Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Выразим
2ak
(e
Следовательно,
∞
cth2(ak)
k=1
1
− 1)
2
k
2
= −
=
e
∞
k=1
2ak
k
1
1
− 1
2
−
−
∂
∂a
2k
1
∞
k=1
·
∂
∂a
k3(e
1
e
2ak
− 1
.
2
2ak
− 1)
=
1
2
π
=
−
ln2y ·
6
0
Итак, мы выразили σ
(1,1)
∂
∂a
1
e4a− 1
(e2a, e2a; e4a, y)dy.
2Φ1
в терминах значений некоторых интегралов
и известных рядов без вычисления самих корней системы.
Пример 3.5.4. Рассмотрим систему уравнений
f1(z1, z2, z3) =
∞
=
f2(z1, z2, z3) =
=
f3(z1, z2, z3) =
=
k=1
∞
s=1
∞
m=1
1 −
1 −
1 −
sin√a1z1+ a2z2+ a3z3− a1a2z1z2− a1a3z1z3− a3a3z2z
√
a1z1+ a2z2+ a3z3− a1a2z1z2− a1a3z1z3− a3a3z2z
b1z1+ b2z2+ b3z3− b1b2z1z2− b1b3z1z3− b3b3z2z
a1z1+ a2z2+ a3z3− a1a2z1z2− a1a3z1z3− a3a3z2z
2
k2π
sin√b1z1+ b2z2+ b3z3− b1b2z1z2− b1b3z1z3− b3b3z2z
√
b1z1+ b2z2+ b3z3− b1b2z1z2− b1b3z1z3− b3b3z2z
2
s2π
sin√c1z1+ c2z2+ c3z3− c1c2z1z2− c1c3z1z3− c3c3z2z
√
c1z1+ c2z2+ c3z3− c1c2z1z2− c1c3z1z3− c3c3z2z
c1z1+ c2z2+ c3z3− c1c2z1z2− c1c3z1z3− c3c3z2z
2
m2π
3
3
3
= 0,
= 0,
= 0.
3
=
3
3
=
3
3
=
3
(3.5.36.)
Каждая из функций этой системы разлагается в бесконечное произведение функций из системы (3.5.35.). По формуле (3.5.34.) имеем
∞
J
(0,0,0)
+
k,s,m=1
+
=
k,s,m=1
∞
∞
k,s,m=1
a1b2c3+ a1b3c2+ a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2+ a3b2c
π6k2s2m
2
a3c1c2c
3
π6m2(a3m2− c3k2)
·
b1m2− c1s
b
1
+
2
b
2
b2m2− c2s
a1b1b2b
3
π6s2(a1s2− b1k2)
·
c
3
c3s2− b3m
+
2
c2s2− b2m
c
2
+
2
+
2
301
1
+
+
k,s,m=1
+
+
k,s,m=1
+
+
k,s,m=1
+
k,s,m=1
∞
∞
k,s,m=1
∞
∞
k,s,m=1
∞
a2b1b2b
π6s2(a2s2− b2k2)
∞
a3b1b2b
π6s2(a3s2− b3k2)
a1c
1
π6(a1m2− c1k2)
a1c
1
π6(a1m2− c1k2)
a2c
2
π6(a2m2− c2k2)
a2c
2
π6(a2m2− c2k2)
3
·
c3s2− b3m
3
·
c2s2− b2m
b2c2c
·
m2(b2m2− c2s2)
a2a3b
·
k2(a2s2− b2k2)
b1c1c
·
m2(b1m2− c1s2)
a1a3b
·
k2(a3s2− b3k2)
c
3
+
2
c
1
c1s2− b1m
+
2
c
2
+
2
c
1
c1s2− b1m
+
2
3
+
b3c2c
3
+
m2(b3m2− c3s2)
2
+
a2a3b
3
+
k2(a3s2− b3k2)
3
+
b3c1c
3
+
m2(b3m2− c3s2)
3
+
a1a3b
1
.
