Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
В частности,
β−1
=
α=0
bαS
(β−α−1)e1+e
. (2.9.3.)
j
(1)
a
jβ
Если система (2.9.1.) имеет только конечные корни (т.е. она невырожденная), тогда степенные суммы могут быть вычислены по теореме
2.6.1 или соответствующим формулам Ньютона из §2.3. Этим путем могут быть найдены P
(t)
j
(z1).
Теорема 2.9.1 (Айзенберг–Болотов–Цих). Пусть нули полинома
R(z1) простые и пусть коэффициенты полиномов P
(1)
(z1) даются фор-
j
мулами (2.9.3.). Тогда j-е координаты корней системы (2.9.1.) равны
(z1)
z1=z
, µ = 1, . . . , M.
1(µ)
z
j(µ)
=
(1)
P
j
R′(z1)
Пример 2.9.1. Рассмотрим систему уравнений
2
z
+ a1z1+ b1z2+ c1= 0,
1
2
z
+ a2z1+ b2z2+ c2= 0. (2.9.4.)
2
Нам нужно вычислить S
при j = 0, 1, 2, 3:
(j,1)
S
(j,1)
= M
α1+α26j+1
(−1)
α1+α
2
где
Jf= 4z1z2+ 2z2a1+ 2z1b2+ a1b2− b1a2,
Q1= a1z1+ b1z2+ c1, Q2= a2z1+ b2z2+ c2.
JfQ
2α1+1−j
z
1
α
α
1
2
Q
1
2
z
2
2α
,
2
Тогда получим S
S
S
S
= −2b2,
(0,1)
= a1b2+ 3a2b1,
(1,1)
= 2c1b2+ 4b1c2− 2b1b
(2,1)
= a
(3,1)
Ранее нами показано, что
R(z1) = z
3
1
4
+ 2a1z
1
b2+ 7a
2
a2b1+ 5a2b
1
2
2
2
− a
b2− 5a1a2b1,
1
2
b2+ 3a1b1b
1
−6a1b1c1− 7a2b1c1− 3a1b2c1.
3
1
+ (a
2
− b1b2+ 2c1)z
1
201
2
−
2
2
+
1
+(a2b
2
− 2a1c1− a1b1b2)z1+ b
1
Отсюда и из (2.9.3.) получаем
2
c2+ c
1
2
− b1b2c1.
1
(1)
P
(z1) = −2b2z
2
3
+ 3(a2b1− a1b2)z
1
2
+ (a1a2b1− a
1
2
b2+ 4b1c2−
1
−2c1b2)z1+ 7a1b2c1+ 8a1b1c2− a2b1c1− 6a1b1c1.
Рассмотрим сейчас более общий случай, когда результант R(z1) может иметь кратные корни. Пусть z
зультанта, µ = 1, . . . , k и пусть каждый корень z
обозначают различные корни ре-
1(µ)
имеет кратность
1(µ)
rµ, r1+ . . . + rk= M. Тогда
R(z1) =
k
µ=1
(z1− z
1(µ)
r
µ
)
=
M
α=0
bαz
M−α
1
.
Введем полиномы
k
P
j
×(z1− z
(t)
(z1) =
1(µ)
rµ−1
)
µ=1
η=1
t
z
j(µ,1)
(z1− z
+ . . . + z
r
η
)
1(η)
t
j(µ,rµ)
=
M
β=1
a
(t)
jβ
×
M−β
z
1
,
η=µ
где z
равными z
d
j(µ,1)
rν−1
dz
, . . . , z
1(µ)
(t)
P
(
j
rν−1
1
j(µ,rµ)
— j-е координаты корней с первыми координатами,
. Тогда получим
r
z
)
1
d
ν
R(z1)
dz
r
ν
1
z1=z
1(µ)
=
1
t
z
r
ν
j(ν,1)
+ . . . + z
t
j(ν,rν)
. (2.9.5.)
Соотношения (2.9.5.) позволяют нам выписать степенные суммы j-х
координат корней z
j(ν,1)
, . . . , z
j(ν,rν)
, если известны R(z1) и P
(t)
(z1). Под-
j
ставляя t = 1, . . . , rν, вычислим rνразличные степенные суммы. Используя одномерные рекуррентные формулы Ньютона (1.2.1.), находим
полином P по z1, имеющий эти корни. Решая уравнение P = 0, найдем
корни z
Для нахождения коэффициентов a
j(ν,1)
, . . . , z
j(ν,rν)
.
(t)
нужно воспользоваться теми
jβ
же формулами (2.9.2.).
