Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
(2.3.3.) для мономов gβ, 0 < ||β|| < m и для функции Jf, поскольку z
может быть разложена в ряд по функциям gγ, ||γ|| > ||β||. Рассмотрим
первый случай h = gγ, ||γ|| > 0. Нетрудно проверить, что формула
(2.3.3.) преобразуется в такую же формулу с h = 1 и m − ||γ|| < m.
Остается рассмотреть случай h = Jf. Тогда получим
β
Jfdz
= 0.
f
. . . f
i
Γ
1
f
f1. . . f
i
m
n
Лемма 2.3.1. Если f и g неособые и связаны соотношением (2.3.2.),
то
n
j1,...,jm=1
∂g
∂
. . . ∂g
j
1
m
j
m
det A det
∂f
∂g
a
j1i
. . . a
1
jmi
m
(a) = 0.
Доказательство. Доказательство этой леммы состоит в прямом вычислении, основанном на (2.3.4.).
Используя лемму 2.3.1, имеем
m
m
∂
. . . ∂g
a
. . . a
j1j
1
g
. . . g
Γ
g
j
1
jmi
j
m
g1. . . g
m
det AJfdz
=
n
∂f
a
. . . a
j1i
j
m
1
jmi
m
det A det
∂g
(a) = 0.
= (2πi)
j1,...,jm=1
n
n
j1,...,jm=1
n
∂g
c
j1...j
j
1
В случае когда f и g особые в точке a доказательство (2.3.3.) идет
тем же самым путем, что и формулы (2.1.2.).
Формула (2.3.3.) может быть переписана в другом виде
Следствие 2.3.1. Справедливо равенство
=
ksj≥0
Γ
f
n
s=1
hdz
α+I
f
s,j=1
n
=
n
j=1
(ksj)!
hdz1∧ . . . ∧ dz
α1+1
f
Γ
f
. . . f
1
αn+1
n
n
=
n
k
k
!
sj
h
s,j=1
β1+1
g
Γ
g
1
a
sj
. . . g
sj
det Adz
βn+1
n
, (2.3.5.)
121
где
βs=
n
j=1
ksj,
и суммирование в правой части идет по всем матрицам
||ksj||
n
s,j=1
с неотрицательными элементами такими, что
n
ksj= αj.
s=1
Пусть теперь f = (f1, . . . , fn) и g = (g1, . . . , gn) полиномиальные
отображения и пусть их нулевые множества конечны Ef, Eg(напомним,
что каждый нуль считается столько раз какова его кратность). Полная
сумма вычетов, или глобальный вычет, полинома h относительно отоб-
ражения f есть выражение
Resfh =
a∈E
f
res
a
h.
f
Следствие 2.3.2 (Кытманов). Если f и g связаны соотношением
(2.3.1.) и ajkтакже полиномы, то
m
c
j1...j
hdz
=
f
. . . f
i
Γ
1
f
f1. . . f
i
m
n
h det Aa
m
Γ
g
. . . g
j
g
1
j1i
. . . a
1
g1. . . g
j
m
jmi
dz
m
.
n
=
a∈E
a∈E
f
j1,...,jm=1
g
c
i1...i
В частности, справедливо следующее утверждение [52, 58].
Следствие 2.3.3 (Южаков). В условиях следствия 2.3.2
Resfh = Resgh det A, (2.3.6.)
т.е. формула преобразования (2.1.2.) для локального вычета переносится на случай глобального вычета.
122
2.4. Классическая схема исключения неизвестных
Теорему 1.5.1 и следствие 1.5.1 можно применить к исключению одного
из неизвестных в системе из двух алгебраических уравнений. Пусть
P (z, w) и Q(z, w) — полиномы двух комплексных переменных z и w.
Группируя их члены по степеням z, получим
P (z, w) = a0(w)zk+ a1(w)z
Q(z, w) = b0(w)zs+ b1(w)z
k−1
+ . . . + an(w),
s−1
+ . . . + bs(w),
где коэффициенты aj(w) и bj(w) — полиномы по w. Предположим, что
a0≡ 0 и b0≡ 0.
Рассмотрим результант R(P, Q) этих полиномов (по переменной z).
Это будет некоторый полином R(w). Если вектор (α, β) является корнем
системы
P (z, w) = 0, Q(z, w) = 0, (2.4.1.)
