Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
GB(3) =
(с упорядочением y >Tx >Tz).
В первом примере алгоритмы из [101] и [65] преобразуют систему
(17.8) в ту же редуцированную форму, но во втором примере редуцированные формы существенно отличаются друг от друга: в случае (17.11)
x2и y выражаются какґ рациональные функции в z, тогда как ґ в слу-
чае (17.13) полиномиальные зависимости получены для них. Решение
системы (17.10) можно найти путем вычисления корней уравнения GB
(3) = 0, см. (17.13). Тогда координаты x и y находятся из GB (1) = 0 и
GB (2) = 0.
Алгоритмы для базисов Гребнера были реализованы в различных
системах компьютерной алгебры автор метода Гребнера реализовал это
сам в системе SAC [65]. Панкратьев реализован это на REFAL [44],
Б.Б.Алексеев разработал реализацию для решения проблем из ґ качественной теории дифференциальных уравнений на FORTRAN [9]. Наконец, есть также реализация в системе SRM [47].
1
(18z8− 48z7+ 21z6+ 5z4+ 4z2+ 1)
18
Вопросы сложности, связанные с методом базисов Гребнера, состав-
ляют предмет активных расследований. Как указано в книге [75], Давенпорта и соавторов, на практике встречаются проблемы, ґ которые
были очень легко решены с помощью этого алгоритма, но и проблемы,
которые не удалось решить даже с использованием нескольких ґ мегабайт объема памяти. Известные оценки необходимого объема памяти
неутешительны. Oни ґ экспоненциально зависит от количества переменных [26]. Ранее наши вычислительные средства были ограничены
системой REDUCE 3.2. для IBM PC, который не включает алгоритмы базисов Гребнера. Наш интерес к полиномиальной компьютерной
алгебре ґ был так велик, что рискнули реализовать этот алгоритм сами и использовать его для наших проблем. Кроме того, ограниченные
ґ ресурсы персонального компьютера заставили нас (после многих попыток) разработать эффективную и экономную реализацию (в смысле
объема памяти).
На более позднем этапе у нас была возможность работа с систе-
мой REDUCE 3.3, которая включает в себя пакет GROEBNER. Решая
примеры из этой книги с помощью этого пакета GROEBNER, мы обнаружили, что наша программа работает несколько медленнее. Однако
131
программа GROEBNER не помогла ґ (из-за нехватки памяти) для обработки определенных примеров, которые были решены по нашей программе. Поэтому не можем сказать, что наша деятельность была совершенно бесполезна. Более того, пакет GROEBNER не позволил решить
задачу вычисления коэффициентов в кинетике полиномов, так как это,
кроме нахождения базиса, также требует ґґ расчет линейного базиса
представление в терминах полиномов исходных систем. Это причина,
почему мы решили сохранить эту программу в коде REDUCE.
Далее мы также использовали пакет Grobner в Maple [69], что, ко-
нечно, более эффективно, чем наша программа.
40. Другие алгоритмы исключения неизвестных, а также для бо-
лее общей проблема декомпозиции алгебраических многообразий всех
корней полиномиальных систем в неприводимые компоненты имеют
сформулированы в статьях Лазара [93, 94, 95, 96] и группы Григорьева
[55, 25]. Связь между алгоритмами из [93, 94, 95] и ґ методом базисов
Гребнера анализируется в [95].
2.6. Модифицированный метод исключения
В этом параграфе рассматривается модифицированный метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета и предложенный Л.А.Айзенбергом в 1977 г. [1].
2.6.1. Невырожденные системы уравнений
Вместе с пространством Cnкомплексных переменных z = (z1, . . . , zn)
будем рассматривать его компактификацию CPn, т.е. комплексное проективное пространство. Напомним, что CPnсостоит из векторов ξ =
(ξ0, ξ1, . . . , ξn), где ξ и η считаются эквивалентными, если ξ = λη. Здесь
λ ∈ C и λ = 0. Так что элементы пространства CPnможно рассматри-
вать как комплексно одномерные подпространства (комплексные прямые) в C
n+1
. Каждой точке z ∈ Cnпоставим в соответствие точку
ξ ∈ CPn: z → ξ = (1, z1, . . . , zn),
132
тогда получаем, что Cn⊂ CPn. Другими словами образ Cnв CPnсостоит из всех точек, для которых ξ0= 0. Точки ξ = (0, ξ1. . . , ξn) ∈ CP
образуют "бесконечную" гиперплоскость Π. Итак, CPn= Cn∪ Π.
