Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
и
z2= (aw ± a√w2− 4)/2,
так что
и, следовательно, сумма
′
F
/F2= w. Третья подсистема не имеет конечных корней
2
′
F
/Flпо всем конечным корням подсистем
l
равна w, что отлично от P′/P = 0.
Бесконечный корень третьей подсистемы равен ζ0= 0, ζ1= wζ2,
ζ2= ζ2. Тогда F
′
/F3= −w, следовательно, вся сумма
3
′
F
/Flравна
l
нулю.
В свете этого примера нужно исследовать случаи, чтобы учитывать
только конечные корни.
Следствие 2.7.1. Если все корни системы (2.7.1.) конечны и если
w содержится не более чем в одном полиноме fj(0, ζ1, . . . ζn, w), то
n
P′(w)
=
P (w)
l=1
{j}
где суммирование ведется только по конечным корням ζ
′
f
j
l
(ζ
(w), w),
(j)
f
j
l
(w).
(j)
Доказательство. Нужно показать, что сумма (2.7.2.) по бесконечным
корням ζ
l
(w) равна 0. Если w не содержится в старшей однородной
(j)
части полинома Fj(z, w), то переходя к однородным координатам, получаем
m
′
F
F
′
l
l
(z
(w), w) =
(j)
l
ζ
(F
0
fl(ζ
)∗(ζ
l
(j)
l
l
(w), w)
(j)
(w), w)
,
где m > 1. Так как ζ0= 0, то на Π такой член равен нулю.
Пусть теперь w содержится в старшей однородной части Fl(z, w).
Корни ζ
l
(w), лежащие на Π, должны удовлетворять системе
(j)
fj(0, ζ1, . . . , ζn, w) = fj(0, ζ1, . . . , ζn) = 0, j = l,
т.е. эти корни ζ
l
(w) не зависят от w. Замораживая w в каждом корне
(j)
в fl, получаем полином от w, который должен быть константой. Действительно, в противном случае должны существовать решения, что
171
невозможно, так как предполагается, что система (2.7.1.) имеет только
конечные корни. Итак, fl(ζ
l
(w)) ≡ const и, следовательно,
(j)
′
l
f
(ζ
l
(w), w) = 0.
(j)
Отсюда следует, что сумма по бесконечным корням подсистем равна
нулю.
2.7.3. Следствия и примеры
Рассмотрим сейчас следующую систему уравнений:
f1= f1(z, w) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . (2.7.8.)
f
n+1
= f
(z, w) = 0,
n+1
где z ∈ Cn, w ∈ C и fj— полиномы от z w. На эту систему наложим
условия:
1. При w = 0 система (2.7.8.) не имеет корней в CPn. Это влечет, что
все подсистемы
fj(z, 0) = 0, j = l,
имеют конечное число корней в CPn(см. [82, гл. 4, теорема 9]), так что
после некоторой дробно-линейной замены переменных они становятся
невырожденными. Тогда можно предположить, что система
f1(z, 0) = 0, . . . , fn(z, 0) = 0 (2.7.9.)
— невырожденна (а также, что и все предыдущие системы невырожденны).
2. Рассмотрим систему
f1(z, w) = 0,
. . . (2.7.10.)
fn(z, w) = 0.
Потребуем, что если положить w = 0, то степени полиномов fjне изменятся. Это означает, что старшие однородные части всех функций f
172
j
содержат мономы без переменной w. Итак, если Pj(z, w) есть старшая
однородная часть fj(по переменным z1, . . . , zn), то
Pj(z, w) = Gj(z) + wFj(z, w)
и Gj≡ 0. Если deg fj= kj, то deg fj= deg Pj= deg Gj= kjи deg Fj= k
или F ≡ 0.
Условия 1 и 2 также влекут, что системы
G1(z) = 0, . . . , Gn(z) = 0 (2.7.11.)
имеют z = 0 единственным нулем.
Пусть S — единичная сфера Cn, т.е.
S = {z ∈ Cn: |z|2= |z1|2+ . . . + |zn|2= 1}.
