Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
1.4.2. Вспомогательные утверждения
Пусть теперь функция f (z) вида (1.4.1.) является целой функцией конечного порядка роста и имеет нулями числа α1, α2, . . . , αn, . . . (каждый
корень считается столько раз какова его кратность). Нулей может быть
конечное или бесконечное число. Мы их будем располагать в порядке
возрастания модулей 0 < |α1| 6 |α2| 6 . . . 6 |α|n6 . . ..
Напомним разложение Адамара для таких функций [43, гл. 7],[107,
гл. 8, теорема 8.2.4].
Теорема 1.4.2. Если f(z) — целая функция конечного порядка ρ,
тогда
f(z) = zse
Q(z)
∞
n=1
1 −
α
z
α
e
n
2
z
z
+
+...+
2
n
2α
n
p
z
p
pα
n
, (1.4.5.)
где Q(z) — многочлен, степень которого q не выше ρ, s — кратность
нуля f в точке 0 и число p 6 ρ.
Бесконечное произведение в (1.4.5.) сходится абсолютно и равномерно в C. (Напомним, что некоторая последовательность голоморфных
функций сходится равномерно в открытом множестве U, если она сходится равномерно на каждом компакте из U.)
В дальнейшем считаем, что f(0) = 1. Многочлен Q(z) будем записывать в виде
q
Q(z) =
djzj.
j=1
Здесь d0= 0, поскольку f (0) = 1.
Выражение
Φ(z) =
∞
n=1
1 −
α
z
α
e
n
2
z
z
+
+...+
2
n
2α
n
pα
p
z
p
n
(1.4.6.)
называется каноническим произведением, а число p — родом канониче-
ского произведения. Родом целой функции f (z) служит число max{q, p}.
Если обозначить через ρ′порядок канонического произведения (1.4.6.),
то ρ = max{q, ρ′}.
31
Рассмотрим ряд
∞
n=1
1
|αn|
. (1.4.7.)
γ
Нижняя грань положительных чисел γ, для которых ряд (1.4.7.)
сходится, называется показателем сходимости нулей канонического
произведения Φ(z).
Хорошо известно [43, гл. 7]; [107, гл. 8, п. 8.2.5], что показатель сходимости нулей канонического произведения равен его порядку ρ′.
Поэтому степенные суммы нулей в отрицательной степени
∞
n=1
1
, k ∈ N,
k
α
n
σk=
являются абсолютно сходящимися рядами при k > ρ′и при k > ρ.
Известно также, что ρ′− 1 6 p 6 ρ′[107].
В дальнейшем мы будем рассматривать степенные суммы с целыми
положительными показателями k.
Свяжем между собой интегралы в формуле (1.4.2.) со степенными
суммами нулей σk. Формула (1.4.3.) дает связь между интегралами в
(1.4.2.) и коэффициентами разложения φ(z) = ln f(z) в окрестности
нуля. Выразим теперь этот интеграл через степенные суммы нулей, используя формулу Адамара. Ограничемся случаем, когда s = 0.
В достаточно малой окрестности нуля имеем, по формуле Адамара
(1.4.5.)
где Pn(z) =
φ(z) = Q(z) +
+
z
2α
2
2
n
α
z
n
+ . . . +
n=1
z
pα
∞
p
ln
.
p
n
1 −
α
z
e
n
Pn(z)
,
Ряд для φ(z) сходится равномерно и абсолютно в достаточно малой
окрестности нуля, так как нули αjотграничены от нуля.
Найдем интегралы в (1.4.2.) для каждого слагаемого. Очевидно
kd
при 1 6 k 6 q,
k
0 при k > q.
1
2πi
1
· dQ(z) =
k
z
γ
r
32
Преобразуем выражение
z
d ln
d1 −
1 −
α
n
z
α
n
z
α
n
e
+···+
z
pα
=
d1 −
=
1 −
dz
=
z − α
p
z
− 1
p
=
dz
z − α
1
+
α
n
n
α
n
z
− 1
α
n
Pn(z)
e
p
p
n
+1 −
z
α
n
z
α
n
+
n
1 −
+ d
=
z
α
n
1
+
α
n
dz =
d
z
α
n
e
z
α
n
α
z − α
1 −
1 −
z
α
e
z
+
α
n
+
2α
z
+ ··· +
2
n
dz
+···+
n
z
2α
z
n
α
2
2
z
α
n
z
e
n
z
pα
+···+
2
n
+ ··· +
2
n
(zp− α
+
α
z
+
α
n
e
z
+
α
n
p
p
n
d
p
z
p
pα
n
p−1
z
p
α
n
p−1
(z − αn)
n
2α
z
2α
α
2
z
2
n
2
+···+
2
n
z
n
p
z
pα
dz =
p
)dz
n
+···+
+
p
n
2α
pα
p
z
pα
2
z
2
n
=
=
p
z
p
n
=
p
n
+ ··· +
p
α
n
p
z
p
pα
n
zpdz
(z − αn)
.
