Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
и левая части формулы (2.6.19.) являются вещественно аналитическими функциями по t. Аналитичность левой части (2.6.19.) вытекает из
интегрального представления [8, гл. 2]:
N
j=1
φ(z
(j)
(t)) =
φ · ω(F,¯F ), (2.6.21.)
∂B
где ω(F,¯F ) — ядро Бохнера—Мартинелли — вещественно аналитиче-
ская по t дифференциальная форма, ∂B — граница шара достаточно большого радиуса. Действительно, при любом t система уравнений
(2.6.17.) имеет в Cnодно и то же число корней, поэтому (2.6.21.) выполняется, если все корни z
(j)
(t), j = 1, . . . , n попадут в B.
Докажем теперь, что правая часть в (2.6.19.) является многочленом
по t, поэтому формула (2.6.15.) будет вытекать из (2.6.20.) при t = 1.
Для этого оценим степени по переменным zjчислителя подынтегрального выражения в (2.6.19.) и сопоставим их с соответствующими степенями знаменателя. Степень по zjчислителя не превосходит величины
pj= µj+m1j+. . . + µnj−1+(m1j−1)α1+. . . + (mnj−1)αn. Степень знаменателя по этой переменной равна sj= m1j(α1+ 1) + . . . + mnj(αn+ 1).
Согласно лемме 2.6.2 в (2.6.19.) ненулевыми могут быть лишь те интегралы, для которых хотя бы при одном j выполняется неравенство
pj> sj− 2, что эквивалентно тому, что ∥α∥ = α1+ . . . + αn6 µj. Таким образом, в (2.6.19.), а следовательно, и в (2.6.20.) ∥α∥ изменяется
от нуля до µ = max{µ1, . . . , µn}.
2.7. Формула логарифмической производной результанта
2.7.1. Некоторые системы уравнений
Рассмотрим следующую систему алгебраических уравнений:
f1= f1(ζ, w) = 0,
. . . (2.7.1.)
f
n+1
= f
(ζ, w) = 0,
n+1
161
где ζ = (ζ0, ζ1, . . . , ζn) ∈ C
n+1
, w ∈ C1; функции fj(ζ, w) — полиномы от
ζ, w, которые однородны по ζ. Полная степень fjпо ζ равна kj, степень
fjпо w равна pj, j = 1, . . . , n + 1. Полиномы fjзапишем в виде
fj(ζ, w) =
||α||=k
a
j
j
(w)ζα,
α
где α = (α0, α1, . . . , αn) — это мультииндекс
а a
α
||α|| = α0+ α1+ . . . + αn, ζα= ζ
j
— полиномы по w степени не превосходящей pj.
α
0
0
. . . ζ
α
n
,
n
Предположим, что ζ ∈ CPnс однородными координатами
(ζ0, ζ1, . . . , ζn). Как и выше, бесконечная гиперплоскость имеет вид
Π = {ζ ∈ CPn: ζ0= 0},
и Cnотождествляется с подпространством {ζ ∈ CPn: ζ0= 0} через
соотношение
z = (z1, . . . , zn) =
ζ
1
ζ
0
, . . . ,
ζ
n
.
ζ
0
Поэтому CPn= Cn∪ Π.
Основное предположение на систему (2.7.1.), что она имеет конечное число корней (ζk, wk) в CPn× C1, k = 1, . . . , M. Напомним, что
результант (по w) системы (2.7.1.) — это полином
M
P (w) =
(w − wk).
k=1
(Каждый корень системы (2.7.1.) считается столько раз, какова его
кратность в локальных координатах.)
Зафиксируем точку w = wk, k = 1, . . . , M. Для этой w система
(2.7.1.) не имеет корней, так что подсистемы
fj(ζ, w) = 0, j = l, j = 1, . . . , n + 1
имеют конечное число корней в CPn[82, гл. 4, теорема 9]. Обозначим
эти корни
l
ζ
(w), j = 1, . . . , Ml.
(j)
162
По теореме Безу имеем
Ml=
С каждым корнем ζ
l
(w) ассоциируем следующий локальный вычет.
(j)
Предположим, что нулевая координата точки ζ
j=l
kj.
l
(w) не равна нулю,
(j)
так что
l
ζ
(j)
(w) = z
l
(w) ∈ Cn.
