Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
где˜f = (f1, . . . , fn, f
˜ω(˜f) = c
(|f|2+ f
n+1
n+1
2
n+1
), f
−
)
n+1
2
n+1
= x
n
k=1
n+1Jf
(−1)
, а
k−1
fkdf[k] ∧df
+ (−1)nf
n+1
n+1
Так как ∂D1= (∂D × [−ε, ε]) ∪ (D × [ε]) ∪ (D × [−ε]) взяты с соот-
ветствующей ориентацией, то
df.
D
φ
n
k=1
(−1)
×
Также видно, что
φ˜ω(˜f) =
∂D×[−ε,ε]
и аналогично
dφ ∧ ˜ω(˜f) =
D
1
k+1
= ±εc
∂D
Jfdφ ∧
D
φ˜ω(˜f) == ±εc
D×[±ε]
n+1
×
fkdf[k] ∧dJf+ (−1)nJfdf(|f|2+ ε2J
n+1
2
−
)
f
ε
(|f|2+ x
−ε
ε
(|f|2+ x
−ε
2
dx.
2
n+1
2
n+1
φJ
n+1
f
φ∆f(|f|2+ ε2J
D
n
k=1
n
k=1
(−1)
(−1)
k−1
k−1
fkdf[k]
fkdf[k]
n+1
2
−
2
)
f
2
−
J
)
f
2
−
J
)
f
n+1
n+1
2
=
2
dx
n+1
dx
n+1
.
Вычисляя интеграл
ε
(|f|2+ x
−ε
2
n+1
J
n+1
2
−
2
)
f
dx
n+1
,
получаем формулу (2.9.8.).
Полагая n = 1 в (2.9.8.), получаем следующий результат.
Следствие 2.9.2. Если D = (a, b) ⊂ R1, то
x∈E
φ(x) =
f
b
ε
π
(f′)2+ f f
f2+ ε2(f′)
a
′′
φdx − (2.9.10.)
2
211
b
′
.
f
a
−
b
1
φ′arctg
π
a
εf
f
′
dx +
1
π
φ′arcttg
εf
В частности, если f(x) = sin πx и ε = 1/π, то формула (2.9.10.) превращается в классическую формулу Эйлера–Маклорена с остаточным
членом R в интегральной форме
φ(k) =
k∈(a,b)
b
φ(x)dx + R.
a
Если φ = 1, то формула (2.9.8.) (которая приведена в [83]) дает число
корней системы (2.9.7.) в области D.
Если использовать формулу (2.9.8.) для подсчета степенных сумм
φ
S
=
j
φj(x), j = 1, 2, . . . , M,
x∈E
f
(где M — число корней системы (2.9.7.) в области D), то используя
рекуррентные формулы Ньютона (1.2.1.), можно построить полином
Rφ(w), w ∈ C1, корни которого есть
φ(x), x ∈ Ef.
Следствие 2.9.3. Предположим, что Rφимеет только простые
корни. Тогда число корней системы (2.9.7.) на множестве
{x ∈ D : a < φ(x) < b}
совпадает с числом корней многочлена Rφв интервале (a, b).
212
Глава 3
Системы трансцендентных
уравнений
В гл. 2 приведено подробное изложение модифицированного метода исключения неизвестных для систем алгебраических уравнений в Cn, основанного на формуле многомерного логарифмического вычета и нахождении степенных сумм корней. Он возник в работе Л.А.Айзенберга
[1], а его разработка продолжена в монографиях [8, 18, 51].
Для систем трансцендентных (неалгебраических уравнений), множество корней которых, как правило, бесконечно, степенные суммы
корней в положительной степени, вообще говоря, являются расходящимися рядами.
В данной главе рассматриваются степенные суммы корней в отрицательной степени для системы уравнений, состоящих из целых или мероморфных функций конечного порядка роста. В частности, получение
формул для нахождения таких степенных сумм с помощью вычетных
интегралов.
3.1. Простейшие трансцендентные системы уравнений
В работах [19, 40] рассмотрен класс систем уравнений для целых и мероморфных функций, фактически функций не выше первого порядка
роста. В работе [31] для этих формул дана их компьютерная реализация
в системе MAPLE.
213
3.1.1. Вычисление вычетных интегралов
Рассмотрим систему функций из [40], а также [19] вида
f1(z), f2(z), . . . , fn(z),
голоморфных в окрестности точки 0 ∈ Cn, z = (z1, z2, . . . , zn) и имеющих
следующий вид:
j
fj(z) = z
j
где βj= (β
j
, β
1
2
координатами, z
, . . . , β
β
j
n
j
= z
j = 1, 2, . . . , n. Функции Qjразлагаются в абсолютно и равномерно схо-
дящиеся в окрестности нуля ряды Тейлора вида
β
+ Qj(z), j = 1, 2, . . . , n, (3.1.1.)