Пусть f — полином в Cnвида
f =
||α||6k
cαzα, (2.6.1.)
n
где α = (α1, . . . , αn) и zα= z
α
1
1
. . . z
α
n
. Предположим, что его степень
n
(deg f) равна k, т.е. существует коэффициент cα= 0 в (2.6.1.) с ||α|| = k.
Мы часто будем разлагать полиномы f по однородным компонентам
Pj=
||α||=j
Здесь Pj— однородные полиномы степени j и f = Pk+ P
cαzα.
+ . . . + P0.
k−1
Полином Pk— это старшая однородная часть f . Проективизизация f
полинома f дается однородным полиномом
f∗(ξ) = f∗(ξ0, ξ1, . . . , ξn) = Pk(ξ1, . . . , ξn)+
+ξ0P
k−1(ξ1
, . . . , ξn) + . . . + ξ
Заметим, что f∗есть полином в C
n+1
и что
k
0
P0.
f∗(1, ξ1, . . . , ξn) = f (ξ1, . . . , ξn).
∗
В дальнейшем будем рассматривать следующие системы алгебраи-
ческих уравнений в Cn:
f1= 0,
. . . (2.6.2.)
fn= 0;
где fj— полиномы степени kj.
Пусть fj= Pj+ Qj, где Pjесть старшая однородная часть fj, а Q
имеют степень меньше, чем kj.
Вместе с системой (2.6.2.) будем также рассматривать систему
P1= 0,
133
j
. . . (2.6.3.)
Pn= 0.
Будем говорить, что система (2.6.2.) невырожденна, если система
(2.6.3.) имеет только один корень — начало координат. Часто будем
иметь дело с полиномами fj, коэффициенты которых зависят от некоторых параметров. В этом случае назовем систему (2.6.2.) невырожденной, если система (2.6.3.) имеет только один корень для почти всех
значений параметров.
Лемма 2.6.1. Невырожденные системы (2.6.2.) характеризуют-
ся следующим образом: они имеют конечное число корней в Cnи не
имеют корней на бесконечной гиперплоскости Π.
Доказательство. Рассмотрим систему, состоящую из проективизаций
функций fj, т.е.
∗
f
(ξ) = 0,
1
. . . (2.6.4.)
∗
f
(ξ) = 0.
n
Система (2.6.2.) имеет корень на Π, если система (2.6.4.) обращается в
0 в некоторой точке ξ вида ξ = (0, ξ1, . . . , ξn). Далее,
f∗(ξ) = Pj(ξ1, . . . , ξn) + ξ
˜
Qj(ξ0, ξ,1, . . . , ξn), j = 1, . . . , n.
0
Отсюда следует, что система (2.6.2.) имеет корень в Π тогда и только
тогда, когда система (2.6.3.) имеет нетривиальный корень ξ.
Рассмотрим теперь единичную сферу
S = {z : |z|2= |z1|2+ . . . + |zn|2= 1}
в Cn. Если z0∈ S, то в силу невырожденности системы (2.6.2.), суще-
ствует число j такое, что Pj(z0) = 0. Поскольку
k
Pj(λz0) = λ
j
Pj(z0)
для λ ∈ C, то ясно, что
k
f(λz0) = λ
j
Pj(z0) + Qj(λz0),
134
где степень Qj(по λ) меньше, чем kj. По лемме о модуле старшего члена
получаем неравенство
k
j
|λ|
|Pj(z0)| > |Qj(λz0)|
для достаточно больших |λ|. Другими словами, для достаточно больших
|λ| система (2.6.2.) не имеет корней. Используя теорему Бореля–Лебега
найдем, что система (2.6.2.) не имеет корней вне некоторого шара с достаточно большим радиусом. Множество корней системы (2.6.2.), следовательно, компактно, а поскольку оно аналитическое множество, то
оно должно быть конечным.
Если система (2.6.2.) имеет конечное множество корней в CPn, то-
гда можно найти дробно-линейное преобразование, переводящее ее в
невырожденную. Нужно взять преобразование, переводящее гиперплоскость, не имеющую корней системы (2.6.2.), в бесконечную гиперплоскость.
Далее будем (в основном) рассматривать невырожденные системы
уравнений. Нас будет интересовать задача исключения из системы
(2.6.2.) всех переменных кроме одного, т.е. нахождение результанта
R(zj). Мы уже видели, что классический метод исключения неизвестных (см. §2.4) не удобен для практического использования, если число
уравнений больше двух. Он может также изменить кратности корней.