Тогда из условия (2.7.11.) получаем, что для каждой точки z0∈ S,
существует число j, такое, что Gj(z0) = 0. Следовательно,
k
Gj(λz0) = λ
j
Gj(z0), λ ∈ C,
и существует ε > 0 такое, что при |w| < ε выполняется неравенство
|Gj(λz0)| > |w| |Fj(λz0, w)|
j
для всех λ ∈ C.
Использовав теорему 2.2.3, получим, что для |w| < ε система
P1(z, w) = 0, . . . , Pn(z, w) = 0
имеет также единственный нуль z = 0, и, следовательно, система
(2.7.10.) невырожденна. Фактически, теорема Гильберта [108] показывает, что система (2.7.10.) может быть вырожденной только для конечного
числа значений w.
Тогда видно, что система (2.7.8.) есть специальный случай системы
(2.7.1.).
Пример 2.7.2. Рассмотрим систему
b1z
k
1
− b−1z
1
k
1
= ν1w,
2
173
При w = 0 получим
. . . . . . . . . . . . . . .
k
z
n−1
k
n
− b−nz
n
n−1
− b
−(n−1)
k
n
= νnw,
1
z
b
n−1
bnz
z1+ . . . + zn= 1.
k
n
n−1
= ν
n−1
w,
b1z
k
1
= b−1z
1
k
1
,
2
. . . . . . . . . . . . .
bnz
k
n
n
= b−nz
k
n
,
1
z1+ . . . + zn= 1.
Для того чтобы найти все корни в CPn, нужно рассмотреть проективизацию каждой функции. Имеем
b1ζ
k
1
= b−1ζ
1
k
1
,
2
. . . . . . . . . . . . .
bnζ
k
n
= b−nζ
n
k
n
,
1
ζ1+ . . . + ζn= ζ0.
Решив ее, найдем
ζ2= a2ζ1, ζ3= a3ζ1, . . . , ζn= anζ
1
и из последнего уравнения получим, что ζ1= 0 (коэффициенты bjи b
−j
— параметры и мы ищем корни для почти всех значениях этих параметров). Отсюда следует, что ζ1= ζ2= . . . = ζn= 0, и из последнего
уравнения тогда имеем ζ0= 0. Эта система, следовательно, не имеет
корней в CPn, так что второе условие на систему (2.7.8.) также выполнено.
Пусть R(w) — результант функции f
относительно системы
n+1
(2.7.10.), положим
1k!dkln R
ak=
dw
(0).
k
Из доказательства теоремы 2.7.1 получаем следующее утверждение.
174
Теорема 2.7.2 (Кытманов). Для системы (2.7.8.) верны формулы
R′(w)
R(w)
=
1
(2πi)
n
j
n+1
Γ
j
k=1
(−1)
n+k−1
f1(z, w) ···f
′
f
(z, w)df[k]
k
n+1
(z, w)
и ak=
=
1
(2πi)
n
j
n+1
l=1
||α||=k
(−1)
n+l−1
α!
Γ
j
(αl−1)
′
f
l
f
l
df
[l]
f
(α)
.
w=0
α1=...=α
=0, αl>0
l−1
Здесь
Γj= {z ∈ U(z
z
— корни системы (2.7.9.), f
(j)
) : |fk(z, 0)| = εk, k = 1, . . . , n},
(j)
(αl−1)
df
[l]
равны d
(α)
=
(αl−1)
f/dw
αl−1
, а
f
=
df
f
(α1)
1
1
∧ . . . ∧
df
f
l−1
l−1
(α
l−1
)
df
∧
f
l+1
l+1
(α
l+1
)
∧ . . . ∧
df
f
n+1
n+1
Эта формула позволяет вычислять коэффициенты R(w).
Предположим теперь, что вместо условия 2 система (2.7.8.) удовлетворяет следующему условию.
3. Параметр w не содержится в старших однородных частях функ-
ций из системы (2.7.10.), т.е.
(α
n+1
)
.
fj(z, w) = Pj(z) + Qj(z, w), j = 1, . . . , n.
В этом случае получим R(w) = P (w) (см. доказательства теоремы 2.7.1
и следствия 2.7.1).
