Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Теорема Якоби может быть обобщена на случай, когда некоторые из
определителей Dkобращаются в 0 [24, гл. 10].
Если b1, . . . , bkненулевые вещественные числа, тогда число постоянств знака в этой последовательности будем обозначать P (b1, . . . , bk),
а число перемен знака — через V (b1, . . . , bk). Ясно, что P + V = k −
1. Теорема Якоби утверждает, что сигнатура формы равна σ = r −
2V (1, D1, . . . , Dr).
Предположим, что
P (z) = a0zn+ a1z
n−1
+ . . . + a
n
— полином с вещественными коэффициентами. Если надо определить
число (различных) вещественных корней полинома P , то можно (для
этого) разделить полином P на наибольший общий делитель P и его
производной P′(используя алгоритм Евклида) для устранения кратных корней, но в данном случае мы делать этого не будем. Предположим, что полином P (z) имеет различные корни α1, . . . , αqкратностей
n1, . . . , nqсоответственно. Поэтому P (z) имеет разложение
P (z) = a0(z − α1)
n
1
. . . (z − αq)
n
q
, n1+ . . . + nq= n,
а степенные суммы
q
sk=
j=1
njα
k
.
j
Рассмотрим квадратичную форму
m−1
Sm(x) =
j,k=0
s
j+kxjxk
,
где m есть число такое, что m > q (например, m = n).
Теорема 1.3.2 (Эрмит). Число различных корней полинова P (z)
равно рангу формы Sm(x), а число различных вещественных корней равно сигнатуре формы Sm(x).
21
Доказательство. Из определения степенных сумм skи формы Smпо-
лучим
p=1
x
m−1
q
j+k
npα
m−1
p
p
x
m−1
xjxk=
)2=
q
p=1
2
npy
, (1.3.1.)
p
. Эти линейные формы y1, . . . , y
q
=
np(x0+ αpx1+ α
p=1
где yp= x0+αpx1+α
Sm(x, x) =
2
x2+ . . . + α
p
2
x2+. . .+α
p
m−1
j,k=0
m−1
p
линейно независимы, поскольку определитель, составленный из их коэффициентов, есть определитель Вандермонда, поэтому он не равен нулю (здесь мы используем тот факт, что числа α1, . . . , αqразличные).
Следовательно, ранг Sm(x, x) = q. Но, в общем, коэффициенты в ypмогут быть комплексные, и тогда представление Sm(x, x) в виде суммы
квадратом нуждается в объяснении.
В представлении (1.3.1.) положительному квадрату npy
2
соответ-
p
ствует вещественный корень αp. Комплексные корни входят парами α
и ¯αp, и, следовательно, можем написать yp= up+ ivp, где upи vpвеще-
q
p
ственные. Отсюда получим
2
y
p
= u
2
p
− v
2
+ 2iupvp.
p
Для сопряженного корня ¯αpимеем
¯yp= up− ivp, ¯y
и, следовательно, npy
2
+ np¯y
p
2
= 2npu
p
2
p
= u
2
− 2npv
p
2
p
− v
2
− 2iupvp,
p
2
.
p
Это показывает, что каждой паре сопряженных корней соответствует один положительный и один отрицательный квадрат. Новые линейные вещественные формы в представлении (1.3.1.) будут также линейно
независимыми.
Используя теорему Якоби 1.3.1, получаем предложение 1.3.1.
Следствие 1.3.1. Пусть D0= 1, D1= s0= n,
D2=
s1s
n s
1
, . . . , Dr=
2
n s
s
1
. . . . . . . . . . . .
s
r−1sr
. . . s
1
s
. . . s
2
. . . s
r−1
r
2r−2
.
22
Если Dj= 0, j = 0, . . . , r, тогда число различных вещественных корней
полинома P (z) равно
r − 2V (D0, D1, . . . , Dr).
В частности, справедливо
Следствие 1.3.2. Полином P (z) имеет только вещественные кор-
ни, тогда и только тогда, когда все определители Dj> 0, 0 6 j 6 r.
Найдем условие того, что полином P (z) имеет только чисто мнимые
корни. На языке инноров, его можно найти в [85, §2.4].
