Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
2.6.5. Использования параметра
Покажем сейчас, как можно упростить вычисление результанта, если
рассматривать систему (2.6.2.) как систему с параметром.
Запишем нашу систему в виде
f1= f1(z, w) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . (2.6.11.)
fn= fn(z, w) = 0,
f
n+1
= f
(z, w) = 0,
n+1
где z ∈ Cnи w ∈ C. Будем считать, что для почти всех w система
f1(z, w) = 0,
. . . . . . . . . . (2.6.12.)
fn(z, w) = 0
невырождена.
Для этого достаточно проверить, что (2.6.12.) невырождена хотя бы
для одного значения w.
Пусть f1(z, w) = Pj(z, w) + Qj(z, w), где Pj— старшая однородная
часть fjпо переменным z1, . . . , zn, deg Pj= kj. Найдем матрицу
A = ||ajk(z, w)||
n
j,k=1
так, чтобы выполнялись условия
n
Nj+1
z
j
=
ajk(z, w)Pk(z, w), j = 1, . . . , n.
k=1
Отметим, что коэффициенты полиномов ajk(z, w) есть рациональ-
ные функции по w, а если Pkне зависят от w, то ajkтакже не зависят
от w.
Далее, применив теорему 2.6.1 к полиномам f
j
(z, w), j = 1, 2, . . . ,
n+1
k1. . . kn, получим выражения Sj(w), которые также рациональные функции по w (если Pkне зависят от w, тогда Sj(w) — полиномы по w).
Напомним, что
Sj(w) =
a∈E
j
f
(a, w),
n+1
f
151
где Ef— множество корней системы (2.6.12.) при фиксированном w.
(Эти корни также зависят от w.) Использовав рекуррентные формулы
Ньютона (1.2.1.), можно найти функцию
R(w) =
a∈E
f
(a, w).
n+1
f
В терминологии Циха [8, § 21] R(w) есть результант полинома f
n+1
относительно системы
fj= 0, j = 1, . . . , n.
В общем, R(w) — рациональная функция по w, но если Pkне зависят от
w, то R(w) — полином. Эта функция обладает свойством, что R(w) = 0
тогда и только тогда, когда система (2.6.11.) имеет решение для данного w [8, § 21]. Так что если отбросим знаменатель R(w), то получим
желаемый результант.
Применим это метод для случая трех уравнений в C3:
f1(x, y, w) = 0,
f2(x, y, w) = 0,
f3(x, y, w) = 0.
Сначала выберем два уравнения и параметр. Предположим, что си-
стема
f1(x, y, w) = 0,
f2(x, y, w) = 0
невырожденна для некоторого значения w. Запишем полиномы f1и f
как полиномы от x, y и выберем их старшие однородные части:
f1= P1+ Q1, f2= P2+ Q2.
Сконструируем матрицу Res для P1и P2(элементы этой матрицы
— полиномы от w) и найдем
∆j,˜∆j, ∆(j, s),
152
2
из которых получим
a11, a12, a21, a22, det A.
Затем применим теорему 2.6.1 к функциям f
j
, j = 1, 2, . . . , k1k2и най-
3
дем степенные суммы Sj(w). Наконец, применив рекуррентные формулы Ньютона, сконструируем результант R(w).
Пример 2.6.5. Рассмотрим систему
f1= a0x + a1y + a2,
f2= b0x2+ b1xy + b2y2+ b3x + b4y + b5,
f3= c0x2+ c1xy + c2y2+ c3x + c4y + c5.
Будем предполагвть, что коэффициенты этих полиномов — полино-
мы от w, также что система f1= 0, f2= 0 невырожденна для некоторого w.
Простые вычисления дают
Res =
a0a
0 a0a
b0b1b
1
0
,
1
2
∆1=
˜
∆2= −
0 a
b0b
a11=
∆
a0a
b1b
0
= −a1b2,˜∆3=
2
a
b1b
˜
∆1=
1
0
= −a0b0, ∆2= −
1
∆3=
∆ = a
2
0
1
(˜∆1x +˜∆2y) =
a12=
1
= a0b2− a1b1,
2
a0a
b0b
a0a
0 a
1
= a
0
b2− a0a1b1+ a
1
(x(a0b2− a1b1) − ya1b2),
∆
1
∆
˜
∆3=
1
a
∆
2
1
2
,
0
2
b0,
1
,
a
1
a0a
0
1
1
= a1b0− a0b1,
1
= a
2
,
1
153
a21=
1
(∆1x + ∆2y) =
∆
1
(−xa0b0+ y(a1b0− a0b1)),
∆
Тогда получим
где
a22=
1
∆3=
∆
1
∆
2
a
.
