Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Если мы хотим найти коэффициенты системы (2.8.1.) из степенных
сумм Sα, то можно определить некоторые псевдостепенные суммы из
(2.8.3.), а другие можно положить равными нулю.
Пример 2.8.2. Рассмотрим систему
2
z
+ az1+ bz2+ c = 0, z2+ d = 0.
1
Тогда формула (2.8.3.) дает
1
Здесь S
(2,−1)
a = S
1
c =
S
(0,1)S(2,−1)
4
есть произвольное число, скажем S
(1,0)
, b = −
1
−
S
(2,0)
2
2
S
+
(2,−1)
1
S
2
,
2
(1,0)
S
(2,−1)
(2,−1)
.
= 0.
2.8.3. Рекуррентные формулы для невырожденных систем уравнений
Расмотрим сейчас более общую систему уравнений
f1= P1+ Q1= 0,
. . . . . (2.8.9.)
fn= Pn+ Qn= 0,
где Pjи Qj— полиномы в Cn, Pj— однородные полиномы степеней kj,
а deg Qj< kj, j = 1, . . . , n. Будем предполагать, что система (2.8.9.) не
вырожденна.
По теореме 2.2.2 о логарифмическом вычете степенные суммы S
корней системы (2.8.9.) равны
Sα=
1
(2πi)
n
f1. . . f
Γ
f
zαJfdz
.
n
Так как система (2.8.9.) невырожденна, то как и в §2.1, существует
матрица
A = ||ajk(z)||
n
j,k=1
,
191
α
в которой ajk(z) — полиномы такие, что
n
s
j
z
=
j
ajk(z)Pk(z), j = 1, . . . , n,
k=1
с sjнекоторыми натуральными числами (в §2.1 sj= Nj+ 1) такие, что
sj6 ||k||− n + 1. Пусть qj(z) есть полиномы
n
qj(z) =
Запишем Fj(z) = z
s
j
+ qj(z), так что deg qj< sj. Предположим, что
j
ajk(z)Qk(z), j = 1, . . . , n.
k=1
Fj(z) =
||α||6s
cα(j)zα,
j
и что cα(j) = 1 для α = sjej, а cα(j) = 0 для всех остальных α длины
sj.
Используя формулу преобразования (2.1.2.) (или, строго говоря,
формулу (2.3.6.) для глобального вычета), получаем
Sα=
1
(2πi)
n
zαJfdet Adz
F
F1. . . F
Γ
.
n
Выбирая цикл Γz= {z : |zj| = εj, j = 1, . . . , n} с εj> 0 достаточно
s
большими, получаем неравенства |z
j
| > |qj|, j = 1, . . . , n, на Γz. Ис-
j
пользуя теорему 2.2.3, имеем
Sα=
1
(2πi)
n
zαJfdet Adz
F1. . . F
Γ
z
.
n
Пусть сейчас мультииндекс α имеет по крайней мере одну отрицательную координату. Выражение
Sα=
1
(2πi)
n
zαJfdet Adz
F1. . . F
Γ
z
192
n
назовем псевдостепенной суммой. Можно показать, так же как для
системы (2.8.1.), что Sα= 0, если ||α|| < 0. Действительно, разлагая
функцию
F
1
=
j
(z
s
j
j
1
+ qj)
по формуле геометрической прогрессии
s=0
получаем
n
||β||≥0
(−1)
Sα=
1
(2πi)
Степень числителя равна
а степень знаменателя равна
n
||α|| +
j=1
∞
(−1)
||β||
n
sj(βj+ 1),
j=1
sj− n +
s
q
j
s
sj(s+1)
z
zαJfdet Aq
s1(β1+1)
z
Γ
z
1
n
j=1
,
β
1
. . . z
(sj− 1)βj,
1
. . . q
sn(βn+1)
n
β
n
dz
n
.
так что интеграл может быть отличен от нуля только в случае, если
||β|| 6 ||α||. Но так как ||α|| < 0, то Sα= 0.
