Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
×M
P
Nβ1+β1+N
z
1
p
l
n+1
Jldet A
. . . z
k
a
ij
i,j
Nβn+βn+N
n
ij
.
Здесь
pl=
αjkj+ kl− 1,
j=k+1
j
kij= βi,
kij= αj,
i
M (как в §2.1) есть функционал, сопоставляющий полиному Лорана
Q(z)
q
1
z
1
. . . z
q
n
n
его свободный член, s = 1, 2, . . ..
В частности,
a1=
n
l=k+1
(−1)
n+l−1
νlM
P
kl−1
n+1
N
z
1
Jldet A
. . . z
N
n
.
Пример 2.7.5. Рассмотрим систему
2
b1z
− b−1z
1
2
b2z
− b−2z
2
b3z1− b−3z3= w,
b4z3− b−4z1= w,
z1+ z2+ z3= 1.
Соответствующая система (2.7.12.) есть
(b1+ b−1)z
2
− (b−1+ b2)z
1
b3z1− b−3z3= w,
b4z3− b−4z1= w,
z1+ z2+ z3= 1.
Так как deg P4= 1, то получим
(J3− J2) det A
a1= M
z1z2z
2
2
2
1
= u,
= u,
3
2
2
= 0,
,
181
J2= −2z2(b−1+ b2)(b4+ b−4) − 2z1b4(b1+ b−2),
J3= 2z2(b−1+ b2)(b3+ b−3) + 2z1b−3(b1+ b−2).
Вычисляя элементы матрицы A, имеем
2
b
(b4z3+ b−4z1)
a11= 0, a13=
b
a12=
−3
2
b
3
2
(b3z1+ b−3z3)
4
2
2
b
b
− b
3
4
a21= −1/(b2+ b−1),
2
(b
a22=
2
4
+ b
)(b1+ b−2)(b3z1+ b−3z3)
−4
(b2+ b−1)(b
2
3
b
b
2
4
2
−3
2
4
− b
2
b
−4
− b
2
−3
2
−3
,
2
b
−4
,
2
b
)
−4
Следовательно,
a1=
3
b
a31= 0, a32=
2
b
(b4z3+ b−4z1)
a33=
3
2
b
3
(b3z1+ b
−4
2
2
b
b
− b
3
4
2
4
− b
2
−3
b
b
2
−4
2
−3
−3z3)
2
b
−4
,
,
(b3z1+ b−3z3)(b4z3+ b−4z1)
det A =
(b1+ b−1)(b
2
2
4
− b
2
−3
b
b
3
2
−4
.
)
2(b3b4+ b−3b−4)(b−1+ b2)(b4+ b−4+ b3+ b−3)
2
2
2
(b−1+ b2)(b
b
− b
3
4
−3
2
b
)
−4
2(b3+ b4+ b−3+ b−4)
=
b3b4− b−3b
−4
.
=
Теоремы 2.7.1 и 2.7.3 приведены в [33].
182
2.8. Многомерные аналоги формул Ньютона
Соотношения между коэффициентами полинома и степенными суммами его корней в C даются рекуррентными формулами Ньютона (1.2.1.).
Доказательства этих формул может быть проведено с помощью формулы логарифмического вычета (см. §1.2). Для систем алгебраических
уравнений в Cnможно также получить соотношения между степенными суммами и коэффициентами полиномов [6]. Сначала мы рассмотрим
простые системы уравнений, как в §2.1, 2.2.
2.8.1. Рекуррентные формулы для простых систем уравнений
Пусть задана следующая система уравнений
k
f1= z
. . . . . . . . . . . . . (2.8.1.)
fn= z
1
+ Q1= 0,
1
k
n
+ Qn= 0,
n
где Q1, . . . , Qn— полиномы от z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn, а deg Qj< kj, j =
k
1, . . . , n. Таким образом, старшие однородные части fjравны z
j
.
j
Система (2.8.1.) невырожденна, а полиномы Qjимеют вид
Qj=
||α||<k
aα(j)zα,
j
где, как обычно,
α = (α1, . . . , αn), zα= z
Полагая aα(j) = 1, если α = (0, . . . , 0, k
α
1
1
, 0, . . . , 0) и aα(j) = 0 для
j
. . . z
α
n
.
n
j
других α с ||α|| = kj, мы можем записать
fj(z) =
||α||6k
aα(j)zα.
j
Выберем R так, чтобы для всех j = 1, . . . , n выполнялись неравен-
k
ства |zj|
j
> |Qj| на остове
ΓR= {z ∈ Cn: |zj| = R, j = 1, . . . , n}.
