3.4.4. Нахождение сумм двойных рядов

(теорема 3.4.2). В силу того, что сумма этих рядов не зависит от порядка интегрирования, их сходимость абсолютная. 2

Пример 3.4.1. Рассмотрим систему уравнений от двух комплексных переменных



f1(z1, z2) = 1 + a1z1= 0,

(3.4.20.)

f2(z1, z2) = z1+ a2z2= 0.

Здесь функции удовлетворяют условиям теоремы 3.3.1 и 3.3.2, поэтому



Jβ=

1

(2πi)

2

γ(r)

β1+1

z

1

z

β2+1

2

df1∧ df

·

f1· f

2

=

2



=

β1! · β2!

=

(2πi)

a1b

β1!

(−1)

=

(−1)

1

2

γ(r)

β1+β

2

∂

·

β

1

∂z

1



β

1

∂

2

·

β

1

∂z

1

2

a1a

β2+1

2

β

β1!

2

a1a

β2+1

2

β

1

z

∂z

1

β1+1

β2+1

z

2



2

β

2

(1 + a1z1)(z1+ a2z2)

2

1

(1 + a1z1)

β1+β2+1

∂

·

β1+β2+1

∂z

1

β1+β2+1

(−1)

·

a1a2dz1∧ dz

(1 + a1z1)(z1+ a2z2)



1



β

2

β

(−1)

·

(z1+ a2z2)

2

a

2

β2+1





1

(1 + a1z1)

(β1+ β2+ 1)!a

β1+β2+1

1

2

   

z1=z2=0

    

z1=z2=0

   

z1=0

=

(β1+ β2+ 1)!

= (−1)

β1+1

β1+β2+2

a

1

β2+1

a

2

.

1

Корень системы (3.4.20.) равен z1= − пенная сумма

σ

β+I

= (−1)

β1+1

β1+β2+2

a

1

, z2=

a

1

a

β2+1

2

a1a

,

т.е.

Jβ= σ

β+I

.

В частности, в случае β1= β2= 0 по теореме 3.3.2 имеем

J

(0,0)

= −a

2 1

a2.

271

1

. Поэтому сте-

2

σ

(1,1)

= −a

2 1

a2.

Но по теореме 3.4.1 получаем α16 1, α26 2

=



α

M

(−1)



a1a2· (1 + a1z1)

β1+(α2+1)

z

1



α1+α

2

a1a2· (1 + a1z1)

M

= −a

2

a2+ a

1

J

(0,0)

α

1

· (z1+ a2z2)

· z

β1+(α2+1)

z

1

2

a2− a

1

= −a

2 1

a2.

β

2

α

1

· (z1+ a2z2)

· z

2

a2.

1



α

2

=



α

2

β

2

=

Пример 3.4.2. Рассмотрим систему уравнений от двух комплексных переменных



f1(z1, z2) = 1 + a1z1− a2z2= 0,

(3.4.21.)

f2(z1, z2) = 1 − b1z1+ b2z2= 0,

причем ее якобиан отличен от нуля. Вычислим интегралы по теореме

3.4.1:

Jβ=

(2πi)



1

2

γ(r)

β1+1

z

1

z

β2+1

2

df1∧ df

·

f1· f

2

=

2



=

β1! · β2!

+

β1! · β2!

=

β1!

=

(2πi)

∆

β1! · β2!

∆

·

∂z

1

2

γ(r)

β1+β

∂

·

β

1

∂z

1

β1+β

∂

·

β

1

∂z

1

β1+β

∂

·

β

1

∂z

1



β

1

∂

β

1

(a2+ b2)(1 +

1

z

∂z

1

β1+1

β2+1

z

2



2

β

2

(1 + a1z1− a2z2)(1 − b1z1+ b2z2)

2



2

β

2

(a2+ b2)(1 +

2



2

β

2

(a2+ b2)(1 +

2

·

∆dz1∧ dz

2

=

(1 + a1z1− a2z2)(1 − b1z1+ b2z2)





β2+1

  

z1=z2=0





   

z1=z2=0





   

z1=z2=0





   

z1=z2=0

=

+

=

+

1

a

2

∆

z1)(1 + a1z1− a2z2)

a2+b

2

b

2

∆

z1)(1 − b1z1+ b2z2)

a2+b

2

1

2

z1)

·

(1 + a1z1− a2z2)

∆

a2+b

a

β2+1

2

272





   

z1=z2=0

+

∆

β1!



β

1

∂

·

β

1

∂z

1

(a2+ b2)(1 +

1

2

·

z1)

∆

a2+b

(−1)

(1 − b1z1+ b2z2)

β2+1

β

2

b

2

β2+1

где ∆ — это якобиан ∆ = a1b2− a2b1системы (3.4.21.).