тогда, подставляя значение w = β, получим, что система полиномов
P (z, β) и Q(z, β) имеет общий нуль z = α, следовательно, по теореме
1.5.1 R(β) = 0. Обратно, если β — нуль многочлена R(w), тогда, в соответствие со следствием 1.5.1, или полиномы P (z, β) и Q(z, β) имеют
общий нуль α (т.е. система (2.4.1.) имеет решение (α, β)), или β есть
нуль полиномов a0(w) и b0(w). В частности, если эти полиномы не имеют общих нулей (что может быть проверено нахождением результанта
a0и b0), тогда каждый нуль полинома R(w) есть вторая координата
корня системы (2.4.1.).
Пример 2.4.1. Рассмотрим систему
P (z, w) = wz2+ 3wz + 2w + 3 = 0,
Q(z, w) = 2zw − 2z + 2w + 3 = 0.
Сначала перепишем P и Q в виде
P = w · z2+ 3w · z + (2w + 3), Q = 2(w − 1) · z + (2w + 3).
Тогда получим
R(P, Q) =
w 3w 2w + 3
2(w −1) 2w + 3 0
0 2(w − 1) 2w + 3
123
=
= (2w + 3)
= (2w + 3)(4w2− 8w + 4 + 2w2+ 3w − 6w2+ 6w) =
2(w − 1) 2w + 3
0 2(w − 1)
= (2w + 3)(w + 4).
+
w 3w
2(w − 1) 2w + 3
=
Нули R(w) есть w1= −
и w2= −4. Они не являются общими нулями
2
старших коэффициентов P и Q, т.е. полиномов w и 2(w − 1).
При w = −4 получим систему
−4z2− 12z − 5 = 0, −10z − 5 = 0,
3
3
из которой имеем z = −5. При w = −
получим
2
3
−
z2−
2
поэтому z = 0. Итак, первоначальная система имеет два корня0, −
9
= 0, −5z = 0,
2
3
2
и (−5, −4).
Рассмотрим системы из нескольких уравнений.
Теорема 2.4.1. Для заданных r полиномов P1(z), . . . , Pr(z) одного
переменного z ∈ C, существует система R1, . . . , Rkполиномов, по-
строенная по коэффициентам
P1, . . . , Pr, такая что условия R1= 0, . . . , Rk= 0 необходимы и достаточны, чтобы система уравнений
P1= 0, . . . , Pr= 0 (2.4.2.)
имела общий корень или старшие коэффициенты всех полиномов
P1, . . . , Prобращались в нуль одновременно.
Доказательство. Сначала преобразуем полиномы P1, . . . , Pr, чтобы они
имели одинаковые степени.
Если n наибольшее число из степеней P1, . . . , Prтогда умножим каж-
дый полином Pmстепени nmна z
n−n
m
и (z − 1)
n−n
m
. Этим путем полу-
чим два полинома степени n, старшие коэффициенты которых такие
124
же, как у Pm. Обозначим через Q1, . . . , Qsновую систему полиномов,
полученную из системы P1, . . . , Pr. Система (2.4.2.) и система
Q1= 0, . . . , Qs= 0
имеют одинаковые нули.
Рассмотрим сейчас полиномы
Qu= u1Q1+ . . . + usQs, Qv= v1Q1+ . . . + vsQs,
где ujи vjдополнительные переменные. Если Quи Qvимеют общий
множитель (для любых ujи vj), тогда этот множитеь не зависит от u
или vj, всех Qj.
Обратно, общий множитель всех Qjесть множитель Quи Qv. Так
как степени всех Qjсовпадают, обращение в нуль старших коэффициентов Quи Qvэквивалентно обращению в нуль старших коэффициентов
для всех Qj.
Для полиномов Quи Qvобразуем результант R(Qu, Qv). По теореме
1.5.1 и следствию 1.5.1 R(Qu, Qv) = 0 тогда и только тогда, когда или
Quи Qvимеют общий нуль (т.е. общий множитель) или старшие коэф-
фициенты Quи Qvобращаются в нуль одновременно. Так как R(Qu, Qv)
— полином по ujи vj, то получаем, что R = 0 тогда и только тогда,
когда коэфициенты при них в R1, . . . , Rkвсе обращаются в нуль.
Система R1, . . . , Rkназывается системой результантов для
P1, . . . , Pr.
Рассмотрим систему алгебраических уравнений вида
P1(z) = 0, . . . , Pr(z) = 0, (2.4.3.)
j
где z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn. Можно подойти к ее изучению следующим
образом. Предположим, что полином P1содержит моном наибольшей
степени по z1вида z
α
и что его коэффициент — ненулевая постоянная.
1
(Этого всегда можно добиться, сделав линейную замену переменных.)
Тогда, применяя теорему 2.4.1 по z1к системе (2.4.3.), получим новую
систему уравнений
d1= 0, . . . , dl= 0, (2.4.4.)