183
Тогда по теореме 2.2.3 все корни системы (2.8.1.) лежат в поликруге
DR= {z ∈ Cn: |zj| < R, j = 1, . . . , n}.
Обозначим через Sαвыражения
Sα=
1
(2πi)
n
Γ
R
zαJfdz
f1. . . f
, (2.8.2.)
n
где Jf— якобиан системы (2.8.1.). Если α = (α1, . . . , αn) имеет неотрицательные целые координаты, то по теореме 2.2.3 Sα— это степенные
суммы корней z
Sα=
системы (2.8.1.), так что
(j)
M
j=1
α
z
(j)
=
M
j=1
z
α
1
1(j)
. . . z
α
n
, M = k1. . . kn.
n(j)
Далее разрешим α принимать и отрицательные целые координаты.
Если сущетсвует элемент αj< 0, тогда выражение Sαбудем называть
псевдостепенной суммой.
Заметим, что если ||α|| < 0, то Sα= 0. Действительно, на остове Γ
имеем
1
=
f
j
1
k
j
z
+ Q
j
j
=
∞
s=0
(−1)
s
kj(s+1)
z
j
Q
s
j
и, следовательно,
Sα=
1
(2πi)
Jfzα(−1)
n
Γ
R
||β||>0
k1(β1+1)
z
1
||β||
Q
. . . z
β
1
. . . Q
1
kn(βn+1)
n
β
n
dz
n
.
R
Степень числителя в этом интеграле равна
||α|| + ||k|| − n + β1(k1− 1) + . . . + βn(kn− 1),
а степень знаменателя равна
k1(β1+ 1) + . . . + kn(βn+ 1).
Поэтому при ||α|| < 0 ряд Лорана, стоящий под знаком интеграла,
(z1. . . zn)−1и, следовательно, Sα= 0.
184
Если α = (0, . . . , 0), то
Sα= S
(0,...,0)
= k1. . . kn,
но если ||α|| = 0 с α = (0, . . . , 0), то Sα= 0, поскольку в этом случае
Sα=
1
(2πi)
n
Γ
R
zαJfdz
k
1
z
. . . z
1
,
k
n
n
а якобиан имеет вид
Jf= k1. . . knz
k1−1
1
. . . z
kn−1
n
+
β
cβz
β
а ||β|| < ||k|| − n.
Теорема 2.8.1 (Айзенберг–Кытманов). Для системы (2.8.1.) справедливы рекуррентные формулы (Ньютона)
S
k−β
+
||β||<||α1+...+αn||<||k||
1
a
(1) . . . a
α
n
α
(n)S
α1+...+αn−β
+
j
, . . . α
1
n
α
n
+
α1+...+αn=β
(k1. . . kn− ∆
α1...α
)a
α
1
(1) . . . a
где k = (k1, . . . , kn), 0 6 ||β|| < ||k||, αj= (α
ные мультииндексы, а
k
∆
α1...α
n
= det ||α
j
n
||
j,k=1
.
Если ||β|| < 0, то формула (2.8.3.) принимает вид
S
k−β
+
||α1+...+αn||<||k||
1
a
(1) . . . a
α
n
α
(n)S
α1+...+αn−β
Доказательство. Рассмотрим интеграл
J =
1
(2πi)
n
z−βP1. . . PnJfdz
Γ
R
P1. . . P
n
(n) = 0, (2.8.3.)
j
) — неотрицатель-
n
= 0. (2.8.4.)
.
185
С одной стороны,
1
=
1
(2πi)
J =
(2πi)
1
n
zβz1. . . z
Γ
R
n
∆
n
α1...α
Γ
R
n
a
0, если β содержит хотя бы одну отрицательную координату,
=
α1+...+αn=β
∆
α1...α
n
a
1
(1) . . . a
α
n
(n), если все βj> 0.
α
С другой стороны, по определению Sα,
J =
||α1+...+αn−β||>0
1
a
α
(1) . . . a
Если α1+ . . . + αn= β, то
J
f
dz =
β
z
1
(1) . . . a
α
n
α
(n)S
(n)z
α
n
α
α1+...αn−β
1
. . . z
α
n
dz =
.
S
α1+...+αn−β
= k1. . . kn,
но если ||α1+ . . . + αn|| = ||β|| с условием, что α1+ . . . + αn= β, то
S
α1+...+αn−β
= 0.
Пусть ||α1+. . .+αn|| 6 ||k||. Если ||α1+. . .+αn|| = ||k||, то ||αj|| = kj.
