3.5.2. Нахождение вычетных интегралов

тогда система (3.5.1.) может быть переписана в виде

fi(z1, . . . , zn) = qi(z1, . . . , zn) + Qi(z1, . . . , zn), i = 1, . . . , n. (3.5.3.)

Для каждого m определим функцию



qm(z), если amj= 0 для всех j;

hm(z) =

qm(z) ·

1

z

j

· . . . ·

1

, если a

z

j

k

= . . . = a

mj

1

= 0.

ij

k

(3.5.4.)

Система

hm(z) = 0, i = 1, . . . , n (3.5.5.)

имеет n! изолированных корней в Cn, где Cn= C × ··· ×C. Напомним, что C — это компактификация комплексной плоскости C (сферы Римана). Тогда Cnесть одна из хорошо известных компактификаций C

n

(пространство теории функций). Корни системы (3.5.5.) равны





1/a

, . . . , 1/a

1j

1

˜aJ=



1/a

1j

1

, . . . , ∞

где k, j = 1, . . . , n. Если a



, если a

nj

n

[i1]

, . . . , ∞

j1,i

, . . . , 1/a

[ik]

= 0, тогда в ˜aJпишем ∞, это есть беско-

1

nj



, если a

n

= 0 для k = 1, . . . , n,

kj

k

= . . . = a

i1j

i

1

ikj

= 0,

i

k

нечно удаленная точка в C.

Через Γhобозначим (глобальный) цикл:

Γh= {z ∈ Cn: |hm| = rm, ri> 0, m = 1, . . . , n}. (3.5.6.)

В случае, когда все a

= 0, определим (локальный) цикл Γ

k,j

k

следующим образом



|1 − a





|1 − a



. . .





|1 − a

z1| = r1,

1j

1

z2| = r2,

2j

2

zn| = rn.

nj

n

h,˜a

(3.5.7.)

J

281

Если a деляется так:

= . . . = a

i1j

i

1

= 0 для некоторых i1, . . . , ik, тогда Γ

ikj

i

k

 

|1 − a



. . .



|1/z



| = r

i

1

1j

z1| = r1,

1

,

i

1

. . .



|1/z



. . .





|1 − a

| = r

i

k

nj

,

i

k

zn| = rn.

n

h,˜a

J

(3.5.8.)

опре-

Лемма 3.5.1. Для достаточно малых rmглобальный цикл Γhиме-

ет связные компонеты (локальные циклы) в окрестности корней aJ. Более того, Γhгомологичен сумме локальных циклов Γ

Доказательство. Рассмотрим глобальный цикл Γh:



|h1| = r1,





|h2| = r2,



. . .





|hn| = rn.

Если a циклу Γ

= 0 для всех k = 1, . . . , n в точке aJ, тогда Γhгомотопен

kj

k

в некоторой окрестности точки aJ, определенному формулой

q,˜a

J

(3.5.7.) со следующей гомотопией:



|1 − ta11z1|





|1 − ta21z1|



. . .





|1 − tan1z1|

m

11

· |1 − a

m

21

· . . . · |1 − a

m

n1

· . . . · |1 − a

1j

zj1|

1

2j

nj

m

1j

1

· . . . · |1 − ta1nzn|

m

2j

zj2|

2

n

zjn|

2

· . . . · |1 − ta2nzn|

m

nj

n

· |1 − tannzn|

m

1n

m

h,˜a

= r1,

m

nn

= rn,

J

2n

.

(3.5.9.)

= r2,

(3.5.10.)

где t ∈ [0, 1]. Для t = 1 получаем Γh, а для t = 0 получаем Γ

Рассмотрим сейчас Γhв окрестности aJ, где a

Тогда в такой окрестности Γhгомотопен циклу Γ

i1j

i

1

h,˜a

= . . . = a

, определенному

J

h,˜a

J

ikj

.