202
Теорема 2.9.2 (Айзенберг–Болотов–Цих). Предположим, что известны первые координаты корней системы (2.9.1.). Тогда по формуле (2.9.5.) можно получить степенные суммы j-х координат корней,
имеющие эти данные первыми координатами, 1 < j 6 n. Эти путем
проблема нахождения j-х координат сводится к нахождению корней
полинома одного переменного, степень которого равна числу корней
системы (2.9.1.) с заданными первыми координатами. Более того, ко-
эффициенты полиномов R
(t)
— по формуле (2.9.2.), а степенные суммы
j
находятся по теореме 2.6.1 и следствию 2.6.1.
2.9.2. Системы уравнений с вещественными коэффициентами
Следствие 2.9.1. Если система (2.9.1.) с вещественными коэффициентами такова, что все нули R(z1) — простые, то число вещественных корней системы совпадает с числом вещественных корней
полинома R(z1).
Доказательство. Если система (2.9.1.) имеет вещественные коэффи-
циенты, то все степенные суммы Sαкорней — вещественные. Поэтому
полиномы R(z1) и P
Если первая координата корня z
показывает, что z
(t)
(z1) также имеют вещественные коэффициенты.
j
— вещественная, то теорема 2.9.1
(µ)
также вещественные, и, следовательно, корень z
j(µ)
(µ)
имеет все координаты вещественными.
Это следствие позволяет нам определять число вещественных корней системы (2.9.1.), используя, например, метод Эрмита.
Следствие 2.9.1 не верно, если R(z1) имеет кратные корни.
Если коэффициенты системы (2.9.1.) зависят от некоторых параметров, тогда (в общем) R(z1) имеет только простые корни.
Для определения числа вещественных корней не нужно знать полином R(z1).
Действительно, пусть система (2.9.1.) — невырожденная с вещественными коэффициентами, а deg fj= kj. Тогда по теореме 2.6.1 можно найти степенные суммы S
, . . . , S
e
1
(2M−2)e
, где M = k1. . . knи e1=
1
203
(1, 0, . . . , 0). Рассмотрим матрицу (см. следствие 1.3.1 ):
B =
M S
S
e
1
S
2e
e
1
1
. . . . . . . . . . . . . . .
S
S
2e
3e
1
1
. . . S
. . . S
(M−1)e
Me
1
1
.
S
(M−1)e
S
Me
1
1
S
(M+1)e
1
. . . S
(2M−2)e
1
Если матрица B невырожденная (т.е. det B = 0 ), то полином R(z1)
имеет только простые нули (так как det B есть дискриминант R(z1), §6).
Тогда по теореме Эрмита 1.3.2 число вещественных корней R(z1) (т.е.
число вещественных корней системы (2.9.1.)), равно сигнатуре квадратичной формы с данной матрицей.
Простые утверждения такие, как правило знаков Декарта 1.3.5 или
теорема Бюдана–Фурье 1.3.6, часто позволяют найти число вещественных корней. Поэтому данный вопрос обычно сводится к аналогичному
вопросу для результанта R(z1).
Следствие 2.9.1 может быть расширено на более общую ситуацию.
Пусть P (z) полином в Cnс вещественными коэффициентами. Если z ∈
Cnи Im z = 0, то z = x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Обозначим через
D
= {x ∈ Rn: a < P (x) < b}
a,b
множество, состоящее из поверхностей уровня полинома P, a < b, a, b ∈
R. Как определить число вещественных корней системы (2.9.1.) лежащих в D
проекции в C корней z
следствию 2.6.1) можно найти степенные суммы S
=
ksj6jk, βs=
? Рассмотрим комплексные числа P(z
a,b
ksj≥0
n
j=1
, . . . , z
(1)
k
(−1)
sj
s,j=1
k
sj
системы (2.9.1.). По теореме 2.6.1 (или
(M)
P
S
=
j
n
s=1
n
n
j=1
k
!
sj
ksj!
), . . . , . . . , P (z
(1)
PjQαJfdet A
M
(M)
P
вида (deg P = k):
j
s,j=1
n
z
j=1
βjNj+βj+N
j
j
), т.е.
k
sj
a
sj
Тогда по формулам Ньютона (1.2.1.) найдем полином RP(w), w ∈
C, имеющий корни P (z
), j = 1, . . . , M. Если z
(j)
— корень системы
(j)
204
.