125
которая зависит только от z2, . . . , znи которая эквивалентна системе
(2.4.3.). К этой новой системе применим тот же метод и т.д. После повторения этой процедуры s раз, получим слева или нулевую систему,
или систему из постоянных, которые не все равны нулю. Во втором случае первоначальная система (2.4.3.) не имеет общих корней. В первом
случае имеем треугольную систему уравнений вида
P1= 0, . . . , Pr= 0,
d1= 0, . . . , dl= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . (2.4.5.)
R1= 0, . . . , Rk= 0,
где R1, . . . , Rkполиномы по zs, . . . , znи следующий шаг (по zs) превращает ее в нуль. Тогда можно придавать переменным z
извольные значения ξ
, . . . , ξn. Находя общие решения ξsу системы
s+1
, . . . , znпро-
s+1
R1= 0, . . . , Rk= 0, подставляем их в предыдущую систему и т.д., пока
не получим первоначальную систему (2.4.3.).
Конечно, система (2.4.5.) может иметь лишние уравнения.
Дальнейшее равзвитие теории исключений реализуется через метод
базисов Гребнера [60, 66], который позволяет редуцировать систему
(2.4.3.) к треугольному виду без лишних уравнений. Его основы рассматриваются в следующем параграфе.
Отметим, что классический метод исключения очень трудоемок и
практически бесполезен, когда число уравнений больше двух.
2.5. Метод базисов Гребнера
В 1965 г. Бухбергер предложил метод для упрощения полиномиальных
идеалов, который он назвал методом базисов Гребнара в честь своего начного руководителя [60, 65, 109]. Этот метод представляет собой
инструмент для получения алгоритмических решений таких проблем,
как нахождение точных решений алгебраических уравнений, полиномиальных решений систем однородных линейных уравнений, многомерной
интерполяции [99] и многих других задач в теории полиномиальных
идеалов.
126
Кратко опишем основную концепцию и структуру алгоритма. Полином g редуцируется к h по модулю идеала F, обозначается как
g →Fh,
если существует полином f ∈ F и моном u такие, что h = g − buf, где
cf(g, u ·lpp(f )) = 0, b = cf(g, u · lpp(f ))/lc(f ).
Здесь cf (g, r) есть коэффициент монома r в полиноме g, lpp(f), старшего монома в f(x1, . . . , xn), и lc(f) есть его коэффициент. Предположим, что линейное упорядочение <Tмономов x
i
1
1
. . . x
i
n
— фиксировано,
n
например по наибольшей степени
(1 <Tx1<Tx2<Tx
2
<Tx1x2<T. . .)
1
или чисто лесикографическое
(1 <Tx1<Tx
2
<T. . . <Tx1x2<T. . .)
1
и т.д. Редукция может быть рассмотрена как первый шаг обобщенного
алгоритма деления T .
Полином h есть нормальная форма полинома g по модулю F (обозначаемая как h = NF(F, g)), если существует последовательнность редукций
g = k0→Fk1→F. . . →Fkn= h
и если здесь полином h′такой,что h →Fh′.
Алгоритм для определения нормальной формы имеет вид
h := g,
если { f F, b, u : h→F} делай так;
< выбери f ∈ F, b, u со старшим произведением u lpp(f) в соответствие
упорядочеванием >Tтакой, что
h→F; h := h − buf > .
127
Множество F назовем базисом Гребнера, если для произвольных по-
линомов g, h1, h2с h1= NF(F, g) и h2= NF(F, g) всегда есть h1= h2.
Так S-полином, сответствующий f1и f2, определяется как полином
c
SP(f1, f2) = u1f1−
1
u2f2,
c
2
где ci= lc(fi), произведение степеней uiесть такое, что степень Siu
равна наименьшему общему кратному степеней S1и S2, где Si= lpp(fi).
Простейший алгоритм для нахождения базиса Гребнера имеет вид
G := F.
Множество пар полиномов B = {(f1, f2)| f1, f2∈ G, f1= f2}:
пока B =Ø делай;
< (f1, f2) есть пара из B;
B := B \ {(f1, f2)};
h :=SP(f1, f2);
h′:=NF(G, h);
если h′= 0, тогда <
B := B{(g, h′)|g ∈ G};
G := G{h′} >>.
Базис Гребнера F назовем редуцированным, если каждый полином
f ∈ F представляется в нормальной форме по модулю F \{f } и lc (f ) =
1. Каждый базис Гребнера можно получить в редуцированной форме
i
с помощью повторения редукции всех полиномов из базиса по модулю
других полиномов, комбинируя с нормализациями старших коэффициентов.
