Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
Так как
то
+(b0+ b1z2+ b2z
S1= g(z1) + g(z2),
S2= g2(z1) + g2(z2),
S1= (b0+ b1z1+ b2z
2
+ . . . + bnz
2
n
) = 2b0+ b1(z1+ z2) + . . . + bn(z
2
2
+ . . . + bnz
1
n
1
)+
n
1
+ z
n
),
2
S2= (b0+ b1z1+ b2z
2
+ . . . + bnz
1
n
)2+ (b0+ b1z2+ b2z
1
2
+ . . . + bnz
2
Подставив эти две формулы в (3.7.2.) и преобразовав выражение,
получим
2
g(zi) = g(z1) · g(z2) =
i=1
2
0
+ b
2
z1z2+ b
1
= b
+b0b1(z1+ z2) + b0b2(z
+b1b2z1z2(z1+ z2) + b1b3z1z2(z
2
+b2b3z
2
z
(z1+ z2) + b2b4z
1
2
2
2
z
1
2
2
1
(z
2
z
2
+ z
2
1
2
1
2
z
1
+ z
+ z
2
2
2
1
2
(S
− S2) = (3.7.5.)
1
2
2
+ . . . + b
2
n
n
z
z
n
1
2
) + . . . + b0bn(z
2
) + . . . + b1bnz1z2(z
2
2
) + . . . + b2bnz
2
+
n
1
+ z
2
z
1
n
)+
2
n
1
2
(z
2
1
n
+ z
+ z
n
2
n
2
. . . . . . . . .
+b
n−1bn
z
n−1
z
1
2
(z
n
1
+ z
n
),
2
n−1
т.е.
)+
)+
n
)2.
2
=
=
2
g(zi) = g(z1) · g(z2) =
i=1
k=0
n
k=0
n
2
k
b
2
b
k
k
z
z
k
1
2
k
k
z
z
1
2
+
+
t=0
n
t=0
n
s=t+1
n
s=t+1
n
331
btbs(z
btbsz
1
2
(S
− S2) =
1
2
t
s
s
z
+ z
1
2
t
t
s−t
z
(z
1
2
1
t
z
) = (3.7.6.)
1
2
s−t
+ z
).
2
Для упрощения полученного выражения воспользуемся известными
формулами Виета:
e1= z1+ z2= −a1,
e2= z1· z2= a0,
где e1, e2— элементарные симметрические многочлены.
Введем обозначение
2
i=1
k
z
,
i
Sk=
т.е.
S1= z1+ z2,
2
S2= z
1
+ z
2
,
2
. . .
Sk= z
k
1
+ z
k
.
2
Напомним известную формулу Ньютона–Жирара:
(3.7.7.)
k
i=1
(−ei)
Sk=
r1+2r2+...+krk=k,r1,r2,...,rk>0
(−1)
k(r1+ . . . + rk− 1)!
k
r1! · . . . · rk!
В нашем случае элементарных многочленов k = 2, поэтому остается
два слагаемых:
j
S
S2j=
2j+1
=
t=0
j
t=0
(−1)
(−1)
2j · (j + t − 1)!
j+t
(2t)! · (j − t)!
(2j + 1) · (j + t)!
j+t
(2t + 1)! · (j − t)!
(e1)2t· (e2)
2t+1
(e1)
· (e2)
j−t
,
j−t
.
Например,
S2= e
S3= e
2
− 2e2= a
1
3
− 3e1e2= −a
1
2
− 2a0,
1
3
+ 3a0a1.
1
r
i
332
Теперь подставим выражения из (3.7.7.)
S2j=
S
2j+1
=
j
t=0
(−1)
j
t=0
j+t
(−1)
2j·(j+t−1)!
(2t)!·(j−t)!
j+t+1
(2j+1)·(j+t)!
(2t+1)!·(j−t)!
