Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Следствие 1.4.6. Функция f (z) имеет бесконечно число нулей то-
гда и только тогда, когда ранг матрицы S вида (1.4.9.) бесконечен, где
sj= σ
2k0+j
.
Условие бесконечности ранга означает, что существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел jk, k = 1, 2, . . . такая, что все D
= 0 (в силу следствия 1.4.5).
j
k
Для дальнейшего нам понадобятся некоторые свойства бесконечных
ганкелевых матриц бесконечного ранга.
Рассмотрим последовательность (вообще говоря, комплексных чисел)
s0, s1, . . . , sk, . . .
такую, что ряд
∞
|sk| = C < ∞. (1.4.17.)
k=0
Пусть заданы индексы 0 6 i1< . . . < ik, и 0 6 j1< . . . < jk. Будем
обозначать
i1. . . i
S
j1. . . j
k
k
минор, состоящий из элементов S, стоящих на пересечении строк с номерами i1, . . . , ikи столбцов с номерами j1, . . . , jk. В частности,
0 . . . k − 1
Dk= S
.
0 . . . k − 1
Лемма 1.4.1. При выполнении условия (1.4.17.) справедливы неравенства
0 . . . k − 1
S
j1. . . j
k
6 C
k
(1.4.18.)
любых j1, . . . , jk. В частности, если C = 1, то модули в (1.4.18.) ограничены 1.
А если C < 1, то
0 . . . k − 1
S
j1. . . j
→ 0 при k → ∞.
k
41
Доказательство. Докажем лемму индукцией по k. При k = 1 усло-
вие (1.4.18.) очевидно выполняется. Перейдем от k к k + 1. Раскрывая
определитель
0 . . . k
S
j1. . . j
k+1
по последней строке, имеем
S
j1. . . j
0 . . . k
k+1
=
6
k+1
m=1
k+1
m=1
s
k−1+j
|s
k−1+j
S
m
m
j1. . . [jm] . . . j
|Ck6 C
0 . . . . . . . . . k − 1
k+1
k+1
,
6
поскольку
k+1
m=1
|s
k−1+j
m
| 6
∞
k=0
|sk| = C.
Знак [jm] означает, что в рассматриваемом определителе столбец с номером jmотсутствует. 2
Рассмотрим бесконечную ганкелеву форму
∞
S(x, x) =
j,k=0
s
j+kxjxk
. (1.4.19.)
Этот двойной ряд абсолютно сходится, например, при |xj| 6 j−2.
Действительно, в силу условия (1.4.17.)
|S(x, x| 6 C
∞
|xj||xk| = C
j,k=0
∞
j=0
|xj|
2
.
Будем в дальнейшем считать, все Dj= 0. Примеры таких матриц
приведем позже.
Рассмотрим усеченную ганкелеву матрицу Spвида (1.4.13.) и усе-
ченную ганкелеву форму Sp(x, x) вида (1.4.14.).
42
Приведение квадратичных форм к сумме квадратов показывает [24,
гл. 10, §3], что
p−1
Sp(x, x) =
k=0
D
k−1Dk
1
(X
(p)
)2, (1.4.20.)
k
где
X
(p)
k
=
p−1
q=k
0 . . . k − 1 k
S
0 . . . k − 1 q
xq.
Из леммы 1.4.1 получаем
p−1
|X
(p)
k
| 6 C
k
|xq|.
q=k
Таким образом, взяв
1
|xq| 6
,
2
q
получим, что для таких xpсуществует предел
0 . . . k − 1 k
S
0 . . . k − 1 q
lim
p→∞
X
(p)
= Xk=
k
∞
q=k
Однако при таких же xqсуществует предел
lim
Sp(x, x) = S(x, x).
p→∞
Кроме того,
|Xk| 6 C1Ck,
где
∞
j=1
1
.
2
j
C1=
Поэтому имеем
∞
S(x, x) =
k=0
D
k−1Dk
1
X
xq.
2
. (1.4.21.)
k
43
Отметим, что в силу тождества (1.4.20.) при возведении в квадрат Xkи приведения подобных в (1.4.21.) каждое произведение xjx
в S(x, x) будет содержать лишь конечное число слагаемых.
