Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
где (напомним) P
∞
(m + 1)c
m=0
w
m
m+1
. Так что нам нужно вычислить интегралы вида
∗
(w) = a0wn+ a1w
n
1
2πi
γ
1
R
Q
P
∗
n
∗
n
1
w
(w)
n−1
+ . . . + a0. Функция g
s
dw
·
s+m+2
w
.
1
′
=
w
Разложим в степенной ряд функцию (P
имееет корней в замыкании круга C
1
, поэтому функция (P
R
∗
)−s(w). Многочлен P
n
∗
(w) не
n
∗
)−s(w) —
n
голоморфна в замыкании этого круга.
Для нахождения разложения функции (P
∗
)−s(w) воспользуемся сле-
n
дующим результатом из предыдущего параграфа [91, лемма 4].
Пусть A и B — степенные ряды с ненулевым радиусом сходимости:
∞
A =
B = An=
akzk= a0+ a1z + a2z2+ ··· + anzn+ . . . , a0= 0,
k=0
∞
bkzk= b0+ b1z + b2z2+ ··· + bnzn+ . . . ,
k=0
a0= 0, а степень n может быть и комплексной. Тогда справедливы
n−k
a
формулы bk=
na
1
2na
2
3na
×
3
. . . . . . . . .
knak((k − 1)n − 1)a
0
×
k!
−1a
(n − 1)a
(2n − 1)a
0
1
2
((k − 2)n − 2)a
k−1
0 . . . 0
−2a
0
(n − 2)a
1
. . . 0
. . . 0
.
.
.
. . . (n − (k − 1))a
k−2
, (1.7.19.)
.
.
.
1
k > 1. А b0= a
n
.
0
Полагая, что n = −s, P
∞
s
d
zkиз формулы (1.6.10.) получим d
k
k=0
−sa
n−1
−2sa
n−2
−3sa
n−3
. . . . . . . . .
−ksa
n−k
×
∗
(w) = a0wn+a1w
n
−1a
n
(−s − 1)a
(−2s − 1)a
(−(k − 1)s − 1)a
n−1
n−2
n−k+1
s
k
(−(k − 2)s + 2)a
101
n−1
−s−k
a
n
=
k!
0
−2a
(−s − 2)a
+. . .+an, а (P
×
n
n−1
n−k+2
0
0
a
1
∗
n
=
.
.
.
)−s(w) =
(−1)ka
=
=
sa
2sa
3sa
n−1
n−2
n−3
(2s + 1)a
a
n
(s + 1)a
n−1
n−2
. . . . . . . . .
ksa
n−k
a
n−k+1
−s−k
n
k!
0 . . . 0
2a
n
(s + 2)a
=
n−1
. . .
. . .
.
.
.
. . . a
, (1.7.20.)
.
.
.
1
= a
−s
0
.
Q
1
∗
n
w
∞
s
=
k=0
w
1
∗
n
w
s
e
k
.
k
где k > 1. А d
s
0
Найдем теперь разложение функцииQ
Воспользовавшись формулой (1.7.19.), получим e
= sa
2sa
3sa
=
. . . . . . . . .
ksa
где k > 1. А e
n+2
n+3
n+4
n+k+1
s
= a
0
s
n+1
−1a
n+1
(s − 1)a
(2s − 1)a
((k − 1)s − 1) a
n+2
n+3
((k − 2)s − 2) a
n+k
0 . . .
−2a
n+1
(s − 2)a
n+2
n+k−1
. Поэтому выполнено утверждение.
s
. Обозначим
s−k
a
=
. . .
. . .
.
. . .
n+1
k!
.
.
.
.
.
s
k
=
, (1.7.21.)
Лемма 1.7.6. Справедлива формула
где e
s
k
, d
1
2πi
s
m+k+s+1
γ
1
R
Q
P
∗
n
∗
n
определяются формулами (1.7.20.), (1.7.21.).
1
w
(w)
s
dw
·
s+m+2
w
=
∞
k=0
s
· d
k
s
m+k+s+1
,
e
Применив формулы (1.7.20.), (1.7.21.), определение интеграла˜J
теорему 1.7.1, получим утверждение
102
s
и
R
Теорема 1.7.2. Интеграл
nb
0
a
n−1
1
2a
IR= JR+˜JR= lim
k→∞
∞
1
∞
−
s
s=1
m=0
k
a
n
(m + 1)
n−2
. . . . . . . . .
ka
n−kan−k+1
Рассматривая функцию gp(z) =
∞
k=0
e
∞
k=0
a
s
k
b
Следствие 1.7.4. Справедлива формула
p
nb
0
=
1
2πi
γ
gp(ζ)
R
p
I
R
df(ζ)
f(ζ)
= lim
k→∞
a
n−1
1
2a
n−2
k
a
n
. . . . . . . . .
ka
n−k
b
1
a
n
n−1
s
· d
m+k+s+1
p
zk, получаем следствие
k
a
a
n−k+1
b
2
0 . . . 0
a
n
a
n−k+2
· b
p
b
1
a
n
n−1
a
. . . b
k
. . . 0
.