(a1)2t· (a2)
(a1)
j−t
2t+1
,
· (a2)
j−t
В итоге имеем
2
i=1
g(zi) =
n
k=0
=
2
b
k
n
k=0
n
n
t=0
n
s=t+1
n
s=t+1
btbsz
btbsa
t
t
s−t
z
(z
1
2
1
t
Ss. (3.7.9.)
0
+ z
s−t
2
) =
k
z
z
1
b
k
+
2
t=0
2
k
a
+
k
0
гдеSsвычисляется по (3.7.8.).
Теперь, если g(z) — это целая функция, формула (3.1.9.) имеет вид
2
i=1
g(zi) =
∞
k=0
∞
2
b
k
k
a
+
0
t=0
∞
s=t+1
btbsa
t
Ss. (3.7.10.)
0
(3.7.8.)
Пример 3.7.1. Рассмотрим систему уравнений
f(z) = z2− a2,
g(z) = b0+ b1z + b2z2+ . . . + bnzn.
Корнями первого уравнения системы являются числа ±a.
По формула (3.7.6.) имеем
Так как
2
i=1
g(zi) =
n
k=0
b
n
2
k
z
z
k
1
k
+
2
t=0
n
s=t+1
btbsz
t
t
s−t
z
(z
1
2
1
+ z
s−t
2
).
e2= z1· z2= −a2,
e1= z1+ z2= 0,
получаем, что
S2j= 2a2j.
(3.7.11.)
(3.7.12.)
333
Поэтому
2
i=1
g(zi) =
2
i=1
n
(−1)kb
k=0
g(zi) =
n
k=0
2
a2k+
k
(−1)kb
n
t=0
2
a2k+ 2
k
n
s=t+1
(−1)tbtbsa
n
n
(−1)tbtbsa
t=0
s=t+1
2t
при условии, что s − t четное число.
Пример 3.7.2. Рассмотрим теперь систему уравнений
f(z) = z2− a2,
g(z) = ebz=
=
∞
k=0
∞
n=1
(−1)
n
(bz)
= 1 + bz +
n!
k
(ab)
k!
2
(bz)
+ . . . +
2!
2
k
∞
∞
(bz)
n!
(−1)ta
+ 2
t=0
s=t+2
Согласно известным формулам
∞
k=0
(−1)
(ab)
k
(k!)
2k
2
=
∞
k=0
(−1)
2k
(ab)
k
k!(k + n)!
S2j(s − t = 2j).
2s−2
n
(3.7.13.)
+ . . . .
2s−2bs+t
.
t!s!
для n = 0, эта сумма равна
(ab)−nJn(2ab) = J0(2ab),
где J0— функция Бесселя 1 рода:
∞
∞
s=t+2
1
e
2
a
e−b−
a2b
t=0
(−1)ta
−
∞
∞
t=0
(−1)tb
t!
a2b
e
=
2
a
t=0
t
Поэтому получаем
= J0(2ab) + 2
a2b
e
a
2
e−b−
2s−2bt+s
=
t!s!
1
a
a2b
e
2
(t + 1)!
Γ(t + 2, a2b)=
(−1)tbtΓ(t + 2, a2b)
t!(t + 1)!
∞
(−1)tbtΓ(t + 2, a2b)
t=0
t!(t + 1)!
.
= 1.
334
3.7.2. Исключение неизвестных на основе формул для степенных сумм
Рассмотрим следующую схему исключения неизвестных из систем
трансцендентнных уравнений. Пусть система уравнений имеет вид, рассмотренный в теоремах 3.5.3, 3.5.4. Пусть sm— степенные суммы вида
∞
sm= σ
m,...,m
=
j=1
z
Получаем последовательность чисел s1, . . . , sm, . . ..
Найдем целую функцию f(w) одного комплексного переменного w ∈
C, степенные суммы корней которой равны sm. Пусть разложение Тей-
лора этой функции имеет вид
f(w) = 1 + b1w + . . . + bkwk+ . . . .
