Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Следовательно,
res
a
h = res
f
h det A.
a
g
Если f и g особые, тогда можно рассмотреть малое шевеление f
отображения f , имеющее конечное число нулей zkin UR(a), с условием
J
(zk) = 0. Для этих нулей применима формула (2.1.2.), тогда при
f
ε
ε → 0 получается общий случай.
Формула преобразования позволяет вычислять локальный вычет совершенно точно. Рассмотрим произвольный вычет
resaω = res
h.
a
f
Так как функции zj− ajобращаются в нуль в точке a, то из теоремы
Гильберта о нулях следует, что существуют αj> 0 такие, что
n
gj(z) = (zj− aj)
αj+1
=
ajk(z)fk(z).
k=1
По формуле (2.1.2.) тогда получим
res
a
h = res
f
h det A =
a
g
1
(2πin)
(z1− a1)
Γ
g
h det Adz
α1+1
. . . (zn− an)
αn+1
.
ε
Разлагая h det A в степенной ряд
h det A =
||β||>0
cβ(z − a)β,
имеем
||α||
∂
∂z
α
1
(h det A)
1
. . . ∂z
n
(a).
α
n
·
res
a
h = c
f
α1,...,α
=
n
1
α1! . . . αn!
Тем самым получаем возможность находить вычет.
2.2. Многомерный логарифмический вычет
Так же как в случае одного комплексного переменного, логарифмический вычет это частный случай локального вычета. Результаты этого
параграфа можно найти в [8].
111
Далее нам нужен аналог теоремы Коши в Cn, называемый обычно
теоремой Коши-Пуанкаре.
Теорема 2.2.1 (Коши–Пуанкаре). Пусть f(z) — голоморфная
функция в области D ⊂ Cnи σ — гладкая относительно компактная ориентированная поверхность (вещественной) размерности n+1,
имеющая гладкую границу ∂σ. Предположим, что σ ∪∂σ ⊂ D, и пусть
ориентация ∂σ индуцирована ориентацией σ. Тогда
f(z)dz =
∂σ
f(z)dz1∧ . . . ∧ dzn= 0.
∂σ
Эта теорема есть прямое следствие формулы Стокса и уравнений
Коши–Римана:
∂f
= 0, j = 1, . . . , n.
∂¯z
j
Определим сейчас кратность нуля голоморфного отображения.
Предположим, что задано голоморфное отображение
w = f (z) = (f1(z), . . . , fn(z))
в окрестности UR(a) точки a, более того предположим, что a является
изолированным нулем отображения f. Если отображение f неособое в
точке a, т.е. Jf(a) = 0, тогда a называется простым нулем отображения
f и его кратность равна 1.
Предположим теперь, что Jf(a) = 0. Рассмотрим шевеление отображения f , т.е. отображение
fξ(z) = f (z) −ξ = (f1(z) − ξ1, . . . , fn(z) − ξn),
где |ξ| достаточно мал. Так как |f (z)| = 0 для z = a, то получаем, что
|f(z)| > ε > 0 на границе ∂UR(a). Взяв ξ так, что |ξ| < ε, получим, что
|fξ| > 0 на ∂UR(a), т.е. fξ= 0 на ∂UR(a), и, следовательно, множество
E
= {z ∈ UR(a) : fξ(z) = 0}
f
ξ
компактно.
По хорошо известной теореме комплексного анализа множество E
f
должно быть конечным. Тогда можно показать, что для почти всех ξ
112
ξ
это множество состоит из одинакового числа точек. Число элементов
множества E
в точке a. Отметим, что для почти всех ξ элементы множества E
называется кратностью µa(f) нуля a отображения f
f
ξ
f
являются простыми нулями fξ. Это есть "динамическое" определение
кратности нуля [8].
Пример 2.2.1. Рассмотрим отображение w1= z1, w2= z
2
2
+ az
2
. Точ-
1
ка (0, 0) является нулем этого отображения кратности 2. Действительно, рассматрев шевеление, можно найти, что нули (z1−ξ1, z
2
2
+ az
2
−ξ2)
1
даются формулами
2
− ξ2.
1
Тогда, если aξ
z2= ±aξ
2
− ξ2= 0, т.е. для почти всех (ξ1, ξ2), эти отображения
1
имеют два нуля.