(j)
Запишем Fk(z, w) = fk(1, z1, . . . , zn, w) и расмотрим область
l
D
(w) = {z ∈ U(z
j
l
(w)) : |Fk(z, w)| < εk, k = l},
(j)
а цикл
l
Γ
(w) = {z ∈ U(z
j
l
(w)) : |Fk(z, w)| = εk, k = l},
(j)
ориентированный так, что
d(arg F1) ∧. . . ∧d(arg F
) ∧d(arg F
l−1
) ∧. . . ∧d(arg F
l+1
) > 0 on Γ
n+1
Если ω — мероморфная форма вида
hdz
ω =
F [l]
а h — голоморфная функция в D
h(z)dz1∧ . . . ∧ dz
=
F1. . . F
l−1Fl+1
l
(w), то локальный вычет имеет вид
j
. . . F
n
n+1
,
res
(ω) = res
j,l
j,l
hdz
=
F [l]
1
(2πi)
hdz
n
l
j
(w)
F [l]
Γ
(см. §2.1).
Глобальный вычет Reslω формы ω равен сумме локальных вычетов
l
(w).
j
M
l
Reslω =
j=1
res
j,l
ω,
(см. §2.4).
Тогда получим локальный вычет для точки ζ
l
ки ζ
(w), принадлежащей Π, локальный вычет определяется таким же
(j)
l
(w) в Cn. Для точ-
(j)
образом, только вместо нулевой координаты нужно выбрать другую координату, которая не равна 0. Отметим также, что Reslω есть функция
по w.
163
2.7.2. Теорема о логарифмической производной
Теорема 2.7.1 (Кытманов [33]). Пусть P (w) — результант (по w)
системы (2.7.1.), имеющей конечное число корней (ζk, wk) в CPn×C1,
k = 1, . . . , M. Тогда
n+1
l=1
∧ df
M
l
f
f
j=1
∧ . . . ∧ df
l+1
′
l
l
(ζ
(w), w), (2.7.2.)
(j)
l
.
n+1
где f
n+1
P′(w)
P (w)
′
— производная полинома flпо w, а
l
=
l=1
Res
l
df[l] = df1∧ . . . ∧ df
′
f
df[l]
l
f1. . . f
=
n+1
l−1
Доказательство. Можно предположить, что при w = 0 система (2.7.1.)
не имеет корней. Обозначим
l
ζ
(j)
= ζ
l
(j)
(0).
Так как (2.7.1.) имеет конечное число корней в CPn× C1, подсистемы
fj(ζ, 0) = 0, j = l
также имеют конечное число корней в CPn, то после некоторого линейного преобразования в CPnможно считать, что Π не содержит ни
одного корня (2.7.1.) и любой из ее подсистем.
Сначала докажем формулу (2.7.2.) для следующего случая: все корни (ζk, wk) принадлежат Cn×C1и все корни ζ
их через z
l
. Если
(j)
l
лежат в Cn. Обозначим
(j)
fj(z, w) = Pj(z, w) + Qj(z, w),
где Pj(z, w) есть старшая однородная часть Fjпо z и deg Qj< kj, то
системы
Pj(z, 0) = 0, j = 1, . . . , n + 1, j = l (2.7.3.)
невырожденны по лемме 2.6.1, и, следовательно, для всех w, за исключением конечного числа, системы
Pj(z, w) = 0, j = 1, . . . , n + 1, j = l (2.7.4.)
164
также невырожденны.
Это значит, что системы
fj(0, ζ1. . . ζn, w) = 0, j = 1, . . . , n + 1, j = l (2.7.5.)
имеют корни для каждого фиксированного w, за исключением конечного числа значений w = ˜ws. Но так как система (2.7.1.) не имеет корней
при ζ0= 0, то системы (2.7.5.) могут иметь только конечное число корней при фиксированом w. Следовательно, что (2.7.5.) имеет конечное
число корней в CP
n−1
× C1. (Это будет важно при проведении индук-
ции ниже.)
Пусть |w| достаточно мало и пусть
M
n+1
R(w) =
j=1
F
n+1
(z
l
(w), w)
(j)
— результант функции F
относительно системы F1= 0, . . . , Fn= 0
n+1
(см. §2.1).
Как показано в [8, § 21, 22], можно записать, что
P (w)
R(w) =
,
Q(w)
где P (w) — классический результант, определенный выше, а Q есть
полином, не имеющий общих множителей с P.