) — мультииндекс с целыми неотрицательными
j
β
1
1
· z
β
2
j
2
···z
j
β
n
и ∥βj∥ = β
n
j
1
+ β
j
+ . . . + β
2
j
= kj,
n
Qj(z) =
∥α∥>k
где α = (α1, α2, . . . , αn), αj> 0, αj∈ Z, а zα= z
j
a
zα, (3.1.2.)
α
j
α
α
1
1
· z
2
2
···z
α
n
.
n
Рассмотрим циклы γ(r) = γ(r1, r2, . . . , rn), являющиеся остовами по-
ликругов:
γ(r) = {z ∈ Cn: |zs| = rs, s = 1, 2, . . . , n}, r1> 0, . . . , rn> 0.
При достаточно малых rjциклы γ(r) лежат в области голоморфно-
сти функций fj, поэтому ряды
∥α∥>k
j
|a
α
j
1
|r
1
α
···r
α
n
, j = 1, . . . n,
n
сходятся. Тогда на цикле γ(tr) = γ(tr1, tr2, . . . , trn) при достаточно малых t > 0 имеем
j
|z|
j
β
= t
β
k
j
· r
1
j
β
1
2
· r
···r
2
j
β
n
n
= t
k
j
β
j
· r
,
а
|Qj(z)| =
∥α∥>k
j
α
a
z
α
j
6
214
6
∥α∥>k
∥α∥|aj
t
j
|rα6 t
α
kj+1
∥α∥>0
j
|a
|rα, j = 1, . . . , n.
α
Поэтому при таких t на цикле γ(tr) выполняются неравенства
j
β
|z|
> |Qj(z)|, j = 1, 2, . . . , n. (3.1.3.)
Таким образом,
fj(z) = 0 на γ(tr), j = 1, 2, . . . , n.
В дальнейшем будем считать, что t = 1. Рассмотрим систему уравнений
вида
f1(z) = 0,
f2(z) = 0,
(3.1.4.)
...............
fn(z) = 0.
Из (3.1.3.) следует, что при достаточно малых rjопределены инте-
гралы вида
γ(r)
z
1
β+I
df
·
=
f
γ(r1,r2,...,rn)
β1+1
z
1
· z
1
β2+1
2
···z
βn+1
n
df
·
f
df
1
1
∧
2
f
2
∧ . . . ∧
df
f
n
,
n
где β1> 0, β2> 0, . . . , βn> 0, βj∈ Z, I = (1, 1, . . . , 1). Назовем их
(в соответствие со [104]) вычетными интегралами. К этим интегралам
не применима теорема о логарифмическом вычете, и они не являются
стандартными вычетами Гротендика.
Так как выполнено условие (3.1.3.) о циклах γ(r), то по теореме
Коши–Пуанкаре эти интегралы не зависят от (r1, . . . , rn). Обозначим
Jβ=
1
(2πi)
n
γ(r)
z
1
β+I
df
·
.
f
Теорема 3.1.1. При сделанных предположениях для функции fjви-
да (3.1.1.),
(3.1.2.) справедливы формулы
(−1)
∥α∥
Jβ=
∥α∥6∥β∥+min(n,k1+...+kn)
(β + (α1+ 1)β1+ . . . + (α + 1)βn)!
215
×
×
β+(α1+1)β1+...+(αn+1)β
∂z
=
∥α∥6∥β∥+min(n,k1+...+kn)
(−1)
∥α∥
M
где k = ∥β +(α1+ 1)β1+ . . . + (αn+ 1)βn∥, β! = β1! ·β2! ···βn!, Qα= Q
∂k(∆ · Qα)
Q
α
2
2
···Q
∥β∥
∂
α
n
,
n
∂z
=
β
∂z
β
1
1
∂z
∂
β
2
∥β∥
2
···∂z
, ∆ — якобиан системы функций
β
n
n
z=0
=
∆ · Q
α
n
β+(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
,
n
α
1
1
(3.1.1.) и, наконец, M — линейный функционал, сопоставляющий ряду
Лорана (стоящему под знаком функционала M) его свободный член.
Доказательство. Рассмотрим
j
df
f
j
=
j
d(z
(z
β
+ Qj(z))
j
β
+ Qj(z))
.