= 0.

i

k

формулой (3.5.8.), а гомотопия определяется аналогично (3.5.10.), где для каждого a на 1/z

.

i

k

= 0 соответствующий член 1 − a

ikj

i

k

ikj

z

заменяется

j

i

k

282

3.5.2. Нахождение вычетных интегралов

Рассмотрим систему уравнений

Fm(z, t) = qm(z) + t · Qm(z) = 0 m = 1, . . . , n, (3.5.11.)

зависящую от вещественного параметра t > 0. Пусть r1> 0, . . . , rn> 0 — фиксированные вещественные числа. Тогда, для достаточно малого t > 0, выполнены неравенства

 

qm(z)

 

>

 

t · Qm(z)

 

, m = 1, . . . , n

на циклах

Γh= {z ∈ Cn: |hm| = rm, m = 1, . . . , n},

поскольку Γhявляется компактным.

Через Jγ(t) обозначим вычетный интеграл



Jγ(t) =

1

(2πi)

n

Γ

1

γ+I

z

h

dF

·

= (3.5.12.)

F



=

1

(2πi)

n

γ1+1

z

1

Γ

h

· z

1

γ2+1

2

···z

γn+1

n

·

dF

F

dF

1

∧

1

F

2

∧ . . . ∧

dF

F

n

где γ = (γ1, . . . γn) — мультииндекс, а I = (1, 1, . . . , 1).

Обозначим через ∆ = ∆(t) якобиан системы функций F1(z, t), . . . ,

Fn(z, t) по переменным z1, . . . , zn.

,

Теорема 3.5.1. При сделанных предположениях на функции Fi,

определенных формулами (3.1.10.), следующие выражения для Jγ(t) являются абсолютно сходящимися (для достаточно малого t) рядами:

Jγ(t) =

||β(α(J )||

∂

×

∂z

β(α,J )



J





′

γ1+1

z

1

α

(−1)

∆(t)

· . . . · z

s(J)

β(α, J)! ·a

γn+1

n

||α||+∥β(α,J )|+n

(−t)

·

α+I

q

β+I J

Q

α

(J)

×





  

z=˜a

,

J

283

где (−1)

s(J)

есть четность перестановки J , α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс длины n, q ние всех (1 − aj1z1)

m

α+I

(J) = q

j1

···(1 −ajnzn)

α1+1

1

[j1] ···q

m

jn

αn+1

n

, кроме (1 − a

[jn], а qs[js] — произведе-

m

sj

s

zs)

s

,

β(α, J) =m

β(α, J)! =

β+I

a

j

||β(α(J )||

∂

β(α,J )

∂z

1j

=

(α

1

= a

∂z

+ 1) − 1, . . . , m

j

1





m

(α

pj

p

m

(α

1j

1

m

1j

∂

m

1j

1

+1)

j

1

(α

j

1

(α

+1)−1

j

1

···a

+1)−1+...+m

nj

+ 1) − 1!,

j

p

m

(α

nj

n

nj

n

nj

. . . ∂z

m

n

nj

(α

j

n

(α

n

j

n

+1)

+1)−1

j

n

(α

j

+ 1) − 1,

,

+1)−1

n

.

Штрих у знака суммирования означает, что суммирование ведется по всем мультииндексам J, для которых в aJнет нулевых координат.

Доказательство. Имеем



Jγ(t) =

=

1

(2πi)

1

(2πi)

1

(2πi)

n

Γ

n

Γ

n

Γ

1

dF

·

γ+I

z

h



γ1+1

z

1

h



1

·

γ+I

z

h

F

1

···z

∆dz

F

=

γn+1 n

,

dF

1

·

F

1

∧ . . . ∧

dF

F

n

=

n

где dz = dz1∧ dz2∧ ··· ∧ dzn, а F = F1···Fn.

