Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Лемма 3.3.1. При сделанных предположениях для функций fjвида
(3.3.1.) справедливы формулы
α1+...+αn=δ
1
a
. . . a
1
α
Jδ=
0, иначе.
Доказательство. Поскольку
α1a
.
.
.
α1a
∆f=
∥α∥>0
∥α∥>0
=
=
=
1
z1. . . z
1
z1. . . z
1
z1. . . z
n
n
∥α1∥>0
n
∥α1∥>0
∥αn∥>0
∥α1∥>0
α
α
. . .
∥αn∥>0
. . .
n
n
α
∂f
∂z
1
z
α
z
1
n
z
α
z
1
1
1
a
1
1
α
.
.
.
n
n
a
n
1
α
∥αn∥>0
j
k
α
α
∆
z
z
α1...α
=
. . .
.
. . .
1
α
n
α
α
n
α
1
1
a
α
n
, если α1+ . . . + αn= δ
j
∥α∥>0
.
.
. . .
.
.
. . .
1
1
a
1
1
α
.
.
.
n
a
n
α
. . . a
1
αka
∥α∥>0
∥α∥>0
.
1
α
z
n
α
z
n
α
z
α
z
k
αna
.
.
.
αna
∥α1∥>0
∥αn∥>0
. . . α
.
.
. . . α
1
α
z
n
α
, получаем
1
α
z
α
z
n
z
n
α
α
.
. . . z
=
n
α
z
α
1
1
α
a
z
1
n
α
.
.
.
n
n
α
a
z
n
n
α
1
1
a
z
1
n
α
.
.
.
n
n
a
z
n
n
α
n
α
∆
α1...α
1
=
n
1
α
=
n
α
n
.
Таким образом,
Jδ=
1
(2πi)
n
γ(r)
∆f· dz
δ
z
=
∥α1∥>0
. . .
∥αn∥>0
∆
1
a
. . . a
1
α
n
α
α1...α
n
(2πi)
n
n
γ(r)
α1+...+α
z
z
n
dz
δ+I
и, вычисляя последний интеграл, получаем утверждение леммы. 2
241
Теперь заметим, что
1
Jδ=
(2πi)
=
=
1
(2πi)
1
(2πi)
n
∥α1∥>0
n
∥α1∥>0
. . .
∥αn∥>0
. . .
∥αn∥>0
Обозначим вычетный интеграл
σδ=
(2πi)
n
f1. . . fn· df
zδ· f1. . . f
γ(r)
1
a
. . . a
1
α
1
a
. . . a
1
α
1
n
γ(r)
=
n
α
1
n
n
α
z
γ(r)
. . . z
δ
z
α
n
df
·
=
f
n
n
α
1
δ
z
γ(r)
df
·
z
.
f
1
δ−α1−...−α
df
·
n
.
f
Лемма 3.3.2. Если ∥δ∥ < 0, то σδ= 0.
Доказательство. Возьмем r такое, что |z|
∞
1
=
f
z
j
1
j
β
+ Qj(z)
=
(−1)
s=0
Таким образом,
1
=
df
δ
z
f
∆fdz
δ
z
=
∥α∥>0
zδ(z
1
β
(−1)
∆fdz
+ Q1) . . . (z
∥α∥
Q
(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
Получаем
σδ=
1
(2πi)
n
∥α∥>0
γ(r)
(−1)
∥α∥
z
∆fdz
δ
(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
j
β
> |Qj(z)| на γ(r). Тогда
s
.
j
=
α
n
n
.
n
α
n
n
. (3.3.3.)
n
β
α
1
1
Q
(Qj(z))
s
(s+1)β
z
n
+ Qn)
. . . Q
α
1
. . . Q
1
242
Покажем, что в этой сумме все слагаемые равны нулю. Для этого подсчитаем степени мономов, входящих в числитель и знаменатель. Имеем
deg ∆f> max{∥β1∥ + . . . + ∥βn∥ − n, 0} = max{k1+ . . . + kn− n, 0}.