k2(a1s2− b1k2)
Правая часть тождества состоит из сумм вида
∞
k,s,m=1
π6s2(as2− bk2)(cs2− dm2)
1
Используя равенство [46, гл. 5, п. 5.1.25, формула 4] (при условии
a > 0)
∞
имеем
k=0
∞
1
(k2+ a2)
=
2a
1
+
2
π cth(πa)
,
2a
1
=
π6s2(as2− bk2)(cs2− dm2)
1
·
2
−1
2(−c/d)s
−1
2(−a/b)s
π cth(π−c/ds)
+
2
π cth(π−a/bs)
+
2
2−c/ds
×
2−a/bs
=
=
∞
s=1
k,s,m=1
π6bds
×
302
=
∞
s=1
1
4π6acs
+
6
s=1
∞
cth(π−c/ds)
4π
√
5
−cdas
5
+
s=1
∞
cth(π−a/bs) · cth(π−c/ds)
4π4a√abcds
+
s=1
4
∞
cth(π−a/bs)
√
4π
5
−abcs
5
.
+
Пусть2Φ1(e2t, e2t; e4t, x) — базисный гипергеометрический ряд [46, с.
793].
Воспользуемся известной формулой [46, гл. 5, п. 5.2.18, формула 13]
=
1
x
·
e4t− 1
∞
s=1
s−1
x
2ts
e
− 1
x
·2Φ1(e2t, e2t; e4t, x) =
=
x
1
∞
s=1
s
x
2ts
e
− 1
1
e4t− 1
2Φ1
получим
=
∞
s=1
∞
cth(ts)
5
s=1
1
+ 2
5
s
1
e4t− 1
s
1
1
dy
y
0
∞
s=1
1
5
s
x
=
y
1
dx
x
0
0
+ 2
1
w
∞
s=1
dw
s5(e
w
0
1
2ts
1
dv
v
Проинтегрировав по частям, легко показать, что
dy
y
1
x
0
dx
x
1
w
0
dw
w
v
1
dv
v
0
0
(e2t, e2t; e4t, u) du =
2Φ1
1
1
y
0
=
(e2t, e2t; e4t, x),
=
− 1)
v
(e2t, e2t; e4t, u) du.
2Φ1
0
=
Упростим выражение
∞
cth(as) · cth(bs)
s=1
s
1
1
ln4y ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, y) dy.
4
0
∞
1
4
=
s=1
1 + e
·
4
s
1 − e
−2as
−2as
1 + e
·
1 − e
−2bs
−2bs
=
303
∞
=
s=1
1
4
s
·1 +
e
2as
2
− 1
Теперь рассмотрим выражение
2as
(e
+
2bs
e
4
− 1)(e
2
− 1
2bs
+
− 1)
(e
2as
4
− 1)(e
2bs
− 1)
при условии
= 2 получаем
b
(e
=
Теперь заметим, что
∂
a
∂b
2bs
e
Выразим
(e
2as
1
2bs
− 1)(e
2bs
2(e
− 1
1
− 1)
4
1
− 1)
=
= −
2
2bs
(e
− 1)
−
2
2se
2bs
2bs
e
=
4(e
2bs
− 1)
1
− 1
2bs
2
(e
1
=
+
2bs
− 1)2(e
− 1)
(e
1
2s
2bs
+
2s
·
4
4(e
− 1)
∂
∂b
2bs
2bs
e
1
+
2bs
+ 1)
+ 1)
2bs
(e
1
− 1
=
.
2s
− 1)
.
.
2
Следовательно,
∂
∂b
∞
s=1
из выше изложенного равен
1
1
ln4y ·
8
0
∂
∂b
2Φ1
Таким образом, получаем, что J
вестных сумм.
2s
1
5
1
·
2bs
e
− 1
(e2b, e2b; e4b, y)dy.
