3.6.3. Некоторые интегральные формулы

— система уравнений, состоящая из полиномов Fj, однородных по каждой паре переменных (zk, wk), k = 1, . . . , n. Рассмотрим только те корни

(z1, w1, . . . , zn, wn) системы (3.6.12.), для которых

(zk, wk) ∈ C2\ {(0, 0)}, k = 1, . . . , n.

Корни сиcтемы (3.6.12.) с парами, имеющими пропорциональные координаты, определяют один корень (z1: w1, . . . , zn: wn) в Cn.

Пусть

a = (z

(0)

1

есть корень системы (3.6.12.), у которого все w

: w

(0)

, . . . , z

1

(0)

n

: w

(0)

n

)

(0)

= 0. Тогда точка

k

(z1, 1, . . . , zn, 1) является корнем системы

Fj(z1, 1, . . . , zn, 1) = 0, j = 1, . . . , n

в Cn. Корням a, у которых некоторые w

(0)

равны нулю, соответствуют

j

бесконечно удаленные корни в Cn.

Если дана система уравнений вида (3.6.1.), у которых все fj(z) — полиномы, то для того, чтобы найти бесконечно удаленные корни этой системы в Cn, нужно сначала перейти к однородным координатам, подставив вместо zkотношения zk/wkи отбросив получившийся знаменатель, тем самым получить систему типа (3.6.12.). Решив ее, найдем обычные корни и бесконечно удаленные корни системы (3.6.1.).

Вернемся к рассмотрению системы (3.6.1.). Будем предполагать, что кроме невырожденности система P1(z), . . . , Pn(z) не имеет бесконечных корней в пространстве Cn.

Рассмотрим теперь в качестве функций Qi(z), i = 1, . . . , n полиномы вида

Qi(z) =



∥α∥>m

i

a

zα. (3.6.13.)

α

i

Предположим, что для каждого i-го уравнения из (3.5.26.) выполнены условия

deg

Здесь deg

Pi< deg

z

i

P (z) степень полинома P по переменной ziпри фиксирован-

z

i

Qi, deg

z

i

Pi> deg

z

j

Qi, j = i. (3.6.14.)

z

j

ных остальных переменных. Имеем deg Pi= mi. Обозначим deg Qi= si,

311

а deg

Pi= m

z

j

ме того, m

j i

j

, deg

i

> s

Qi= s

z

j

при j = i. Не исключены случаи, когда

i

j

, тогда mi< si, m

i

i i

i

< s

, i = 1, . . . , n. Кро-

i

n



j=1

m

j i

Сделаем во всех функциях fi(z) = Pi(z)+Qi(z), i = 1, 2, . . . , n, замену

1

zi=

, i = 1, . . . , n, предположив, что все wi= 0. Получим

w

i

P



1

w

, . . . ,

1

i

w



1

n

=



∥β∥=m

1

i

b

β

1

w

i

1

···

w

1

β

n

=

> mi.

1

=

а



w

m

1

i

1

Q

i

w

, . . . ,

1

=

w

1

s

i

1

···

w

1

m n

1

w

1

s n

n i

∥β|=m



n

n i

∥α∥>m

Имеем



1

f

i

w

, . . . ,

1

w



1

n

= P



1

w

, . . . ,

1

i

1

=

w

m

1

i

···w

i

s

i

···w

где˜Pi— однородные полиномы

1

m

˜

Pi(w1, . . . , wn) = w

1

i

···w



=



b

i



∥α∥>m

a

i

1

w

n

m

i

n

i

s

i

···w

i

1

m

−β

i β

i α



w

1

i

a

1

i

i α

−α

1

w

1

···w

···

α

1

···w

1

i

s

1



1

+ Q

i

w

, . . . ,

1



˜

·

Pi(w) +˜Qi(w),



m n

n i

· P

1

i

w

m n

w

n

s

i

n

1

n

−β

n

i

1

α

n

−α

n

.

1

w

, . . . ,

,

=



= (3.6.15.)

n



1

=

w

n

i

s

−m

i

= w

i

˜

а

Pi— однородные полиномы



i i

∥β∥=m

˜

Pi=

∥β∥=m

b

i



1

m

−β

i

w

β

i

1

i

w

m

1

···w

1

−β

i

1

i

b

β

n

m

i

n

1

· . . . · w

−β

n

= w

n

m

i

n

−β

s i

n

i

−m

i

.

i

˜

i

˜

·

Pi,

312

˜

В

Piза знак суммы не выносится ни w1, . . . , ни wn.

