Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
где β! = β1!β2! . . . βn, β = (β1, β2, . . . , βn), суммирование в формуле
ведется по всем целочисленным неотрицательным матрицам K =
∥ksj∥
n
s,j=1
fα= f
с условиями, что сумма
α
1
1
···f
α
n
, gβ= g
n
β
1
1
···g
n
ksj= αj, тогда βj=
s=1
β
n
.
n
n
kjs. Здесь
j=1
Теорема 3.6.6. Справедливы формулы
p
j=1
γ1+1
z
j1
· z
1
γ2+1
j2
···z
γn+1
jn
=
=
∥K∥6∥γ∥+n
= (2πi)n)
=
×
(−1)
γ1+1
w
1
Γ
˜
P
∥α∥6∥γ∥+n
α
˜
∆ ·˜Q
1
∥K∥ + n
s,j=1
1
n
· w
(−1)
(2πi)
·˜Q
˜
P
n
s=1
(ksj)!
γ2+1
2
α
2
2
α1+1
1
n+∥α∥
n
···˜Q
·˜P
n
k
j=1
···w
γn+1
n
d˜f
·
˜
f
γ1+1
w
Γ
˜
P
α
n
dw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw
n
α2+1
2
1
···˜P
· w
αn+1
n
sj
!
w
γ+I
M
d˜f
1
1
γ2+1
2
∧
2
˜
f
2
···w
∧ . . . ∧
·˜∆ · det A · Q
n
βjNj+βj+N
w
j=1
j
γn+1
n
n
=
×
d˜f
f
α
n
˜
n
n
s,j=1
j
=
k
sj
a
sj
,
n
где ∥K∥ =
ksj, а функционал M сопоставляет полиному Лорана
s,j=1
его свободный член.
Доказательство. Ранее было доказано (см. теорему 3.6.2), что
Jγ=
=
(2πi)
(−1)
(2πi)
1
n
n
n
Γ
P
γ1+1
z
Γ
P
γ1+1
w
1
˜
· z
1
· w
γ2+1
2
γ2+1
2
1
· . . . · z
···w
γn+1
n
γn+1
n
df
·
f
d˜f
1
·
˜
f
1
∧
df
1
1
∧
d˜f
f
˜
2
f
2
2
∧ . . . ∧
2
∧ . . . ∧
d˜f
f
df
n
f
n
n
˜
n
321
=
=
=
∥α∥6∥γ∥+n
(−1)
(2πi)
||α||+n
n
γ1+1
w
1
Γ
˜
P
· w
γ2+1
2
···w
γ
+1
×
n
˜
∆ ·˜Q
×
α
1
1
·˜Q
P
α
2
α1+1
˜
1
2
· . . . ·˜Q
α2+1
·˜P
2
α
n
dw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw
n
· . . . ·˜P
αn+1
n
n
.
Поскольку система однородных полиномов˜P1, . . . ,˜Pnимеет только
один общий нуль — начало координат, то по теореме Гильберта о нулях
[108] существуют такие натуральные числа N1, . . . , Nn, что
n
=
ajkfk, j = 1, 2, . . . , n,
k=1
Nj+1
. По теореме
j
Nj+1
w
j
т.е в качестве функций gj(w) можно взять мономы w
Маколея [97], а также [51] эти числа Njможно выбрать с условием
Nj6 k1+ . . . + kn− n.
Используя формулу (3.6.27.), понятие функционала M и подставляя
вместо gjмономы w
Nj+1
j
в последних интегралах, получаем последнее
равенство в теореме. 2
Отметим, что теорема 3.6.6 при n = 2 верна без всяких дополнительных условий на систему многочленов P1, P2, кроме невырожденности.
Фактически, в теореме 3.6.6 получены аналоги классических формул
Варинга для нахождения степенных сумм корней системы алгебраических уравнений.
Отметим, что в работе [73] рассмотрены общие алгебраические системы уравнений, получены разложения их решений в гипергеометрические ряды. Кроме того, в ней доказаны аналоги формул Варинга для
систем вида
λ∈Λ
(j)
∪{0}
(j)
x
yλ= 0, λ1+ . . . + λn< mj, j = 1, . . . , n,
λ
m
j
y
+
j
т.е. старшие однородные части являются мономами. Нами рассмотрены
другие (более общие) системы уравнений с функциями вида (3.6.16.).
322
3.6.6. Трансцендентные системы уравнений
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции fj— мероморфные
и имеют вид
(1)
f
(z)
fj(z) =
j
(2)
f
j
, j = 1, 2, . . . , n, (3.6.28.)
