными формулами являются формула произведения и результант Сильвестра. Это обосновывается тем, что целые
функции являются естественным обобщением полиномов в комплексном анализе.
Ряд статей [76, 77, 78, 79, 81, 100] был посвящен обобщению понятия
результанта на аналитические функции в кольце, матрицы, мероморфные функции на компактной римановой поверхности, на системы алгебраических уравнений (см., также, гл. 2). Но все они базировались на
предположении, что число нулей или сингулярных точек (полюсов) конечно. Наш случай существенно отличается от других, поскольку целые
функции могут иметь бесконечное число нулей. Трудно также ожидать
получения конечных формул, поскольку необходим (как будет видно)
предельный переход.
Наше обобщение может быть полезно, например, при изучении уравнений химической кинетики, где возникают экспоненциальные полиномы [17, 23]. Мы также сможем предложить этот подход к исключению
неизвестных из систем неалгебраических функций.
Пусть fn(z) и gm(z) — многочлены степеней n и m, соответственно,
с коэффициентами из поля комплексных чисел C, имеющие вид:
fn(z) = a0+ a1z + ··· + anzn,
gm(z) = b0+ b1z + ··· + bmzm.
69
Тогда классический результант для многочленов fn(z) и gm(z) можно
записать в виде (сравни с теоремой 1.5.1):
D
n,m
=
a
0 a
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . a0. . . a
b
0 b
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . b
a
0
0
a2. . . 0
1
a1. . . 0
0
b
b
1
2
b
0
1
0
. . . 0
. . . 0
. . . b
n
. (1.6.1.)
m
Определитель (1.6.1.) обращается в ноль тогда и только тогда, когда
либо многочлены имеют общий корень, либо старшие коэффициенты
anи bmобращаются в нуль одновременно.
Если an= 0, то
n
= a
m
n
k=1
a
gm(αk),
1
D
n,m
m
n
, (1.6.2.)
т.е.
D
n,m
n
gm(αk) =
k=1
где α1, . . . , αn— корни многочлена fn(z).
Обозначим
R(fn, gm) =
n
gm(αk). (1.6.3.)
k=1
Для многочленов fn(x) и gm(x) при an= 1 выражение R(fn, gm)
выглядит следующим образом:
R(fn, gm) = D
n,m
.
1.6.1. Подход Н.Г. Чеботарева
Наша цель получить аналог равенства (1.6.3.) для целых функций f(z)
и g(z). Основная сложность заключается в том, что целая функция может иметь бесконечное число нулей, поэтому произведение (1.6.3.) мо-
70