Полиномы˜Qiимеют вид

˜

Qi(w1, . . . , wn) = w

= w

1

m

i

1

= w

···w

m

1

i

s

i

···w

i

1

−s

i

···[wi] ···w

m n

Обозначим через˜fiфункции

˜

fi(w) =˜Pi(w) +˜Qi(w) = w

имеем

deg˜Pi> deg˜Qi, i = 1, . . . , n. (3.6.17.)

Лемма 3.6.3. Система

1

m

i

···w

1

n

1

i

·

1

s

i

w

1

m n

i

s

−m

i

s

i

···w

i

1

n i

···

−s

i i

n

s

i

w

n

n i

·

∥α∥>m

˜

·

Pi+˜Qi(w), i = 1, 2, . . . , n, (3.6.16.)



∥α∥>m



m n

n i

· Q

a

i

a

w

α

i

1

w

1

i

w

s

1

−α

, . . . ,

1

−α

i

1

···w

i

i α

m

1



w

m n



1

=

n

s

−α

n

n i

n

i

−α

=

n

.

˜

Pj(w) = 0, j = 1, . . . , n, (3.6.18.)

имеет только одно решение (начало координат), т.е. она невырожденная.

Доказательство. Покажем, что система имеет единственный нуль w1=

w2= . . . = wn= 0. Доказательство ведем от противного, используя тот факт, что система

Pj(z) = 0, j = 1, . . . , n, (3.6.19.)

до замены переменных имела единственный нуль z1= z2= . . . = zn= 0.

Пусть система (3.6.18.) имеет корень, у которого некоторые wj=

0. Тогда этот корень является бесконечно удаленным корнем системы уравнений (3.6.19.), что невозможно по предположению.

Пусть система (3.6.18.) имеет решение

wj= αj= 0, j = 1, . . . , n,

313

тогда, сделав обратную замену переменных, получим, что

zj=

, j = 1, . . . , n.

α

j

Поэтому этот корень является корнем системы (3.6.19.), что невозможно. 2

Лемма 3.6.4. Рассмотрим систему

1

˜

Pj(w) = 0, j = 1, . . . , n. (3.6.20.)

Если для любого набора индексов i1, . . . , ik, i1< i2< . . . < ik, k = 1, . . . , n, системы уравнений

при w

= 0, . . . , w

i

1

˜

P

(w) = 0, . . .

j

1

= 0 и при jp= iqявляются невырожденными, то

i

k

P

˜

j

n−k

= 0

система (3.6.20.) также невырожденная.

Доказательство леммы следует из вида функций˜Pj(w) и леммы

3.6.3. 2

Отметим, что при n = 2 леммы 3.6.3, 3.6.4 справедливы без дополнительных предположений на P1(z1, z2) и P2(z1, z2).

3.6.3. Некоторые интегральные формулы

Рассмотрим систему уравнений вида (3.6.1.) с полиномами Qi(z), удовлетворяющими условиям (3.6.14.). Пусть система функций (3.6.20.) удовлетворяет условиям леммы 3.6.4 и следствия 3.6.1.

Обозначим через Γ

Γ

= {w ∈ Cn: |˜Pi| = εi, εi> 0, i = 1, . . . , n}. (3.6.21.)

˜

P

Этот цикл в силу следствия 3.6.1 не пересекается с кординатными плоскостями при почти всех εi, i = 1, . . . , n.

Рассмотрим вычетный интеграл˜Jγвида

= Γ

˜

P

˜

Jγ=

(ε) цикл

˜

P

1

(2πi)



df(1/w)

γ+I

w

n

Γ

˜

P

f(1/w)

,

314

где w

γ+I

= w

γ1+1

1

···w

γn+1 n

,

f(1/w) = f1(1/w1, . . . , 1/wn) ···fn(1/w1, . . . , 1/wn),

df(1/w) = df1(1/w1, . . . , 1/wn) ∧ . . . ∧ dfn(1/w1, . . . , 1/wn).

Фактически˜Jγполучается из интеграла Jγ(3.1.4.) с помощью замены в подынтегральном выражении zj= 1/wj, j = 1, . . . , n, и замены цикла интегрирования ΓPна цикл Γ

. Но равенство этих интегралов нужно

˜

P

доказывать.