Применяя формулу Лейбница дифференцирования произведения двух функций, получаем

β

1



s!(β1− s)!

s=0

β1!

×

Jβ=

β2+1

a

∆

2

(a2+ b2)β1!

,







2

s

    

z1=0

    

z1=0

s

β1−s

· a

1

· (−b1)

a1+ b

∆

+

=

+

β1−s

.

1

. Если он



×



×

(−1)

=

(a2+ b2)β2!

(−1)

+

(a2+ b2)β2!

s

∂

s

∂z

1

s

∂

s

∂z

1

β1+β



1

1 +

∆

a2+b

(−1)

+

(a2+ b2)β1!



1

· b

a2+b

· a

β2+1

2

∆

β2+1

2

1 +

β

1

∆

2

∆



∂

·

z

2

β

1

2

b

∂z

β2+1

2



∂

·

z

2

β

1



s=0

∂z

1

β

1



(β1+ β2− s)!

s=0

(β1+ β2− s)!

(β1− s)!

β1−s

1

β

1



∆

s=0

β1−s

1

(β1− s)!

Корень системы (3.4.21.) равен z1= −



(1 + a1z1)

β1!

s!(β1− s)!



(1 − b1z1)



·



·

a2+ b

2

∆

1

β2+1

×

1

β2+1

∆

a2+ b

∆

2

, z2= −

не лежит на координатных плоскостях, то a1+ b1= 0, a2+ b2= 0, а степенная сумма имеет вид

σ

β+I

=

В частности,

σ

(β1+1,1)

β1+β

(−1)

(a1+ b1)

2

β2+1

(−1)β· ∆

=

(a1+ b1)(a2+ b2)

273

β1+β2+2

· ∆ (a2+ b2)

β+2

β1+1

β+1

.

Теперь при условии β1= β2= 0 получаем

J

(0,0)

σ

= σ

(1,1)

J

=

(a1+ b1)(a2+ b2)

+ ∆ ·

= ∆, (3.4.22.)

(0,0)

2

∆

,



a1+ b

b

1

+

a2+ b

1



a

2

. (3.4.23.)

2

Замечание 3.4.1. В статье [37] рассмотрена более общая, чем (3.4.1.), система уравнений для функций f1(z), f2(z), . . . , fn(z), голо- морфных в окрестности точки 0 ∈ Cn, z = (z1, z2, . . . , zn) и имеющих следующий вид

i

где βi= (β

fi(z) = (z

i

, β

, . . . , β

1

2

β

+ ψi(z))e

i

) — мультииндекс с целыми неотрицательными

n

Pi(z)

, i = 1, 2, . . . , n, (3.4.24.)

координатами, Pj(z) — функции, голоморфные в окрестности точки 0, j = 1, . . . , n,

степени мономов z

∥βi∥ = β

i

β

удовлетворяют условию ki6 deg ψi(z);

i

1

+ β

i

+ . . . + β

2

i

= ki,

n

i = 1, 2, . . . , n, и данные мономы не содержатся в ψi(z).

Приводятся формулы для нахождения вычетных интегралов и вычисление степенных сумм. Но они имеют вид более сложный, чем для рассматриваемых в этом параграфе систем.

3.4.4. Нахождение сумм двойных рядов

Рассмотрим систему уравнений

 



f1(z1, z2) =







f2(z1, z2) =

sin√a1z1− a2z

√

a1z1− a2z

2

sin√−b1z1+ b2z

−b1z1+ b2z

2



∞



2

=

k=1

∞



2

=

s=1

1 −



1 −

a1z1− a2z

k2π

−b1z1+ b2z s2π



2

= 0,



2

= 0.

(3.4.25.)

274

Каждая из функций этой системы разлагается в бесконечное произведение функций из системы (3.4.21.). Корнями системы (3.4.25.) являются точки



π2(a2s2+ b2k2)



π2(a1s2+ b1k2)

,

a1b2− a2b

1

a1b2− a2b

1

при условии, что a1b2= a2b1, и k, s ∈ N. Поэтому степенная сумма σ равна сумме ряда

∞



σ

(1,1)

=

k,s=1

π4(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)

члены которого определены при −

Рассмотрим интеграл J

для системы (3.4.25.). Используя равен-

(0,0)

(a1b2− a2b1)

2

k s

a

1

=

2

b

1

и −

2

,

2

k

s

a

2

=

2

, для любых k, s.

b

2

ство (3.4.22.), находим, что

∞



J

(0,0)

=

k,s=1

a1b2− a2b

π4k2s

1

.