Для степеней мономов, входящих в Qα, имеем
deg Qα> α1(1 + ∥β1∥) + . . . + αn(1 + ∥βn∥) = α1(1 + k1) + . . . + αn(1 + kn),
поэтому степень числителя не меньше, чем
max{k1+ . . . + kn− n, 0} + α1(1 + k1) + . . . + αn(1 + kn).
Но степень знаменателя равна
∥δ∥ + (α1+ 1)k1+ . . . + (αn+ 1)kn.
Теперь нетрудно увидеть, что степень deg (числителя) + n >
deg (знаменателя). Действительно,
max{k1+ . . . + kn, n}+ α1(1 + k1) + . . . + αn(1 + kn) >
> ∥δ∥ + (α1+ 1)k1+ . . . + (αn+ 1)kn,
max{k1+ . . . + kn, n}+ α1+ . . . + αn> ∥δ∥ + k1+ . . . + kn,
α1+ . . . + αn> 0 > ∥δ∥.
Поэтому все слагаемые в σδравны нулю. 2
Рассмотрим теперь случай, когда ∥δ∥ = 0. Введем обозначение
∆β=
1
β
. . . β
1
.
.
.
.
n
1
.
.
. . . β
β
1
n
.
.
.
.
n
n
Лемма 3.3.3. Если ∥δ∥ = 0, то
0, если ∥δ∥ = 0 и δ = (0, . . . , 0)
σδ=
∆β, если δ = (0, . . . , 0).
243
Доказательство. Если ∥δ∥ = 0, то доказательство леммы 3.3.2 пока-
зывает, что отличными о нуля могут быть слагаемые в σδ, для которых
∥α∥ 6 min{0, k1+ . . . + kn− n}, т.е. только при α = 0 интеграл
σδ=
1
(2πi)
n
γ(r)
∆fdz
δ+β1+...+β
z
n
может быть не равным нулю. Поскольку моном наименьшей степени в
∆fравен
1
z1. . . z
n
1
1
β
β
z
1
.
.
.
n
β
z
1
β
n
. . . β
.
.
. . . β
1
n
.
n
n
1
β
z
.
.
.
n
β
z
=
β1+...+β
z
z1. . . z
n
∆β,
n
то, снова применив рассуждения из леммы 3.3.2, получим
0, если ∥δ∥ = 0 и δ = (0, . . . , 0)
=
δ
∆β, если δ = (0, . . . , 0).
σδ=
1
(2πi)
n
∆βdz
z1. . . znz
γ(r)
Введем обозначение
j
J
=
δ
1
(2πi)
n
zδf
γ(r)
j+1
df
· . . . · f
=
(2πi)
n
Заметим, что в сделанных обозначениях σδ= J
1
n
f1· . . . · fjdf
zδf1· . . . · f
γ(r)
n
0
, а Jδ= J
δ
, j = 0, . . . , n.
.
n
.
δ
Лемма 3.3.4. Для любого j, 1 6 j 6 n справедлива формула
J
j
= M
δ
∥α1∥>0
. . .
∥αn∥>0
1
a
1
α
. . . a
n
∆
n
α
α1...α
n
×
p
j+1
n
Q
j+1
. . . Q
p
n
n
,
n
×
p
+...+pn6∥δ∥+n−k1−...−k
j+1
j
δ+I+β
z
(−1)
j+1
p
+...+p
j+1
(p
+1)+...+βn(pn+1)−α1−...−α
j+1
где M — линейный функционал, сопоставляющий полиному Лорана его
свободный член.
244
Доказательство. Используя вычисления леммы 3.3.1, имеем
j
J
=
δ
1
(2πi)
n
γ(r)
zδf
j+1
df
. . . f
=
n
=
∥α1∥>0
. . .
a
∥αn∥>0
Теперь, взяв r такое, что |z|
γ(r)
=
p
j+1
∞
=0
. . .