Лемма 3.6.5. Для произвольного мультииндекса γ интеграл



˜

Jγ=

1

(2πi)

γ1+1

w

n

1

Γ

˜

P

· w

γ2+1

2

···w

γn+1

n

d˜f

·

˜

f

d˜f

1

∧

2

˜

f

2

∧ . . . ∧

d˜f

n

. (3.6.22.)

˜

f

n

Доказательство. В силу формулы (3.6.15.) справедливо равенство



1

,

w

1

w

1

, . . . ,

w

1

2

1

,

, . . . ,

w

2

где c

df

j



f

j

— некоторые константы.

k

Напомним, что˜fi=˜Pi+˜Qi= w



=

1

(2πi)

w

n

Γ

˜

P

γ+I

df

·

=

f

1

(2πi)



=

1

(2πi)

n

Γ

γ+I

w

˜

P



. . . ∧



1

w

n



1

w

n



w

n

Γ

˜

P



d˜f1(w)

˜

f1(w)

d˜fn(w)

˜

fn(w)

=

s i

γ1+1

1

−

d˜fj(w)

˜

fj(w)

i

−m

i

·

γ2+1

·w

2



−

k=1

n



c

k=1

n



−

k=1

˜

Pi+˜Qi. Тогда интеграл˜Jγ=

γn+1

···w

n

dw

1

c

·

k

w

dw

j

c

k

·

df

f

w

,

k

df

1

∧

2

f

2

∧. . .∧

df

f



k

∧ . . .

k



dw

n k

k

·

w

.

k

n

=

n

Интеграл



w

Γ

˜

P

w1···w

n

dw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw

γ+I

n

= 0

315

в силу тех же причин, что и интегралы в теореме 3.6.1, поскольку степень знаменателя равна n и, следовательно, меньше степени числителя.

Теперь рассмотрим интегралы вида



d˜f

(w)

i

γ+I

w

Γ

˜

P

1

˜

f

(w)

i

1

∧ . . . ∧

d˜f

˜

f

i

l

(w)

l

(w)

∧

dw

w

j

1

j

1

∧ . . . ∧

dw

w

j

n−l

, (3.6.23.)

j

n−l

если 0 6 l < n и εjдостаточно велики. Так как

1

˜

fj(w)

=

∞



p=0

(−1)

P

˜

p

p+1

j

˜

Q

p

(w)

j

, (3.6.24.)

то интегралы (3.6.23.) являются абсолютно сходящимися рядами из интегралов вида

·˜P

p

)

· h(w)dw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw

i

l

p2+1

2

···˜P

pl+1

i

l

· w

j

i

···w

1

j

n−l

n

,



γ+I

w

Γ

˜

P

˜

Q

p

1

·˜Q

˜

P

1

p

2

p1+1

···˜Q

где h(w) — некоторая функция, голоморфная по w. Все они обращаются в нуль. Действительно, в знаменателе отсутствует множители wi, а также какой-то из˜Pj. Поэтому цикл Γ

{|˜P1(w)| = ε1, . . . , |˜P

(w)| = ε

j−1

, |˜Pj(w)| < εj, |˜P

j−1

является границей цепи Sj=

˜

P

(w)| = ε

j+1

, . . . ,

|˜Pn(w)| = εn}, лежащей в области голоморфности подынтегрального выражения. Применяя формулу Стокса, получаем требуемое. 2

Поскольку для функций из системы (3.6.16.) справедливы неравенства (3.6.17.), а система функций˜P1(w), . . . ,˜Pn(w) невырожденная, то хорошо известна теорема Безу, говорящая о том, что система уравнений

˜

fj(w) = 0, j = 1, . . . , n (3.6.25.)

имеет конечное число корней (считая каждый корень столько раз, какова его кратность) и это число равно произведению степеней полиномов

˜

Pj(w).

Лемма 3.6.6. Пусть w учетом их кратностей), где w Тогда

˜

Jγ=

s



j=1

, . . . , w

(1)

γ1+1

w

j1

— корни системы (3.6.25.) (с

(s)

= (wj1, wj2, . . . , wjn), j = 1, 2, . . . , s.

(j)

· w

γ2+1 j2

· . . . · w

γn+1

. (3.6.26.)

jn

316

Утверждение леммы следует из формулы многомерного логарифмического вычета и теоремы Южакова о смещенном остове (см. §2.2, а так же [8, §4]). 2

Если какие-то w (3.6.26.) они входить не будут. Тогда если все координаты корня w

имеют нулевые координаты, то в формулу

(j)

1

не равны нулю, то точка с координатами z

jm

=

, m = 1, 2, . . . , n

w

jm

является корнем системы (3.6.1.). Количество таких корней с учетом их кратностей равно p 6 s. Они не лежат на координатных плоскостях.