0
x2= a11P1+ a12P2,
y2= a21P1+ a22P2,
P1= a0x + a1y, P2= b0x2+ b1xy + b2y2,
1
det A =
(a0x − a1y),
∆
∆(1, 3) = a0, ∆(2, 3) = −a1,
J =
2b0x + b1y + b2b1x + 2b2y + b
a
0
a
1
=
4
= x(a0b1− 2a1b0) + y(2b2a0− a1b1) + a0b4− a1b3,
Q1= a2, Q2= b3x + b4y + b5.
Вычисляя значение формулы из теоремы 2.6.2, имеем
Sj=
(−1)
||k||
(k11+ k12)!(k21+ k22)!
×
k11!k12!k21!k22!
ksm>0
k11+k12+k21+k2262j
j=1,2
×M
j
k11+k
f
Q
3
1
x
k12+k
21
Q
2(k11+k12)+1y2(k21+k22)+1
22
2
Jfdet Aa
k
11
11
. . . a
k
22
22
.
Для нахождения Sjнужно подставить мономы xtym, t + m 6 4, в
эту формулу (результат обозначим через S
S
0,0
Jfdet A
= M
xy
1
=
(a0(2b2a0− a1b1) − a1(a0b1− 2a1b0)) = 2,
∆
). Имеем
t,m
154
S
= M
1,0
xQ1Jfdet Aa
−
xy
xJfdet A
xy
21
3
−
xQ1Jfdet Aa
−
x3y
xQ2Jfdet Aa
3
xy
1
−
(a0a2(a0b2− a1b1)(2b2a0− a1b1) − a1a2(a0b2− a1b1)(a0b1−
2
∆
−2a1b0) − a1a2a0b2(a0b1− 2a1b0) + a
2
−a
b3(a0b1− 2a1b0) + a
1
2
1
−a2a1(2a0b2− a1b1)(a1b0− a0b1) − a
1
∆
2
(a
b3− a0a1b4− 2a0a2b2+ a1a2b1− 2a
1
=
11
xQ2Jfdet Aa
−
x3y
22
1
=
a1(a1b3− a0b4)−
∆
2
a0b3(2b2a0− a1b1)−
1
a0b4(a0b1− 2a1b0)−
2
a1b4(2b2a0− a1b1)) =
0
2
b3+ 2a0a1b4) =
1
12
1
=
(a0a1b4+ a1a2b1− a
∆
2
b3− 2a0a2b2).
1
Точно так же
S
0,1
=
1
(a0a1b3+ a0a2b1− a
∆
2
b4− 2a1a2b0).
0
2.6.6. Степенные суммы в пространстве теории функций
В конце этого параграфа приведем (без доказательства) некоторые результаты А.К.Циха [53], в которых он заменил проективное пространство CPnна пространство теории функций т.е. на n-кратное произведение
¯
Cn= CP1× ··· × CP1.
Пусть zj: wjесть однородные координаты в j-м множителе¯Cnи
пусть
fj(z1, w1, . . . , zn, wn) = 0, j = 1, . . . , n (2.6.13.)
есть система уравнений, где fj— полиномы, являющиеся однородными
по каждой паре переменных (zk, wk). Будем рассматривать только такие
корни (z1, w1, . . . , zn, wn) системы (2.6.13.), для которых
(zk, wk) ∈ C2\ {(0, 0)}, k = 1, . . . , n,
155
и корни с парами пропорциональных координат определяют один корень в пространстве¯Cn.
Пусть
a =z
0
1
: w
0
, . . . , z
1
0
n
— корень системы (2.6.13.) и предположим, что w
: w
0
n
0
= 0, k = 1, . . . , n.
k
Кратность a равна (по определению) кратности корня
z
w
0
1
, . . . ,
0
1
z
w
0
n
0
n
системы
fj(z1, 1, . . . , zn, 1) = 0, j = 1, . . . , n,
в Cn.