(0,0,0)
выражается через значения из-
304
3.6. Системы трансцендентных уравнений общего вида
3.6.1. Уравнения общего вида
Основные результаты этого пункта взяты из статьи [39].
Пусть f1(z), . . . , fn(z) — система функций, голоморфных в окрест-
ности начала координат в многомерном комплексном пространстве Cn,
z = (z1, . . . , zn).
Разложим функции f1(z), . . . , fn(z) в ряды Тейлора в окрестности
начала координат и рассмотрим систему уравнений вида
fj(z) = Pj(z) + Qj(z) = 0, i = 1, . . . , n, (3.6.1.)
где Pj— младшая однородная часть разложения Тейлора функции
fj(z). Степень всех мономов (по совокупности переменных), входящих в
Pj, равна mj, j = 1, . . . , n. В функциях Qjстепени всех мономов строго
больше, чем mj.
Разложение функций Qj, Pj, j = 1, . . . , n в окрестности нуля в ряды Тейлора, сходящиеся абсолютно и равномерно в этой окрестности,
имеют вид
Qj(z) =
Pj(z) =
∥α∥>m
∥β∥=m
j
a
zα, (3.6.2.)
α
j
j
b
zβ, (3.6.3.)
β
j
j = 1, . . . , n,
где α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn) — мультииндексы, т.е. αjи β
неотрицательные целые числа, j = 1, . . . , n, ∥α∥ = α1+ . . . + αn, ∥β∥ =
β
β1+ . . . + βn, а мономы zα= z
α
1
α
1
2
· z
2
···z
α
n
, zβ= z
n
β
1
2
· z
1
2
···z
β
n
.
n
В дальнейшем будем предполагать, что система полиномов
P1(z), . . . , Pn(z) — невырожденная, т.е. ее общим нулем служит только
точка 0 — начало координат.
Рассмотрим открытое множество (специальный аналитический полиэдр) вида
j
DP(r1, . . . , rn) = {z : |Pj(z)| < rj, i = j, . . . , n},
305
где r1, . . . , rn— положительные числа. Его остов имеет вид
ΓP(r1, . . . , rn) = ΓP(r) = {z : |Pj(z)| = rj, j = 1, . . . , n}.
Эти множества играют важную роль в теории многомерных вычетов
[8].
Приведем хорошо известное утверждение [8].
Лемма 3.6.1. Для невырожденных систем полиномов P1, . . . , P
множество DP(r1, . . . , rn) — относительно компактно, а для почти
всех r1, . . . , rnего остов ΓP(r1, . . . , rn) является гладким компактным
циклом, размерности n.
Далее, докажем лемму.
Лемма 3.6.2. Пусть система полиномов
P1(z), . . . , Pn(z) (3.6.4.)
такова, что на координатной плоскости {z1= 0} в ней найдется
невырожденная подсистема, состоящай их n − 1 полинома от переменных z2, . . . , zn. Тогда остов полиэдра ΓP(r1, . . . , rn) не пересекается
с координатной плоскостью {z1= 0} для почти всех r1, . . . , rn.
Доказательство. Можно считать, что невырожденная подсистема —
это подсистема вида
n
P2(0, z2, . . . , zn), . . . , Pn(0, z2, . . . , zn). (3.6.5.)
Для доказательства используем понятие и свойства результанта, введенного А.К.Цихом ( [51, §18, п.3]) для переопределенных систем функций. Обозначим P′= (P2, . . . , Pn), а z′= (z2, . . . , zn). По лемме 3.6.1
полиэдр
′
G
= {z′: |Pj(0, z′)| < rj, . . . , j = 2, . . . , n} (3.6.6.)
