Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
для нечетных β интеграл J
(β,0,0)
= 0, а для четных β = 2n получим
следующую формулу для нахождения суммы ряда
−2
∞
k,m,s=1
J
(2n,0,0)
(π2k2+ a2)
=
∥α∥62n
(2n+1)
M
· (π2s2+ a2) · (π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
Вычислим, например:
J
(0,0,0)
= M[∆] = M
1
=
2a
Применяя тождество
1
(π2k2+ a2)(π2(k2+ m2) + 2a2)
∆ · Q
z
2n
1
α
= −2σ
(2n+1,1,1)
−
1
∂f
∂z
1
−
2
2a
1
·
1
cth a
∂f
∂z
2
·
2
3
.
∂f
∂z
3
=
3
1
+
(π2m2+ a2)(π2(k2+ m2) + 2a2)
.
=
=
(π2k2+ a2)(π2m2+ a2)
Получаем,что
∞
2σ
(1,1,1)
=
k,m,s=1
(π2k2+ a2) · (π2s2+ a2) · (π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
Таким образом, получаем
∞
k,m,s=1
(π2k2+ a2) · (π2(k2+ m2) + 2a2) · (π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
(a cth a − 1)
=
Данный пример приведен в [36].
1
48a
.
1
.
1
) =
3
6
.
231
2. Рассмотрим систему уравнений
f1(z1, z2, z3) =
f2(z1, z2, z3) =
f3(z1, z2, z3) =
sinz1− a
z1− a
sinz2− z1− a
z2− z1− a
sinz3− z2− z1− a
z3− z2− z1− a
2
2
∞
=
k=1
2
=
2
m=1
2
1 −
∞
2
=
z1− a
∞
s=1
2
k2π
z2− z1− a
1 −
1 −
2
= 0,
2
2
m2π
z3− z2− z1− a
s2π
= 0,
2
(3.1.21.)
2
= 0.
Каждая из функций этой системы разлагается в бесконечное произведение функций из системы (3.1.13.). Корнями системы (3.1.21.) являются точки (π2k2+a2, π2(k2+m2)+2a2, π2(2k2+m2+s2)+4a2), k, m, s ∈
N. Поэтому степенная сумма σ
∞
=
k,m,s=1
(π2k2+ a2)
(β+1)(π2(k2
(β+1,1,1)
+ m2) + 2a2)(π2(2k2+ m2+ s2) + 4a2)
равна сумме ряда σ
1
(β+1,1,1)
=
,
a
который сходится при a = πki,
√
= iπ√k2+ m2,
2
2a = iπ√2k2+ m2+ s2.
Для системы (3.1.21.)
f2=
f3=
∞
(−1)k(z1− a2)
f1=
k=0
∞
(−1)k(z2− z1− a2)
k=0
∞
(−1)k(z3− z2− z1− a2)
k=0
(2k + 1)!
(2k + 1)!
(2k + 1)!
k
,
k
,
k
,
поэтому
∞
f1(0, 0, 0) = f2(0, 0, 0) = f3(0, 0, 0) =
k=0
a2k
(2k + 1)!
=
sh a
.
a
Следовательно, чтобы применить формулу из теоремы 3.1.1, нужно
функции f1, f2,
f3разделить на эти константы (отнормировать).
232
Рассмотрим интеграл J
(β,0,0)
для системы (3.1.21.). Использовав равенство (3.1.15.) и вид корней системы (3.1.21.), получим, что для нечетных β при s = m интеграл
×
k,m,s=1
∞
J
(β,0,0)
= (−1)
π2(s2− m2)(π2(2k2+ m2+ s2) + 4a2)(π2m2+ a2)2(β + 1)
4
β+1
×
,
а для четных β = 2n при m = k получим следующую формулу для
нахождения суммы ряда:
−4
∞
k,m,s=1
J
(2n,0,0)
=
∥α∥62n
π2(π2k2+ a2)
∆ · Q
M
z
(2n+1)(m2
α
2n
1
= −4σ
(2n+1,1,1)
−
1
− k2)(π2(2k2+ m2+ s2) + 4a2)
.