Пусть корни P — чисто мнимые ±iγj, γj∈ R, тогда полином P(z)
будет содержать только четные степени z. Действительно, в разложении
P на множители произведение
(z − iγj)(z + iγj) = z2+ γ
2
.
j
Так что данное произведение зависит от z2. Поэтому полином P (z) примет вид:
P (z) =
2n
k=0
ckzk=
n
c2kz2k, (1.3.2.)
k=0
т.е. коэффициенты с нечетными номерами равны 0. Рассмотрим полином
Q(w) =
Его корнями являются числа −γ
n
c2kwk.
k=0
2
и только они. Поэтому Q(w) имеет
n
только вещественные нули. Степенными суммами его корней с номером
k служат степенные суммы полинома P(z) с номером 2k. Отсюда и из
следствия 1.3.2 получаем утверждение
Следствие 1.3.3. Для того, чтобы полином P (z) имел чисто мни-
мые корни необходимо и достаточно, чтобы он разлагался только по
четным степеням, т.е. имел вид (1.3.2.) с положительными коэффициентами c2kи все определители
∆j=
n s
s
2
. . . . . . . . . . . .
s
2(r−1)
. . . s
2
s
. . . s
4
s
. . . s
2r
2(r−1)
2r
4r−4
> 0, 0 6 j 6 r.
23
Пример 1.3.1. Пусть P (x) = x2+ px + q, n = 2. Тогда получаем
квадратичную форму
1
S2(x, x) =
j,k=0
s
j+kxjxk
.
Сначала найдем s0, s1, s2. По формулам (1.2.1.) имеем s0= 2, s1+p =
0, s1= −p, s2+ S1p + 2q = 0, s2= p2− 2q. Тогда получаем матрицу
A = ||s
j+k
1
||
j,k=0
=
−p p2− 2q
2 −p
с минорами
D0= 1, D1= 2, D2= p2− 4q,
и, следовательно,
V (1, 2, p2− 4q) = 0, если p2− 4q > 0
V (1, 2, p2− 4q) = 1, если p2− 4q < 0
Приходим к хорошо известному выводу: если p2− 4q > 0, то P (x)
имеет два различных вещественных корня, если p2−4q < 0, то P (x) не
имеет вещественных корней.
Квадратичная форма Sm(x, x) является ганкелевой формой, и, сле-
довательно, теорема Якоби может быть обобщена на случай, когда некоторые главные миноры равняются нулю. Следствие 1.3.1 также может
быть обобщено [24, гл. 10, § 10; гл. 16, § 10].
Метод Эрмита может быть применен к другим проблемам, связанным с локализацией корней [28].
Вернемся к вопросу об определении числа вещественных корней вещественного полинома P на интервале (a, b). Это число может быть вычислено с помощью теоремы о логарифмическом вычете 1.1.2. Действительно, если γ есть кривая, обходящая сегмент [a, b] и не содержащая
комплексных корней полинома P , тогда по формуле (1.1.2) получаем
1
dP
= N, (1.3.3.)
2πi
P
γ
24
где N — число корней полинома на [a, b]. Но здесь возникает проблема
вычисления данного интеграла в терминах коэффициентов полинома
P . Сначала будем вычислять этот интеграла с помощью так называемого индекса Коши . Пусть R(x) — вещественная рациональная функция.
Индекс Коши
b
J
R(x)
a
— это следующее число: разность между числом разрывов функции
R(x) от −∞ до +∞ и числом разрывов R(x) от +∞ до −∞, когда x
идет a к b. Предположим, что a и b — точки непрерывности для R(x).
Тогда, если
p
R(x) =
j=1
A
j
y − α
+ R1(x),
j
где αj— вещественные, а R1(x) не имеет вещественных особых точек,
тогда
b
J
R(x) =
a
signAj.
a<αj<b
В частности, если
P′(x)
R(x) =
,
P (x)
то
R(x) =
q
j=1
n
j
x − α
,
j
где αj— различные корни P , а nj— кратность корня αj. Если α1, . . . , α
— вещественные корни, α
R(x) =
, . . . , αq— комплексные корни, то
p+1
p
j=1
n
j
x − α
+ R1(x),
j
где R1не имеет вещественных особых точек. Следовательно, индекс
b
J
R(x) равен числу различных вещественных корней P (x) на (a, b). Ес-
a
ли все nj= 1, тогда
′
P
b
J
a
(x) =
P
1
2πi
dP
P
γ
p
25
по формуле (1.3.3.).
Индекс Коши рациональной функции может быть вычислен с использованием так называемого ряда Штурма. Система вещественных
полиномов P1(x), . . . , Pm(x) называется рядом Штурма на интервале
(a, b), если:
1) для всех x ∈ (a, b) таких, что Pk(x) = 0 при k > 2, мы имеем, что
соседние с Pkфункции P
k−1
P
k−1
(x) и P
(x)P
(x) не равны 0 в точке x, и
k+1
(x) < 0;
k+1
2) последняя функция Pm(x) не равна нулю на (a, b);
3) если P1(x) = 0, то P2(x) = 0.