′
P
является относительно компактным множеством для любых r2> 0, . . . ,
rn> 0. Поскольку система (3.6.5.) состоит из однородных полиномов, то
отображение, определяемое системой (3.6.5.) из C
собственным. Это означает, что P′: G
′
→ B′аналитическое накрытие
′
P
n−1
в C
n−1
, является
над поликругом B′= {|w2| < r2, . . . , |wn| < rn}, т.е. для каждого w =
306
(w2, . . . , wn) ∈ B′прообраз (P′)−1(w′) состоит из одного и того же (с
учетом их кратностей) числа точек (z′)
(ν)(w′
) ∈ G
′
, ν = 1, . . . , p (т.е.
′
P
система уравнений P′(0, z′) = w′имеет конечное число корней).
Определим результант функции P1(0, z′) −w1относительно системы
P′(0, z′) ( [51, §18, п.3]) следующим образом:
p
R(w) = R(w1, w′) =
[P1(0, (z′)
ν=1
(ν)(w′
)) − w1]. (3.6.7.)
Как показано в [51, §18, п.3] для собственных отображений R(w) —
полином. Ясно, что R(0) = 0 и R(w) не обращается в нуль тождественно.
Обозначим через A множество
A = {w : R(w) = 0}.
Из определения (3.6.7.) результанта ясно, что w /∈ A тогда и только
тогда, когда система уравнений
P1(0, z′) = w1, . . . , Pn(0, z′) = w
n
(3.6.8.)
не имеет корней.
Так как множество A имеет размерность 2n − 2, то, рассматривая
остовы w : |w1| = r1, . . . , |wn| = rn, получаем, что почти для всех
r1, . . . , rnэти остовы не пересекаютcя с A. 2
Следствие 3.6.1. Если для каждой координатной плоскости {zj=
0} найдется невырожденная подсистема порядка (n − 1) системы
(3.6.5.), то для почти всех r1, . . . , rnостов ΓP(r1, . . . , n) не пересекает
координатные плоскости.
Отметим, что при n = 2 никаких ограничений на систему (кроме
невырожденности) налагать не нужно. При достаточно малых riциклы
ΓPлежат в области голоморфности функций fi, поэтому ряды
∥α∥>m
i
|a
α
j
1
|r
1
α
···r
α
n
n
307
сходятся, i = 1, 2, . . . , n. Тогда на цикле ΓP(tr) = ΓP(tr1, tr2, . . . , trn) при
достаточно малых t > 0 имеем
|Pi(tr)| =
=
∥β∥=m
∥β∥|bi
t
i
|rβ= t
β
а
|Qi(tr)| =
6
∥α∥>m
∥α∥|ai
t
i
|rα= t
α
∥β∥==m
m
i
∥β∥=m
∥α∥>m
mi+1
i
b
β
i
|b
i
i
a
(tr)
α
i
∥α∥>m
β
(tr)
=
i
|rβ, i = 1, . . . , n,
β
α
6
i
|a
α
i
∥α∥−(mi+1)
|rαt
.
Поэтому при достаточно малых t на цикле ΓP(tr) выполняются неравенства
|Pi(z)| > |Qi(z)|, i = 1, 2, . . . , n. (3.6.9.)
Таким образом,
fi(z) = 0 на ΓP(tr), i = 1, 2, . . . , n.
В дальнейшем будем считать, что t = 1, т.е. неравенство (3.6.9.) справедливо на цикле ΓP(r1, . . . , rn).
Введем понятие вычетного интеграла Jγ( [104]). Определим
Jγ=
1
(2πi)
n
Γ
1
df
·
γ+I
z
P
= (3.6.10.)
f
=
1
(2πi)
n
γ1+1
z
1
Γ
P
· z
1
γ2+1
2
···z
γn+1
n
df
·
f
df
1
1
∧
2
f
2
∧ . . . ∧
df
f
n
,
n
где γ = (γ1, . . . γn) — мультииндекс. Вычетный интеграл определен, если
r1, . . . , rnвыбраны так, что выполнено неравенство (3.6.9.) и цикл ΓPне
пересекается с координатными плоскостями (см. следствие 3.6.1). Отметим, что этот интеграл не является многомерным логарифмическим
вычетом или вычетом Гротендика.