Вычислим, например:
J
(0,0,0)
= M[∆] = M
∂f
∂z
∂f
1
1
2
·
∂z
·
2
∂f
∂z
=
3
3
2a
1
1
−
2
cth a
2a
3
Таким образом, при k = m получаем
∞
1
=
k,m,s=1
(k4− m4)(π2(2k2+ m2+ s2) + 4a2)
(a cth a − 1)
=
64a
3
6
.
Рассмотренные в этих примерах ряды отсутствуют в известных спра-
вочниках. Данные примеры приведены в [89, 103].
233
.
3.2. Об условиях разложения целых функций в бесконечное произведение
Для целых функций в C хорошо известно разложение на множители.
Для функций конечного порядка это теорема Адамара (1.4.2) о разложении на множители (см. гл. 1). Здесь исследованы целые функции
многих комплексных переменных конечного порядка роста, имеющие
специальный вид нулей. Все его результаты взяты из работы [102].
Целая функция f(z) в Cnназывается функцией конечного порядка
роста, если существует такое положительное число A, что при |z| =
r → ∞
A
f(z) = O(e
r
).
Нижняя грань ρ чисел A, для которых выполняется это соотношение,
называется порядком функции. Видно, что определение порядка такое
же, как для целых функций одного комплексного переменного.
Функции конечного порядка являются простейшими после полино-
мов целыми функциями.
На комплексной плоскости описание функций конечного порядка роста дает классическая теорема Адамара (1.4.2), [107, гл. 8], представляющая такие функции в виде произведений первичных множителей и
экспонент.
Для функций многих переменных есть аналоги теоремы Адамара,
но они имеют более сложный вид [42, 48] и, воообще говоря, не являются
бесконечными произведениями.
Здесь рассматривается более простой случай функций, для которых
справедлив аналог теоремы Адамара.
Пусть Qj— полиномы в Cn, [1 − Qj] — нулевое множество (дивизор) функций 1 − Qj. Если существует целая функция f(z), у которой
∞
нулевое множество равно
[1−Qj], то необходимым условием для это-
j=1
го является то, что у этой f в любом шаре из Cnсодержатся точки
конечного числа множеств [1 − Qj]. Положим
Q
pj−1
j
pj−1
(z)
, (3.2.1.)
f(z) =
∞
E(Qj(z), pj−1) =
j=1
∞
(1−Qj(z))e
j=1
Qj(z)+
2
Q
(z)
j
+...+
2
234
где выражение
E(Q, p) = (1 −Q(z))e
Q(z)+
Q2(z)
2
+...+
Qp(z)
p
, (3.2.2.)
где p = 1, 2, . . . назовем первичным множителем. Всякий первичный
множитель обращается в нуль при Q(z) = 1, а его поведение при Q → 0
зависит от p. При |Q| < 1 из тейлоровского разложения логарифма
получим
log E(Q, p) = −
p+1
Q
p + 1
−
p+2
Q
p + 2
− . . .
1
Следовательно, если k > 1 и |Q| 6
, то
k
|log E(Q, p)| 6
| 6 |Q|
p+1
+ |Q|
p+2
+ . . . 6 |Q|
p+1
1
1 +
k
+
1
+ . . .=
2
k
k
k − 1
|Q|
p+1
.
(3.2.3.)
Теорема 3.2.1. Для всякой последовательности полиномов Qj, j =
1, . . . , n, . . ., в которой степени всех Qjограничены числом q, и Qjиме-
ют вид
Qj(z) =
∥β|6q
j
c
zβ, (3.2.4.)
β
и выполнено условие
αj= maxα|c
j
| → 0 при j → ∞, (3.2.5.)
α
существует целая функция, имеющая нули в этих и только этих ну-
∞
левых множествах, т.е. на множестве
[1 − Qj]. Здесь β =
j=1
= (β1, . . . , βn) — мультииндекс, ∥β∥ = β1+ . . . + βn.
Доказательство. Положим
∞
f(z) =
E(Qj(z), pj− 1).
j=1
235
Зафиксируем r = |z| > 1. Тогда наша функция
6cjαj|z|
|Qj|
deg Q
p
j
p
j
j
6
∥α∥6q
6cjαjr
j
|c
α
deg Q
||zα|
p
j
j
p
j
6
6 (cjαjrq)
p
j
→ 0,
при j → ∞. Здесь cj— число мономов в Qj, поэтому
|log E(Qj(z), pj− 1)| 6
Выберем pjтак, чтобы
k − 1
(cjαjrq)
j
k
|Qj|
p
j
p
j
сходился для всех r 6 R. Такое p
6
k
k − 1
(cjαjrq)
p
j
6 2 (cjαjrq)
(3.2.6.)