Поскольку коэффициенты удовлетворяют условию
1, если αj= kjej,
j
a
(j) =
α
0, если αj= kjej,
то видно, что
J = S
k−β
+
||β||<||α1+...+αn||<||k||
1
a
(1) . . . a
α
α
n
(n)S
α1+...+αn−β
+
+k1. . . k
n
α1+...+αn=β
1
a
(1) . . . a
α
α
n
(n).
Отсюда следует формула (2.8.3.). Формула (2.8.4.) доказывается аналогично.
186
Приведем еще один вид формулы (2.8.3.). Положим γ = k −β. Тогда
из (2.8.3.) получим
n
Sγ+
j=1
kj−||γ||<||αj||<k
j
a
(j)S
α
j
γ+αj−kje
+ . . . +
j
j1<...<j
×
l
×
j
s
||α
||<k
j
s
||α
j
1
+...+α
j
l
||>k
+...+k
j
1
−||γ||
j
l
j
a
1
α
(j1) . . . a
j
α
(jl)S
l
γ+α
j
1
+...+α
j
l
−k
e
−...−k
j
j
1
1
+
e
j
j
l
l
+ . . . +
α1+...+αn=k−γ
(k1. . . kn− ∆
α1...α
n
1
)a
(1) . . . a
α
n
(n) = 0. (2.8.5.)
α
По формулам (2.8.5.) более легко вычислять степенные суммы для
небольших норм γ. Найдем, например, Sγ, если ||γ|| = 1. В этом случае
только первый и последний члены остаются в (2.8.5.), и мы получим
Sγ= −
(k1. . . kn− ∆
α1+...+αn=k−γ
α1...α
n
)a
Предположим, что γ = (−β1, −β2, . . . , β
1
(1) . . . a
α
, . . . , −βn), а kj> βs>
j+1
n
(n). (2.8.6.)
α
0, s = 1, . . . , n. Тогда
k − γ = (k1+ β1, . . . , k
j−1
+ β
, kj− βj, . . . , kn+ βn),
j−1
и так как ||k − γ|| = ||k|| − 1, то получим что формула (2.8.6.) состоит только из одного члена такого, что αs= ksesпри s = j, а
αj= (β1, . . . , kj− βj, . . . , βn).
Если γ содержит две или больше положительных координаты, то
Sγ= 0, поэтому
Sγ= −k1. . . k
j−1βjkj+1
. . . kna
j
(j). (2.8.7.)
α
Итак, существует лишь конечное множество ненулевых Sγс ||γ|| = 1.
Рассматривая Sγс фиксированной ||γ||, получаем из (2.8.5.) по индукции, что число ненулевых Sγ— конечно. Следовательно, формулы
187
(2.8.5.) действительно рекуррентные. Они позволяют находить степенные суммы Sγс нормой ||γ|| в терминах степенных сумм с меньшей
нормой ||γ||.
Формула (2.8.7.) показывает, что псевдостепенные суммы могут быть
отличны от 0.
В статье [6] рассмотрены также более общие формулы, чем (2.8.3.)
и (2.8.4.).
2.8.2. Псевдостепенные суммы
Используя формулы (2.8.3.) и (2.8.4.), можно вычислять степенные и
псевдостепенные суммы Sαкорней системы (2.8.1.). Ясно, что при n = 1
формулы Ньютона (1.2.1.) позволяют также вычислять коэффициенты полинома, зная степенные суммы. При n > 1 необходимо знать не
только степенные суммы, но также и псевдостепенные суммы, для того
чтобы найти коэффициенты системы (2.8.1.).
Теорема 2.8.2 (Айзенберг-Кытманов). Пусть Sαобозначают сте-
пенные и псевдостепенные суммы системы (2.8.1.), ||α|| 6 maxjkj. То-
гда коэффициенты полиномов Qjопределяются единственным образом
из формул (2.8.3.) и (2.8.4.).
Доказательство. Запишем полиномы Qjв виде
kj−1
Qj=
где
Q
j,s
=
||α||=s
Из формулы (2.8.7.) следует, что коэффициенты aα(j) полиномов Q
Q
s=0
aα(j)zα.
j,s
,
j,kj−1
равны
aα(j) = Sγ/(k1. . . k
j−1(kj
− αj)k
j+1
. . . kn),
где γ = (−α1, . . . , −α
, kj− αj, . . . , −αn), ||γ|| = 1.
j−1
188
Рассмотрим сейчас полиномы Q
j,kj−2
. Если в формуле (2.8.3.) взять
β с ||β|| = ||k|| −2, тогда первая сумма содержит известные коэффици-
енты полиномов Q
коэффициенты Q
j,kj−1
j,kj−1
и степенные суммы Sγ. Вторая сумма содержит
и только один коэффициент полинома Q
j,kj−2
Действительно, если найдены aα(j) с ||α|| = kj− 2, тогда можно взять
в (2.8.3.)