Тогда
1
2πi
∞
n=1
d
1 −
k
z
γ
r
1 −
z
e
α
n
z
e
α
n
2
z
z
+
+···+
α
2
n
2α
n
2
z
z
+
+···+
α
2
n
2α
n
pα
z
pα
p
p
n
1
=
p
z
p
n
2πi
∞
n=1
γ
r
p−k
z
p
α
(z − αn)
n
dz
0, если k 6 p,
∞
−
n=1
1
= −σk, если k > p.
k
α
n
=
Таким образом, справедливо утверждение
Предложение 1.4.1. Пусть f (z) — целая функция конечного по-
рядка роста ρ вида (1.4.5.) и f(0) = 1, тогда если q 6 p, то
1
2πi
1
df
k
z
γ
f
r
kd
=
0 при q < k 6 p,
−σ
при k 6 q,
k
при k > p.
k
=
33
Аналогично можно разобрать и случай, когда q > p. Во всяком случае имеем
Следствие 1.4.2. Верно равенство
1
2πi
1
df
= −σk, если k > ρ.
k
z
γ
f
r
Тогда из формулы (1.4.2.), леммы 1.2.1 и следствия 1.4.2 получаем
Следствие 1.4.3. Справедливы формулы
σk= −
(−1)
b
k−1
k
0
b
2b
. . . . . . . . . . . . . . .
kbkb
1
2
b
0
b
1
k−1bk−2
0 . . . 0
b
0
. . . 0
. . . b
при k > ρ. (1.4.8.)
1
Эти формулы связывают между собой степенные суммы σkи коэффициенты функции f . В случае, когда σ1является абсолютно сходящимся рядом (т.е. целой функций не выше, чем первого порядка,
минимального типа) эти формулы даны в теореме 1.2.3.
1.4.3. Конечное число нулей целой функции
Рассмотрим целую функцию конечного порядка роста вида (1.4.5.). Мы
найдем условия на коэффициенты функции, при выполнении которых
она имеет конечное число нулей. Прежде всего, нам нужно найти порядок ρ функции f. Для этого применим формулу [43], [107, гл. 8, п.
8.3]:
lim
n→∞
ln(1/|bn|)
n ln n
=
1
.
ρ
Если ρ число — дробное, то функция, как известно, имеет бесконечное
число нулей. В этом параграфе мы будем считать, что ρ — целое число.
Нам понадобятся некоторые результаты для бесконечных ганкелевых матриц. Их можно найти в [24, гл. 16, §10], [27, гл.2].
34
Пусть дана последовательность комплексных чисел s0, s1, s2. . . .
Она определяет бесконечную ганкелеву матрицу
S =
s
s
s
s
1
2
3
s2. . .
s3. . .
s4. . .
0
s
1
s
2
. (1.4.9.)
. . . . . . . . . . . .
Последовательные главные миноры матрицы S обозначим D0, D1,
D2, . . .:
Dp= |s
j+k
p−1
|
, p = 0, 1, . . . .
0
Кроме того, считаем, D−1= 1.
Если для каждого p ∈ N существует минор матрицы S порядка p,
не равный нулю, то матрица имеет бесконечный ранг. Если, начиная с
некоторого p, все миноры больших порядков равны нулю, то матрица S
имеет конечный ранг. Наименьшее такое p называется рангом матрицы.
Приведем два утверждения относительно матриц S конечного ранга p
[24, гл. 16, §10].
Следствие 1.4.4 (Кронекер). Если бесконечная ганкелева матрица
S вида (1.4.9.) имеет конечный ранг p, то D
p−1
= 0.
Справедливо и обратное утверждение [27, §11].
Следствие 1.4.5 (Фробениус). Если у бесконечной ганкелевой
матрицы минор D
= 0, а миноры Dp= D
p−1
p+1
= . . . D
= . . . = 0,
p+j
то ранг матрицы S конечен и равен p.
Теорема 1.4.3. Бесконечная ганкелева матрица имеет конечный
ранг p тогда и только тогда, когда существуют p чисел c1, c2, . . . , c
таких что
sj=
p
j=1
cjs
p−j
j > p.
Данная теорема приведена в [24, гл. 16, §10, теорема 7].
Теорема 1.4.4. Матрица S имеет конечный ранг p тогда и толь-
ко тогда, когда сумма ряда
R(z) =
s
z
s
0
+
z
s
1
2
+
2
+ . . . (1.4.10.)
3
z
p
35
есть рациональная функция от z. В этом случае ранг матрицы S совпадает с числом полюсов функции R(z), считая каждый полюс столько раз, каков его порядок.