(2.9.1.), не имеющий вещественных координат z
(2.9.1.). Если P (z
сказать о P (z
(j)
) — вещественное число, тогда то же самое можно
(j)
), т.е. число P (z
) есть кратный корень RP(w). Полу-
(j)
, то также корень
(j)
чаем следующий результат.
Теорема 2.9.3 (Кытманов). Если система (2.9.1.) невырожденная
с вещественными коэффициентами и если полином RPимеет только
простые корни, то число вещественных корней системы (2.9.1.) в области D
совпадает с числом вещественных корней полинома RPв
a,b
интервале (a, b).
Число вещественных корней полинома RPв (a, b) можно определить,
использовав метод Штурма или теорему Бюдана–Фурье (см. §1.3). Существование кратных корней может быть проверено с помощью дискриминанта. Эта теорема позволяет находить число вещественных корней
системы (2.9.1.) в полосе {x ∈ Rn, a < x1< b}, в шаре {x ∈ Rn: |x| <
r}, в эллипсоиде и т.д..
Другой метод подсчета числа вещественных корней дан в [105].
Пример 2.9.2. (Продолжение примера 2.9.1).
Для системы (2.9.4.), aj, bj, cj∈ R, рассмотрим полином P (x) = x
2
x
. Нам нужно найти число вещественных корней системы (2.9.4.) в
2
круге или в кольце. Сначала вычислим S
, j + k 6 4 с помощью
(j,k)
2
+
1
формул (2.6.9.). Получим
S
= −2a1, S
(1,0)
= −2b2, S
(0,1)
= 2b1b2+ 2a
(2,0)
2
− 4c1,
1
S
S
S
(3,1)
(1,3)
(4,0)
= 2a
= a
= b
S
S
S
4
+ 4a
1
3
b2+ 7a
1
2
a1+ 7b
2
= a1b2+ 3a2b1, S
(1,1)
S
S
(2,1)
(1,2)
2
2
= −2a
(3,0)
= −2b
(0,3)
= 2c1b2+ 4b1c2− 2b1b
= 2c2a1+ 4a2c1− 2a2a
2
b1b2+ 2b
1
2
a2b1+ 5a2b
1
b1a2+ 5b1a
3
− 3a2b
1
3
− 3b1a
2
2
2
b
− 8a
1
2
2
b2+ 3a1b1b
1
2
a1+ 3b2a2a
1
= 2a1a2+ 2b
(0,2)
2
− 3a1b1b2+ 6a1c1,
1
2
− 3b2a1a2+ 6b2c2,
2
2
c1− 4b
1
2
2
2
− a
b2− 5a1a2b1,
1
2
2
− b
1
2
2
2
1
a1− 5b1b2a2,
2
2
c2+ 4c
1
− 6a1b1c1− 7a2b1c1− 3a1b2c1,
− 6b2a2c2− 7b1a2c2− 3b2a1c2,
205
2
− 4c2,
2
2
+ 8a1a2b
1
2
− 4b1b2c1,
1
S
(0.4)
= 2b
4
+ 4b
2
2
a1a2+ 2a
2
2
2
a
1
2
− 8b
2
c2− 4a
2
2
c1+ 4c
2
2
+ 8b2b1a
2
2
− 4a1a2c2,
2
S
+2a
3
a2+ 2b1b
1
3
2
+ a
2
1
b
2
+ 3a
2
2
b
2
Нам нужно иметь в виду, что когда найдены суммы S
причине симметрии можно найти и суммы S
= 8a1a2b1b2+
(2.2)
2
− 6a1a2c1− 2a
1
2
c2− 6b1b2c2− 2b
1
с помощью переста-
(k,j)
2
c1+ 4c1c2.
2
, то по
(j,k)
новки a1→ b2, a2→ b1, b2→ a1, c1→ c2, c2→ c1. Потом нужно
вычислить суммы S
P
, j = 1, 2, 3, 4, соответствующие степеням Pj. Но
j
в этом случае легко использовать или многомерные формулы Ньютона (2.8.3.), или следующее рассуждение: из (2.9.4.) получаем z
2
1
+ z
2
=
2
−(a1+ a2)z1−(b1+ b2)z2−(c1+ c2) и, суммируя по всем корням системы
(2.9.4.), имеем
P
S
= −(a1+ a2)S
1
− (b1+ b2)S
(1,0)
− 4(c1+ c2),
(0,1)
т.е.
P
S
= 2a1(a1+ a2) + 2b2(b1+ b2) − 4(c1+ c2).
1
Тем же способом можно найти S
P
, j = 2, 3, 4.
j
Эти выражения достаточно громоздкие, но применение формул
Ньютона их обычно упрощает.