(z)
где f
(1)
(z) и f
j
ные произведения, равномерно сходящиеся в Cn, f
причем каждый из сомножителей имеет форму P
(2)
(z) — целые функции в Cn, разлагающиеся в бесконеч-
j
(2)
(0) = 0
j
f
(1)
j
(z) =
∞
s=1
(1)
f
j,s
(z), f
(2)
j
(z) =
∞
s=1
(2)
f
j,s
(z)+Q
j,s
(z),
(z), а Q
j,s
j,s
(z)
— функции, удовлетворяющие условиям (3.6.14.), s = 1, 2, . . ..
Для каждого набора индексов j1, . . . , jn, где j1, . . . , jn∈ N, и каждого
набора чисел i1, . . . , in, где i1, . . . , inравны 1 или 2, системы нелинейных
уравнений
(i1)
f
(z) = 0, f
1,j
1
(i2)
(z) = 0, . . . , f
2,j
2
(in)
(z) = 0 (3.6.29.)
n,j
n
имеют (согласно лемме 3.6.6 и теореме 3.6.2) конечное число корней, не
лежащих на координатных плоскостях.
Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях)
составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей):
z
Обозначим через σ
σ
β+I
β+I
, z
(1)
выражение
∞
=
l=1
(2)
β1+1
z
1(l)
, . . . , z
β2+1
· z
2(l)
(l)
ε
, . . .
l
···z
. (3.6.30.)
βn+1
n(l)
Здесь β1, . . . , βn, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак ε
равен +1, если в систему вида (3.6.29.), корнем которой является z
входит четное число функций f
(2)
, и равен −1, если в систему вида
j
s
(l)
323
l
,
(3.6.29.), корнем которой является z
(2)
f
.
j
s
, входит нечетное число функций
(l)
Для системы (3.6.29.), составленной из функций вида (3.6.28.), точки
z
являются корнями или особыми точками (полюсами). Все функции
(l)
fj— голоморфны в окрестности нуля и для них определены интегралы
Jβ, так как они имеют вид (3.6.1.).
Существует связь между ростом нулевого множества голоморфной
функции конечного порядка роста и самим порядком [42, гл. 3], похожая
на аналогичную связь для функций одного переменного. Но для многих
переменных, вообще говоря, отсутствует связь между порядками целых
функций и ростом их общих нулей (см. §3.2).
Теорема 3.6.7. Для системы уравнений с мероморфными функциями (3.6.28.) ряд (3.6.30.) абсолютно сходится и справедливы формулы
Доказательство. Так как
(1)
f
(z)
j
d
(2)
f
(z)
j
то
(1)
f
(z)
1
d
(2)
f
(z)
1
=
d f
f
(1)
1
(1)
1
(z)
(z)
d f
−
∧. . . ∧
=
(−1)
s
d f
f
(i1)
1
(i1)
1
(z)
(z)
Jβ= (−1)nσ
d f
=
(1)
f
j
(1)
f
(z)
2
∧ d
(2)
f
(z)
2
(z)
(z)
d f
f
(1)
n
(1)
n
d f
f
(i2)
2
∧
(z)
(z)
(i2)
2
(2)
1
(2)
f
1
∧
(1)
(z)
j
(z)
∧ . . . ∧ d
−
(z)
(z)
.
β+I
d f
−
f
j
(1)
d f
f
2
d f
f
2
(1)
(2)
n
(z)
(z)
(2)
n
(z)
∧ . . . ∧
(2)
j
(2)
f
n
f
n
(z)
(z)
(1)
(2)
d f
f
(z)
,
(z)
= (3.6.31.)
(z)
(z)
∧
(z)
−
d f
f
(2)
2
(2)
2
=
(in)
(z)
n
(in)
n
, (3.6.32.)
(z)
где s — это число сомножителей, для которых il= 2, а сумма берется
по всевозможным наборам чисел i1, i2, . . . , in, равных 1 или 2.
324
Поэтому выражение (3.6.31.) является конечной суммой выражений
вида (3.6.32.). Каждое из которых определяется набором целых функ-
ций f
(i1)
(z), . . . , f
1
(in)
(z). Следовательно, теорему достаточно доказать
n
для целых функций fj(z).
В этом случае
∞
d fj(z)
d
=
fj(z)
s=1
∞
s=1
fjs(z)
fjs(z)
=
∞
s=1
d fjs(z)
.
fjs(z)
Причем, рассматриваемый ряд сходится равномерно на γr. Действительно, легко проверить, что если задана последовательность непрерывных функций fmна компакте K, равномерно на нем сходящаяся
к функции f , и f = 0 на K, то начиная с некоторого номера функции fm= 0 на K и последовательность 1/fmравномерно сходятся к
1/f на K. Точно так же проверяется, что последовательности функ-
ций, равномерно сходящиеся на компакте, можно почленно умножать
и равномерная сходимость остается.
