Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
или
j
J
+
δ
∥α∥>0
a
j+1
α
j
J
δ−α+β
j+1
+ . . . +
∥α∥>0
a
n
J
α
n−1
δ−α+β
j+1
+...+β
n
= J
δ+β
j+1
+...+β
n
,
и, применяя к последней формуле лемму (3.3.1), получаем утверждение
теоремы.
2
Для некоторых типов систем уравнений в §17 [40] показано, что интегралы σδдля целых положительных δjсовпадают со степенными суммами корней системы.
Напомним, что это за системы. Пусть функции fjимеют вид
(1)
f
(z)
j
(2)
f
j
, j = 1, 2, . . . , n, (3.3.10.)
(z)
где f
(1)
(z) и f
j
fj(z) =
(2)
(z) — целые функции в Cn, разлагающиеся в бесконеч-
j
ные произведения (равномерно и абсолютно сходящиеся в Cn):
f
(1)
j
(z) =
∞
s=1
(1)
f
js
(z), f
(2)
j
(z) =
∞
s=1
(2)
f
(z),
js
причем каждый из сомножителей является полиномом вида (3.1.2.), а
полиномы Qj(z) такие, что в них отличны от нуля лишь коэффициенты
при мономах zα, для которых справедливы неравенства αk6 β
j
, k =
k
1, . . . , n, k = j.
Для каждого набора индексов j1, . . . , jn, где j1, . . . , jn∈ N, и каждого
набора чисел i1, . . . , in, где i1, . . . , inравны 1 или 2, системы нелинейных
алгебраических уравнений
(i1)
f
(z) = 0, f
1j
1
(i2)
(z) = 0, . . . , f
2j
2
(in)
(z) = 0 (3.3.11.)
nj
n
имеют (см. §17) конечное число корней, не лежащих на координатных
плоскостях.
Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях)
составляют не более чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом
251
кратностей): z
(1)
, z
, . . . , , . . . z
(2)
∞
, . . .. Будем предполагать, что ряд
(l)
1
(3.3.12.)
|z
l=1
1(l)
| · |z
2(l)
|···|z
n(l)
|
сходится.
Как показано в §17, степенная сумма корней (или полюсов) вида
∞
l=1
z
δ
1
1(l)
· z
ε
δ
2
2(l)
l
···z
δ
n
n(l)
совпадает с интегралом σδ, если δ1, . . . , δn— положительные целые числа, а знак εlравен +1, если в систему вида (3.3.11.), корень которой
есть z
, входит четное число функций f
(l)
вида (3.3.11.) входит нечетное число функций f
(2)
, и равен −1, если в систему
js
(2)
.
js
Для системы (3.1.3.), составленной из функций вида (3.3.10.), точки
z
являются корнями или особыми точками (полюсами).
(l)
Таким образом, если δj> 0 для всех j = 1, . . . , n, то σδ— степенные
суммы корней или полюсов системы, если же хотя бы одно из данных
неравенств не выполняется, то назовем σδпсевдостепенными суммами.
Псевдостепенные суммы появляются и для систем алгебраических
уравнений (см. §2.8).
Пример 3.3.1. Рассмотрим систему функций
f1(z) =
f2(z) =
∞
j=1
∞
j=1
(1 + a
(1 + b
j
z1+ a
1
j
z1+ b
1
j
2
j
z2),
2
z2),
где бесконечные произведения в правых частях сходятся абсолютно и
равномерно в C2. Для этой системы вычислим интегралы σδдля ∥δ∥ 6
3.