Следствие 2.7.2. При |w| достаточно малом имеем
R′(w)
R(w)
=
P′(w)
P (w)
=
s=1
M
j=1
s
′
f
(z
s
fs(z
s
(w), w)
(j)
s
(w), w)
(j)
.
n+1
175
В частности,
a1=
n+1
s=1
M
j=1
s
′
f
s
s
(z
, 0).
(j)
f
s
Здесь z
s
(w) — корни подсистемы
(j)
fj(z, w) = 0, j = s, j = 1, . . . , n + 1,
а z
s
(j)
= z
s
(j)
(0).
Пример 2.7.3. Рассмотрим систему
b1z
2
− b−1z
1
2
= ν1w,
2
b2z2− b−2z1= ν2w,
z1+ z2= 1.
Для того чтобы найти R(w), решим систему
b1z
2
− b−1z
1
2
= ν1w,
2
b2z2− b−2z1= ν2w.
Тогда получим
3
z
(1),(2)
(w) =
b−1b−2ν2w ± b2(b1b−1ν
=
b1b2ν2w ±b−2(b1b−1ν
b1b
2
w2+ ν1w(b1b
2
2
b1b
− b−1b
2
2
w2+ ν1w(b1b
2
2
− b−1b
2
2
−2
2
−2
2
2
2
− b−1b
2
− b−1b
2
−2
))
2
−2
1
2
))
,
1
2
и, следовательно,
2
ν
w2(b1− b−1) − w(2ν2(b1b2+ b−1b−2) + ν1(b2+ b−2)2) + b1b
1
=
отсюда имеем
R(w) = f3(z
3
(w), w)f3(z
(1)
2
b1b
− b−1b
2
R′(w)
R(w)
176
=
3
(w), w) =
(2)
2
−2
2
− b−1b
2
2
−2
,
2ν2w(b1− b−1) − 2ν2(b1b2+ b−1b−2) − ν1(b2+ b−2)
2
ν
w2(b1− b−1) − w(2ν2(b1b2+ b−1b−2) + ν1(b2+ b−2))2+ b1b
2
Решив первую подсистему
b2z2− b−2z1= ν2w,
z1+ z2= 1,
2
2
− b−1b
2
2
−2
.
найдем
1
z
(1)
2
ν
w2(b1− b−1) + 2ν2w(b1b2+ b−1b−2) − ν1w(b2+ b−2)2+ b1b
2
b2− ν2w
=
b2+ b
f
1
f
1
−ν1(b2+ b−2)
ν2w + b
,
1
(1)
b2+ b
) =
−2
′
(z
−2
−2
2
Решая вторую подсистему
b1z
2
− b−1z
1
2
= ν1w,
2
z1+ z2= 1,
получаем
2
z
(1),(2)
=
−b−1±b1b−1+ ν1w(b1− b−1)
=
b1− b
−1
b1±b1b−1+ ν1w(b1− b−1)
,
b1− b
,
2
− b−1b
2
2
−2
.
,
−1
и, следовательно,
′
f
2
f
2
2
z
(1)
+
′
f
2
f
2
2
z
(2)
=
2ν2w(b1− b−1) − 2ν2(b1b2+ b−1b−2)
2
ν
w2(b1− b−1) + 2ν2w(b1b2+ b−1b−2) − ν1w(b2+ b−2)2+ b1b
2
Так как f
′
= 0, то
3
R′(w)
R(w)
=
′
f
1
f
1
1
z
(1)
+
′
f
2
f
2
2
z
(1)
+
′
f
2
f
2
177
2
− b−1b
2
2
z
.
(2)
2
−2
.
Покажем сейчас, что если w входит в старшую однородную часть,
то тождество из следствия 2.7.2 может не выполняться.
Пример 2.7.4. Рассмотрим систему
z1− w = 0
z2− w = 0
z1+ z2(1 + w) − 1 = 0.
Для первой подсистемы имеем z2= w1, z1= 1 −w − w2, а
′
f
/f1= −1/(1 −2w − w2).