Напомним, что перманент матрицы
A = (aij)
i,j=1,...,n
определяется как число
per(A) =
a
···a
1j
1
J
nj
,
n
где суммирование ведется по всем перестановкам J = (j1, . . . , jn) чисел
1, 2, . . . , n.
Теорема 2.6.3 (Цих). Пусть mij— степень однородности полино-
ма fjпо паре переменных zi, wi. Тогда система (2.6.13.) имеет или
бесконечное число корней, или число корней (вместе с кратностями)
равно перманенту матрицы
(mij)
i,j=1,...,n
.
Доказательство этой теоремы можно найти в [53].
Данное утверждение является аналогом теоремы Безу в простран-
стве теории
функций.
Рассмотрим следующую систему уравнений
fk(z) = (z1− ak1)
m
k1
···(zn− akn)
m
kn
+ Qk(z) = 0, i = 1, . . . , n,(2.6.14.)
156
где mkj— положительные целые числа, Qk— полиномы, для которых
степени по переменным zjстрого меньше, чем mkj, а akj— комплексные числа такие, что для каждого j = 1, . . . , n все числа a1j, . . . , a
nj
отличны друг от друга.
Очевидно, что система (2.6.14.) не имеет бесконечных корней в про-
странстве¯Cn. Это означает, что система
ˆ
fk= w
1
m
k1
···w
z
m
kn
f
n
1
w
, . . . ,
1
k
z
w
n
= 0, k = 1, . . . , n
n
не имеет корней на плоскостях {wj= 0}, j = 1, . . . , n (zj= 0 для всех
j).
Следовательно, система (2.6.14.) имеет конечное число корней N , и
по теореме 2.6.3
N = per(mij).
Система (2.6.14.) есть аналог в¯Cnсистемы Айзенберга из следствия
2.6.1.
Теорема 2.6.4 (Цих). Пусть R(z) — полином степени µiпо пере-
менной zi, i = 1, . . . , n. Пусть векторы
(1)
z
, . . . , z
(N)
представляют все корни системы (2.6.14.) (считаемые столько раз,
какова их кратность). Тогда
N
=
µ
||α||=0
(−1)
||α||
J
s(J)
(−1)
β(α, J)!
j=1
∂
∂z
(j)
R(z
||β(α,J )||
β(α,J )
) =
R∆
Q
α1+1
q
1j
α
1
1
1
···Q
···
αn+1
q
nj
α
n
n
n
zk=a
,
jkk
(2.6.15.)
где α = (α1, . . . , αn), ∆ — якобиан системы 2.6.14. и
β(α, J) = (m
j11(αj
+ 1) − 1, . . . , m
1
jnn(αj
+ 1) − 1)
n
157
— мультииндексы, внутреннее суммирование ведется по перестановкам J из чисел 1, 2, . . . , n, а s(J) — четность перестановки J,
µ = max
16j6n
{µj}
и
q
fk− Q
=
kj
k
(zk− a
kj
k
, k = 1 , . . . , n.
m
kj
k
)
k
Эта теорема приведена в [53].
Для доказательства теоремы нам понадобится утверждение, выте-
кающее из теоремы о полной сумме вычетов на компактном комплексном многообразии. Рассмотрим систему алгебраических уравнений в C
вида
fk(z) = 0, k = 1, . . . , n (2.6.16.)
и mkj= deg
fk, т.е. степени полинома fkпо переменной zj.
z
j
Будем предполагать, что система 2.6.16. не имеет бесконечно уда-
ленных корней в пространстве¯Cn. Тогда система (2.6.16.) имеет лишь
конечное число корней N в Cnи по теореме 2.6.3
n
N = per(mij).
Пусть E — множество корней системы (2.6.16.) и a ∈ E. Через Γ
обозначим связную компоненту цикла
Γ = {z ∈ Cn: |f1(z)| = . . . = |fn(z)| = ε},
которая при достаточно малом ε лежит в окрестности точки a. Ориентация цикла Γaвыбирается стандартным образом.