308
Теорема 3.6.1. Если система полиномов (3.6.4.) невырожденная
и для нее выполнены условия следствия 3.6.1, то для системы вида
(3.6.1.) справедливы формулы
=
1
(2πi)
Jγ=
n
∥α∥6∥γ∥+n
1
(2πi)
(−1)
n
Γ
P
∥α∥
z
1
γ+I
Γ
df
·
=
f
∆ · Qα· dz
γ+I
z
P
· P
α+I
,
где α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс, ∆ — якобиан системы (3.5.26.),
все выражения Qα= Q
α
1
1
···Q
α
n
n
, P
α+I
= P
α1+1
1
···P
αn+1
n
.
Доказательство. Используя формулу геометрической прогрессии и
условие (3.6.9.) на ΓP, получаем
∞
1
1
=
f
i
Pi+ Q
=
i
(−1)
s=0
s
Q
i
s
P
s+1
i
,
тогда
Jγ=
1
(2πi)
n
∥α∥>0
(−1)
∥α∥
∆
γ1+1
z
Γ
P
1
· . . . · z
n
γn+1
·
P
Q
α1+1
1
α
1
· . . . · Q
1
· . . . · P
α
n
n
αn+1
n
dz.
(3.6.11.)
Полученный ряд абсолютно сходится.
Покажем, что в этой сумме лишь конечное число слагаемых отлично
от нуля. Для этого подсчитаем степени (по совокупности переменных)
мономов, входящих в числитель и знаменатель подынтегрального выражения.
Степень deg ∆ мономов, входящих в ∆, не меньше, чем m1+ . . . +
mn− n. Для степени мономов, входящих в Qα, получаем оценку
α
deg Q
i
> (mi+ 1) · αi, i = 1, . . . , n.
i
Поэтому степень числителя не меньше, чем
n
m1+ . . . + mn− n +
αs(ms+ 1).
s=1
309
Степень знаменателя
∥γ∥ + n + m1(α1+ 1) + . . . + mn(αn+ 1).
В сумме (3.6.11.) все слагаемые, для которых степень числителя
больше степени знаменателя на n, равны нулю. Действительно, сделаем в каждом интеграле из (3.6.11.) замену переменных zj→ eθizj,
j = 1, . . . , n, 0 6 θ 6 2π. При такой замене интеграл и циклы интегрирования не изменятся в силу однородности полиномов Pi(z), а в
подынтегральном выражении вынесем множитель eθiв степени, равной
разности между степенями числителя (вместе с dz) и знаменателя.
Таким образом, могут быть отличными от нуля лишь слагаемые, для
которых
m1+ . . . + mn− n + α1(1 + m1) + α2(1 + m2) + . . . + αn(1 + mn) 6
6 ∥γ∥ + (α1+ 1)m1+ . . . + (αn+ 1)mn,
∥m∥ + ∥α∥ +
n
αsms6 ∥γ∥ + n + ∥m∥ +
s=1
n
s=1
αsms,
∥α∥ 6 ∥γ∥+ n.
2
Наша дальнейшая цель показать, что интегралы в формуле (3.6.11.)
можно вычислить через коэффициенты Тейлора функций fiи связать
эти интегралы со степенными суммами корней системы (3.5.26.). Для
этого нам нужно наложить некоторые ограничения на функции Qi(z),
i = 1, . . . , n.
3.6.2. Вспомогательные результаты
Напомним некоторые понятия из пространства теории функций Cn,
равного произведению n экземпляров сфер Римана CP1, т.е. Cn= CP1×
··· × CP1.
Пусть zj: wj— однородные координаты в j-м множителе пространства Cnи пусть
Fj(z1, w1, . . . , zn, wn) = 0, j = 1, . . . , n (3.6.12.)
310