252
Группируя слагаемые функций f1(z) и f2(z) по степеням z1, z2, используя введенные обозначения, получаем
где
a
1
(2,0)
=
j<k
a
1
a
(0,0)
a
1
(1,1)
f1(z) = a
+a
f2(z) = a
+a
= a
j
k
a
, a
1
1
=
1
(2,0)
2
(2,0)
2
(0,0)
2
(2,0)
j<k
a
1
(0,1)
(a
1
(0,0)
2
z
+ a
1
2
(0,0)
2
z
+ a
1
= 1, a
=
=
j<k
j
k
a
+ a
1
2
1
(0,2)
2
(0,2)
j>1
b
+ a
+ a
1
(1,0)
a
j
b
1
k
a
1
1
(1,0)
2
z
2
2
(1,0)
2
z
2
j
, a
2
k
, a
1
j
), a
2
+ a
+ a
=
z1+ a
1
(1,1)
z1+ a
2
(1,1)
j>1
2
(0,1)
1
(0,2)
2
(1,1)
1
z2+
(0,1)
z1z2+ h1(z),
2
z2+
(0,1)
z1z2+ h2(z),
j
1
=
, a
j>1
j<k
j<k
2
(1,0)
j
b
2
a
(b
=
,
j
a
2
j
1
a
=
=
k
2
b
, a
k
+ b
2
j>1
2
(0,2)
j
b
,
1
j
=
j<k
j
k
b
),
2
1
k
b
b
,
2
2
j
а h1(z) и h2(z) — ряды из мономов вида Cz
Вычислим интегралы σ
(m,n)
для m + n 6 3, использовав формулу
k
z
, где j > 0, k > 0, j+k > 3.
1
2
(3.3.6.). Заметим вначале, что поскольку функции f1(z) и f2(z) не содержат слагаемых с z в отрицательных степенях, то по формуле (3.3.6.)
все σ
(m,n)
откуда σ
откуда σ
с m < 0 или n < 0 равны нулю. Далее имеем
− a
1
(0,0)
(1,0)
= 0. Вычислим σ
(0,0)
σ
(0,0)
1
σ
(1,0)
− a
(1,0)
= 0. Аналогично получим σ
(1,0)
a
2
(0,0)
1 0
0 0
a
:
2
(0,0)
− a
0 0
0 0
1
(0,0)
(0,1)
2
a
(1,0)
= 0,
= 0.
0 1
0 0
= 0,
253
В дальнейших выкладках, поскольку a
1
(0,0)
= a
2
= 1, будем опус-
(0,0)
кать их там, где они являются множителями. Проводя вычисления далее, получаем σ
σ
(1,1)
+ a
−a
откуда
σ
(1,1)
Аналогичным образом получаем σ
(2,0)
1
(1,0)
1
(1,0)
= a
= σ
σ
(0,1)
2
a
(0,1)
1
(1,0)
(0,2)
a
+ a
1 0
0 1
2
(0,1)
= 0,
2
(1,0)
− a
σ
1
(0,1)
(0,1)
− a
+ a
1
(0,1)
2
a
(1,0)
(3,0)
1
(0,1)
2
a
(1,0)
=
= σ
σ
(0,3)
(1,0)
(0,1)
2
+ a
0 1
1 0
1
a
(1,0)
2
a
(1,0)
= 0,
1
a
(0,1)
2
a
(0,1)
= 0. Вычислим σ
выписав только ненулевые слагаемые в формуле (3.3.6.):
−a
−a
1
(2,0)
1
(1,0)
σ
a
(2,1)
2
a
(0,1)
2
(1,1)
+ a
1 1
0 1
1
(1,0)
2 0
0 1
σ
(1,1)
− a
− a
+ a
1
(0,1)
1
(1,1)
2
(1,0)
a
2
a
(1,0)
σ
2
(2,0)
(1,1)
−
0 2
1 0
1 1
1 0
= 0,
−
откуда
σ
(2,1)
= 2
1
a
(2,0)
2
a
(2,0)
a
a
1
(0,1)
2
(0,1)
+
1
a
(1,0)
2
a
(1,0)
a
a
1
(1,1)
2
(1,1)
−a
1
(1,0)
+ a
2
(1,0)
σ
(1,0)
.
a
a
−
1
(1,0)
2
(1,0)
a
a
1
(0,1)
2
(0,1)
(2,1)
,
.