∞
По условию все
fjs(z) сходятся равномерно к ненулевой на Γf(r)
s=1
функции, поэтому ряд
∞
s=1
d fjs(z)
fjs(z)
=
d
s=1
∞
s=1
∞
fjs(z)
= lim
m→∞
fjs(z)
d
s=1
m
s=1
m
f
js
f
js
сходится равномерно на Γf(r). Таким образом, интеграл Jβопределен
и равен сходящемуся ряду из интегралов вида
1
(2πi)
n
Γf(r)
в котором суммирование ведется по кубам. Поэтому ряд из σ
z
1
β+I
d f
·
(z)
1s
1
f
(z)
1s
1
∧
d f
f
2s
2s
2
(z)
2
(z)
∧ . . . ∧
d f
f
ns
ns
n
n
(z)
(z)
,
схо-
β+I
дится. А поскольку сумма этого ряда не зависит от перестановок его
членов, то его сходимость абсолютная.
325
Для каждого из этих интегралов нужная формула доказана (теорема 3.6.6). 2
Теорема 3.6.7 является аналогом формулы Варинга для трансцендентных систем уравнений.
Вопрос о представлении функции в виде произведения целых функций хорошо изучен на комплексной плоскости. Ответ на него дает классическая теорема Адамара. Для многих переменных также известны
аналоги теоремы Адамара [42, 48], но, вообще говоря, функции в них
не представляются в виде бесконечных произведений. Одно достаточное условие такого разложения в виде бесконечного произведения дано
в §3.2 [103].
3.6.7. Примеры
Пример 3.6.1. Рассмотрим систему уравнений от двух комплексных
переменных
f1(z1, z2) = z1− z2+ az
f2(z1, z2) = 1 + cz2= 0.
Сделаем замену переменных z1=
вид
f1= w
f2= w2+ c = 0.
2
w2− w
1
Якобиан системы (3.6.33.)
∆ =
2w1w2− 3w
Ясно, что
2
+ aw2w
1
0 1
Q1= aw1w2+ bw2,
2
1
1
+ bz
3
1
1
= 0,
, z2=
w
1
3
+ aw1w2+ bw2= 0,
1
2
+ aw1+ b
1
w
2
= 2w1w2− 3w
. Наша система примет
(3.6.33.)
2
+ aw2.
1
Q2= c.
P1= w
P2= w2.
2
w2− w
1
326
3
,
1
Поскольку
w
3
1
= a
P1+ a
11
12
P2,
w2= a
P1+ a
21
22
P2,
то нетрудно показать, что элементы aijматрицы A равны
a11= −1, a12= w
2
,
1
a21= 0, a22= 1.
Следовательно, det A = −1.
Несложные вычисления дают, что
J
(0,0)
= c2.
Напомним известное разложения синуса в бесконечное произведение:
sin z
=
z
∞
k=1
1 −
z
k2π
2
,
2
которое равномерно и абсолютно сходятся на комплексной плоскости и
имеет порядок роста, равный 1.
Рассмотрим систему уравнений
f1(z1, z2) = z1− z2+ az
sin z
f2(z1, z2) =
2
= 0.
z
2
2
1
+ bz
3
1
= 0,
Используя формулу полученную выше, и известную сумму получаем, что интеграл J
равен сумме ряда
(0,0)
J
(0,0)
= 2
∞
s=1
1
π2s
1
=
2
.
3
Пример 3.6.2. Рассмотрим систему уравнений от двух комплексных
переменных
f1(z1, z2) = a1z1− a2z2+ z
f2(z1, z2) = b1z1+ b2z2+ z
2
1
2
2
= 0,
(3.6.34.)
= 0.
327
Она удовлетворяет условиям (3.6.14.) на Qj(z) из §3.6. Будем считать, что a1b2+ a2b1= 0, т.е. система младших онородных полиномов
невырожденная.
Сделаем замену переменных z1=
вид
˜
f1= −a2w
˜
f2= b2w1w2+ b1w
1
, z2=
w
1
2
+ a1w1w2+ w2= 0,
1
2
+ w1= 0.
2
1
. Наша система примет
w
2
. (3.6.35.)
Эта система имеет 4 корня, на координатных плоскостях лежит один
корень — (0,0).
Якобиан системы (3.6.35.)
˜
∆ =
= −2a2b2w
−2a2w1+ a1w
b2w2+ 1 2b1w2+ b2w
2
− 4a2b1w1w2+ 2a1b1w
1
2
a1w1+ 1
2
− a1w1− b2w2− 1.