Пусть голоморфное отображение f(z) = (f1, . . . , fn) задано в области
D ⊂ Cnи имеет конечное число нулей Efв D. Рассмотрим специальный
аналитический полиэдр
Df= {z ∈ D : |f1(z)| < ε1, . . . , |fn(z)| < εn}.
ξ
Если ε1, . . . , εn— достаточно малые положительные числа, то Dfсостоит из конечного числа относительно компактных областей в D, и
каждая компонента Dfсодержит только один корень отображения f.
Остов
Γf= {z ∈ D : |fj(z)| = εj, j = 1, . . . , n}
этого полиэдра также разделяется на конечное число связных поверхностей (того вида, который уже рассматривали для локального вычета).
Более того, по теореме Сарда Γfсостоит из гладких поверхностей для
почти всех ε1, . . . , εn. Напомним, что ориентация Γfзадается соотношением
d arg f1∧ . . . ∧ d arg fn> 0
на Γf. Другими словами она индуцирована ориентацией Df.
Предположим, что h — голоморфна в D. Интеграл вида
1
(2πi)
df1∧ . . . ∧ df
Γ
f
h(z)
f1. . . f
n
n
=
n
(2πi)
1
n
Γ
h
f
Jfdz
f1. . . f
(2.2.1.)
n
113
называется (многомерным) логарифмическим вычетом функции h относительно отображения f в D. Если f имеет только один нуль a в D,
тогда логарифмический вычет есть локальный вычет
res
hJf.
a
f
Из теоремы Коши–Пуанкаре не трудно получить, что логарифмический
вычет не зависит от εj.
Теорема 2.2.2 (Каччиополи–Мартинелли–Сорани). Для
голоморфной функции h в области D справедлива формула
1
(2πi)
Jfdz
Γ
h(z)
f
f1. . . f
n
=
n
h(a). (2.2.2.)
a∈E
f
Каждый нуль a считается столько раз, какова его кратность.
Теорема 2.2.2 есть теорема о многомерном логарифмическом вычете.
Доказательство. Пусть UR(a) есть дизъюнктное семейство окрестностей для различных точек a. Выберем εjдостаточно малым, гарантирующим, что для всех a точно одна связная компонента Dfсодержится
в UR(a). Обозначим эту компоненту через
Γ
= Γf∩ UR(a).
f,a
По теореме Коши–Пуанкаре получим
Jfdz
Γ
f
h
f1. . . f
=
n
Jfdz
h
f,a
f1. . . f
Γ
.
n
Так что остается только показать, что
1
(2πi)
n
Γ
f,a
Jfdz
h
f1. . . f
= res
n
Jfh = µa(f)h(a).
a
f
Если f неособое в точке a, то уже известно (см. §2.1), что
h(a)Jf(a)
res
a
f
hJf=
Jf(a)
= h(a).
114
Если a не является простым нулем, то, рассматривая шевеление fξтолько с простыми нулями, получаем по теореме Коши–Пуанкаре, что
1
(2πi)
h(a)J
n
f1ξ. . . f
Γ
f
dz
f
ξ
nξ
=
bξ∈E
h(bξ).
f
ξ
Устремляя ξ к 0 (так, что bξ→ a) , получаем необходимое утверждение.
Следствие 2.2.1. Если голоморфное отображение f имеет конеч-
ное число N нулей в D, то
1
(2πi)
n
Γ
f
Jfdz
f1. . . f
= N
n
(каждый ноль считается столько раз, какова его кратность).
В заключение сформулируем (без доказательства) версию теоремы
Руше, которая принадлежит А.П. Южакову [8, § 4]. Часто эту теорему
называют теоремой о сдвинутом остове.
Теорема 2.2.3 (Южаков). Предположим, что D, f, h такие же,
как в теореме 2.2.2, и что голоморфное отображение g удовлетворяет
условию
|gj| < |fj|
на Γf, j = 1, . . . , n. Тогда: a) отображения f и f + g имеют одинаковое
число нулей в D; б) справедлива формула
1
(2πi)
n
Γ
f
d(f1+ g1) ∧ . . . d(fn+ gn)
h(z)
(f1+ g1) . . . (fn+ gn)
Заметим, что интеграл в этой теореме берется по Γf, а не по Γ
=
a∈E
f+g
h(a).
f+g
.
Пример 2.2.2. Найдем кратность нуля (0,0) отображения
w1= z1− az
2
, w2= bz
2
2
1
− z
3
.