Согласно условиям, наложенным на систему (2.7.1.), имеем, что
R(0) = 0 и, следовательно, можем рассматривать ln R(w) и ln F
в некоторой односвязной окрестности U(z
по теореме Руше 2.2.3 и теореме 2.2.2 можно взять Γ
интегрирования в формуле для вычета res
ln F
ln R(w) = Res
n+1
l
(j)
j,l
dF [n + 1]
n+1
F1. . . F
) начала координат. Тогда
l
(0) как цикл
j
. Тогда получим
,
n
n+1
(z, w)
поэтому
d ln R(w)
dw
=
R
R
′
= Res
165
n+1
′
F
n+1
F1. . . F
dF [n + 1]
+
n+1
+
n
l=1
Res
n+1
ln F
n+1
dF
F
1
∧ . . . ∧
1
dF
F
l
l
′
∧ . . . ∧
dF
F
n
.
n
Так как
и
= (−1)
ln F
l−1
dln F
n+1
dF
F
1
∧ . . . ∧
1
n+1
F
F
dF
F
′
l
l
l
′
l
∧
= d
dF
F
l
dF
[l] + (−1)
F
l
′
F
l
F
l
′
∧ . . . ∧
dF
F
n+l−1
n
=
n
′
F
dF [l]
l
F1. . . F
,
n+1
то получим
R′(w)
R(w)
=
n+1
l=1
(−1)
n+l−1
Res
n+1
′
F
dF [l]
l
F1. . . F
. (2.7.6.)
n+1
Эта формула была доказана в [8, § 22] для случая локального вычета.
Используя теорему о полной сумме вычетов в CPn, переходим к вычету Resj, но тогда здесь появляется вычет в бесконечности, который
равен Q′/Q.
Найдем сначала Q(w). Система
Pj(z, w) = 0, j = 1, . . . , n, (2.7.7.)
имеет конечное число корней в CP
n−1
×C1, т.е. она имеет ту же самую
форму, что и (2.7.1.), но число переменных в ней меньше, чем в (2.7.1.).
Пусть˜Q(w) — классический результант системы (2.7.7.). Тогда не
k
трудно видеть, что Q(w) =˜Q
n+1
(w).
Последняя часть доказательства пройдет индукцией по n. Пусть n =
1, а
F1= a0(w)z
F2= b0(w)z
k
1
+ a1(w)z
k
2
+ b1(w)z
k1−1
k2−1
+ . . . + a
+ . . . + b
k
k
2
(w),
1
(w).
Для w = 0 имеем a0(0) = 0 и b0(0) = 0. Это означает, что
k
1
P (w) = a
k
2
0
j=1
F2(z
2
(w), w)
(j)
166
для малых |w|. Тогда R(w) = P (w)a
−k
0
2
(w), а
R
R
′
=
P
P
′
k2a
−
a
0
Но по теореме о полной сумме вычетов имеем
где
Res
2
′
F
dF
2
1
F1F
Res
∞
+ Res
2
′
F
1
F1F
dF
2
2
1
= −
2πi
˜
F1= a0+ εa1+ . . . + ε
˜
F2= b0+ εb1+ . . . + ε
′
′
2
= a
= b
′
0
′
0
F
˜
F
1
˜
F
1
=
|ε|=1/r
+ εa
+ εb
′
dF
2
1
F1F
2
1
2πi
(˜F
′
+ . . . + ε
1
′
+ . . . + ε
1
+ Res
|z|=r
′
)(˜F
1
ε˜F
′
0
∞
.
F
′
1
F
F1F
′
dF
1
F1F
′
)dε
2z
′
˜
F
2
k
1
a
k
2
b
k
1
a
k
2
b
1
k
′
k
′
dF
2
k
2
′
k
2
2
= 0,
2
2
=
,
,
1
,
,
1
.
Это влечет, что
и, следовательно,
Пусть n > 1. Так как
и
k
где Q =˜Q
n+1
, то можно найти, что
P
P
Res
′
= Res
∞
R
R
1
′
R
R
F
1
F1F
F
F1F
′
=
′
dF
′
dF
1
R =
=
P
P
2
2
P
P
′
= −
2
+ Res
2
P
Q
′
−
−
k
Q
Q
n+1
Q
k2a
a
2
′
,
Q
˜
0
˜
′
0
,
′
F
2
F1F
′
.
dF
1
.
2
167
По предположению индукции имеем равенство
′
˜
Q
˜
Q
для системы (2.7.7.). Здесь
n
=
Res
l=1
Reslесть глобальный вычет, относительно
′
P
dP [l, n + 1]
l
l
P1. . . P
n
системы
Pj(1, z2, . . . , zn, w) = 0, j = 1, . . . , n, j = l.