2.6.2. Степенные суммы корней системы
Опишем сейчас метод исключения, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета (2.2.2.), который сначала появился в
статье Л.А. Айзенберга [1] (см. также [8, § 21]). Он заметил, что для
невырожденных систем уравнений формула (2.2.2.) может быть вычислена через коэффициенты функций fj. Таким образом, можно вычислять степенные суммы корней без нахождения самих корней. Тем самым
можно находить элементарные симметрические суммы корней, используя рекуррентные формулы Ньютона (1.2.1), и выписывать результант
по каждому переменному для системы (2.6.2.).
Сначала представим улучшенную формулы Айзенберга, затем да-
дим подробное описание полного алгоритма и опишем сам алгоритм,
135
позволяющий вычислять коэффициенты результанта независимо друг
от друга.
Вернемся к невырожденной системе уравнений (2.6.2.). По теореме
Гильберта о нулях [108, § 130] существует матрица
A = ||ajk||
n
j,k=1
,
состоящая из однородных полиномов ajk, такая, что
n
Nj+1
z
j
=
ajk(z)Pk(z), j = 1, . . . , n.
k=1
Более того, можно выбрать числа Nj, не превосходящие чисел k1+. . . +
kn− n (по теореме Маколея [97], а также [51]).
Теорема 2.6.1 (Кытманов). Для каждого полинома R(z) степени
M справедлива формула
R(a) =
a∈E
f
=
s,j
n
k
s,j
k
s,j
≥0
6M
(−1)
k
s,j
n
s,j=1
n
s=1
(k
s,j
n
j=1
)!
k
s,j
!
P Qαdet AJ
M
n
j=1
z
βjNj+βj+N
j
f
n
s,j=1
k
s,j
a
sj
,
j
где
αj=
n
s=1
k
, βs=
s,j
n
j=1
k
,
s,j
Ef— множество корней системы (2.6.2.) (каждый корень считается
столько раз, какова его крпатность) и M — функционал, сопоставляющий полиному Лорана
P
j
1
z
1
. . . z
j
n
n
его свободный член, Jf— якобиан системы (2.6.2.).
136
Доказательство. Пусть
DP= {z ∈ Cn: |Pj| < ρj, j = 1, . . . , n}
есть специальный аналитический полиэдр и пусть
ΓP= {z : |Pj| = ρj, j = 1, . . . , n}
— его остов. В силу невырожденности системы (2.6.2.) область DPогра-
P
ρj. Выберем ρjдостаточно большими, чтобы выполнялось неравенство
|Pj| > |Qj| для всех j на ΓP. Тогда по теореме 2.2.3 о сдвинутом остове
получим равенство
a∈E
R(a) =
(2πi)
f
1
Γ
R(z)
P
n
df
, (2.6.5.)
f
где R — произвольный полином в Cnи
df = df1∧ . . . ∧ dfn;
df
f
=
f
1
f
1
∧ . . . ∧
df
f
n
.
n
Так как |Pj| > |Qj| на ΓP, то
∞
1
=
f
j
1
Pj+ Q
1
=
j
P
·
j
1
1 + Qj/P
=
j
(−1)
s=0
s
Q
j
s
P
s+1
j
.
Подставляя эти выражения в (2.6.5.), получим
(2πi)
n
a∈E
R(a) =
f
(−1)
||α||>0
||α||
R(z)QαJfdz
Γ
P
P
α+I
, (2.6.6.)
где α = (α1, . . . , αn),
Qα= Q
α
1
1
. . . Q
α
n
n
; P
α+I
= P
α1+1
1
. . . P
αn+1
n
.
Покажем, что суммы (2.6.6.) содержат только конечное число слага-
емых, отличных от нуля. Действительно, в силу однородности Pjимеем
RQαJfdz
α+I
Γ
P
P
= 0,
137
если степень числителя (вместе с dz) меньше, чем степень знаменателя.
Степень числителя
deg R + n +
n
(kj− 1) +
j=1
n
αj(kj− 1) = deg R + ||k|| − ||α|| +
j=1
n
j=1
αjkj,
а степень знаменателя
n
(αj+ 1)kj=
j=1
n
αjkj+ ||k||.
j=1
Отсюда видно, что если deg R < ||α||, то интегралы равны нулю, и тогда
(2.6.6.) приводится к виду
(2πi)
n
a∈E
R(a) =
f
(−1)
||α||6M
||α||
Γ
P
RQαJfdz
α+I
P
, (2.6.7.)
где M = deg R.