2
Так как остов
Γ = {z : |z1| = ε7, |z2| = ε4},
115
то получаем неравенства |a||z2|2< |z1| и |z2|3> |b||z1|2для достаточно
малых положительных ε. Отсюда следует по теореме 2.2.3, что кратность нуля в точке (0,0) равна интегралу
J =
=
1
(2πi)
1
(2πi)
2
2
Γ
Γ
d(z1− az
(z1− az
(−3z
2
2
(z1− az
Сначала проинтегрируем по z1, при z
3
) ∧ d(bz
2
2
)(bz
2
2
1
2
1
− z
− z
2
)
2
2
+ 4abz1z2)dz1∧ dz
2
2
2
)(b1z
2
1
− z
3
)
2
2
)
=
2
.
| >
1
|a||z2|2и |z2|3> |b||z1|2, то в круге |z1| < ε7существует только одна
особая точка z1= az
2
в подынтегральном выражении. Следовательно,
2
по одномерной теореме о логарифмическом вычете (см. § 1, теорема 1.2)
J =
1
2πi
|z2|=ε
4
−3z
a2bz
2
+ 4abz
2
4
− z
2
3
2
3
2
dz2=
1
2πi
|z2|=ε
−3 + 4abz
(a2bz2− 1)z
4
2
dz2= 3,
2
поскольку корень z2= 1/(a2b) не лежит в круге |z2| < ε4для достаточно
малых ε > 0.
2.3. Обобщенная формула преобразования локального вычета
В §2.1 приведена формула преобразовамния локального вычета, позволяющая точно вычислять его. Однако часто возникают более сложные
интегралы. Поэтому нам понадобится формула преобразования для таких интегралов [32].
Пусть h, f1, . . . , fn, g1, . . . , gn— голоморфные функции в окрестности
UR(a) точки a ∈ Cn. Предполагается, что точка a является изолирован-
ным нулем отображений f = (f1, . . . , fn) а также g = (g1, . . . , gn). Кроме
того, f и g связаны соотношениями
n
gj(z) =
ajk(z)fk(z), (2.3.1.)
k=1
116
где функции ajk(z) голоморфны в UR(a). Введем матрицу
A = ||ajk(z)||
n
j,k=1
,
тогда можем переписать формулу (2.3.1.) в виде
g = Af. (2.3.2.)
С отображением f связан остов
Γf= {z ∈ UR(a) : |fj(z)| = εj, j = 1, . . . , n},
ассоциированный с аналитическим полиэдром. Для почти всех достаточно малых εj> 0 множество Γfесть гладкая компактная замкнутая
ориентированная поверхность размерности n, т.е. n-мерный цикл. Ориентация Γfопределяется условием
d(arg f1) ∧ . . . ∧ d(arg fn) > 0.
В §2.1 приведена следующая формула преобразования:
res
h = res
a
f
h det A,
a
g
для локальных циклов (см. (2.1.2.)). Получим сейчас формулу преобразования для интегралов вида
hdz
f
. . . f
i
Γ
1
f
f1. . . f
i
m
hdz
=
n
α1+1
f
Γ
f
. . . f
1
, i1, . . . , im= 1, . . . , n.
αn+1
n
Теорема 2.3.1 (Кытманов). Если голоморфные отображения f и g
связаны соотношением (2.3.2.), то
hdz
=
где постоянные c
c
i1...i
n
j1,...,jm=1
m
(и c
i1...i
m
c
j1...j
j1...j
f
. . . f
i
Γ
1
f
f1. . . f
i
m
ha
m
Γ
g
) определяются следующим образом: ес-
m
j1i
g
j
. . . a
1
. . . g
1
n
jmi
m
g1. . . g
j
m
=
det Adz
, (2.3.3.)
n
ли в наборе (i1, . . . , im) число единиц — α1, число двоек — α2и т.д., то
c
i1...i
= α1! . . . αn!.
m
117
Доказательство. Докажем эту формулу по схеме доказательства формулы (2.1.2.). Сначала рассмотрим случай, когда отображения f и g
неособые, т.е..
Jf(a) = 0, Jg(a) = 0
и det A(a) = 0. Можно предполагать, что эти функции не равны нулю
в UR(a) и что отображения f и g биголоморфны в этой окрестности.
Тогда оба отображения (f1, . . . , fn) и (g1, . . . , gn) могут быть выбраны в
виде новых координат в UR(a).