Если ||α|| = 0, то
Sα=
(2πi)
n
В частности, при α = (0, . . . , 0) теорема Безу дает S
1
zαJfdet Adz
s
1
z
Γ
z
1
. . . z
.
s
n
n
(0,...,0)
= k1. . . kn.
Если α = (0, . . . , 0), то Sαможет быть отлична от нуля, так как
Sα=
1
(2πi)
n
zαJPdet Adz
s
1
z
Γ
z
1
. . . z
s
n
n
(2.8.10.)
193
и выражение JPdet A может иметь более одного монома в отличии от
случая системы (2.8.1.), где
JP= k1. . . knz
k1−1
1
. . . z
kn−1
n
.
(Здесь JP— якобиан системы P1, . . . , Pn). Поэтому число сумм Sα, отличных от нуля, совпадает с числом ненулевых мономов
полинома JPdet A.
Например, в случае примера 2.6.4 получаем
1
det A =
(a0x − a1y), JP= x(a0b1− 2a1b0) + y(2b2a0− a1b1),
∆
а
1
JPdet A =
(x2a0(a0b1− 2a1b0) + y2a1(a1b1− 2b2a0) + 2xy∆).
∆
Следовательно, нужно вычислить все Sαс ||α|| = 0 по формуле
(2.8.10.) перед тем, как применять формулы Ньютона.
Рассмотрим интеграл
I =
1
(2πi)
n
Jfdet Adz
Γ
z
β
z
и предположим, что
Jfdet A =
bαzα.
||α||>0
Тогда получим
I = b
β−I
= b
(β1−1,...,βn−1)
(если Jfdet A не имеет мономов zαс мультииндексом α, то I = 0).
Однако
I =
(2πi)
1
n
z−βJfdet AF1. . . Fndz
Γ
z
F1. . . F
n
=
=
||α1+...+αn−β||≥0
||αj||6s
1
c
(1) . . . c
α
j
n
α
(n)S
α1+...+αn−β
.
194
Если ||αj|| = sj, тогда c
j
(j) = 0 только в случае αj= sjej. Поэтому
α
I = S
s−β
+
||β||6||α1+...+αn−β||<||s||
1
c
(1) . . . c
α
α
n
(n)S
α1+...+αn−β
и, следовательно, доказан следующий результат.
Теорема 2.8.3 (Кытманов). Для системы (2.8.9.) справедлива фор-
мула
S
s−β
+
||β||6||α1+...+αn−β||<||s||
1
c
(1) . . . c
α
α
n
(n)S
α1+...+αn−β
= b
. (2.8.11.)
β−I
Видно, что каждый набор старших однородных частейs P1, . . . , P
дает свою формулу Ньютона. Наиболее простая из них — это формула
(2.8.3.) для системы (2.8.1.).
Рассмотрим сейчас две системы алгебраических уравнений
Pj(z) = 0, j = 1, . . . , n (2.8.12.)
и
Qj(z) = 0, j = 1, . . . , n. (2.8.13.)
Полиномы Pjимеют степени kj:
k1> k2> . . . > kn,
а полиномы Qj— степени dj:
d1> d2> . . . > dn.
n
Более того, множества корней (2.8.12.) и (2.8.13.) предполагаются совпадающими, обозначим их через E. Также предположим, что все корни
этих систем — простые. Существует ли тогда связь между этими системами?
Так как E конечно, можно предполагать, что все корни лежат в Cn,
и поэтому системы (2.8.12.) и (2.8.13.) невырожденны.
195
Теорема 2.8.4 (Кытманов–Мкртчян [35]). При сделанных предположениях на системы (2.8.12.) и (2.8.13.) имеем
k1= d1, k2= d2, . . . , kn= dn.
Для доказательства нам потребуется следующая лемма.