Проводя аналогичные вычисления, находим
σ
(1,2)
= 2
1
a
(1,0)
2
a
(1,0)
a
a
1
(0,2)
2
(0,2)
+
1
a
(1,1)
2
a
(1,1)
a
a
1
(0,1)
2
(0,1)
−a
1
(0,1)
+ a
2
(0,1)
1
a
(1,0)
2
a
(1,0)
a
a
1
(0,1)
2
(0,1)
3.4. Трансцендентные системы уравнений треугольного вида
3.4.1. Описание треугольных систем
Рассмотрим систему функций f1(z), f2(z), . . . , fn(z), голоморфных в ок-
рестности точки 0 ∈ Cn, z = (z1, z2, . . . , zn) и имеющих следующий вид:
i
fi(z) = z
β
+ ψi(z), i = 1, 2, . . . , n, (3.4.1.)
254
.
где βi= (β
i
1
, β
координатами,
i
, . . . , β
2
i
) — мультииндекс с целыми неотрицательными
n
i
i
β
z
= z
∥βi∥ = β
i
1
β
1
+ β
β
1
· z
2
i
+ . . . + β
2
i
2
· . . . · z
i
β
n
n
i
= ki,
n
,
степени kjудовлетворяют условию ki6 ord ψi(z); i = 1, 2, . . . , n и мо-
i
номы z
β
не содержатся в ψi(z). Под порядком голоморфной функции Q
(ord Q) будем понимать минимальную степень мономов, входящих в Q.
Кроме того, предположим, что (3.4.1.) удовлетворяет следующим
условиям:
для z1, . . . , zn:
ord ψ1> β
при фиксированном z1степень ord
ord
для остальных функций ψ
ord
z2...z
z2...z
i
ψ2> β
n
ψi> β
n
1
+ . . . + β
1
ψ2по z2, . . . , zn:
z2...z
n
2
+ . . . + β
2
i
+ . . . + β
2
1
;
n
2
n
i
,
n
где i = 3, . . . , n;
при фиксированном z1, z2степень ord
ψ3по z3, . . . , zn:
z3...z
n
ord
z3...z
ψ3> β
n
3
+ . . . + β
3
3
,
n
для остальных функций
ord
z3...z
ψi> β
n
i
+ . . . + β
3
i
,
n
где i = 4, . . . , n. Аналогичные ограничения справедливы для все остальных переменных.
Наконец, при фиксированном z1, . . . , z
ord
ψn> β
z
n
n
n
n−1
.
для zn:
Система (3.4.1.) может быть также представлена в виде
i
fi(z) = z
β
+ Ri(z) + Qi(z), i = 1, 2, . . . , n, (3.4.2.)
255
где Ri(z) — однородные полиномы степени ∥βi∥. Функции Qiразлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно, вида
Qi(z) =
∥α∥>k
i
a
zα. (3.4.3.)
α
i
Степени всех мономов (по совокупности переменных), входящих в Q
строго больше, чем ki, i = 1, 2, . . . , n (т.е. ∥α∥ = α1+ α2+ . . . + αn> ki).
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 3.4.1. Если система (3.4.1.) удовлетворяет условиям
ord
ord
i = 2, . . . , n; j = i + 1, . . . , n,
zi...z
zi...z
ψi> β
n
ψj> β
n
i
+ . . . + β
i
i
+ . . . + β
j
i
,
n
i
,
n
(3.4.4.)
то она может быть записана в виде
f1(z) = z
f2(z) = z
1
β
+ Q1(z),
2
β
+ φ21(z) + Q2(z),
(3.4.5.)
....................................................
fn(z) = z
n
β
+ φn1(z) + . . . + φ
(z) + Qn(z),
nn−1
i
где φij— однородные полиномы степени ∥βi∥, удовлетворяющие
deg
φij< β
z
j
i
, (3.4.6.)
j
для i = 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , i − 1.
Доказательство. Для z1, . . . , z
n
R1= 0.