1
Вторая подсистема дает z1= w, z2= (1 −w)/(1 + w) с
′
f
/f2= −(1 + w)/(1 − 2w −w2).
2
Наконец, третья подсистема дает z1= w, z2= w, поэтому
′
f
/f3= −w/(1 − 2w − w2).
3
Следовательно,
′
f
/f1+ f
1
′
/f2+ f
2
′
/f3=
3
−2 − 2w
1 − 2w − w
.
2
Но результант R(w) функции f2есть
2
.
,
Так как
R(w) =
R′(w)
R(w)
1 − w
1 − 2w − w
− w =
1 + w
1 + w
−3 − 2w − w
=
(1 + w)(1 − 2w − w2)
2
то видно, что тождество из следствия 2.7.2 не верно.
Но если написать результант функции f3, тогда видно, что он равен
P (w) = 2w−w2−1, поэтому тождество верно в соответствиии с теоремой
2.7.1.
Проанализируем систему уравнений
f1= P1(z) = 0,
178
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
fk= Pk(z) = 0, (2.7.12.)
f
k+1
= P
k+1
(z) − ν
k+1
w = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
fn= Pn(z) − νnw = 0,
f
n+1
= P
(z) − 1 = 0,
n+1
где Pj(z) — однородные полиномы степени kj> 1. Такие системы возни-
кают при исследовании одно - маршрутного или много - маршрутного
механизмов каталитических реакций [59], они также могут быть сведены к системам вида (2.7.12.).
Предположим, что система (2.7.12.) не имеет корней в CPnпри w =
0, так что теорема 2.7.2 может быть применена к ней. На циклах Γj= Γ
выполняются неравенства |Pj| > |νjw| для достаточно малых |w|. Раз-
R′(w)
лагая функцию
в ряд по геометрической прогрессии, получаем
R(w)
R′(w)
R(w)
=
1
(2πi)
n
l=k+1
n
(−1)
n+l
ν
l
||α||
P1. . . PkP
Γ
α
k+1
k+1
||α||να
w
+1
dP [l]
. . . P
αn+1
n
(P
n+1
− 1)
,
где α = (α
, . . . , αn), ||α|| = α
k+1
+ . . . αn, να= ν
k+1
k+1
k+1
. . . ν
α
n
.
n
α
Отсюда имеем
sas=
1
(2πi)
И, так как |P
n
n
l=k+1
| < 1 на цикле Γ, также получим
n+1
(−1)
n+l
ν
l
||α||=s−1
1
P
n+1
− 1
= −
Γ
(P
∞
p=0
ναdP [l]
− 1)P1. . . P
n+1
p
P
.
n+1
. (2.7.13.)
αn+1
n
В формуле (2.7.13.) только конечное множество интегралов отлично
от нуля. Действительно, степень числителя равна
pk
n+1
+
kj,
j=l
179
а степень знаменателя равна
n
j=1
kj+
n
j=k
αjkj.
Интеграл в (2.7.13.) может быть отличен от нуля только в случае, когда
степени числителя и знаменателя совпадают. Это происходит, когда
n
(p + 1)k
n+1
=
αjkj+ kl.
j=k
Следовательно,
Γ
p
ναP
l
n+1
P1. . . P
dP [l]
αn+1
n
,
as=
1
(2πi)
n
n
l=k+1
(−1)
n+l−1
ν
l
s
||α||=s−1
где
n
plk
n+1
=
j=k+1
αjkj+ kl− k
n+1
.
Если k
не делит правую часть формулы, то as= 0.
n+1
Для того, чтобы получить формулы для asв окончательном виде
нужно, как в §2.1, использовать обобщенную формулу преобразования
вычета Гротендика (2.3.5.) или следствие (2.3.1). Пусть
n
=
ajs(z)Ps(z), A = ||ajs||
s=1
= deg P
n+1
n+1
= 1.
N+1
z
j
и dP[l] = Jldz, k
Теорема 2.7.3 (Кытманов). Справедливы следующие формулы
as=
n
l=k+1
(−1)
n+l−1
ν
l
s
i
k
ij
i,j
j
kij!
k
!
ij
×
180