Предположим сначала, что функция h удовлетворяет условию
∂z
∂
β
1
1
||β||
h
. . . ∂z
= 0
β
n
n
∂βh
∂z
(a) =
β
для всех мультииндексов β, с ||β|| = β1+. . . + βn< m. Тогда по правилу
дифференцирования сложной функции получим
∂βh
(a) = 0
β
∂g
и
∂βh
(a) = 0
β
∂f
для всех β с условием ||β|| < m.
Осуществляя замену переменных w = f (z) в UR(a), будем иметь
hdz
c
i1...i
m
f
. . . f
i
Γ
1
f
f1. . . f
i
m
=
n
= c
i1...i
m
Γ
mathbfw
i
m
= (2πi)
n
∂w
∂
. . . ∂w
i
1
m
Точно таким же образом
c
j1...j
m
Γ
h(f−1)
Jf(f−1)
h
(f−1(0))=
J
f
ha
j1i
1
g
. . . g
j
1
g
118
·
. . . a
j
w
i
1
jmi
m
g1. . . g
m
. . . w
(2πi)
Jf(a)
det A
n
dw
i
m
n
dz =
w1. . . w
·
∂f
i
1
=
n
∂mh
. . . ∂f
(a).
i
m
Так как
= (2πi)
= (2πi)
∂m(ha
n
a
(a) . . . a
j1i
1
n
. . . a
j1i
1
∂g
j
(a) det A(a)
jmi
m
Jg(a)
. . . ∂g
1
jmi
m
det A/Jg)
j
m
·
∂g
(a) =
∂mh
. . . ∂g
j
1
(a).
j
m
Jg(a) = det A(a)Jf(a)
и
∂mh
(a) =
∂f
. . . ∂f
i
1
i
m
n
j1,...,jm=1
a
j1i
(a) . . . a
1
jmi
m
(a)
∂g
∂mh
. . . ∂g
j
1
(a),
j
m
то равенство (2.3.3.) справедливо в этом случае.
Продолжим доказательство индукцией по m. Формула (2.3.3.) доказана для m = 1 и для функции h такой, что h(a) = 0. Нужно доказать
ее также для функции h, которая не равна 0 в точке a. Полагая h = Jf,
а w = f (z), получим
Γ
f
Jfdz
fpf1. . . f
dw
=
n
wpw1. . . w
Γ
w
= 0.
n
Так как g = Af, тогда
n
+
fkAk,
k=1
E = A
∂f
∂g
где E — единичная матрица, ∂f /∂g — матрица
∂f
∂g
i
k
n
j,k=1
,
состоящая из частных производных, а Ak— матрица
∂a
∂g
jk
n
s
.
s,j=1
Можно, следовательно, записать
det A · det
∂f
∂g
= 1 −
n
k=1
fkBk+
n
fkfjBkj+ . . . , (2.3.4.)
k,j=1
119
где
Отсюда получаем, что
Bk=
n
r=1
∂a
∂g
rk
.
r
=
n
j=1
n
j=1
Γ
g
aipdet A det
Γ
g
ajpdg
gjg1. . . g
gjg1. . . g
−
n
n
k=1
∂f
dg
∂g
n
ajpBkfkdg
gjg1. . . g
Γ
g
=
.
n
(Здесь использовалось равенство
∂f
det
dg1∧ . . . ∧ dgn= Jgdz
∂g
и условие, что fj(a) = 0. Поэтому все интегралы, содержащие произведения функций fjравны нулю).
Из уже доказанной части формулы (2.3.3.), т.е. при f (a) = 0, получим
n
j,k=1
aipBkfkdg
gjg1. . . g
Γ
g
n
=
n
k=1
Γ
f
BkfkJgdz
det A · fpf1. . . f
=
n
Bp(a)Jg(a)
= (2πi)
n
= (2πi)nBp(a)
Jf(a) det A(a)
и
n
j=1
Γ
g
aipdg
gjg1. . . g
n
=
n
(2πi)
j=1
∂a
jp
n
∂g
(a).
j
Поэтому из (2.3.4.) имеем
n
aipdet AJfdz
= 0.
j=1
Γ
g
gjg1. . . g
n
Пусть теперь m произвольное. Нужно доказать равенство (2.3.3.)
для всех мономов zβ, таких что 0 6 ||β|| < m. Достаточно доказать
120