P
К S
сейчас применим формулы Ньютона (1.2.1.). (Для того чтобы
j
избежать коллизии переменных обозначим через γjкоэффициенты желаемого полинома RP, т.е. RP(z) = z
γ1+ S
Точно так же, равенство S
P
= 0, то получим,что γ1= 4(c1+ c2) − 2a1(a1+ a2) − 2b2(b1+ b2).
1
P
2
+ S
P
γ1+ 2γ2= 0 влечет, что
1
4
+ γ1z
1
3
+ γ2z
1
2
+ γ3z1+ γ4.) Так как
1
γ2= 6(c1+ c2)2+ (a1+ a2)2×
×(a
2
− b1b2+ 2c1) + (b1+ b2)2(b
1
2
− a1a2+ 2c2) + 3(a1+ a2)×
2
×(b1+ b2)(a1b2− a2b1) − 6a1(a1+ a2)(c1+ c2) − 6b2(b1+ b2)(c1+ c2).
Далее получаем S
P
3
+ S
P
γ1+ S
2
P
γ2+ 3γ3= 0 и поэтому
1
γ3= 4(c1+ c2)3+
+(a1+ a2)3(a1b1b2− 2a1c1− a2b
2
) + (b1+ b2)3(a1a2b2− a
1
2
b1−
2
206
−2b2c2) + (a1+ a2)2(b1+ b2)(a1a2b1− a
2
b2− 2b2c1+ 4b1c1)+
1
+(b1+ b1)2(a1+ a2)(a2b1b2− a1b
2
− 2a1c2+ 4a2c1) − 6a1(a1+ a2)×
2
×(c1+ c2)2− 6b2(b1+ b2)(c1+ c2)2+ 6(a1+ a2)(b1+ b2)(c1+ c2)×
×(a1b2− a2b1) + 2(a1+ a2)2(c1+ c2)(2c1− b1b2+ a
Наконец, S
+2(b1+ b2)2(c1+ c2)(2c2− a1a2+ b
P
4
+ S
P
γ1+ S
3
P
γ2+ S
2
P
γ3+ 4γ4= 0 дает
1
2
).
2
2
1
)+
γ4= (a1+ a2)4×
×(b
2
c2+ c
1
2
− b1b2c1) + (b1+ b2)4(a
1
2
c1+ c
2
2
− a1a2c2) + (c1+ c2)4+
2
+(a1+ a2)3(b1+ b2)(4a1b1c1+ a2b1c1+ a1b2c1− 6a1b1c2)+
+(b1+ b2)3(a1+ a2)(4b2a2c2+ b1a2c2+ b2a1c2− 6b2b2c1)+
−2a1(a1+ a2)(c1+ c2)3− 2b2(b1+ b2)(c1+ c2)3+
+(a1+ a2)2(b1+ b2)2(a
2
c2− a1a2c1− b1b2c2+ b
1
+(a1+ a2)2(c1+ c2)2(2c1− 5a
×(2c2− 5b
−3a1a2b1− b1b
−3b1b2a2− a2a
2
− a1a2) + (a1+ a2)2(b1+ b2)(c1+ c2)(2b2c1+ 4a
2
3
) + (b1+ b2)2(a1+ a2)(c1+ c2)(2a1c2+ 4b
2
3
) + 6(a1+ a2)(b1+ b2)(c1+ c2)2(a1b2− a2b1).
1
2
− b1b2) + (b1+ b2)2(c1+ c2)2×
1
2
c1− 2c1c2)+
2
2
a1−
2
2
b2−
1
Тогда можно построить многочлен RP(z), имеющий только простые
корни (что может быть проверено с помощью дискриминанта). Отсюда
по теореме 2.9.3 число вещественных корней RP(z) в интервале (a, b)
совпадает с числом вещественных корней системы (2.9.4.) внутри кольца {(x1, x2) : a < x
2
1
+ x
2
< b}.
2
Сейчас приведем результат Тарханова [49], который во многих случаях дает число вещественных корней в области D ⊂ Rn.
Пусть система (2.9.1.) имеет вещественные коэффициенты.
207
Теорема 2.9.4 (Тарханов). Если D — ограниченная область в R
с кусочно-гладкой границей, если якобиан Jf> 0 в D, то число вещественных корней системы (2.9.1.) в области D равно
1
n
2
sign Jf, (2.9.6.)
Γ
0
где Γ0= ∂D ∩ {x ∈ Rn: |f2| = ε, . . . , |fn| = ε}.