Данное утверждение приведено в [24, гл. 16, §10].
Вернемся к целой функции f(z) с целым порядком ρ. В силу свойств
целой функции степенные суммы σkявляются абсолютно сходящимися
рядами при k > ρ (пока не знаем, сколько нулей имеет функция f ). Наименьшее такое k обозначим через k0и введем sj= σ
, j = 0, 1, . . . .
2k0+j
Рассмотрим бесконечную ганкелеву матрицу S вида (1.4.9.).
Теорема 1.4.5. Для того чтобы функция f имела конечное число
нулей, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы S был конечен,
при этом число различных нулей f равно рангу S.
Доказательство. Пусть число нулей f конечно α1, . . . , αp(каждый ко-
рень считается столько раз, какова его кратность). Тогда
p
j=1
1
, k > k0> ρ, (1.4.11.)
k
α
j
а sj= σ
2k0+j
σk=
, j > 0.
Рассмотрим многочлен P (z) степени p с корнями 1/α1, . . . , 1/αpс
коэффициентом при старшей степени, равным 1, вида
P (z) = zp+ c1z
p−1
+ . . . + c
n−1
z + cp.
Коэффициенты многочлена можно найти, использовав классические
формулы Ньютона (см. формулы (1.2.1.)):
σj+ c1σ
+ . . . + c
j−1
j−1σ1
+ jcj= 0, 1 6 j 6 p.
При j > p они принимают вид
σj+ c1σ
+ . . . + cpσ
j−1
j−p
= 0
или
σj= −c1σ
j−1
− . . . σ
j−pcp
.
36
Взяв в качестве sjсуммы σ
2k0+j
, получим
sj= −s
j−1c1
− . . . − s
j−pcp
.
Таким образом, теорема 1.4.3 показывает, что ранг S конечен и не
превосходит p.
Пусть теперь ранг S конечен и равен q. Этот ранг по теореме 1.4.4
равен числу полюсов рациональной функции R(z) (формула (1.4.10.)),
считая каждый полюс столько раз, каков его порядок.
Ряд для R(z) сходится (абсолютно и равномерно) для z, лежащих
вне некоторого круга с центром в нуле, содержащем все полюса (пока
неизвестные) функции R(z). Преобразуем ряд для R(z), предполагая,
что |αmz| > 1 для всех αm:
R(z) =
1
=
z
∞
m=1
s
0
z
k=0
∞
+
s
z
α
1
+
2
1
k+2k
m
s
2
3
z
·
0
+ . . . =
1
=
k
z
1
z
1
z
m=1
∞
k=0
∞
α
∞
1
∞
k=0
2k0+k
α
m
(αmz)
k
z
m=1
1
2k
0
m
1
=
1
=
k
=
1
z
∞
m=1
α
1
2k
m
0
αmz
·
αmz − 1
=
∞
m=1
α
1
2k
m
0
α
·
αmz − 1
m
.
Перестановка порядка суммирования рядов справедлива в силу их абсолютной сходимости. По условию R(z) — рациональна. Покажем, что
в этом ряду может быть только конечное число слагаемых.
Рассмотрим функцию
1
R∗(w) = R
w
=
∞
m=1
α
1
2k
m
∞
α
m
·
α
m
0
− 1
w
=
m=1
2k0−1
α
m
1
w
·
.
αm− w
Исследуем этот ряд для нахождения области сходимости. Корни ну-
меровали в порядке возрастания модулей. Пусть |w| 6 r < |α1|, тогда
1 −
α
w
m
> 1 −
|w|
|αm|
> 1 −
r
= c,
|α1|
37
т.е.
|w|
|αm|
6
r
. Тогда ряд
|α1|
∞
m=1
|αm|
1
2k0−1
1
·
1 −
w
α
m
6 c
∞
m=1
|αm|
1
2k0−1
.
Последний ряд сходится в силу выбора k0. Таким образом, ряд для
функции R∗(w) сходится абсолютно и равномерно внутри круга {|w| <
|α1|}. Выделяя число нулей с тем же модулем |α1| = . . . = |αn|, получим
R∗(w) =
n
m=1
2k0−1
α
m
1
1
·
α
m
− 1
w
+
m=n+1
∞
2k0−1
α
m
1
1
·
α
m
w
. (1.4.12.)
− 1
Первая сумма представляет собой конечную сумму дробей с полюсами
α1, . . . , αn. Вторая сумма — ряд, являющейся голоморфной функцией
при |w| < |α
| (в силу предыдущего рассмотрения). Так как R∗(w)
n+1
рациональна, то и второй ряд в (1.4.12.) также является рациональной
функцией. Пусть функция
R∗(w) =
,
Q(w)
где P (w) и Q(w) — многочлены. Тогда P (w) = Q(w)R∗(w). Так как
слева в этой формуле стоит многочлен, то Q(α1) = . . . = Q(αn) = 0.