Обозначим через V (x) — число перемен знака в последовательности
P1(x), . . . , Pm(x), т.е. V (x) = V (P1(x), . . . , Pm(x)). Если P1(x) = 0, тогда
V (x) хорошо определена даже в точках, где некоторые Pk(x), k > 2
могут обращаться в 0. Действительно, если Pk(x) = 0, то в силу условия
1) P
k−1
(x)P
(x) < 0, поэтому можно удалить Pk(x) из нашего ряда
k+1
P1, . . . , Pm. V (a) равно V (a + ε), где ε > 0 достаточно мало и выбрано
так, что функции Pj(x) не равны нулю на (a, a + ε]. Если все функции
Pj(x) ненулевые при x = a, тогда V (a) = V (P1(a), . . . , Pm(a)). А V (b)
равно V (b − ε).
Когда x меняется от a к b, значение V (x) может измениться, когда
переходит через 0 для некоторой функции из ряда Штурма. Но в силу
условия 1) значение V (x) остается неизменным, когда x переходит 0 для
Pk, k > 2, пока не перейдет 0 в P1(x). Это значит, что точно один знак
теряется или добавляется.
Получаем следующую теорему.
Теорема 1.3.3 (Штурм). Если P1, . . . , Pmесть ряд Штурма и если
V (x) есть число перемен знака в этом ряду, то
P2(x)
b
J
a
P1(x)
= V (a) − V (b). (1.3.4.)
Если умножим все члены ряда Штурма на один полином d(x), тогда число знаков в (1.3.4.) не изменится. Отсюда следует, что теорема
Штурма остается верной также для обобщенного ряда Штурма.
26
Можем сконструировать обобщенный ряд Штурма с помощью алгоритма Евклида. Пусть P и Q два полинома и deg P > deg Q. Определим
P1= P , а P2= Q. Далее, пусть −P3— остаток отделения P1на P2. Пусть
−P4есть остаток от деления P2на P3и т.д. Tогда получим
P1= q1P2− P3, . . . , P
k−1
= q
k−1Pk
− P
k+1
, . . . , P
m−1
= q
m−1Pm
,
где Pmесть наибольший общий делитель P и Q, а также делитель всех
функций Pj. Если Pm(x) = 0 на (a, b), тогда полученный ряд есть ряд
Штурма. Если P1(x) = 0, то P2(x) = 0, иначе P3(x) = 0, . . . , Pm(x) = 0.
Точно так же видно, что если Pk(x) = 0, то P
лее того, P
(x) = −P
k−1
(x). Если Pm(x) равняется нулю в некоторых
k+1
(x) = 0 и P
k−1
k+1
= 0, бо-
точках (a, b), мы получаем обобщенный ряд Штурма.
Как следствие, получается теорема Штурма для числа различных
корней полинома P(x) на (a, b).
Теорема 1.3.4 (Штурм). Пусть P (x)— вещественный полином с
P (a) = 0, P (b) = 0. Построим для P (x) обобщенный ряд Штурма,
начиная P1(x) = P (x) и P2(x) = P′(x), используем алгоритм Евклида. Тогда число различных вещественных корней для P на (a, b) равно
V (a) − V (b).
Метод Штурма входит в стандартые учебники по высшей алгебре
[29].
Пример 1.3.2. Предположим P1= P (x) = x2+ px + q. Тогда имеем
P2= P′(x) = 2x + p и, деля P на P′, получаем P3= p2/4 − q. Предпо-
ложим, что p2/4 − q = 0. Тогда число различных вещественных корней
P (x) на (a, b)
V (a2+ ap + q, 2a + p, p2− 4q) −V (b2+ bp + q, 2b + p, p2− 4q).
Метод Штурма достаточно неудобный. Обычно применяется теорема Эрмита в комбинации с правилом знаков Декарта и теоремой
Бюдана–Фурье [29].
Теорема 1.3.5 (Декарт). Пусть P (x) — вещественный полином
вида
P (x) = a0xn+ a1x
n−1
+ . . . + an.
27
Число положительных корней P (x), вычисленное с их кратностями,
равно числу перемен знака в последовательности ненулевых коэффициентов P (т.е. V (a0, a1, . . . , an)) или меньше его на четное число. Если
все нули P(x) вещественные, то число положительных корней равно
V (a0, a1, . . . , an).
Теорема 1.3.6 (Бюдан–Фурье). Пусть P (x) — вещественный по-
лином степени n. Число вещественных корней P на отрезке [a, b] равно разности
V (P (a), P′(a), . . . , P
(n)
(a)) − V (P (b), P′(b), . . . , P
(n)
(b)),
или меньше этого значения на четное число. (Здесь предполагается,
что P (a) = 0, P (b) = 0. Если часть производных равно 0 в a или
в b, то V (P (a), . . . , P
(n)
(a)) и V (P (b), . . . , P
(n)
(b)) определяются как в
теореме Штурма.)