Условие Jf> 0 — весьма ограничительно. Обычно это влечет, что
отображение f взаимно-однозначно, т.е. система (2.9.1.) имеет только
один вещественный корень. В общем, когда якобиану Jfпозволено изменять знак в D, формула (2.9.6.) дает индекс отображения f в D (т.е.
сумму корней в D, где каждый корень умножается на signJf).
Приведем также более сложную формулу, в которой якобиан Jfможет изменять знак, что позволит нам вычислять степенные суммы произвольного вида [34].
Пусть D — ограниченная область в Rnс кусочно-гладкой границей
n
∂D. Рассмотрим систему
f1(x) = 0,
. . . (2.9.7.)
fn(x) = 0,
где fj— вещественно-значные гладкие функции. Предположим, что система (2.9.7.) имеет конечное число Efпростых корней в D и не имеет
корней на границе ∂D. С помощью формулы Пуанкаре об индексе можно вычислить индекс системы (2.9.7.), т.е. число корней подсчитанных
со знаком якобиана. Тогда, примениив теорему Тарханова 2.9.4, вычислим этот индекс в замкнутом виде.
Чтобы определить число корней системы (2.9.7.), нам нужно сначала рассмотреть ситуацию, когда якобиан не меняет знака на¯D. Для
определенности будем предполагать, что Jf> 0 на¯D. Рассмотрим дифференциальную форму (для индекса Пуанкаре):
n
ω(x) = c
n
(−1)
k=1
k−1
x
|x|
k
dx[k],
n
208
где постоянные cnопределяются так, что
ω(x) = nc
{|x|=1}
n
dx = 1.
{|x|<1}
Известно, что форма ω(x) замкнута в Rn\ {0}.
Лемма 2.9.1. Предположим, что φ есть вещественнозначная
функция в C1(¯D), тогда
x∈E
φ(x) =
f
φω(f ) −
∂D
dφ ∧ ω(f ).
D
Доказательство леммы 2.9.1 — стандартно. Интегралы по области
D хорошо определены, так как они абсолютно сходятся (напомним, что
все корни системы (2.9.7.) — простые, так что вблизи этих корней отображение
f = (f1, . . . , fn)
диффеоморфно). Применяя формулу Стокса в области
Dε= D \ {x : |f(x)| < ε}
и используя тождество
ω(y) = 1,
{|y|=ε}
получаем желаемую формулу.
Пусть сейчас якобиан Jfможет менять знак в D.
Теорема 2.9.5 (Кытманов). Если fj∈ C2(¯D), j = 1, . . . , n, и φ ∈
C1(¯D), то
x∈E
φ(x) = c
f
−c
n+1
D
n+1
Ifdφ ∧
φI
∂D
k=1
f
n
n
k=1
(−1)
k−1
(−1)
k−1
fkdf[k]−
fkdf[k]− (2.9.8.)
209
−2εc
n+1
φ∆f(|f|2+ ε2J
D
n+1
2
−
)
f
dx,
где |f |2= f
и
If=
2
+ . . . + f
1
2s(−1)
(2s − 1)!
2(−1)
s!
2
, ε > 0,
n
∆f=
s
d
dβ
s
s
d
s
dβ
. . . . . . . . . . . .
s
ln
s
√
∂f
∂x
∂f
∂x
∂J
∂x
1
. . .
1
n
. . .
1
f
. . .
1
f
1
f
n
J
f
εJf+ε2J
−εIf+ε2If+ β
1
arctan
εJ
√
β
∂f
1
∂x
n
n
n
f
n
+ β
∂f
∂x
∂J
∂x
2
f
, n = 2s,
f
, n = 2s + 1.
β
для β = |f|2. Интегралы в этой формуле сходятся абсолютно.
Доказательство. Рассмотрим (как в [83]) вспомогательную систему
уравнений
f1(x) = 0,
. . .
fn(x) = 0, (2.9.9.)
f
(x, x
n+1
Корни данной системы (2.9.9.) — это точки в R
) = x
n+1
n+1Jf
(x) = 0.
n+1
вида (x1, . . . , xn, 0),
где (x1, . . . , xn) ∈ Ef. Более того, якобиан системы (2.9.9.) равен якобиану J
2
> 0. Это означает, что лемма 2.9.1 может быть применена
f
к (2.9.9.). Область интегрирования возьмем вида D1= D × [−ε, ε] ⊂
n+1
R
(ε > 0). Тогда получим
φ(x) =
x∈E
f
φ˜ω(˜f) −
∂D
1
dφ ∧ ˜ω(˜f),
D
1
210