Используя формулу геометрической прогрессии, получаем



=

(2πi)

1

(2πi)

1

n

J

n

(2πi)



∥α∥>0

1

n

(−t)

Γ

h

∥α∥

γ1+1

z

1



Γ

h

Γ



h,˜a

γ1+1

z

1

J

1

···z

∆(t)

γ1+1

z

1

γn+1 n

···z

∆(t)

·

γn+1

n

···z

∆dz

F1···F

Q

·

α1+1

q

1

γn+1

n

·

n

α

1

α1+1

q

1

=

···Q

···q

α

Q

1

284

α

n

αn+1 n

···Q

···q

dz =

α

n

αn+1 n

dz =

=

1

(2πi)

n



J



′

∥α∥>0

(−t)

∥α∥



∆(t)

γ1+1

z

Γ

h,˜a

1

J

···z

γn+1

n

·

α1+1

q

1

Q

α

1

···Q

···q

α

n

αn+1

n

dz =

·

α1+1

q

1

[j1] ···q

αn+1

n

[jn](1 − a

1j

z

1

(α1+1)m

)

j

1

1j

1

···(1 −a

nj

n

z

j

n

(αn+1)m

)

nj

.

n

Тогда получаем что Jγ(t) =

Qαdz

=



J



′

α

s(J)

(−1)

β(α, J)! ·a

(−t)

||α||+∥β∥+n

β+I J

||β(α,J )||

∂

·

∂z

β(α,J )



γ1+1

z

1

∆(t)

···z

γn+1 n

α

Q

·

α+I

q

(J)





  

z=˜a

J

(3.5.13.)

Последний ряд сходится абсолютно для достаточно малых t.

3.5.3. Вычетные интегралы и степенные суммы корней

Предположим, что Qs(z) — полиномы:



Qs(z) = z1···z

где α — мультииндекс, zα= z

n

α

1

|α∥>0

···z

для всех ненулевых asj. Если asj= 0, тогда ограничений на степень

s

C

z

α

n

, а deg

n

α

s = 1, . . . , n, (3.5.14.)

Qs6 msj, s, j = 1, . . . , n

z

j

.

deg

Qsнет.

z

j

Предполагая, что все wj= 0, сделаем замену zj=

функциях

Fs(z, t) =qs(z) + t · Qs(z), s = 1, . . . , n.

Отсюда для s = 1, . . . , n имеем



1

F

s

w

, . . . ,

1

=1 − a



=

w

1

, t= q

w

n



m

1

s1

w



m

1

s1

···1 − a

1

s1



···

1

w



1

w

, . . . ,

1

s

1

sn



m

1

sn

w

· (w1− as1)

n



1

+ t · Q

w

n



m

sn

+ t · Q

n

m

s1

285

1

, j = 1, . . . , n в

w

j



1

w

, . . . ,

1

s



1

w

, . . . ,

1

s

···(wn− asn)

m

w

1

sn



=

n



=

n

+

+t · Q

Тогда приходим к формуле



1

w

, . . . ,

1

s

w



1

.

n

F



1

w

, . . . ,

1

s

w

1

n

, t=



w



m

1

s1

1

···



w



m

1

sn

·qs(w) + t ·Qs(w),

n

(3.5.15.)

где qs— функции

qs= (w1− as1)

m

s1

···(wn− asn)

m

sn

,

аQi— полиномы



Qs= w

m

1

s1

···w

m n

sn

· Q



1

w

, . . . ,

1

s

w



1

.

n

Из формулы (3.5.14.) получаем

deg



Qs< msj, s, j = 1, . . . , n.

w

j

В приведенных вычислениях неважно равны asjнулю или нет. Действительно, предположим, что в Fs(z, t) = qs(z) + t · Qs(z), s = 1, . . . , n некоторые asj= 0 равны нулю. Если, например, a11= 0, тогда после

1

замены zj=



1

F

1

w

, j = 1, . . . , n функция F1примет вид

w

j

, . . . ,

1

, t= q

w

n



1

w

, . . . ,

1

w



1

n

+ t · Q



1

w

, . . . ,

1

w



1

,

n

где



1

q

1

w

, . . . ,

1



1

=

w

1

=

1

w

n



deg

Q

1

w

1

×(w2− a12)

1 − a



w



m

2

···

12

···1 − a





1

w

n

m

1n

m

· w

1n

deg 1

.