всегда можно найти, например, положив pj= j, и при αj→ 0,
cjαjr
q
1
(cjαjrq)j<
.
j
2
p
j
.
j
1
>
2
Следовательно, при |z| 6 R ряд
log E(Qj(z), pj− 1)
j
равномерно и абсолютно сходится и с ним равномерно и абсолютно сходится произведение
E(Qj(z), pj− 1).
j
Следовательно, функция f(z) голоморфна при |z| 6 R и, следовательно, в Cn, а ее единственными нулями в Cnявляются нули функции
E(Qj(z), pj− 1),
j
∞
[1 − Qj].
j=1
2
Теорема 3.2.1 является аналогом теоремы Вейерштрасса для целых функций одного комплексного переменного. В дальнейшем будем
236
считать f(0) = 1. Пусть для функции f (z) ряд
тором β > 0. Нижнюю грань положительных чисел β, для которых ряд
β
α
сходится, назовем показателем сходимости ряда и обозначим че-
j
j
β
α
сходится при неко-
j
j
рез ρ1.
Важным следствием является тот факт, что если ρ1> 0, то функция f (z) имеет конечный порядок. Покажем, что существует такое, не
зависящее от j, целое число p, что произведение
∞
E(Qj, p) (3.2.7.)
j=1
сходится для всех значений z. Это произведение сходится, если сходится
ряд
(αjrq)
p+1
= r
q(p+1)
p+1
α
, (3.2.8.)
j
т.е. сходится ряд
(αn)
p+1
(3.2.9.)
(здесь pj= p+1, а этот ряд сходится для всех значений r, если p+1 > ρ1.)
Произведение (3.2.7.) с наименьшим из целых p, для которых сходится ряд (3.2.8.), назовем каноническим произведением, построенным
по нулям функции f(z), а это наименьшее p назовем его родом (т.е.
p + 1 > ρ1.)
Теорема 3.2.2. Если для целой функции f(z) вида (3.2.1.), имею-
∞
щей нулевые множества
[1 − Qj], показатель сходимости ρ1> 0,
j=1
то f имеет конечный порядок роста ρ 6 qρ1.
Доказательство. Пусть αj= maxα|c
единицы. Напишем
log|P(z)|
=
log |E(Qj, p)|+
−1
α
j
6kr
q
237
j
| → 0 и k — постоянная, больше
α
α
−1
j
log |E(Qj, p)| =
q
>kr
1
+
.
2
Из неравенства (3.2.6.) следует, что
= O
2
Если p = ρ1−1, то это O(r
α
−1
j
>kr
(αjrq)
q
q(p+1)
p+1
= O
) = O(r
ρ1+ ε, если ε достаточно мало, и тогда
q(p+1)
r
< r
−1
α
j
q(p+1)
>kr
p+1
α
j
q
(krq)
q(p+1)
= r
ρ1+ε−p−1
α
−1
j
входят члены с множителями E(Qj, p), у которых |Qj| >
1
1
и, следовательно,
k
log |E(Qj, p)| 6 log(1 + |Qj|) + |Qj| + . . . +
где K зависит только от k. Поэтому
q(p+1)
r
qρ
1
). В противном случае p + 1 <
>kr
ρ1+ε
α
j
−ρ1−ε+p+1
α
j
q
= O(r
−1
α
j
q(ρ1+ε)
|Qj|
>kr
p
q
α
p+1
α
j
ρ1+ε
j
).
<
.
< K|Qj|p,
p
1
= O
r
= Orpq(kr)
Таким образом, log |P (z)| = O(r
pq
α
−1
j
q
6kr
q(ρ1+ε)−pq
α
p
j
= O
q(ρ1+ε)
pq
r
−1
α
6kr
j
−ρ1−ε+p
α
j
q
α
ρ1+ε
j
=
ρ1+ε
r
j
= O(r
q(ρ1+ε)
).