∞
pn=0
(−1)
p
j+1
+...+p
α1...α
n
dz
. . . f
z
n
n
γ(r)
=
n
α1+...+α
j+1
+...+β
1
. . . a
1
α
j
β
> |Qj(z)| на γ(r), получим что
z
δ+I
z
∆
n
n
α
(2πi)
α1+...+α
f
j+1
n
δ+I+β
z
γ(r)
α1+...+α
z
δ+I
z
n
p
Q
j+1
n
z
f
j+1
β
j+1
. . . Q
j+1
n
. . . f
p
j+1
dz
p
n
. . . z
.
n
n
dz
.
βnp
n
Покажем, что в этом выражении все суммы конечны. Для этого подсчитаем степени числителя и знаменателя подынтегрального выражения.
Заметим, что степень числителя не меньше, чем
∥α1+ . . . + αn∥ + (k
j+1
+ 1)p
+ . . . + (kn+ 1)pn,
j+1
а степень знаменателя равна
∥δ∥ + k
j+1(pj+1
+ 1) + . . . + kn(pn+ 1) + n.
Учитывая, что ∥αj∥ > kj− 1, получаем
deg (числителя) + n − deg (знаменателя) >
> ∥α1+ . . . + αn∥ + p
> p
+ . . . + pn+ k1+ . . . + kj− n − ∥δ∥.
j+1
+ . . . + pn− k
j+1
− . . . − kn− ∥δ∥ >
j+1
Заметим, что интеграл может быть неравен нулю только в случае, когда
последнее выражение неположительно, т.е. когда
p
+ . . . + pn6 ∥δ∥ + n − k1− . . . − kj.
j+1
245
Отсюда
×
j
J
δ
p
=
∥α1∥>0
+...+pn6∥δ∥+n−k1−...−k
j+1
z
×
γ(r)
δ+I+β
z
. . .
∥αn∥>0
α1+...+α
j+1
+...+β
α1...α
+...+p
dz
βnp
n
×
n
n
×
.
n
p
n
α
j+1
∆
n
(2πi)
p
j+1
p
n
n
. . . z
1
a
. . . a
1
α
(−1)
j
n
p
j+1
Q
n
j+1
β
z
. . . Q
j+1
2
3.3.2. Аналоги формул Ньютона
Сформулируем основные результаты этого параграфа [30].
Теорема 3.3.1. Для системы уравнений (3.1.3.), где функции fj(z)
определены равенствами (3.1.1.), справедливы следующие рекуррентные формулы Ньютона:
σ
δ−β1−...−β
j
+
k1+...+kj<∥α1+...+αj∥<∥δ∥
1
a
1
α
. . . a
j
σ
j
δ−α1−...−α
α
j
+
+
δ=α1+...+α
×
p
j+1
. . . a
j
∆β= M
j
α
1
a
1
α
j
+...+pn6∥δ∥+n−k1−...−k
j
δ+I+β
z
∥α1∥>0
(−1)
j+1
. . .
∥αn∥>0
p
+...+p
j+1
(p
+1)+...+βn(pn+1)−α1−...−α
j+1
1
a
. . . a
1
α
p
j+1
n
Q
j+1
. . . Q
n
∆
n
α
p
n
n
α1...α
n
n
×
(3.3.4.)
,
где (напомним) M — линейный функционал, сопоставляющий полиному Лорана его свободный член.
Доказательство. Пользуясь леммой 3.3.2 и леммой 3.3.3, получаем
j
J
=
δ
1
(2πi)
n
zδf
γ(r)
j+1
df
. . . f
=
(2πi)
n
1
n
f1. . . fjdf
zδf1. . . f
γ(r)
=
n
246
=
=
(2πi)
=
=
+
δ=α1+...+α
1
a
. . . a
1
α
j
=
∥α1+...+αj∥=k1+...+k
+
k1+...+kj<∥α1+...+αj∥<∥δ∥
1
(2πi)
1
n
n
α1,...,αj>0
α1,...,αj>0
γ(r)
∥δ−α1−...−αj∥>0
∥δ−α1−...−αj∥>0
j
∆β=
j
α
k1+...+kj6∥α1+...+αj∥<∥δ∥
+
δ=α1+...+α
1
a
. . . a
1
α
a
1
. . . a
1
α
1
a
1
α
1
a
1
α
1
a
α
j
a
j
j
σ
j
δ−α1−...−α
α
1
a
1
α
j
α
. . . a
. . . a
. . . a
1
1
. . . a
1
α
α
z
zδf
j
γ(r)
j
α
j
α
1
σ
j
j
j
α
j
. . . a
σ
j
j
α
j
α
δ−α1−...−α
z
δ−α1−...−α
δ−α1−...−α
∆β=
σ
j
δ−α1−...−α
j
+
δ=α1+...+α
z
df
a
j
α
1
α
df
j
j
. . . a
1
=
+
=
=
j
f
j
σ
j
δ−α1−...−α
α
j
+
1
a
. . . a
1
α
j
j
α
∆β.