Далее, при фиксированном z1по переменным z2, . . . , znимеем
R2= φ21,
из системы (3.4.2.) и условий (3.4.4.) получаем
deg
z2...z
φ21> β
n
2
+ . . . + β
2
2
⇐⇒ deg
n
φ21< β
z
1
2
,
1
256
ord
z2...z
Q2> β
n
2
+ . . . + β
2
при фиксированном z1, z2по z3, . . . , zn:
R3= φ31+ φ32.
Из системы (3.4.2.) и условий (3.4.4.) получаем
2
;
n
deg
(φ31+ φ32) > β
z3...z
n
deg
3
+ . . . + β
3
φ31< β
z
1
ord
z3...z
n
3
n
3
⇒ deg
1
Q3> β
⇐⇒ deg
φ32< β
z
2
3
+ . . . + β
3
(φ31+ φ32) < β
z1z
2
3
,
2
3
.
n
3
1
Аналогичные ограничения для все остальных переменных и при
фиксированном z1, . . . , z
deg
(φn1+ . . . + φ
z
n
deg
φn1< β
z
1
nn−1
n
, . . . , deg
1
для zn:
n−1
Rn= φn1+ . . . + φ
< β
z
n−2
n
⇐⇒ deg
n
n
+ . . . + β
1
φ
nn−2
ord
z
n
< β
Qn> β
n
n−1
n
n−2
n
n
) > β
nn−1
z1...zn−1
,
⇒ deg
.
(φn1+ . . . + φ
z
n−1
φ
nn−1
< β
nn−1
n
n−1
Таким образом, имеем
+ β
) <
,
3
,
2
i−1
ψi(z) =
φij(z) + Qi(z), i = 1, 2, . . . , n. (3.4.7.)
j=1
Рассмотрим циклы γ(r) = γ(r1, r2, . . . , rn), являющиеся остовами поликругов Γ(r) = {z : |zs| < rs, s = 1, . . . , n}, т.е.
γ(r) = {z ∈ Cn: |zs| = rs, s = 1, 2, . . . , n}, r1> 0, . . . , rn> 0.
При достаточно малых rjциклы γ(r) лежат в области голоморфности функций ψj, поэтому ряды
∥α∥>k
j
|a
α
j
1
|r
1
α
···r
α
n
n
257
сходятся, j = 1, 2, . . . , n. Тогда на цикле γ(tr) = γ(tr1, tr2, . . . , trn) при
достаточно малых t > 0 имеем
j
|z|
j
β
= t
β
k
j
· r
1
j
β
1
2
· r
···r
2
j
β
n
n
= t
k
j
β
j
· r
,
а
|Qj(z)| =
kj+1
6 t
∥α∥>k
∥α∥>0
|a
j
j
α
a
|rαt
j
α
z
α
∥α∥−kj−1
6
∥α∥>k
∥α∥|aj
t
j
, j = 1, . . . , n.
|rα6
α
Поэтому при таких t на цикле γ(tr) выполняются неравенства
j
β
|z|
> |Qj(z)|, j = 1, 2, . . . , n. (3.4.8.)
В дальнейшем будем считать, что t = 1.
Для функции φijвначале выберем rjтак, чтобы на γ(r) выполнялись
неравенства
β
z
>
i−1
j=1
φij(z)
i
, (3.4.9.)
где i = 1, . . . , n (для этого можно зафиксировать rnи выбрать
r1, . . . , r
уменьшить r1, . . . , r
такими, чтобы выполнялось неравенство при i = n; далее
n−1
так, чтобы выполнялось неравенство при i = n−
n−2
1, и т.д.). Отсюда и из (3.3.2.), пропорционально уменьшая rj, следует,
что
|z|
j
β
> |ψj(z)|, j = 1, 2, . . . , n,
на γr. (3.4.10.)
fj= 0, j = 1, 2, . . . , n
3.4.2. Нахождение вычетных интегралов
Рассмотрим систему уравнений вида
f1(z) = 0, f2(z) = 0, . . . , fn(z) = 0. (3.4.11.)