Доказательство этих теорем основано на теореме Ролля.
Здесь не рассматривается метод субрезультантов [85], поскольку мы
не нуждаемся в нем.
Мы видим, что существует ряд достаточно эффективных методов
определения числа вещественных или комплексных корней полинома.
Некоторые из этих методов применимы для более широкого класса
функций, чем полиномы [106]. Далее рассмотрим некоторые из них для
целых функций.
1.4. Локализация нулей целых функций
В данном параграфе рассматриваем обобщение некоторых утверждений
предыдущего параграфа на случай целых функций, в частности нахождение условий на коэффициенты разложения Тейлора целой функции
конечного порядка роста в C, гарантирующие заданное количество нулей функции, вещественных нулей функции, количество чисто мнимых
нулей. Переход от полиномов к целым функциям не является простым.
Например, в отличии от полиномов целая функция может не иметь
нулей, может иметь конечное или бесконечное число нулей. Основные
результаты данного параграфа взяты из [54, 90].
28
1.4.1. Отсутствие нулей у целой функции
Пусть функция f = f (z), комплексного переменного z, голоморфна в
окрестности нуля на комплексной плоскости C:
∞
f(z) =
Обозначим, как и ранее, через γr— окружность вида
γr= {z : |z| = r}, r > 0,
ориентированную против часовой стрелки.
Теорема 1.4.1. Для того чтобы функция f являлась целой функ-
цией конечного порядка роста, не имеющей нулей, необходимо и достаточно, чтобы для достаточно малых r существовало k0∈ N такое,
bkzk, f(0) = b0= 1. (1.4.1.)
k=0
что
1
df
= 0 при всех k > k0. (1.4.2.)
k
z
γ
f
r
При этом минимальное такое число k0равно порядку роста функции.
Напомним, что целая функция f (z) имеет конечный порядок (роста), если существует такое положительное число A, что при |z| = R →
+∞ выполнено условие
A
f(z) = O(e
R
).
Нижняя грань ρ чисел A, для которых выполняется это соотношение,
называется порядком (роста) функции.
Доказательство. Пусть функция f является функцией конечного по-
рядка роста, не имеющей нулей в C, тогда хорошо известно [43], что
она имеет вид f (z) = e
Поэтому
z
γ
r
φ(z)
, где φ(z) — многочлен некоторой степени k0.
1
df
=
k
f
1
φ′(z) dz = 0 при k > k0.
k
z
γ
r
Обратно. Пусть выполнено условие (1.4.2.). Так как f(z) голоморфна
в окрестности нуля и f (0) = 0, то значения f(z) лежат в некоторой
окрестности точки f(0) , не содержащей точки 0, при достаточно малых
29
|z|. Поэтому в этой окрестности нуля определена голоморфная функция
φ(z) = ln f (z), ln 1 = 0.
Пусть
∞
φ(z) =
akzk, a0= ln f(0) = ln b0.
k=0
Тогда, при достаточно малых r,
1
2πi
1
df
=
k
z
γ
f
r
1
2πi
1
φ′(z) dz = kak. (1.4.3.)
k
z
γ
r
При выполнении условия (??) получаем ak= 0 при k > k0. Поэтому φ(z) — многочлен порядка k0. Следовательно, f (z) = e
φ(z)
— целая
функция конечного порядка k0. 2
Из леммы 1.2.1 получаем, что справедливы формулы (1.2.5.) и
(1.2.6.).
Отсюда и из теоремы 1.4.1 имеем
Следствие 1.4.1. Для того чтобы функция f являлась целой функ-
ции конечного порядка k0, не имеющей нулей, необходимо и достаточно, чтобы определители
b
2b
. . . . . . . . . . . . . . .
kbkb
1
2
b
0
b
1
k−1bk−2
0 . . . 0
b
0
. . . 0
. . . b
= 0 при k > k0, (1.4.4.)
1
где k0— минимальное число с таким свойством.
Пример 1.4.1. Пусть
∞
z
k!
k
,
f(z) = ez= 1 +
k=1
1
т.е. b0= 1, bk=
, k > 1.
k!
Подставим эти значения в формулу (1.4.4.). При k = 1 определитель
не равен нулю, а при k > 1 все определители равны нулю, так как
первые два столбца у них совпадают, т.е. f (z) имеет порядок 1 и не
имеет нулей на комплексной плоскости.
30