В частности, если R = 1, т.е. M = 0, тогда левая часть в формуле
(2.6.7.) представляет число корней системы (2.6.2.), считаемых вместе
с их кратностями, а правая часть формулы (2.6.7.) равна интегралу
Jfdz
P
Γ
P
=
dP
= (2πi)nk1. . . kn,
P
Γ
P
так как система (2.6.3.) имеет только один корень кратности k1. . . kn.
Так что получаем теорему Безу для системы (2.6.2.). Для того чтобы
вычислить интегралы, входящие в (2.6.7.), можно использовать обобщенную формулу преобразования вычета Гротендика (2.3.5.). Пусть полиномы Pjи gjсвязаны соотношениями
n
gj(z) =
ajk(z)Pk(z), j = 1, . . . , n, gj= z
k=1
Nj+1
j
,
где матрица
A = ||ajk(z)||
n
j,k=1
138
имеет полиномиальные элементы. Тогда получим по следствию 2.3.1
n
k
Rdz
=
α+I
P
Γ
P
n
s=1
ksj≥0
ksj=αj,
n
j=1
ksj=β
s
n
s,j=1
β!
(ksj)!
Γ
R det A
g
s,j=1
β+I
g
sj
a
dz
sj
, (2.6.8.)
где β! = β1! . . . βn!, β = (β1, . . . , βn), а суммирование в формуле (2.6.8.)
ведется по неотрицательным целочисленным матрицам
||ksj||
n
s,j=1
,
удовлетворяющим условиям
n
ksj= α
s=1
Подставляя (2.6.8.) в (2.6.7.) и заменяя gjна z
(2πi)
n
a∈E
R(a) =
f
ksj>0
(−1)
(ksj)!
s,j
j
||α||
n
j=1
β!
ksj= βs.
R det AQαJ
n
T
j=1
Nj+1
, получаем
j
n
f
s,j=1
(βj+1)(Nj+1)
z
j
k
sj
a
dz
sj
где T = {z : |zj| = R0}.
Как следствие, получаем результат Айзенберга [8, § 21], соответ-
ствующий случаю
k
Pj= z
j
.
j
,
(Такие системы в дальнейшем будем называть простыми). Для этого
случая Nj+ 1 = kj, и матрица A — единичная матрица, так что в
теореме 2.6.1 нужно рассматривать только диагональные матрицы ksj,
with kjj= βj= αj. Это дает нам утверждение.
Следствие 2.6.1 (Айзенберг). Если R — полином степени M , то-
гда
a∈E
R(a) =
f
||α||6M
(−1)
||α||
MRJ
f
α1k1+k1−1
z
1
Q
α
1
1
. . . Q
. . . z
α
n
n
αnkn+kn−1
n
. (2.6.9.)
139
Формула (2.6.9.) гораздо более простая, чем в теореме 2.6.1. Но она
верна лишь для простых систем.
Рассмотрим треугольную систему уравнений
j−1
k
fj(z) = z
j
+
j
zkφjk(z) + Qj(z) = 0,
k=1
где φjk— однородные полиномы степени kj− 1, и deg Qj< kj. Как и
выше, через Jfобозначим якобиан системы.
Теорема 2.6.2 (Айзенберг, Цих [7, 51]). Справедливо равенство
R(a) = M
a∈E
f
RJfz1. . . z
k
1
z
. . . z
1
n
k
n
n
||α||>0
(−1)
||α||
R
z
α
1
k
1
1
1
. . .
R
z
n
k
n
n
α
n
для полиномов R степени mjпо переменному zjи общей степени M.
k
Здесь Rj= fj− z
j
, суммирование в этой формуле берется по мно-
j
жеству мультиндексов α, лежащих в параллелепипеде σ = {α =
(α1, . . . , αn):
0 6 α16 M, 0 6 α26 k1(||m|| + 1) − m1− 2, . . . ,
0 6 αj6 k1. . . k
−k
(||m||+1)−k2. . . k
j−1
j−1(mj−2
+ 1) − (m
j−1(m1
+ 1), j = s, . . . , n},
j−1
+1)−k3. . . k
j−1(m2
+1)−. . . −
где ||m|| = m1+ . . . + mn.
В статье [68] Каттани, Дикенштейн и Штурмфельс представили сим-
волический алгоритм для вычисления глобального вычета системы w–
однородных многочленов.
Пусть w = (w1, . . . , wn) ∈ Nn— положительный весовой вектор. Ве-
совая степень монома zαимеет вид
n
degw(zα) =
wjαj.
j=1
Запишем каждый полином fjиз системы 2.6.2. в виде
fj(z) = Pj(z) + Qj(z),
140