1

12

w



m

1

12

2

m

12

···(wn− a1n)

w



m

1

1n

=

n

Q

1

×

286

Следовательно,

F



1

w

, . . . ,

1

w

1

n

, t=



w



deg

Q

w

1

···



w



m

1

1n

·q1(w) + t ·Q1(w),

n

где

deg

Q

w

q1= (w1)



Q1= w

deg

1

Q

1

w

1

т.е. можно взять m11= deg

deg

w

1

· (w2− a12)

m

12

· w

w



Q1< m1j, j = 1, . . . , n.

j

···w

2

Q1. Из (3.5.14.) мы выводим, что

1

n

m

12

···(wn− a1n)



1n

· Q

1

w

1

, . . .

1

w

m

1n

,



1

,

n

Обозначим



Fs=Fs(w, t) = qs(w) + t ·Qs(w), s = 1, . . . , n. (3.5.16.)

Если 0 6 t 6 1, то система (3.5.16.) имеет конечное число корней в Cn, которые зависят от t. Более того, (3.5.16.) не имеет бесконечных корней в Cn(см. §3.1). Теорема Циха 2.6.3 говорит о том, что число корней (считаемых вместе с кратностями) равно перманенту матрицы

(msj)

16s,j6n

.

Рассмотрим цикл



Γh=w ∈ Cn:



  

h



1

w

, . . . ,

1

s

w







1



= εs, s = 1, . . . , n,



n

при t достаточно близком к нулю. Из компактности циклаΓhследует



  

q



1

w

, . . . ,

1

s

Следовательно,Γhгомологичен сумме цикловΓ

w

   

 









>

  

t · Q



 

1 − a

  

1 − a



. . .

 

1 − a



s

1j

2j

nj



1

2

n

w

1

w

1

  

1

  

2

1

n

, . . . ,

1

= ε1,

= ε2,

 

= εn,





1

n

w







1



, s = 1, . . . , n.



n

:

h,˜a

J

(3.5.17.)

287

полученных из циклов Γ

Уравнение

заменой zj=

h,˜a

J

  

1 − a



js

.

w

j

 

1



w

= ε



j

определяет окружность. Действительно, перепишем его в виде

1

|wj− a

тогда

| = ε|wj| или |wj− a

js

j

  

wj−



2

js



j

 

2

ε2· |a

=

a

или

  

wj−



(1 − ε2)

1 − ε

для достаточно малых ε точка a



Γ

гомологичен циклуΓ

h,˜a

J

h,a

:

J



|w1− a





|w2− a



. . .





|wn− a

|2= ε2|wj|2,

js

j



2

a

1 − ε

(1 − ε2)

js



js

j

 

2

js

лежит вне круга и, следовательно,

j

| = ε1,

1j

1

| = ε2,

2j

2

| = εn.

nj

n

ε2· |a

=

(1 − ε2)

2

|

j

, j = 1, . . . , n,

2

js

2

|

j

Здесь некоторые aijмогут зануляться.

Лемма 3.5.2. Вычетный интеграл (3.5.12.) равен



n

Jγ(t) =

(−1)

(2πi)

γ1+1

w

n

1



Γ

h

·w

γ2+1

2

···w

γn+1

n

·

dF



F

dF

1

∧

1

Доказательство. Равенство (3.5.15.) влечет

F



1

w

, . . . ,

1

j

1

w

, t=

n



w



m

1

j1

1

···



w



m

1

jn

·Fj(w, t), j = 1, . . . , n,

n

288



F

2

∧. . . ∧

dF

n

. (3.5.18.)