258
Из (3.4.10.) следует, что при соответствующем выборе γ(r) определены интегралы вида
γ(r)
z
1
β+I
df
·
=
f
γ(r1,r2,...,rn)
β1+1
z
1
· z
1
β2+1
2
···z
βn+1
n
df
·
f
df
1
1
∧
2
f
2
∧ . . . ∧
df
f
n
,
n
где β1> 0, β2> 0, . . . , βn> 0, βj∈ Z, I = (1, 1, . . . , 1). Назовем их (как
и ранее) вычетными интегралами. Обозначим
Jβ=
1
(2πi)
n
γ(r)
z
1
β+I
df
·
.
f
Теорема 3.4.1. При сделанных предположениях для функций f
вида (3.4.1.), удовлетворяющим условиям (3.4.3.—3.4.4.) справедливы
формулы
Jβ=
(β + (α1+ 1)β1+ . . . + (αn+ 1)βn)!
α∈S
(−1)
∥α∥
×
j
α
z=0
=
,
n
n
=
α∈S
×
β+(α1+1)β1+...+(αn+1)β
∂z
∥α∥
∂k(∆ · ψα)
(−1)
M
β+(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
∆ · ψ
где k = ∥β +(α1+1)β1+. . .+(αn+1)βn∥, β! = β1!·β2! ···βn!, ∆ — якобиан
системы (3.4.11.), ψα= ψ
∥β∥
α
1
α
1
· ψ
2
2
···ψ
∂
α
n
,
n
∂z
=
β
∂z
β
1
1
∂z
∂
∥β∥
β
2
2
···∂z
β
n
n
, S —
некоторое конечное множество индексов и, наконец, M — линейный
функционал, сопоставляющий ряду Лорана его свободный член.
Доказательство. Рассмотрим
i
df
f
i
=
i
d(z
(z
β
+ ψi(z))
i
β
+ ψi(z))
=
259
i−1
j
β
d(z
=
(z
+
j
β
+
φij(z) + Qi(z))
j=1
i−1
φij(z) + Qi(z))
j=1
.
Поскольку на γ(r) выполнены неравенства (3.4.8.), (3.4.9.), (3.4.10.)
то
1
=
f
z
i
1
i
β
+ ψi(z)
=
∞
s=0
(−1)
(ψi(z))
s
(s+1)β
z
s
.
i
Причем данный ряд сходится абсолютно и равномерно на γ(r), i =
1, 2, . . . , n,
поэтому
z
1
β+I
df
·
f
=
z
1
β+I
df
·
f
df
1
1
∧
2
f
2
∧ . . . ∧
df
f
n
=
n
∆dz
ψα= ψ
=
β+I(zβ
z
∆dz
=
z
α
1
α
1
· ψ
2
· . . . · ψ
2
1
+ ψ1)(z
β+I
α
n
, а dz = dz1∧ dz2∧ . . . ∧ dzn.
n
(−1)
∥α∥>0
2
β
+ ψ2) . . . (z
∥α∥
(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
ψ
β
α
n
+ ψn)
=
,
n
Следовательно, на γ(r) получаем
Jβ=
1
(2πi)
n
∥α∥>0
γ(r)
(−1)
z
∥α∥
β+I
∆dz
α
·
(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
ψ
. (3.4.12.)
n
Покажем, что так как выполняется (3.4.4.), то в этой сумме лишь
конечное число слагаемых отлично от нуля. Для этого подсчитаем степени мономов, входящих в числитель и знаменатель подынтегрального
выражения.
Степень мономов, входящих в ∆, не меньше, чем max(∥β1∥ + . . . +
∥βn∥−n, 0) = max(k1+ . . . + kn−n, 0). Для степени мономов, входящих
в ψα, получаем оценку:
ord ψ
α
1
= ord Q
1
α
1
> α1(1 + ∥β1∥) = α1(1 + k1),
1
260