.
.
m+1
p
b
2
. . . a
.
n
. . . b
0 . . . 0
a
n
n−k+2
. . . 0
.
.
. . . a
−
.
.
.
p
k
−
.
.
.
.
n
−
∞
s=1
1
s
∞
m=0
(m + 1)
∞
k=0
s
· d
k
s
m+k+s+1
e
· b
p
m+1
,
p = 1, . . . , n.
Применив теперь рекуррентные формулы Ньютона, получим выра-
жение (1.7.5.).
103
104
Глава 2
Алгебраические системы уравнений
и методы исключения
2.1. Локальный вычет Гротендика
2.1.1. Локальный вычет
Рассмотрим обобщение понятия локального вычета для систем голоморфных функций нескольких комплексных переменных [80]. Это так
называемый вычет Гротендика. Введем пространство Cn, состоящее из
векторов z = (z1, . . . , zn), где zj= xj+ iyj, xj, yj∈ R, j = 1, . . . , n.
Введем обозначения
Re z = (Re z1, . . . , Re zn) = (x1, . . . , xn),
Im z = (Im z1, . . . , Im zn) = (y1, . . . , yn),
¯z = (¯z1, . . . , ¯zn),
|z| =|z1|2+ . . . + |zn|2=|x1|2+ . . . + |xn|2+ |y1|2+ . . . + |yn|2.
Топология в Cnзадается метрикой d(z, w) = |z − w|, z, w ∈ Cn. Как
обычно, область D — это открытое связное множество, а компакт K —
замкнутое ограниченное множество.
Степенной ряд в Cn(с центром в начале координат) имеет вид
cαzα,
||α||>0
105
где α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс, т.е. αj— неотрицательные целые
числа, мономы zα= z
α
1
1
···z
α
n
имеют полную степень ||α|| = α1+. . .+αn,
n
а cα— комплексные числа (коэффициенты ряда). Обозначим UR(a) =
{z : |z − a| < R} открытый шар радиуса R с центром в точке a.
Комплекснозначная функция f (z) называется голоморфной в области D ⊂ Cn, если для каждой точки a ∈ D существует степенной ряд
cα(z − a)α,
||α||>0
который сходится (абсолютно и равномерно) к f (z) в некоторой окрестности UR(a) точки a. Например, каждый полином
P (z) =
06||α||6m
cαz
α
есть голоморфная функция в Cn. Если хотя бы один из старших коэффициентов cα, ||α|| = m не равен нулю, то P — полином степени m
(deg P = m).
Рациональная функция
P (z)
R(z) =
Q(z)
голоморфна там, где Q(z) = 0 (здесь P (z) и Q(z) — полиномы).
Определим сейчас локальный вычет Гротендика в Cn. Предположим, что h, f1, . . . , fn— голоморфные функции в некоторой окрестности UR(a) точки a. Предположим также, что
fj(a) = 0, j = 1, . . . , n,
и что a — изолированный нуль отображения
f = (f1, . . . , fn).
Обозначим через ω мероморфную дифференциальную форму
ω =
hdz1∧ . . . ∧ dz
f1. . . f
n
n
=
f1. . . f
hdz
n
106
(dz = dz1∧ dz2∧ . . . ∧ dzn).
Рассмотрим множество
Γf= {z ∈ UR(a) : |f1(z)| = ε1, . . . , |fn(z)| = εn},
где ε1> 0, . . . , εn> 0 достаточно малы. По теореме Сарда множество
Γfесть гладкая компактная поверхность размерности n, т.е. цикл, для
почти всех достаточно малых εj. Ориентация Γfзадается условием
d arg f1∧ . . . ∧ d arg fn> 0.
Интеграл
resaω =
(2πi)
1
n
Γ
f
hdz
f1. . . f
n
называется локальным вычетом Гротендика
resaω = res
h
a
f
формы ω в точке a.
Таким же способом как в случае одного комплексного переменого
можно показать, что resaω не зависит от εj.
α
Пример 2.1.1. Пусть fj= z
h = zβ= z
j
, a = 0 и
j
β
1
1
. . . z
β
n
.
n
Тогда
Γf= {z : |zj| = εj, j = 1, . . . , n}
это стандартный тор и
1
res0ω =
(2πi)
n
0, если αj− βj= 1 для хотя бы одного j,
=
1, если αj− βj= 1 для всех j.