Лемма 2.8.1. Пусть
Ei= {z ∈ Cn: Pj(z) = 0, j = 1, . . . , n, j = i}
и пусть g(z) — полином такой, что E ⊂ g−1(0), но Ei⊂ g−1(0), т.е.
g ≡ 0 on Ei, тогда
deg g > deg Pi= ki.
Доказательство. Предположим, что deg g < ki. Аналитическое множе-
ство Eiне пусто и его комплексная размерность не меньше 1, поэтому
Ei\ E = ∅.
Рассмотрим точку z0∈ Ei\ E, для которой g(z0) = 0. В этой точке
также имеем Pi(z0) = 0, значит, существуют числа α и β такие, что
αPi(z0) + βg(z0) = 0, α = 0, β = 0.
Рассмотрим сейчас систему уравнений
Pj(z) = 0, j = 1, . . . , n, j = i, (2.8.14.)
αPi(z) + βg(z) = 0.
Так как старшая однородная часть этой системы совпадает с такой же частью системы (2.8.9.), то система (2.8.12.) не имеет корней на
бесконечной гиперплоскости CPn\Cn. Следовательно, по теореме Безу
число корней системы (2.8.12.) равно k1···kn. Но каждая точка множества E есть корень системы (2.8.12.). Кроме того эти точки есть также
корни системы (2.8.13.). Отсюда получаем, что число корней системы
(2.8.13.) по крайней мере не менее, чем k1···kn.
Доказательство теоремы 2.8.4. Прежде всего покажем, что k1= d1.
Рассмотрим множество
E1= {z ∈ Cn: P2(z) = 0, . . . , Pn(z) = 0}.
196
Существует по меньшей мере один полином Qj, который не равен тождественно нулю на E1. Из леммы 2.8.1 тогда получим
deg Qj= dj> k1.
Меняя системы (2.8.12.) и (2.8.13.) местами, имеем d1= k1.
Нетрудно показать, что для почти всех α и β системы уравнений
αP1(z) + βQ1(z) = 0,
P2(z) = 0, . . . , Pn(z) = 0 (2.8.15.)
не имеют корней на бесконечной гиперплоскости, и поэтому система
(2.8.15.) невырожденна.
Чтобы показать, что k2= d2, заменим систему (2.8.12.) на систему
(2.8.15.), а систему (2.8.13.) на систему
αP1(z) + βQ1(z) = 0, (2.8.16.)
Q2(x) = 0, . . . , Qn(z) = 0,
с теми же самыми α и β.
Сейчас положим
E2= {z : αP1+ βQ1= 0, P3= . . . = Pn= 0},
тогда на E2один из полиномов Qi, i = 2, . . . , n, не равен нулю тождественно. По лемме 2.8.1 существует полином Qi, i > 2, для которого
deg Qi> k2и поэтому d2> k2. Меняя местами системы (2.8.16.) (2.8.15.),
получаем, что d2= k2, и т.д.
В случае кратных корней теорема 2.8.4 не верна.
Пример 2.8.3. Для этого достаточно рассмотреть две системы уравнений
4
z
= 0, z2= 0
1
и
2
z
= 0, z
1
2
2
= 0.
197
Теорема 2.8.5 (Кытманов–Мкртчян [35]). Для систем (2.8.12.) и
(2.8.13.), удовлетворяющих условиям теоремы 2.8.4, имеем
Qj(z) =
где суммирование ведется по множеству мультииндексов l, для которых kl6 kj. Более того,
deg Rlj+ deg Pl6 Qj.
В частности, Qn— линейная комбинация тех Pj, для которых kj=
Rlj(z)Pl(z),
l
kn. Если k
Доказательство. Так как Qjравно нулю на множестве корней системы
(2.8.12.) и все эти корни простые и конечные, то по теореме Нетера
[45] получаем, что полиномы Qjпринадлежат идеалу, порожденному
P1, . . . , Pn.