), теорема доказана. 2
Теорема 3.2.3 (аналог теоремы Адамара). Если f(z) — целая функ-
∞
ция с нулевым множеством
f(z) = e
[1 − Qj], причем f(0) = 1 и ρ1> 0, то
j=1
M(z)
P (z), (3.2.10.)
где P (z) — каноническое произведение, построенное по нулям функции
f(z), а M (z) — многочлен, степень которого не выше qρ1.
Доказательство следует из теоремы 3.2.2 и общего вида целых
функций конечного порядка роста [48].
238
3.3. Аналоги рекуррентных формул Ньютона для трасцендентных систем уравнений
Рассмотрим систему функций f1(z), f2(z), . . . , fn(z), голоморфных в
окрестности точки 0 ∈ Cn, z = (z1, z2, . . . , zn) и имеющих вид (3.1.1.).
Заметим, что, положив
j
a
=
α
1, α = β
0, α = βjи ∥α∥ = kj,
функции fj(z) можем записать в виде
j
fj(z) =
∥α∥>k
j
a
zα. (3.3.1.)
α
j
Рассмотрим циклы γ(r) = γ(r1, r2, . . . , rn), являющиеся остовами по-
ликругов:
γ(r) = {z ∈ Cn: |zs| = rs, s = 1, 2, . . . , n}, r1> 0, . . . , rn> 0.
При достаточно малых rjциклы γ(r) лежат в области голоморфно-
сти функций fj, поэтому ряды
∥α∥>k
j
|a
α
j
1
|r
1
α
···r
α
n
n
сходятся, j = 1, 2, . . . , n. Тогда на цикле γ(tr) = γ(tr1, tr2, . . . , trn) t > 0,
имеем
|z|
j
β
= t
k
j
β
j
· r
1
j
β
1
2
· r
···r
2
j
β
n
n
= t
k
j
β
j
· r
,
а
|Qj(z)| =
∥α∥>k
j
j
α
a
z
α
6
∥α∥>k
t
j
∥α∥|aj
|rα6 t
α
kj+1
∥α∥>k
∥α∥−kj−1|aj
t
j
α
|rα.
Поэтому при достаточно малых положительных t на цикле γ(tr) выполняются неравенства
j
β
|z|
> |Qj(z)|, j = 1, 2, . . . , n. (3.3.2.)
239
Таким образом,
fj(z) = 0 на γ(tr), j = 1, 2, . . . , n.
В дальнейшем будем считать, что t = 1.
Цель данного параграфа состоит в получении аналогов рекуррент-
ных формул Ньютона для систем уравнений (3.1.3.) [30, 31].
Для различного типа алгебраических систем уравнений (т.е. если f
— полиномы) аналоги рекуррентных формул рассмотрены в гл. 2.
Из (3.3.2.) следует, что при достаточно малых rjопределены инте-
гралы вида
γ(r)
1
df
·
δ
z
=
f
γ(r1,r2,...,rn)
1
δ
δ
1
· z
2
2
···z
z
1
df
·
δ
n
f
n
df
1
1
∧
2
f
2
∧ . . . ∧
df
f
n
,
n
где δj∈ Z. Следует отметить, что в случае, когда δ = β + I, I =
(1, 1, . . . , 1), т. е. δj= βj+ 1, βj> 0, βj∈ Z, j = 1, . . . , n, аналогич-
ные интегралы были рассмотрены в статье [40], см. §3.1.
По теореме Коши–Пуанкаре эти интегралы не зависят от (r1, . . . , rn).
3.3.1. Некоторые вспомогательные результаты
Рассмотрим систему (3.1.1.). Положим
Jδ=
1
(2πi)
n
γ(r)
df
z
=
δ
(2πi)
1
n
γ(r)
∆f· dz
δ
z
,
j
где ∆f= det
∂f
∂z
j
— якобиан системы (3.1.1.). Через ∆
k
чим определитель
∆
α1...α
1
α
. . . α
1
.
.
.
n
=
α
.
n
1
.
.
. . . α
1
n
.
.
= det(α1. . . αn), где строки αj= (α
.
n
n
Первое утверждение имеет следующий вид:
240
α1...α
j
1
n
обозна-
, . . . , α
j
), j = 1, . . . , n.
n