В [65] была представлена улучшеная версия алгоритма (которая реализована в системе REDUCE, § 18.3 из [65]). Этот модифицированный
алгоритм для вычисления базиса Гребнера G для идеала F имеет вид
R := F ; P := 0, G := 0, B := 0;
’редуцировать все’ (R, P, G, B)
’Новый базис’ (P, G, B)
пока B = 0 делай <
(f1, f2) := пара из B с нинимальным общим множителем
LCM(lpp(f1),lpp(f2)) в соответствие с >T;
128
B := B \ {f1, f1};
если (не выполнен ’Критерий 1’ (f1, f2, G, B)
и не выполнен ’Критерий 2’ (f1, f2)), тогда <
h := NF(G,SP(f1, f2));
если h ≡ 0, тогда <
G0:= {g ∈ G| lpp(h) есть делитель lpp(g);
R := G0; P := {h}; G := G \ G0;
B := B \ {(f1, f2)| f1∈ G0or f2∈ G0};
’редуцировать все’ (R, P, G, B);
’New bases’ (P, G, B); >>
алгоритм ’редуцировать все’ (R, P, G, B);
пока R = 0 делай <
h := элемент из R; R := R \{h};
h :=NF(G, P, h);
если h = 0, тогда <
G0:= {f ∈ G| lpp(h) есть делитель lpp(g)};
P0:= {p ∈ P | lpp(h) есть делитель lpp(p)};
G := G \ G0;
P := P \ P0;
R := R ∪G0∪ P0;
B := B \ {(f1, f2) ∈ B| f1∈ G0or f2∈ G0};
P := P ∪ {h} >>;
алгоритм ’Новый базис’ (P, G, B);
G : G ∪ P ;
B := B ∩ {(g, p)| g ∈ G, p ∈ P, g = p};
H := G, K := 0;
пока H = 0 делай <
h := элемент из H; H := H \ {h};
k :=NF(G \ {h}, h); K := K{k};
G := K
алгоритм ’критерий 1’ (f1, f2, G, B);
проверяем: существует p ∈ G с f1= p, f2= p,
такой, что lpp(p) есть делитель LCM(lpp(f1), lpp(f2)),
(f1, p) ∈ B, (p, f2) ∈ B;
алгоритм ’критерий 2’ (f1, f2);
проверяем: LCM(lpp(f1, lpp(f2)) = lpp(f1) · lpp(f2).
129
Модификация алгоритма состоит из следующих шагов: 1) пара с
минимальным LCM старшим произведением выбирается из множества
B. Эксперименты показали, что это существенно ускоряет вычисления,
так как это уменьшает степени полиномов, с которыми алгоритм работает; 2) алгоритм "Редуцировать все" и соответствующая часть базового алгоритма использует следующий факт: когда новый полином
добавлен к базису, все другие полиномы можно редуцировать, используя этот полином. Алгоритм "Новый базис" учитывает множество пар
B и выполняет повторную редукцию базиса полиномов по отношению к
другим, что требуется для построения редуцированного базиса Гребнера; 3) критерии 1 и 2 во многих случаях (но не всегда) предотвращают
лишние вычисления нормальных форм которые уже должны исчезнуть.
Определение базиса Гребнера позволяет легко установить вопро-
сы разрешимости и поиска точных решений системы алгебраических
уравнений. Критерий разрешимости системы уравнений просто задается условием: 1 ∈ G. Система уравнений
F (x) = 0
имеет конечное число решений тогда и только тогда, когда для всех
j
i ∈ [1, n] степень формы x
i
имеет место, когда главный моном некото-
i
рого многочлена из G. Нахождениеґ базиса относительно чистого лексикографического порядка редуцирует систему в треугольный вид в
том смысле, что G содержит полином от одной "самой низкой" переменной, а другую xiможно найти последовательно от соответствующих
базисных полиномов (обычно низких степеней) ґ в xi.
Для приведенных примеров (17.8) и (17.9) из [101] базис Гребнера
вычисляется по соответствующей программе и имеет вид
GB(1) = −3y2+ y + x + 1,
GB(2) =
1
(9y4− 6y3− 6y2+ 2y + 1)
9
(2.5.1.)
(с порядком y >Tx);
1
GB(1) =
(18z6− 48z5+ 21z4+ 5z2+ 2y + 2), (2.5.2.)
2
1
GB(2) =
(18z7− 48z6+ 3z5+ 48z4+ 2z3− 48z2+ 19z + 6x2),
6
130