Теорема 3.6.2. Справедливо равенство

p

×



γ1+1

z

j=1

j1



=

∥α∥6∥γ∥+n





∆ · w

Γ

˜

P

1

γ1+1

˜

· w

γ2+1

2

···w

· z

γn+1 n

1

γ2+1 j2

(−1)

···z

·

P

˜

1

γn+1 jn

||α||

˜

Q

α1+1

=

×



α

1

·˜P

·˜Q

α

2

α2+1

2

···˜Q

···˜P

α

n

αn+1

n

dw,

где˜∆ — якобиан системы (3.6.16.).

Доказательство вытекает из леммы 3.6.6 и теоремы 3.6.1. 2

3.6.4. Разделяющие циклы

Рассмотрим цикл ΓP= ΓP(ε1, . . . , εn). Перейдем в нем к новым пере-

менным zj=

˜

ΓP= {w : |

Он лежит на множестве

1

, j = 1, . . . , n. Получим цикл вида

w

j

1

˜

Pj(w)| = |w

m

1

2

m

j

w

···w

2

n

m

j

| · εj, j = 1, . . . , n}.

n

X = {Cn\ {{w1= 0} ∪{w2= 0} ∪. . . ∪ {wn= 0}}},

317

(в силу невырожденности системы

˜

P1(w), . . . ,

˜

Pn(w)), которое является

областью голоморфности (многообразием Штейна в Cn).

˜

Определим дивизоры Fj= {w :

˜

Pj(w) = 0}, обозначим

F = F1∪ F2∪ . . . ∪ Fn.

Лемма 3.6.7. Цикл

˜

ΓP⊂ X \ F.

Доказательство. Имеем

P



1

w

, . . . ,

1

j

w



1

n

=

w

1

j

m

1

j

m

1

w

2

. . .

1

˜

Pj, j = 1, . . . , n

j

m

1

w

n

(см. §2). Поэтому, если

˜

Pj(w) = 0, из вида цикла

˜

ΓPполучаем, что хотя

бы одно из wk= 0. 2

˜

Лемма 3.6.8. Цикл

˜

ΓPявляется разделяющим относительно мно-

жества X \ F.

˜

Доказательство. По определению [8, 1] цикл

˜

ΓPявляется разделяю-

щим относительно множества X \ F, если он лежит в X \ F и гомоло- гичен нулю на множестве X \(F1∪F2∪. . . ∪F

j−1

∪F

∪. . . ∪Fn) для

j+1

любого j = 1, . . . , n.

˜

Предыдущая лемма говорит о том, что

˜

ΓP⊂ X \ F. Покажем (для

простоты), что˜ΓPгомологичен нулю на множестве X \(F2∪. . .∪Fn). для этого достаточно показать, что цикл˜ΓPявляется границей некоторой цепи из X \ (F2∪ . . . ∪ Fn). Рассмотрим цепь

˜

|

P2| = ε2|w

S = {w : |

1

m

2

···w

1

˜

P1| < ε1|w

n

m

2

|, . . . , |

2

1

m

1

···w

1

˜

Pn| = εn|w

n

m

1

|,

n

m

1

n

···w

n

m

n n

|}.

Ясно, что S лежит на множестве X \ (F2∪ . . . ∪Fn) и его граница совпадает˜ΓP.

Возвращаясь к переменным z, получаем, что множество S примет вид

S = {z : |P1(z)| < ε1, |P2(z)| = ε2, . . . , |Pn(z)| = εn}.

318

Оно является относительно компактным в силу леммы 3.6.1. 2

˜

Отсюда по теореме Циха [8, 51] цикл порожденной циклом Γ

˜

цикл

˜

ΓPявляется также порождающим этой группы, то справедливо

= {w : |

˜

P

˜

P1| = ε1, . . . , |

˜

ΓPлежит в группе гомологий,

˜

Pn| = εn}. Поскольку

утверждение.

˜

Теорема 3.6.3. Циклы

˜

ΓPи Γ

гомологичны в X.

˜

P

Так как отображение zj= 1/wj, j = 1 , . . . , n, является диффеоморфизмом X, то справедливо следствие

Следствие 3.6.2. Циклы ΓPи Γ

гомологичны.