Таким образом, получили утверждение
Предложение 1.4.2. Если для ганкелевой матрицы S вида (1.4.9.)
выполнено условие (1.4.17.) и все Dp= 0, то справедливо представле-
ние (1.4.21.), где ряды
Xk=
∞
0 . . . k − 1 k
S
xq, k = 0 , . . .
0 . . . k − 1 q
q=k
1
являются абсолютно сходящимися рядами при |xq| 6
.
2
q
Запишем равенство (1.4.21.) в другом виде:
∞
S(x, x) =
k=0
D
D
k−1
k
2
Y
,
k
k
где
Yk=
D
∞
1
0 . . . k − 1 k
S
k
q=k
0 . . . k − 1 q
xq. (1.4.22.)
Будем смотреть на систему (1.4.22.) как на бесконечную систему
уравнений относительно переменных xp, p = 0, 1, . . . . Обозначим беско-
нечную матрицу этой системы через A, а ее элементы будем обозначать
через a
. Она является верхней треугольной, у которой на главной
j,k
диагонали стоят единицы.
Рассмотрим алгебраические дополнения A(j, k) к элементам a
j,k
матрицы A. Эти алгебраические дополнения корректно определены, так
как ниже некоторой строки по главной диагонали будут стоять единицы. Формула Лапласа тогда показывает, что все A(j, k) являются определителями конечной матрицы. Ясно, что A(j, j) = 1, A(j, k) = 0 при
j > k. Рассмотрим бесконечную матрицу B, элементами которой являются A(k, j). Это тоже верхняя треугольная матрица. Перемножая
44
матрицы A и B по правилам умножения матриц, получим, что суммы
∞
a
A(j, s)
j,k
j=1
конечны и равны 1, если s = k, и 0, при s = k. Это следует из правила
нахождения конечной обратной матрицы с единичным определителем.
Поэтому
AB = BA = I,
где I — бесконечная единичная матрица.
Умножив теперь равенство (1.4.22.) слева на B, получим выражения
для xqчерез бесконечные ряды из переменных Yk. Полученные ряды
очевидно сходятся при условиях предложения 1.4.2.
Рассмотрим целую функцию конечного порядка роста ρ вида (1.4.5.)
с бесконечным числом нулей α1, . . . , αn, . . ., степенные суммы σkвида
(1.4.11.) и sj= σ
Имеем
∞
k=0
∞
∞
=
k=0
|αj|
j=1
|sk| =
. Проверим для sjвыполнения условия (1.4.17.).
2k0+j
1
2k0+k
∞
k=1
=
j=1
∞
j=1
∞
α
|αj|
2k0+k
j
1
2k
∞
k=0
1
k
∞
j=1
=
|αj|
∞
j=1
1
2k0+k
1
|αj|
2k
0
=
·
|αj| − 1
1
6
∞
0
k=0
|αj|
1
,
если все |αj| > 1.
Справедливо неравенство
1
1
6
|αj| − 1
|α1| − 1
в силу монотонного возрастания последовательности модулей |αj|. Поэтому ряд (1.4.17.) сходится и
∞
|sk| = C 6
k=0
1
|α1| − 1
·
∞
j=1
|αj|
1
.
2k
0
Замечание 1.4.2. Если для каких-то корней |αj| < 1, то можно
рассмотреть функцию f (rz), где r > 0, тогда ее нулями будут числа
45
αj/r. Поэтому при достаточно малых r они будут по модулю больше 1. Тогда суммы σkумножатся на rk, а миноры Dpумножатся на
2k0+p(p−1)
r
, поэтому на условия неравенства нулю определителей Dpи
на их знак это преобразование не повлияет. А последуюшие утверждения становятся справедливыми для произвольных f .
В дальнейшем будем предполагать, что все |αj| > 1. Поэтому для
таких f справедливо предложение 1.4.2.