Γ
zβdz
f
=
α
z
1
(2πi)
n
n
j=1
|zj|=ε
j
βj−α
z
j
j
dzj=
107
Говорят, что отображение f = (f1, . . . , fn) неособое (несингулярное)
в точке a, если его якобиан
Jf(a) =
∂(f1, . . . , fn)
∂(z1, . . . , zn)
(a) =
∂f
1
∂z
. . . . . . . . .
∂f
∂z
. . .
1
n
. . .
1
∂f
∂z
∂f
∂z
1
n
n
n
(a) = 0.
Тогда можно предполагать, что Jf(z) = 0 в UR(a), поэтому по теореме
об обратном отображении w = f (z) являентся взаимно-однозначным
UR(a). Более того, оно биголоморфно, т.е. обратное отображение z =
f−1(w) также голоморфно в окрестности начала координат.
Рассмотрим интеграл
resaω =
1
(2πi)
n
Γ
f
hdz
f1. . . f
n
и сделаем в нем замену переменных wj= fj(z), j = 1, . . . , n. Тогда
получим
dw
dz = J
f
−1
dw =
Jf(f−1(w))
,
и Γfпреобразуется в
Γw= {w : |wj| = εj, j = 1, . . . , n}.
Следовательно, можно записать
resaω =
1
(2πi)
n
Γ
w
h (f−1(w)) dw
Jf(f−1(w)) w1. . . w
.
n
Функция h/Jfтогда голоморфна в окрестности точки 0 (там где
Jf= 0) и, следовательно, она разлагается в степенной ряд
cαwα,
||α||>0
где
c
(0,...,0)
=
h
(f−1(0)) =
J
f
h(a)
.
Jf(a)
108
Согласно примеру 2.1.1 получаем
resaω =
.
Jf(a)
Так что в случае неособого отображения f локальный вычет легко
вычисляется.
Его легко вычислить так же, если h имеет вид h1f1+ . . . + hnfn, где
hjголоморфны в UR(a). Действительно,
h(a)
resaω =
1
(2πi)
hdz
n
f1. . . f
Γ
f
n
=
n
j=1
(2πi)
1
n
Γ
f
f1. . . f
hjdz
j−1fj+1
. . . f
.
n
Достаточно рассмотреть случай
h1dz
.
f2. . . f
Γ
f
n
Подинтегральная функция h1/(f2. . . fn) голоморфна в открытом множестве
UR(a) −
n
{z : fj(z) = 0},
j=2
которое содержит цепь
U1= {z : |f1| 6 ε1, |f2| = ε2, . . . , |fn| = εn}.
Получим ∂U1= Γf, так что по формуле Стокса имеем
d
1
f2. . . f
U
∧ dz = 0,
n
h1dz
Но
Γ
f
h1dz
f2. . . f
d
f2. . . f
h1dz
=
n
h
1
f2. . . f
∂U
1
dz= d
n
=
n
h
1
f2. . . f
так как h1, f2. . . , fnголоморфны. Это влечет
resaω = 0, если h = h1f1+ . . . + hnfn.
109
.
n
2.1.2. Формула преобразования локального вычета
Далее рассмотрим формулу преобразования локального вычета, которая будет играть фундаментальную роль в дальнейшем. Пусть f =
(f1, . . . , fn) и g = (g1, . . . , gn) — голоморфные отображения, определенные в UR(a). Предположим, что точка a =
= (a1, . . . , an) — изолированный нуль отображений f и g, и кроме того
n
gk(z) =
где akjголоморфны UR(a), k, j = 1, . . . , n. В матричных обозначениях
g = Af , где
Теорема 2.1.1 (формула преобразования). Если функция h голо-
морфна UR(a), то
akj(z)fj(z), k = 1, . . . , n, (2.1.1.)
j=1
A = ||akj(z)||
res
h = res
a
f
n
.
k,j=1
h det A. (2.1.2.)
a
g
Другими словами,
Γ
f1. . . f
f
hdz
h det A dz
=
n
Γ
g
g1. . . g
.
n
Докажем эту теорему для неособых отображений f и g, общий случай может быть найден в [80, гл. 5].
Доказательство. Пусть f и g неособые отображения, т.е. Jf(a) = 0 и
Jg(a) = 0. Отсюда следует, что det A(a) = 0. Можно предполагать, что
эти определители не равны нулю в UR(a). Тогда
h(a)
res
h =
a
f
Jf(a)
,
h(a) det A(a)
res
det A =
a
g
Jg(a)
.
В силу (2.1.1.) и так как f (a) = g(a) = 0, получим
Jg(a) = Jf(a) det A(a).
110