Поскольку на γ(r) выполнены неравенства (3.1.3.), то
·
∞
1
=
f
z
j
1
j
β
+ Qj(z)
=
s=0
(−1)
(Qj(z))
s
(s+1)β
z
s
.
j
Причем данный ряд сходится абсолютно и равномерно на γ(r), j =
1, 2, . . . , n. Далее
z
1
β+I
df
·
f
=
z
1
β+I
df
·
f
df
1
1
∧
2
f
2
∧ . . . ∧
df
f
n
.
n
Поэтому
(−1)
∥α∥Qα
1
···z
dz
(αn+1)β
.
n
z
1
β+I
df
·
f
=
z
∆
β+I
·
∥α∥>0
(α1+1)β
z
Следовательно, на γ(r) получаем
Jβ=
1
(2πi)
n
γ(r)
z
∆
β+I
·
∥α∥>0
(α1+1)β
z
(−1)
∥α∥Qα
1
···z
dz
(αn+1)β
. (3.1.5.)
n
Покажем, что в этой сумме лишь конечное число слагаемых отлично
от нуля. Для этого подсчитаем степени (по совокупности переменных)
216
мономов, входящих в числитель и знаменатель подынтегрального выражения.
Степень мономов, входящих в ∆ (deg ∆), не превосходит max(∥β1∥+
. . . + ∥βn∥ − n, 0) = max(k1+ . . . + kn− n, 0). Для степеней мономов,
входящих в Qα, получаем оценку:
deg Qα6 α1(1 + ∥β1∥) + . . . + αn(1 + ∥βn∥) = α1(1 + k1) + . . . + αn(1 + kn).
Поэтому степень числителя не меньше, чем
max(k1+ . . . + kn− n, 0) + α1(1 + k1) + . . . + αn(1 + kn).
Степень знаменателя равна
∥β∥ + (α1+ 1)k1+ . . . + (αn+ 1)kn.
Поэтому в сумме (3.1.5.) все слагаемые, для которых степень числителя
больше степени знаменателя на n, равны нулю. Таким образом, могут
быть отличными от нуля лишь слагаемые, для которых
max(k1+ . . . + kn− n, 0) + α1(1 + k1) + . . . + αn(1 + kn) 6
6 ∥β∥ + (α1+ 1)k1+ . . . + (αn+ 1)kn.
Последнее неравенство эквивалентно следующему:
∥α∥ 6 ∥β∥ + min(n, k1+ . . . + kn).
Отсюда получаем требуемую оценку. 2
Отметим, что (как показывает доказательство) в указанные в теоре-
ме 3.1.1 формулы входит лишь конечное число коэффициентов функций
Qj(z).
Следствие 3.1.1. Если все βj= (0, 0, . . . , 0), j = 1, . . . , n, то инте-
грал
Jβ=
∥α∥6∥β∥
(−1)
∥α∥
M
∆ · Q
α
β
z
=
z=0
.
=
∥α∥6∥β∥
(−1)
β!
∥α∥
∂
∂z
∥β∥
(∆ · Qα)
β
217
При βj= (0, 0, . . . , 0) вычетный интеграл Jβможно также получить,
использовав кратную формулу Коши, так как fj(0) = 0 для всех j =
1, . . . , n.
∞
Пусть n = 1 и fj(z) = f (z) = 1 + Q(z) = 1 +
aszs.
s=1
Следствие 3.1.2. Интеграл
z=0
=
Jβ=
06α6β
(−1)αM
= (−1)
f′(z) · Qα(z)
β
z
β+1
a
2a
. . . . . . . . . . . .
(β + 1)a
=
06α6β
(−1)
β!
α
β
∂
·
∂z
β
(f′· Qα)
1
2
1 0 . . . 0
a
1
1 . . . 0
.
β+1
aβa
β−1
. . . a
1
Пример 3.1.1. Рассмотрим систему уравнений
fj(z) = 1 + ajzj= 0, j = 1, . . . , n.
Тогда ∆ = a1···an. Единственный корень системы имеет координаты
zj= −
, j = 1, . . . , n.
a
j
Многочлены Qα(z) = aα· zα, а βj= (0, 0, . . . , 0). Поэтому
1
Jβ=
∥α∥6∥β∥
(−1)
∥β∥
∆ · Q
M
α
β
z
= (−1)βa1···an· aβ= a
β+I
Пример 3.1.2. Рассмотрим систему уравнений от трех комплексных
переменных
f1(z1, z2, z3) = 1 + a1z1= 0,
f2(z1, z2, z3) = 1 + b1z1+ b2z2= 0,
f3(z1, z2, z3) = 1 + c2z2+ c3z3= 0.