2

Применяя равенство (3.4.23.), получаем, что

(1,1)

∞



k,s=1

+

a1b2− a2b

π4k2s

∞



k,s=1

2



(a1b2− a2b1)b

π4s2(a1s2+ b1k2)

∞



1

∞



=

k,s=1

(a1b2− a2b1)

2

π4(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)



1

(a1b2− a2b1)a

+

2

π4k2(a2s2+ b2k2)

2

+

.

=

π4(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)

k,s=1

=

∞



k,s=1

a1b2− a2b

π4k2s

2



∞



1

−

k,s=1

a1b2− a2b

π4s2(k2+

1

a

1

s2)

b

1

a1b2− a2b

+

π4k2(s2+

b a

2

1

k2)



.

Упростим наше тождество, использовав равенство при условии t > 0:

∞



s2(k2+ t2s2)

k,s=1

1

=

∞



k=1

1

2t2s

∞



+

4

π cth(πts)

s=1

2ts

, (3.4.26.)

3

275

смотри [46, гл. 5, п. 5.2, формула (13)], тогда

∞



k,s=1

−(a1b2− a2b1) ·

∞



k,s=1

π4(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)

∞



(a1b2− a2b1)

−

s=1

(a1b2− a2b1)

2

π4(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)



∞





s=1

b

1

2π4a1s

∞



+

4

√

a2cth(



k=1

+

2π

(a1b2− a2b1)

k=1

2

=



2π3s



b

1

3

a

1



cth

=

∞

a

2

2π4b2k



b

2

πk)

a

b2k

2

3

√

3

a1b2− a2b

36



a

1

πs+

b

1

∞



k,s=1



+

4

s=1





,

a1b2− a2b

1

−



a1b2− a2b

π4k2s

√

∞

b1cth(

2π

180



a

2

cth

b

2

3

1



√

1



b

a

−



a1s

b

a

2

πs

2

1

a b

1

3

+



πs)

a

+



2

−

b

2

.

Лемма 3.4.3. При условии

a

b

1

2

,

b

1

> 0,

a

2

выполняется равенство

∞



k,s=1



−

(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)

∞

2s

s=1



π

3

a1b2− a2b



b

1

cth

a

1



1



a

1

πs+

b

1

=

Доказательство следует из вышесказанного. Преобразуем выражение





a

∞



s=1

cth

1

πs

b

1

3

s

π

36



4



−

a

b

,

2

4

π

180

cth





b a





a

1

+

2

−

b

2



b

2

πs

a

2

.

276

аналогичным образом упрощается и второе слагаемое. Сделаем замену переменных

t =



a

1

b

1

получим

∞



s=1

cth(ts)

3

s

=

∞



s=1

1

+ 2

3

s

при условии t > 0. Обозначим

∞



1

F (x, e2t) =

s

s=1

ряд сходится при x ∈ (−e2t, e2t).

Продифференцируем по x это выражение:

F′(x, e2t) =

∞



s=1

1

2

s

s−1

x

·

2ts

e

=

− 1

1

x

∞



s=1

π, (3.4.27.)

∞

3



s=1

·

e

1

2

s

s3(e

x

2ts

·

e

s

− 1

x

2ts

1

2ts

,

s

− 1

− 1)

=

1

· H(x, e2t),

x

∞

где H(x, e2t) =

H′(x, e2t) =

где G(x, e2t) =



1

2

s

s=1

∞



s=1

∞



1

·

s

s=1

G′(x, e2t) =

s

x

·

e

1

s

2ts

e

2ts

·

x

e

s

−1

, тогда

−1

s−1

x

2ts

− 1

, тогда

∞



s=1

∞



1

=

x

s−1

x

2ts

e

− 1

s=1

1

·

s

1

=

x

2ts

e

∞



s=1

x

s

− 1

2ts

e

x

=

s

− 1

1

· G(x, e2t),

x

.

Воспользуемся значением известных сумм из [46, гл. 5], получим

G′(x, e2t) =

1

x

·

e4t− 1

x

·2Φ1(e2t, e2t; e4t, x) =

1

e4t− 1

(e2t, e2t; e4t, x),

2Φ1

где2Φ1(e2t, e2t; e4t, x) — базисный гипергеометрический ряд.

277

Проинтегрируем данные выражения



G(v, e2t) =

1

e4t− 1

v

(e2t, e2t; e4t, u) du + C,

2Φ1

0

так как G(0, e2t) = 0, то C = 0, поэтому



G(v, e2t) =

1

e4t− 1

v

2Φ1

0

(e2t, e2t; e4t, u) du



1

y

1

H(y, e2t) =

F (x, e2t) =

e4t− 1

1

e4t− 1



x

0

v

0



1

dy

y

0

Получаем

∞



s=1

∞



cth(ts)

3

s=1

s



1

+ 2

3

s

1

e4t− 1

∞



s=1

1

3

s



y

=

1

dy

y

0

Лемма 3.4.4. Справедливы равенства

∞



(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)

k,s=1

a1b2− a2b

dv

y

+ 2

1

v

1

v



dv

v

0

dv

∞



s=1

(e2t, e2t; e4t, u) du

2Φ1



v

(e2t, e2t; e4t, u) du

2Φ1

0

1

2ts



s3(e

v

2Φ1

0

1

− 1)

(e2t, e2t; e4t, u) du.