F

n

тогда

dF

F



1

,

j

w



1

j

w

1

, . . . ,

w

1

2

1

,

, . . . ,

w

2



1

, t

w

n



1

, t

w

n

dFj(w, t)

=



Fj(w, t)

−

n



k=1

mjk·

dw

w

k

.

k

Использовав (3.5.15.) и приняв во внимание изменение ориентации

1

пространста при замене zj=

, j = 1, . . . , n, можно переписать инте-

w

j

грал Jγ(t) в виде

Jγ(t) =

(−1)

=

(2πi)

=

Все интегралы



γ+I

w



Γ

h



n



Γ

h

(−1)

(2πi)

dF

i



F

i

1

w

(w)

1

(w)

(−1)

(2πi)

γ1+1

1



n



Γ

h

. . . ∧

∧ . . . ∧

· w

w

n

γ+I





γ+I

w



Γ

h

γ2+1

···w

2



dF1(w)



F1(w)

dFn(w)



Fn(w)

dF

i



F

i

l

−

(w)

l

(w)

dF

·

γn+1 n

F

−

n



k=1

∧



w



1

w

·



k=1

mnk·

dw

w

1

,

1

dF

F

n

j

1

j

1

,

w

1

, . . . ,

w

2

1

, . . . ,

2

dF

1

∧

F

m1k·

dw

k

w

k

∧ . . . ∧

1

w

1

w

n

2

∧ . . . ∧

2

dw

k

w

k



.

dw

w

n

, t



j



∧ . . .

j

n−l

=

dF

F

n

=

n

(3.5.19.)

равны нулю при 0 6 l < n и εjдостаточно больших.

Действительно, если εj, j = 1, . . . , n достаточно велико, то справед-

ливы неравенства

|qj| > |t ·Qj(w)|

наΓh, поэтому

1



Fj(w)

=

∞



p=0

(−1)pt

q

p



Q

(p+1)

j

p

(w)

j

. (3.5.20.)

289

Следовательно, интегралы (3.5.19.) являются абсолютно сходящимися рядами из интегралов



γ+I

w



Γ

h

(p1+1)

q

1

wαdw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw

· q

(p2+1) 2

··· q

(pl+1) i

l

· w

j

i

···w

1

n

j

n−l

.

Формула Стокса и тот факт, что подынтегральные функции голоморфны, влечет, что все эти интегралы равны нулю. Наконец получаем



n

Jγ(t) =

(−1)

(2πi)

γ1+1

w

n

1



Γ

h

· w

γ2+1

2

···w

γn+1 n

dF

·



F

dF

1

∧

1

F



2

∧ . . . ∧

dF



F

n

Напомним лемму 2.6.2 из гл. 2. Рассмотрим систему алгебраических уравнений в Cn:

fs(z) = 0, = 1, . . . , n. (3.5.21.)

Предположим, что (3.5.21.) имеет конечное число корней в Cnи не имеет бесконечных корней в Cn.

Положим msj= deg

fs. Если r1, . . . , rnдостаточно малы, то цикл

z

j

Γ = {z ∈ Cn: |f1(z)| = r1, . . . , |fn(z)| = rn}.

гомологичен сумме циклов, лежащих в окрестности корней (3.5.21.).

Справедливо утверждение Лемма 3.5.3 ([53]). При сделанных предположениях



P (z)dz

= 0

f1(z) ···fn(z)

Γ

для всех полиномов P (z), таких что pj= deg

P 6 m1j+ . . . + mnjдля

z

j

всех j = 1, . . . , n.

Лемма 3.5.4. Пусть∆ =∆(w, t) — якобиан системыF1(w, t), . . . ,



Fn(w, t) из (3.5.16.) по переменным w1, . . . , wn, тогда



Jγ(t) =

K∈Re

(−t)

||K||+n

×

290