˜

P

Теорема 3.6.4. Цикл

ΓP= {z ∈ Cn: |Pi| = ri, ri> 0, i = 1, 2, . . . , n}.

гомологичен циклу

Γ

= {w ∈ Cn: |Pi| = εi, εi> 0, i = 1, 2, . . . , n}.

˜

P

Доказательство. Рассмотрим цикл ΓP. Сделаем в нем замену перемен-

˜

2 2

· . . . · w

i

s

−m

i

˜

ΓP, т.е.

n

m

2

| · r2, . . .

n

i i

, i = 1, 2, . . . , n,

ных z1= 1/w1, z2= 1/w2, . . . , zn= 1/wn, получим цикл

{w : |

˜

P1| = |w

1

m

1 1

m

· w

2

˜

|

Pn| = |w

2 1

· . . . · w

m

1

n

m

n

1

n

| · r1, |

m

· w

2

˜

P2| = |w

2

n

· . . . · w

m

1

n

m

n

1 2

· w

| · rn}.

m

2

Умножим теперь каждое из этих уравнений на w получим равенства

1

|w

1

s

−m

1

˜

1

˜

·

P1| = |w

1

s

1

|w

·w

s n

n n

m

2

−m

2 1

·. . .·w

n

˜

n

·

Pn| = |w

n

m

1

|·r1, |w

n

1

m

2

s

−m

2

1

n

· w

˜

2

˜

·

P2| = |w

2

s

n

· . . . · w

2

m n

1

m

2

1

n n

| · rn.

·w

2

s

2

·. . .·w

2

n

m

2

|·r2, . . . ,

n

Левая часть в них — это˜Pi, i = 1, 2, . . . , n, поэтому пришли к равенству

1

˜

ΓP= {w : |˜P1| = |w

s

1

|˜Pn| = |w

Далее доказательство гомологичности циклов Γ

· w

m

2

2 1

···w

n

m

1

| · r1, |˜P2| = |w

n

1

m

1

n

· w

m

2

n

···w

n

s

n

| · rn}.

2

1

m

1 2

P

2

s

2

· w

˜

···w

2

и ΓPидет по схеме

n

m

2

| · r2, . . . ,

n

предыдущих рассуждений. 2

319

3.6.5. Алгебраические системы уравнений

Здесь предполагается, что система (3.6.19.) невырожденная, не имеет бесконечно удаленных корней в¯Cnи удовлетворяет условиям следствия

3.6.1 и леммы 3.6.4. Отметим, что при n = 2 дальнейшие утверждения верны только при предположении невырожденности системы (3.6.19.). Начнем с утверждения.

Лемма 3.6.9. Выполняется равенство



1

=

Jγ=

(−1)

(2πi)

n

(2πi)



Γ

˜

P

w

n

γ1+1

1

γ1+1

z

1

Γ

P

γ2+1

· w

2

Доказательство. Производя в Jγзамену переменных zj= 1/wj, j = 1, . . . , n, применяя теорему 1.4.2 и лемму 3.1.1, получаем требуемое.

Знак изменился в силу того, что при рассматриваемой замене изме-

γ2+1

· z

2

···w

1

γn+1

n

···z

·

γn+1

n

d˜f

˜

f

1

df

·

f

d˜f

1

∧

f

1

∧

1

2

˜

2

df

2

f

2

∧ . . . ∧

d˜f

n



f

n

df

n

=

f

n

= (−1)

n

˜

Jγ.

няется ориентация пространства Cn. 2

Для дальнейшего нам нужна обобщенная формула преобразования вычета Гротендика §2.3 (см. [32], а также [18, гл. 2]).

Теорема 3.6.5 ([32]). Пусть h(w) — голоморфная функция, а поли- номы fk(w) и gj(w), j, k = 1, . . . , n, связаны соотношениями

n



матрица A = ∥ajk∥

gj=

n j,k=1

ajkfk, j = 1, 2, . . . , n,

k=1

состоит из полиномов. Рассмотрим циклы

Γf= {w : |fj(w)| = rj, j = 1, . . . , n},

Γg= {w : |gj(z)| = rj, j = 1, . . . , n},

где все rj> 0. Тогда справедливо равенство

n



k



Γ

f

h(w)

dw

α

f

=

K,

n



s=1



ksj=β

s

n



s,j=1

β!

(ksj)!



Γ

det A

s,j=1

h(w)

g

sj

a

dw

sj

β

, (3.6.27.)

320