Рассмотрим формы
′
F
dF [l]
ωl=
l
F1. . . F
, l = 1, . . . , n + 1.
n+1
Перейдем к однородным координатам (ζ0, ζ1, . . . , ζn), т.е. сделаем замену
переменных zj= ζj/ζ0. Полином f (z) степени k тогда преобразуется в
f∗(ζ0, ζ1, . . . , ζn) = ζ
k
f(ζ1/ζ0, . . . , ζn/ζ0),
0
и из ωlполучим новую форму
′
1
l
∗
)∗J
∗
l
. . . F
ν(ζ)
∗
n+1
,
ω
1
∗
=
l
(F
ζ
F
0
где Jl— якобиан (Jldz = dF [l]), а
n
ν(ζ) =
Итак, получаем, что плоскость Π сингулярна для формы ω
что если w не содержится в старшей однородной части Fl, то F
степень kl−1 в z, и тогда плоскость Π не сингулярная для ω
(−1)kζkdζ[k].
k=0
∗
. (Заметим,
l
′
имеет
l
∗
). По тео-
l
реме Циха–Южакова [52] (которая есть следствие из теоремы о полной
сумме вычетов в CPn[80, гл. 5]), получим
Res
ωl= (−1)
n+1
n+l−1
Reslωl+ Res∞ωl.
168
В качестве Res∞ωlможно взять, например, глобальный вычет формы w
∗
относительно функций ζ0, f1, . . . , [l], . . . , fn(см. [52]). После про-
l
ведения интегрирования по ζ0имеем
Res∞ωl= (−1)
n−1
j>1
(2πi)
где
′
Γ
= {z′∈ U(z
j,l
с z′= (z2, . . . , zn),, а z
l
′
) : |Ps(1, z2, . . . , zn, 0)| = εs, s = l, n + 1}
(j)
l
′
— корни системы
(j)
Ps(1, z2, . . . , zn, 0) = 0, s = 1, . . . , n, s = l,
Pj= Pj(1, z2, . . . , zn, w) и наконец
∂P
∂z
. . . . . . . . .
Il=
[l] . . . . . .
. . . . . . . . .
∂P
n+1
∂z
1
n−1
1
1
Γ
. . .
′
P
Ildz2∧ . . . ∧ dz
l
′
j,l
∂P
∂z
1
n
P1. . . P
n+1
n
,
.
n+1
n
. . .
1
∂P
∂z
Якобиан Ilможно преобразовать следующим образом. Разделим и умножим первый столбец на z1, и умножим другие столбцы на zj, затем
сложим их с первым. Тогда получим
Il=
1
z
1
k
n+1Pn+1
∂P
k1P
1
1
∂z
2
. . .
. . . . . . . . .
[l] . . . . . .
. . . . . . . . .
∂P
n+1
∂z
. . .
2
∂P
∂z
∂P
∂z
1
n
n+1
n
=
1
kjPj∆j.
z
1
j=l
Полагая z1= 1, имеем
′
P
Ildz
l
P1. . . P
′
n+1
=
P1. . . [j] . . . P
j=l
kjP
′
∆jdz
l
′
.
n+1
169
Но так как
′
P1. . . [j] . . . P
Γ
j,l
P
l
′
∆jdz
′
= 0, если j = n + 1,
n+1
то в действительности
Res∞ωl=
j>1
k
n+1
(2πi)
n−1
Γ
′
P
dP [l, n + 1]
l
′
j,l
P1. . . P
.
n
Предположение индукции нам дает
n
Res∞ωl= k
l=1
n+1
Q
Q
′
˜
.
˜
Поэтому теорема доказана в случае, когда все корни системы (2.7.1.)
конечны. Доказать теорему в общем случае можно, cделав линейное
преобразование в CPn, переведя все корни системы (2.7.1.) и все корни
l
ζ
в конечную часть CPn\Π. Применим уже доказанное утверждение
(j)
и сделаем обратное преобразование. Выражения F
′
(z)/Fl(z) и fl/fl(ζ)
l
равны, если zj= ζj/ζ0, и так как форма с правой стороны формулы
(2.7.2.) инвариантна относительно проективных преобразовий.
Предположим сейчас, что все корни системы (2.7.1.) конечны. Необходимо ли в (2.7.2.) брать все корни системы или только конечные корни?
Пример 2.7.1. Рассмотрим систему
F1= z1− wz2+ a = 0,
F2= z1− wz2= 0,
F3= z
2
− wz1z2+ z
1
2
2
= 0,
где a = 0. Так как она не имеет корней CP2× C1, то P ≡ 1. Решив
первую подсистему, получим z1= 0, z2= 0, and F
′
/F1= 0. Вторая
1
подсистема имеет корни
z1=a(w2− z) ±aw√w2− 4/2
170