Следствие 2.8.1 (Болотов [16]). Если в системах (2.8.12.) и
(2.8.13.), удовлетворяющих условиям теоремы 2.8.4,
и если их старшие однородные части Pjи Qjсовпадают для всех j,
тогда
> kn, то полиномы Pnи Qnпропорциональны.
n−1
k1= . . . = kn= d1= . . . = dn,
Pj≡ Qj, j = 1, . . . , n.
2.9. Исключение неизвестных по разным переменным. Вещественные корни
2.9.1. Исключение неизвестных по разным переменным
Здесь рассмотрим вопрос, также связанный с исключением неизвестных. Поставим следующую задачу: предположим, что найдены первые
координаты всех корней системы. Как найти оставшиеся координаты?
198
Классический метод исключения приводит систему к треугольному виду. Так, имея первые координаты всех корней, подставляем их
в предыдущие уравнения (которые зависят от первого и второго переменного) и снова получаем полиномы от одного переменного. Решая их,
найдем вторые координаты корней т.д.
При использовании результатов §2.1 получаем результант R(z1) от
первого переменного. Для того чтобы найти вторые координаты корней,
нужно найти результант по второму переменному и т.д.
Здесь описывается метод, который упрощает эту процедуру. Например, в случае когда нули R(z1) простые, для определения другой координаты не нужно находить результанты по другим переменным. Этот
метод описан в работе [2].
Рассмотрим систему
f1(z) = 0,
. . . (2.9.1.)
fn(z) = 0
алгебраических уравнений. Предположим, что система (2.9.1.) имеет
конечное число корней z
воляет нам получить полином R(z1), имеющий нули z
, . . . , , . . . z
(1)
в Cn. Метод исключения поз-
(M)
, . . . , , . . . z
1(1)
1(M)
Предположим сначала, что все нули R(z1) простые, тогда
R(z1) =
M
µ=1
(z1− z
1(µ)
) =
M
j=0
bjz
M−j
, b0= 1.
1
Вводя полиномы
имеем
P
(t)
(z1) =
j
M
µ=1
t
z
j(µ)
(t)
P
(z1)
j
R′(z1)
η=1
η=µ
(z1− z
z1=z
1(µ)
1(η)
= z
j(µ)
) =
t
M
β=1
(t)
M−β
a
jβ
z
,
1
.
199
и, в частности, при t = 1
(z1)
z1=z
= z
1(µ)
(t)
(z1) или их коэффициенты a
j
j(µ)
.
(t)
P
j
R′(z1)
Поэтому нам нужно найти полиномы P
Рассмотрим вспомогательную систему функций
φ
(t)
(λ) =
j
M
µ=1
t
z
j(µ)
1 − λz
1(µ)
M
(1 − λz
ν=1
1(ν)
),
которая может быть записана в виде
φ
(t)
(λ) =
j
M
µ=1
z
t
j(µ)
ν=µ
(1 − λz
1(ν)
) =
M
β=1
(t)
β−1
a
λ
jβ
.
Но используя формулу геометрической прогресии, получаем при до-
(t)
jβ
.
статочно малых |λ|, что
где S
me1+te
M
∞
m=0
∞
m=0
µ=1
m
λ
S
me1+te
z
µ=1
(t)
φ
(λ) =
j
=
=
— степенная сумма для мультииндекса me1+tej= (m, 0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0),
j
t
j(µ)
M
j
∞
m=0
t
z
j(µ)
m
λ
1(µ)
m
)
M
ν=1
(1 − λz
ν=1
(1 − λz
1(ν)
(λz
m
z
1(µ)
(1 + b1λ + . . . + bMλM),
1(ν)
) =
) =
а bj— коэффициенты полинома R(z1). Сравнив выражения при φ
получим рекуррентные соотношения для вычисления a
β−1
=
α=0
bαS
(β−α−1)e1+te
. (2.9.2.)
j
(t)
a
jβ
(t)
jβ
:
(t)
j
(λ),
200