=

−



4

π

=

36

b

1

·

a

1

a

2

·

b

2

π



a

1

4

π

b

1

e

π



b

2

4

π

a

2

e

π4(a1a2+ b1b2)

−

180a1b



1

y

− 1

0



1

y

0

− 1

dy

2



y

1

v

0



y

1

v

0

π(√a1a2+√b1b2)ζ(3)

−

2√a1b

dv



v

2Φ1

0



v

2Φ1

0

(e



a

1

2

b

1



b

2

a

−

2



a

, e

1

2

b

1



b

2

a

π

, e

2

π

2



a

; e

1

4

π

b

1

, u) du−



b

2

4

π

a

2

, u) du.

π

; e

2

π

2

278

Доказательство вытекает из леммы 3.4.3 и преобразований, исполь-

зующих значение известных сумм.

Преобразуем выражение



b

1

·

a

1

π



a

1

4

π

b

1

e

− 1



1

0



1

y

dy

y

0



1

dv

v

2Φ1

0

(e



a

1

2

b

1



a

π

, e

1

2

b

1



a

π

; e

1

4

π

b

1

, u) du,

таким же образом поступим и со следующим слагаемым в последнем равенстве.

Используя замену переменных (3.4.27.), получаем



1

0



1

y

dy

y

0



1

dv

v

(e2t, e2t; e4t, u) du.

2Φ1

0

Рассмотрим сначала интеграл



y

0



1

dv

v

(e2t, e2t; e4t, u) du,

2Φ1

0

интегрируя по частям внешний интеграл, тогда

= ln y ·



y

(e2t, e2t; e4t, u) du −

2Φ1

0



y

0

v

1

v

0

(e2t, e2t; e4t, u) du dv =

2Φ1



y

ln v ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, v) dv.

0

Подставим данное выражение в исходный интеграл. Каждое слагаемое последнего выражения проинтегрируем по частям, получим



1

ln y ·

y

0



y

(e2t, e2t; e4t, u) du dy = −

2Φ1

0



1

ln2y ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, y) dy

2

0

и



тогда



1

y

1

ln v ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, v) dv dy = −

y

0



1

0

1

y

=

dy



y

0



1



1

dv

v

2Φ1

0

ln2y ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, y) dy.

2

0



1

ln2y ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, y) dy,

0

(e2t, e2t; e4t, u) du =

279

Теорема 3.4.4. Справедливо равенство

∞



(a1s2+ b1k2)(a2s2+ b2k2)

k,s=1

a1b2− a2b

1

=

−



4

π

=

36

b

1

·

a

1

a

2

·

b

2

4

2e

π4(a1a2+ b1b2)

−

180a1b

π



a

1

π

b

1

− 1

π



b

2

4

π

a

2

− 1



2



1

ln2y ·2Φ1(e

0



1

ln2y ·2Φ1(e

0

π(√a1a2+√b1b2)ζ(3)

−



2



a

1

b

1

b a

2√a1b

π

2

π

2

, e

2



a

1

2

b

1



b

2

a

2



a

π

; e

π

; e

1

4

π

b

1

, u) dy−



b

2

4

π

a

2

, u) dy.

Доказательство следует из лемм 3.4.3, 3.4.4.

3.5. Описание систем трансцендентых уравнений специального вида

3.5.1. Специальные системы уравнений

Рассмотрим систему функций f1(z), f2(z), . . . , fn(z) вида



f1(z) = (1 − a11z1)





f2(z) = (1 − a21z1)

m

11

···(1 −a1nzn)

m

21

···(1 −a2nzn)

m

1n

2n

+ Q1(z), + Q2(z),

(3.5.1.)



. . .





fn(z) = (1 − an1z1)

m

n1

···(1 −annzn)

m

nn

+ Qn(z),

где mij— натуральные числа, aij— комплексные числа, различные при фиксированных j, Qi(z) — целые функции, i = 1, . . . , n. Пусть

J = (j1, . . . , jn) — мультииндекс, где (j1. . . jn) является перестановкой (1, . . . , n). Определим aJ= (a

, . . . , a

1j

1

) для мультииндекса J. Обо-

nj

n

значим

qi(z1, . . . , zn) = (1 − ai1z1)

m

i1

···(1 −ainzn)

m

in

, i = 1, . . . , n, (3.5.2.)

280