β = (k1+ α1, . . . , k
j−1
+ α
, αj. . . , kn+ αn), ||β|| = ||k|| − 2.
j−1
Заметим, что коэффициенты aα(j) не равны нулю, так как
k1. . . kn> ∆
α1...α
n
.
Наконец, можно определить коэффициенты оставшихся полиномов
Q
, для этого достаточно знать суммы Sαс ||α|| 6 maxjkj.
j,s
Нельзя построить Qjтолько из степенных сумм Sα, α > 0. Например, если k1> k2, то складывая второе уравнение с первым, получаем
систему, которая имеет те же самые корни, следовательно, те же самые
степенные суммы и еще вид (2.8.1.). Из этого и теоремы 2.8.2 можно заключить, псевдостепенные суммы Sαне являются, в общем, функциями
.
корней. Но иногда это так.
Пример 2.8.1. Рассмотрим систему
2
z
+ a1z1+ b1z2+ c1= 0,
1
2
z
+ a2z1+ b2z2+ c2= 0.
2
Пусть Sα— это степенные суммы ее корней. Нам нужно найти коэффициенты aj, bj, cj, j = 1, 2. Рассматривая сначала β с ||β|| = 3,
получаем вид (2.8.3.):
a1= −
1
S
2
, a2= −
(1,0)
1
4
S
(−1,2)
, b1= −
1
4
S
(2,−1)
, b2= −
1
S
.
(0,1)
2
Затем возьмем β с ||β|| = 2, тогда получим
c1=
c2=
1
2
S
(1,0)
8
1
2
S
(0,1)
8
−
−
1
S
(2,0)
4
1
S
(0,2)
4
+
+
1
S
(0,1)S(2,−1)
16
1
S
(−1,2)S(1,0)
16
,
,
189
а также уравнение
3
S
(2,−1)S(−1,2)
16
Остается определить S
(2,−1)
= S
и S
(1,1)
(−1,2)
3
+
S
(1,0)S(0,1)
4
. (2.8.8.)
. Из (2.8.3.) с ||β|| = 1 получим
уравнения
S
(2,1)
−
S
(2,−1)S(0,2)
4
1
1
S
(1,2)
−
S
(2,0)S(−1,2)
4
Следовательно, можно найти S
−
1
S
(2,0)S(0,1)
4
+
1
−
4
1
+
8
1
2
S
(1,0)
8
S
(0,2)S(1,0)
2
S
S
(0,1)
(−1,2)
+
S
(1,0)
и S
1
16
(0,1)
−
−
2
S
(0,1)
S
(2,−1)
+
1
−
S
(1,1)S(1,0)
2
= 0
1
S
(1,1)S(0,1)
2
1
2
S
(−1,2)
16
, которые являются ра-
(2,−1)
S
+
(1,0)
= 0.
циональными функциями корней. Уравнение (2.8.8.) дает связь между
Sα. Поэтому имеем
a1= −
a2=
b1=
S
(1,0)
2
2S
(0,2)S(1,0)
2S
(2,0)S(0,1)
,
+ 4S
+ 4S
(1,1)S(0,1)
8S
(2,0)
(1,1)S(1,0)
2
2S
(0,1)
− S
− 2S
− S
− 8S
2
(0,1)
2
(1,0)
2
(1,0)
(0,2)
S
S
(1,0)
(0,1)
− 8S
− 8S
(1,2)
,
(2,1)
,
1
1
b2= −
c1=
c2=
S
(0,1)
2
2S
(2,0)S(0,2)
2S
(2,0)S(0,2)
,
− 2S
− 2S
(2,1)S0,1)
2
2S
(0,1)
(1,0)S1,2)
2
2S
(0,1)
+ S
(1,1)S(1,0)S(0,1)
− 8S
(0,2)
+ S
(1,1)S(0,1)S(1,0)
− 8S
(0,2)
− S
− S
2
(1,0)
2
(0,1)
S
S
(0,2)
,
(0,2)
.
Итак видим, что некоторые псевдостепенные суммы из (2.8.3.) можно
найти в терминах степенных сумм, а некоторые нет.
190