j
j
+
Заметим, что в сумме
∥α1+...+αj∥=k1+...+k
1
a
1
α
j
. . . a
j
σ
j
δ−α1−...−α
α
j
останется всего одно ненулевое слагаемое, соответствующее мономам с
i
наименьшими степенями в fi(z), а именно z
σ
δ−β1−...−β
получаем, что
+
k1+...+kj<∥α1+...+αj∥<∥δ∥
j
, поскольку коэффициенты при z
1
(2πi)
n
1
a
α
γ(r)
. . . a
1
∆fdz
δ
z
j
σ
j
α
= σ
δ−α1−...−α
β
, и получим, что оно равно
i
β
равны 1. Таким образом,
δ−β1−...−β
j
+
j
+
δ=α1+...+α
. . . a
j
α
∆β.
j
1
a
1
α
j
247
Теперь, применяя лемму (3.3.4), получаем утверждение теоремы. 2
Пользуясь леммой 3.3.1, при j = n получаем
Следствие 3.3.1. Для системы уравнений (3.1.3.), где функции
fj(z) определены равенством (3.1.1.), справедливы следующие рекуррентные формулы Ньютона:
σ
δ−β1−...−β
n
+
k1+...+kn<∥α1+...+αn∥<∥δ∥
+
δ=α1+...+α
1
a
1
α
n
. . . a
n
(∆β− ∆
n
α
1
a
1
α
. . . a
α1...α
n
σ
n
δ−α1−...−α
α
n
) = 0. (3.3.5.)
n
+
Если функции fj(z) имеют вид fj(z) = 1 + Qj(z), j = 1, 2, . . . , n,
где Qj(z) определены равенствами (1.6.3.), то для них формула (3.3.5.)
запишется в виде σδ+
+
0<∥α1+...+αn∥<∥δ∥
1
a
1
α
. . . a
n
σ
n
δ−α1−...−α
α
n
−
δ=α1+...+α
1
a
1
α
n
. . . a
n
∆
n
α
α1...α
n
= 0.
(3.3.6.)
При n = 1 эта формула совпадает с формулой (1.2.7.) из гл. 1.
Приведем еще один вид формулы (3.3.5.). Если обозначить δ −β1−
. . . − βnчерез γ, то из (3.3.5.) нетрудно получить, что
n
×σ
γ+β
j
1
+...+β
+
j1<...<j
j
l
−α
σγ+
l
∥α
j
1
−...−α
j=1
j
1
+...+α
j
l
+
kj<∥αj∥<∥γ∥+k
j
a
j
α
j
j
s
∥α
∥>k
j
s
j
l
∥<∥γ∥+k
+...+k
j
1
α1+...+αn=γ+β1+...+β
σ
γ+βj−α
a
j
l
a
n
j
1
j
α
1
α
j
. . . a
1
. . . a
1
+ . . . +
j
l
× (3.3.7.)
j
l
α
n
(∆β−∆
n
α
α1...α
n
) = 0.
По формуле (3.3.7.) легче вычислять выражения σγс небольшими нормами γ.
248
Например, найдем σγ, если ∥γ∥ = 1. В этом случае в формуле остается лишь первое слагаемое и последняя сумма
σγ= −
α1+...+αn=γ+β1+...+β
Пусть γ = (−γ1, . . . , −γ
j−1
, γj, −γ
1
a
1
α
n
j+1
n
. . . a
(∆β− ∆
n
α
α1...α
, . . . , −γn), где γk> 0,
n
) (3.3.8.)
k = 1, . . . , n. Так как ∥γ+β1+. . .+βn∥ = 1+k1+. . .+kn, то мы получим,
что в (3.3.8.) сумма состоит из одного слагаемого
j
∆
j
α
, (3.3.9.)