Здесь функции удовлетворяют условиям теоремы 3.1.1. Поэтому
J
(β,0,0)
=
1
(2πi)
3
γ(r)
z
β+1
1
1
z2z
df1∧ df2∧ df
·
3
f1· f2· f
3
=
3
.
(3.1.6.)
218
=
1
(2πi)
3
γ(r)
z
=
1
β+1
1
a1b2c
z2z
β!
·
a1b2c3dz1∧ dz2∧ dz
(1 + a1z1)(1 + b1z1+ b2z2)(1 + c2z2+ c3z3)
3
β
∂
3
·
β
∂z
(1 + a1z1)(1 + b1z1)
1
1
z1=0
3
.
=
Для вычисления последней производной преобразуем выражение
1
=
(1 + a1z1)(1 + b1z1)
A
1 + a1z
1
+
1 + b1z
B
1
a
A = −
B =
b1−a
b
1
b1−a
1
,
1
,
1
(3.1.7.)
тогда
J
(β,0,0)
(−1)βa1b2c
=
b1− a
3
β+1
·b
1
− a
1
β+1
1
.
3.1.2. Интегральные представления для степенных сумм
Наша дальнейшая цель — связать рассмотренные интегралы со степенными суммами корней системы (3.1.4.). Для этого мы сузим класс
функций fj. Сначала возьмем в качестве функций Qj(j = 1, 2, . . . , n)
многочлены вида
Qj(z) =
α∈M
j
a
zα, (3.1.8.)
α
j
где Mj— конечное множество мультииндексов такое, что при α ∈ M
координаты αk6 β
j
, k = 1, 2, . . . , n, k = j. (Но по прежнему предпола-
k
гается, что ∥α∥ > kjдля всех α ∈ Mj).
1
Сделаем замену zj=
1
w
1
,
, . . . ,
w
1
2
f
j
1
=
βj+sje
w
, j = 1, 2, . . . , n. При такой замене получим
w
j
w
1
n
=
w
1
+ Q
j
β
1
1
,
j
w
1
w
, . . . ,
2
w
1
=
n
s
j
w
j
+Qj(w1, w2, . . . , wn),
j
219
j
где sjстепень wj(фактически sjэто разность между степенью многочлена Qjпо zjи β
Qj(w1, w2, . . . , wn) =Qj(w) = w
j
), а многочлен
j
βj+sje
j
· Q
1
1
,
j
w
1
w
, . . . ,
2
w
1
n
имеет степень (по совокупности переменных) строго меньшую, чем s
(в силу условий, наложенных на многочлены Qj(z)).
По теореме Безу система нелинейных алгебраических уравнений
s
fj(w) = w
j
+Qj(w) = 0, j = 1, 2, . . . , n, (3.1.9.)
j
имеет конечное число корней, равное (с учетом их кратностей) s1·
s2···sn, и не имеет корней на бесконечной гиперплоскости CPn\ Cn.
Обозначим корни системы (3.1.9.), не лежащие на координатных плоскостях, с учетом их кратностей через w
1, 2, . . . , M , M 6 s1·s2···sn. Тогда точки z
(k)
= (w
(k)
=
1(k)
w
, w
1
1(k)
2(k)
,
w
, . . . , w
1
, . . . ,
2(k)
n(k)
), k =
1
w
n(k)
и только они являются корнями системы (3.1.4.), не лежащими на координатных плоскостях. Отсюда справедливо утверждение:
Лемма 3.1.1. Система (3.1.4.) с функциями fjвида (3.1.1.) и мно-
гочленами Qjвида (3.1.8.) имеет конечное число корней (с учетом их
кратностей) z
(1)
, z
, . . . , z
(2)
, не лежащих на координатных плоско-
(M)
стях {zs= 0}, s = 1, 2, . . . , n.
j
Обозначим
M
σ
β+I
= σ
(β1+1,β2+1,...,βn+1)
=
k=1
β1+1
z
1(k)
· z
1
β2+1
2(k)
···z
βn+1
n(k)
,
где β = (β1, . . . , βn) — некоторый мультииндекс.
Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих
на координатных плоскостях, системы (3.1.4.), но в отрицательной степени (либо степенной суммой от обратных величин корней).
Теорема 3.1.2. Для системы (3.1.4.) с функциями fjвида (3.1.1.)
и многочленами Qjвида (3.1.8.) справедливы формулы
Jβ= (−1)nσ
β+I
,
220