Напомним формулу Бине–Коши для произведения прямоугольных
матриц. Пусть
A =
матрица
a
. . . . . . . . . . . .
a
a
11
m1am2
12
. . . a
. . . a
C =
1n
, а B =
mn
c
. . . . . . . . . . . .
c
c
11
m1cm2
12
. . . c
. . . c
b
11b12
. . . . . . . . . . . .
b
n1bn2
. . . b
. . . b
1m
mm
1m
nm
и C = A · B, то справедлива формула Бине–Коши [24, гл. 1, §2]:
det C =
16k1<k2<...<km6n
1 2 . . . m
A
k1k2. . . k
m
k1k2. . . k
· B
1 2 . . . m
(1.4.23.)
Предположим, что A и B — бесконечные прямоугольные матрицы
вида
A =
a
. . . . . . . . . . . . . . .
a
a
11
m1am2
12
. . . a
. . . a
1n
mn
. . .
. . .
, B =
b
b
b
11
12
. . . b
. . . . . . . . . . . .
n1bn2
. . . b
. . . . . . . . . . . .
1m
nm
m
,
.
.
Лемма 1.4.2. Если ряды
∞
n=1
a
k1n
46
· b
nk
2
(1.4.24.)
абсолютно сходятся для всех 1 6 k1, k26 m, тогда справедлива фор-
мула
det C =
16k1<k2<...<k
1 2 . . . m
A
k1k2. . . k
m
m
· B
k1k2. . . k
1 2 . . . m
m
,
(1.4.25.)
причем полученный ряд абсолютно сходится.
Для доказательства равенства (1.4.25.) нужно применить формулу
Бине–Коши (1.4.23.) к конечным подматрицам матрицы A порядка (m×
n) и матрицы B порядка (n × m) и перейти к пределу при n → ∞.
Сходимость полученного ряда обеспечивает сходимость рядов (1.4.24.).
2
Для рассматриваемой функции f обозначим через ∆ бесконечную
матрицу, у которой элементы
δkj=
α
, k, j = 0, 1, . . . k . . . ,
k0+k
j
а через ∆′— транспонированную к ∆.
Пусть матрица ∆mсоставлена из первых m строк матрицы ∆.
Предложение 1.4.3. Для определителей Dmсправедливо предста-
вление
1
Dm=
16k1<k2<...<k
m
∆
1 2 . . . m
m
k1k2. . . k
m
2
, (1.4.26.)
ряд в котором сходится абсолютно.
Доказательство. Применим формулу (1.4.25.) к матрицам ∆mи ∆
′
m
воспользуемся тем, что определители матрицы и ее транспонированной
совпадают, и тем, что
∞
sk= σ
2k0+k
=
j=1
2k0+k
α
j
1
.
,
Поэтому s
является бесконечным скалярным произведением бес-
j+k
конечных строк матрицы ∆mи бесконечных столбцов матрицы ∆
47
′
m
.
2
Теорема 1.4.7. Пусть функция f (z) имеет вещественные коэффи-
циенты. Для того чтобы все нули f были вещественные, необходимо
и достаточно, чтобы Dm> 0, m = 0, 1, . . ..
Доказательство. Пусть все нули функции f (z) вещественные. Приме-
нив формулу (1.4.26.), получим, что Dmявляется суммой неотрицательных миноров, часть из которых строго положительна, так как они есть
определители Вандермонда с разными столбцами.
Пусть все Dm> 0. Рассмотрим бесконечную ганкелеву форму S(x, x)
вида (1.4.19.) с вещественными переменными xj. Ранее показали, что
она является абсолютно сходящимся двойным рядом при |xk| 6 k−2,
k > 1.
Пусть β1, β2, . . . , βk. . . различные нули функции f с кратностями,
соответственно,
n1, n2, . . . , nk, . . ..
Преобразуем форму S(x, x):
=
∞
m=1
S(x, x) =
∞
2k0+j+k
β
j,k=0
m
n
m
∞
j,k=0
xjxk=
s
j+kxjxk
∞
m=1
∞
=
j,k=0
∞
m=1
n
m
2k0+j+k
β
m
xjxk=
n
m
2k
β
m
x0+
0
x
1
β
m
+ . . . +
β
x
k
k
m
+ . . .
Перестановки порядка суммирования обосновываются абсолютной
сходимостью соответствующих рядов. Обозначим
Zm=
1
x0+
k
0
β
m
x
1
β
m
+ . . . +
x
k
k
β
m
+ . . .,
тогда получим, что
∞
S(x, x) =
m=1
nmZ
2
. (1.4.27.)
m
2
.