Лемма 2.6.2. Если система (2.6.16.) не имеет бесконечно удален-
ных корней¯Cnи P (z) такой многочлен, что pj= deg P
6 m1j+ . . . +
z
j
mnj− 2 для всех j от 1 до n, то
P (z) dz
= 0.
f1(z) ···fn(z)
Γ
a∈E
a
a
158
Доказательство. Подынтегральная форма
ω =
P (z) dz
f1(z) ···fn(z)
при переходе zj→ zj/wjк однородным координатам продолжается до
формы ˜ω в¯Cn, равной
˜
P (w1dz1− z1dw1) ∧ ···(wndzn− zndwn)
где˜P = w
p
1
1
˜ω =
···w
n
j=1
p
n
·P (z1/w1, . . . , zn/wn), а˜fjопределяются аналогичным
n
pj−(mji+...mjn−2)
(w
j
·˜fj)
,
образом. По условию леммы pj6 m1j+. . .+ mnj−2 для всех j от 1 до n,
поэтому ни одна из бесконечно удаленных плоскостей {wj= 0} ⊂¯Cnне
является особой для формы ˜ω. Теперь утверждение следует из теоремы
о равенстве нулю полной суммы вычетов на компактном аналитическом
многообразии [80, с. 656].
Доказательство теоремы 2.6.4. Обозначим
qk(z) = (z1− ak1)
m
k1
···(zn− akn)
m
kn
, k = 1, . . . , n
и рассмотрим систему уравнений
Fk(z, t) = qk(z) + tQk(z) = 0, k = 1, . . . , n, (2.6.17.)
зависящую от вещественного параметра t. Пусть r > 0 — фиксированное вещественное число, тогда при |t| достаточно близких к нулю, на
цикле
Γ = {z ∈ Cn: |qk(z)| = r, k = 1, . . . , n} (2.6.18.)
выполняются неравенства |qk(z)| > |tQk(z)|, k = 1, . . . , n.
Если теперь через z
(j)
(t) обозначить корни системы 2.6.17., а через
∆(t) — якобиан этой системы, то по теореме о логарифмическом вычете
2.2.2, имеем
N
j=1
φ(z
(j)
(t)) =
(2πi)
1
n
dF1∧ ··· ∧ dF
φ
Γ
F1···F
n
=
n
159
1
=
(2πi)
Раскладывая дробь q
n
Γ
1 +
1
φ
q
tQ
1 +
1
1
q
1
геометрической прогрессии, имеем
−1
∆(t) dz
tQ
1
q
1
···q
···q
1
1
1 +
1 +
tQ
q
.
tQ
n
q
n
−1
n
n
в ряд кратной
N
j=1
φ(z
(j)
(t)) =
1
(2πi)
n
φ · ∆(t)
Γ
∞
∥α∥=0
(−t)
∥α∥
q
α
Q
1
α1+1
1
1
···
Q
αn+1
q
n
α
1
n
dz =
(2.6.19.)
=
∞
∥α∥=0
(−t)
(2πi)
∥α∥
n
φ · ∆(t)
Γ
∞
∥α∥=0
q
α
Q
1
α1+1
1
1
···
Q
αn+1
q
n
α
1
n
dz.
Очевидно, что в области Cn\ {z : q1(z) ···qn(z) = 0 цикл Γ гомоло-
гичен сумме n! циклов
J
(−1)
s(J)
Γ
j1...j
,
n
суммирование распространяется на перестановки J = (j1, . . . , jn) из чисел 1, 2, . . . , n, а
Γ
j1...j
= {z : |zk− a
n
| = ε, k = 1, . . . , n}.
jkk
Теперь с учетом обозначений, входящих в формулировку теоремы,
N
по кратной формуле Коши получим
j=1
φ(z
(j)
(t)) =
=
J
=
(−1)
∞
∥α∥=0
s(J)
(−t)
∞
∥α∥=0
∥α∥
(−t)
(2πi)
J
∥α∥
n
Γ
s(J)
(−1)
β(α, J)!
j1...j
||β(α,J )||
∂
∂z
φ·∆(t)
n
β(α,J )
∥α∥=0
R∆(t)
∞
q
1j
q
Q
α1+1
α
Q
1
α1+1
1
α
1
1
1
1
···Q
···q
···
α
n
n
αn+1
nj
n
Q
αn+1
q
n
zk=a
α
1
n
(2.6.20.)
jkk
dz =
.
Отметим, что пока доказана справедливость формул (2.6.19.) и
(2.6.20.) лишь для достаточно малых |t|. Для того, чтобы доказать формулы (2.6.19.) и (2.6.20.) при любых t, достаточно проверить, что правая
160