β,γ,j
где определитель ∆
σγ= a
получен из ∆βзаменой столбца с номером j на
β,γ,j
столбец
(γ1. . . γn)T.
Все остальные σγс ∥γ∥ = 1 равны нулю. Таким образом, число сумм
с ∥γ∥ = 1 конечно. Рассматривая теперь σγс фиксированной ∥γ∥, мы
из (3.3.5.) по индукции получим, что число таких сумм σγ, отличных от
нуля, конечно. Следовательно формулы (3.3.4.) действительно являются рекуррентными. Они позволяют по интегралам σγс меньшей нормой
γ определять вычетные интегралы с любым мультииндексом γ.
Предложение 3.3.1. Пусть даны все σδсистемы (3.1.1.), тогда
коэффициенты этой системы определяются однозначно с помощью
формулы (3.3.5.).
Доказательство. Представим Qjв виде
∞
Qj=
s=kj+1
где
Q
=
j,s
∥α∥=s
Из (3.3.9.) следует, что коэффициенты a
j
a
=
α
∆
a
σ
γ
β,α,j
Q
j
α
,
j,s
zα,
j
многочленов Q
α
,
j,kj+1
равны
249
где γ = α − βj, ∥γ∥ = 1.
Рассмотрим многочлены Q
j,kj+2
. В формуле (3.3.5.) возьмем δ с ∥δ∥ =
k1+. . .+kn+2, тогда в первую сумму будут входить лишь уже известные
коэффициенты полиноиов Q
коэффициенты Q
Q
j,kj+2
. Действительно, пусть нам нужно определить a
j,kj+1
и лишь один коэффициент одного из полиномов
j,kj+1
и σγ. Во вторую сумму будут входить
j
и ∥α∥ = kj+ 2,
α
тогда мы берем в (3.3.5.)
δ = α + β1+ . . . + β
причем коэффициент a
j−1
j
α
j+1
+ β
+ . . . + βn, ∥δ∥ = k1+ . . . + kn+ 2,
отличен от нуля, так как ∆β> ∆
α1...α
n
.
Далее, таким же образом определяются коэффициенты остальных
многочленов Q
. 2
j,s
Приведем еще один аналог формул Ньютона, связывающих между
собой J
j
.
δ
Теорема 3.3.2. Для системы (3.1.1.) справедливы формулы, 1 6
j 6 n,
j
J
+
δ
∥α∥>0
a
j+1
α
j
J
δ−α+β
j+1
+ . . . +
∥α∥>0
a
n
J
α
n−1
δ−α+β
j+1
+...+β
=
n
=
α1+...+αn=δ+β
j+1
1
a
α
n
+...+β
0, иначе.
1
. . . a
n
∆
n
α
α1...α
n
, α1+ . . . + αn= δ + β
Доказательство. Проинтегрировав обе части равенства
1
=
f
j+1
. . . f
z
n
будем иметь (2πi)nJ
df
=
γ(r)
z
δ+β
j+1
+...+β
β
j+1
n
j
δ
−
1
. . . z
=
γ(r)
Q
j+1
f
j+1
j+1
. . . f
− . . . −
n
j+1
β
z
−
n
β
β
z
Q
df
z
δ+β
j+1
j+1
f
j+1
. . . f
− . . . −
n
γ(r)
z
δ+β
Учитывая разложения (3.1.2.), получаем
j
J
= J
δ
δ+β
j+1
+...+β
n
−
∥α∥>0
a
j+1
α
j
J
δ−α+β
j+1
− . . . −
∥α∥>0
n
a
J
α
j+1
+ . . . + β
Q
. . . z
Qndf
j+1
n−1
δ−α+β
n
n
β
+...+β
j+1
n
,
f
n
n
f
+...+β
.
n
n
250