2
=
1
Заметим, что
˜
Q1= w2,˜Q2= w1. (3.6.36.)
˜
P1= −a2w
2
+ a1w1w2,˜P2= b2w1w2+ b1w
1
2
. (3.6.37.)
2
Для нахождения матрицы A используем пример 8.3 из [18].
Введем матрицу
Res =
−a
0 −a2a
0 b
a
2
1
2
0 0 b2b
0 0
b
0
1
.
0
1
1
Определитель ∆ матрицы Res равен ∆ = a2b1(a2b1+ a1b2). Вычислим
некоторые миноры согласно примеру 8.3 из [18]:
˜
∆1=
∆3=
−a2a10
b
a
−a2a10
b
2
1
0 b2b
0 0
1
0 b2b
0
1
1
= −a2b
2
= a
b1,˜∆4= −
1
2
− a1b1b2,˜∆2= −
1
a
1
−a2a10
b
2
0 0
b10
a
0 0
1
b2b10
0 b2b
= 0.
= −a1b
1
2
,
1
328
∆1= −
∆3= −
0 −a2a
0 b
0 0 b
2
−a
2
0 −a2a
0 0 b
1
b
= 0, ∆2=
1
2
a
0
1
1
2
= −a
−a2a10
0 b2b
0 0 b
2
b2, ∆4=
2
a1a2b2.
Следовательно, элементы aijматрицы A равны
= −a2b
1
2
−a
0 −a2a
0 b
a
2
2
,
2
0
1
2
1
b
1
= a
2
b1+
2
a11=
1
˜
∆1w1+˜∆2w
∆
a12=
=
2
1
∆3w1+∆4w
∆
∆
1
a21=
(∆1w1+ ∆2w2) =
∆
a22=
1
(∆3w1+ ∆4w2) =
∆
1
∆
Тогда нетрудно проверить, что
w
3
1
= a
˜
P1+ a
11
˜
P2, w
12
Вычислим det A :
1
(−a2b
−a
2
− a1b1b2)w1− a1b
1
a
=
2
−a2b
2
b2w1+ (a
2
3
= a
2
21
2
b1w
1
1
,
∆
2
w
2
2
,
∆
2
b1+ a1a2b2)w
2
˜
P1+ a
22
˜
P2.
2
w
,
2
1
.
2
det A =
По теореме 3.6.6
J
(0,0)
=
˜
∆ · det A ·˜Q
×M
∥K∥62
1
a2b2w
∆
(−1)
k11+k
1
3(k11+k12)+1
w
1
2
− a2b1w1w2− a1b1w
1
∥K∥
· (k11+ k12)! · (k21+ k22)!
k11! · k12! · k21! · k22!
21
·˜Q
k12+k
2
· w
k
22
11
· a
3(k21+k22)+1
2
11
· a
k
12
329
12
· a
2
.
2
×
k
21
21
· a
k
22
22
.
Обозначим¯∆ = a2b1+ a1b2. Громоздкие, но несложные вычисления
(использующие определение функционала M) дают, что
2
J
(0,0)
=
1
¯
∆
−
2a1b
a2b
=
2
6a
a2b
−
2
1
1
b
2
¯
∆
a1b
¯
∆
−
2
2
2
2
+
¯
∆
1
3
a
1
¯
a
∆
2
−
b
1
3
b
2
2
¯
∆
3a2b
¯
∆
3
a
−
1
¯
a
∆
2
b
1
+
1
2
b
2
3
2
¯
∆
+
2
8a1b
.
¯
∆
−
4
a2b
=
1
2
2
3.7. Схемы исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений
3.7.1. Исключение неизвестных на основе результанта
Здесь мы рассмотрим схему исключения неизвестных из систем трансцендентных уравнений, возникающую на основе результанта, введенного в гл. 1.
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из квадратного полино-
ма f (z) и полинома n-й степени g(z)
f(z) = a0+ a1z + z2,
g(z) = b0+ b1z + b2z2+ . . . + bnzn.
По известному соотношению, если g(z) является целой функцией, а
f(z) — полином с корнями z1, z2, то справедливо равенство
2
g(zi) = g(z1) · g(z2) =
i=1
1
2
S
S2S
1
1
1
1
=
2
(S
− S2), (3.7.2.)
1
2
где
2
2
g(zi) = lim
i=1
Sk=
k→∞
gk(zi), (3.7.3.)
i=1
2b
a
2a
b
0
1
0
b
1
2
1 0 . . . 0
a
1 . . . 0
1
. . . b
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
k
(3.7.1.)
(3.7.4.)
330