Если нуль βmвещественный, то Z
сумма квадратов Z
2
m
+ Z
2
m
= P
2
m
− Q
2
> 0. Если нуль комплексный, то
m
2
, где Pm= Re Zm, а Qm= Im Zm,
m
48
те. вещественному нулю соответствует положительный квадрат в представлении (1.4.27.), а комплексному нулю соответствует разность квадратов. Так что представление (1.4.27.) можно записать в виде
∞
S(x, x) =
m=1
rmF
2
, (1.4.28.)
m
где rmравны 1 или −1, а линейные бесконечные формы Fmвещественные.
Мы должны показать, что если все Dm> 0, то в представлении
(1.4.28.) все rm= 1. Предположим, что r
= −1 для некоторого m0.
m
0
Рассмотрим систему уравнений
F0= 0, . . . F
m0−1
= 0, F
m0+1
= 0, . . . Fk= 0 для достаточно больших k.
(1.4.29.)
В этой системе нет повторяющихся уравнений.
Перенесем все xjс j > k в правые части системы уравнений (1.4.29.).
Так что в правой части появятся некоторые сходящиеся ряды. Коэффициенты при переменных x0, . . . , x
образуют матрицу Вандермонда
k−1
(либо ее вещественную или мнимую части), поэтому из системы (1.4.29.)
выразим переменные x0, . . . , x
в виде сходящихся рядов от остальных
k−1
переменных. При их подстановке в систему (1.4.29.) они обратят ее в 0.
Ясно, что при подстановке этих решений в F
данная форма не мо-
m
0
жет быть равна тождественно нулю, так как это уравнение не является
следствием уравнений системы (1.4.29.). Тогда найдутся такие xk, . . .,
при которых F
m
0
= 0.
Вспоминая, что формы Fmполучаются из форм Zmи все переменные |xj| во всяком случае ограничены некоторой константой c1, получаем
6
|Zm| 6
c1n
|βm|
m
2k
n
m
2k
|βm|
1 +
0
β
0
1
m
|x0| +
+ . . . +
x
1
β
m
β
+ . . . +
1
+ . . .=
k
m
x
k
k
β
m
+ . . .6
c
1
|βm|
Напомним, что считаем |βm| > 1 для всех m. Поэтому
c1n
|Zm| 6
|βm|
m
2k0+1
.
49
2k
0
|βm| − 1
n
m
.
Тогда сумма
∞
m=p
|Zm| 6 c
1
∞
m=p
|αm|
1
2k0+1
= δ. (1.4.30.)
Последнее выражение есть остаток сходящегося ряда, поэтому он может быть сделан сколь угодно малым, равномерно по xj. Выбирая k
достаточно большим, чтобы δ < |F
|, получим, что S(x, x) для данных
m
0
значений отрицательно. В то же время для S(x, x) справедливо представление (1.4.21.). Оно показывает, что в условиях нашей теоремы оно
неотрицательно. Получили противоречие с нашим предположением, что
r
= −1. 2
m
0
1
Пример 1.4.3. Рассмотрим целую функцию f (z) порядка ρ =
:
2
f(z) =
sin√z
√
z
=
∞
n=0
(−1)
n
n
z
(2n + 1)!
.
Тогда, как известно [50, гл. 12, п. 449], что
sin√z
ln
√
2n−1
2
B
= −
z
n=1
(2n)!
n
z
n
·
, (1.4.31.)
n
∞
где Bn— числа Бернулли [50, гл. 12, п. 449]. Они все положительны.
Тогда формула (1.4.2.) и следствие 1.4.2 показывают, что
2n−1
σn=
2
B
n
при n > 1.
(2n)!
Положим, что sn= σ
1
а числа B1=
, B2=
6
Dm=
30
, а Dmопределяется формулой
n+1
1
, B3=
s
s
. . . . . . . . . . . .
s
m−1sm
s1. . . s
0
s2. . . s
1
1
, B4=
42
. . . s
30
m−1
m
2m−1
1
, B5=
,
,
5
66
50
, . . . .