P (w)
Если s — степень Q, то и Q(α
) = . . . = Q(αs) = 0. Поэтому ряд для
n+1
R∗(w) конечен и число дробей в нем равно числу q различных корней
αj. Значит, ранг S = q. Если число всех корней (с учетом кратностей)
равно p, то первая часть теоремы показывает, что p > q.
Отметим, что в силу следствия 1.4.3 степенные суммы sjвыража-
ются через коэффициенты Тейлора функции f .
Пусть целая функция f имеет вещественные коэффициенты, тогда
(как и для полинома) ее нули либо вещественные, либо комплексно сопряженные. Отметим, что в этом случае все степенные суммы σkи,
соответственно, числа sj— вещественные.
Поставим вопрос о числе вещественных и комплексных нулей. Так
как f имеет конечное число различных нулей, равное рангу ганкелевой
38
матрицы S, то решение этой задачи (по сути дела) сводится к классической задаче об определении числа различных вещественных корней
многочлена (см. теорему Эрмита 1.3.2, а также [24, гл. 16, §9]).
Рассмотрим бесконечную ганкелеву матрицу S вида (1.4.9.) с sj=
σ
. Пусть она имеет ранг p. Введем усеченную матрицу Sp:
2k0+j
Sp=
s
s
s
. . . . . . . . . . . . . . .
s
p−1
s
0
s
1
s
2
s
s
1
s
2
s
3
s
p
p+1
2
3
4
. . . s
. . . s
. . . . . .
. . . s
p−1
p
2p−2
(1.4.13.)
и усеченную ганкелеву квадратичную форму
p−1
Sp(x, x) =
k,j=0
s
j+kxjxk
. (1.4.14.)
Пусть различные нули функцииf равны β1, . . . , βpс кратностями
n1, . . . , np.
Так как sj= σ
, тогда
2k0+j
Sp(x, x) =
p−1
k,j=0
p
m=1
n
j+k+2k
β
m
m
xjxk=
0
=
p
m=1
n
m
2k
β
m
x0+
0
x
1
β
m
+ . . . +
x
β
p−1
p−1
m
2
. (1.4.15.)
Линейные формы
Zm=
β
m
1
2k
0
·x0+
x
1
β
m
+ . . . +
x
β
p−1
p−1
m
, 1 6 m 6 p
линейно независимы, так как определитель, составленный из их коэффициентов, есть определитель Вандермонда и поэтому отличен от 0.
Если формы Zmи Zkкомплексно сопряжены, то вместо них можно
рассмотреть формы
1
(Zm+ Zk)) и
2
1
(Zm−Zk). При этом их линейная
2i
независимость останется, но они уже будут вещественными.
39
В представлении (1.4.15.) каждому вещественному корню соответствует положительный квадрат, а сопряженным корням — разность
квадратов. Далее нужно применить теорему Фробениуса о ранге и сигнатуре ганкелевой формы Sp(x, x) [24, гл. 10, §10]. Отметим, что у нас
D
p−1
= 0.
Пусть для некоторых h < k миноры Dh= 0 и Dk= 0, все проме-
жуточные миноры равны 0, т.е. D
= . . . = D
h+1
= 0. Этим нулевым
k−1
определителям припишем знак (см. [24, гл. 10, §10, теорема 24]), тогда
j(j−1)
sign D
h+j
= (−1)
2
sign Dh, 1 6 j 6 k − 1. (1.4.16.)
Теорема 1.4.6. Число различных вещественных нулей функции
f равно разности между числом постоянств знака и числом перемен
знака в ряду
D−1, D0, D1, . . . , D
p−1
.
Пример 1.4.2. Рассмотрим функцию f (z) = (1 − z)ez, f (0) = 1.
Порядок роста функции ρ = 1. Тогда
∞
ln f(z) = z + ln(1 − z) = 2z +
k=2
k
z
.
k
Применив следствие 1.4.3, получим σk= 1 при k > 2, т.е. ранг ганкелевой матрицы S равен 1. Тогда по теореме 1.3.2 число нулей равно 1, а
по теореме 1.3.5 этот нуль вещественный.
Замечание 1.4.1. Рассмотренные утверждения показывают, что
в случае конечного числа нулей, исследование таких целых функций по
сути дела сводится к исследованию многочленов. Чтобы изучать другие вопросы, сваязанные с локализацией нулей в духе [24, 85], нужно
факторизовать функцию f(z), т.е. выделить в ней многочлен, имеющий корнями только нули функции f . Этот вопрос исследован в §1.6
(и [91]).
1.4.4. Бесконечное число нулей целой функции
Из предыдущего пункта получили
40