Так как ряды из чисел smсходятся абсолютно, то f разлагается в бес-
m
· . . . · z
j1
1
, i > 1.
m
jn
конечное произведения по теореме Адамара по нулям:
1
cm=
m
z
j1
· . . . · z
m
jn
,
тогда это есть целая функция не выше, чем первого порядка роста. Для
таких функций в гл. 1 (теорема 1.2.3) рассмотрен аналог рекуррентных
формул Ньютона, связывающий коэффициенты bkи суммы sm, а именно,
k−1
bjs
j=0
+ kbk= 0, b0= 1, k > 1.
k−j
Использовав эти формулы, можно найти коэффициенты функции f (w),
корнями которой являются числа zj1· . . . · zjn. Тогда функция f (w) является аналогом результанта для систем трансцендентных (неалгебраических) уравнений.
Таким же образом можно найти другие произведения корней рассматриваемых систем уравнений, а затем и сами координаты корней.
335
Заключение
Монография посвящена исследованию алгебраических и трансцендетных систем уравнений. В первой главе приведены утверждения на комплексной плоскости: классические теоремы комплексного анализа, аналоги формул Ньютона для целых функций, о нулях целой функции на
комплексной плоскости и их расположении: количестве вещественных
нулей и чисто мнимых нулей, аналоги правила знаков Декарта и теореме Бюдана–Фурье, результанте двух целых функций.
Во второй главе рассмотрены алгебраические системы уравнений.
Многие результаты здесь являются класическими. Сначала рассмотрен вычет Гротендика и многомерный логарифмический вычет. Затем
изложен многомерный метод исключения неизвестных. Вопрос этот конечно не является новым. Но здесь подробно изложен модифицированный метод исключения неизвестных, предложеный Л.А. Айзенбергом и
основанный на нахождении степенных сумм корней системы и формулах Ньютона. Рассмотреено его отличие от классического метода и от
метода базисов Гребнера. Параграф 2.5 написан А.А. Кытмановым.
В третьей главе подробно исследованы различные типы трансцендентных систем уравнений: простые, треугольные, с линейной младшей
однородной частью, с общей младшей однородной частью. Поскольку
число корней таких систем, как правило, бесконечно, то необходимо было исследовать степенные суммы корней от обратных к ним величин.
Приведены формулы для нахождения вычетных интегралов, их связь
со степенными суммами обратных величин корней и их связь с вычетными интегралами (получены многомерные аналоги формул
336
Предметный указатель
1
Аналог теоремы Адамара, 238
Аналог теоремы Вейерштрасса о
целых функций, 235
Аналог рекуррентных формул
Ньютона для систем
различных трансцендентных
уравнений, 246
корней полинома, 12
корней системы, 185, 195
Аналоги формул Варинга
для простейших систем
уравнений, 226
для треугольных систем
уравнений, 266,
для систем уравнений
специального вида, 292
для систем трансцендентных
уравнений, 324
Базис Гребнера, 128
редуцированный, 128
Базисный гипергеометрический
ряд, 277
Бесконечная гиперплоскость, 122
Весовая степень монома, 150
Вещественные корни системы, 205
Вычисление сумм кратных рядов,
260, 275, 305
Глобальный вычет, 96
Голоморфные функции, 6
Дискриминант полинома, 73
Индекс Коши, 25
Использование параметра в
системах уравнений, 148
Каноническое произведение, 25
классическая схема исключения
неизвестных, 97
Кратность нуля, 9, 107
Локальный (вычет), 8
Гротендика, 100
логарифмический, 9
многомерный, 107
Логарифмическая производная
результанта, 157
Матрица Вандермонда, 39
Метод базисов Гребнера, 130
Многомерные рекуррентные
формулы для простых систем
алгебраических уравнений, 183
для целых функций, 18
для полиномов, 12
многомерные аналоги, 143
Модифицированный метод
исключения, 141
Ганкелева матрица и форма, 20
1
Указаны страницы, где приведены определения терминов.
Нахождение матрицы A, 113
337
Нахождение результанта двух
Рекуррентные формулы
целых функций, 66
Нахождение сумм кратных рядов,
179, 220, 235
Нормальная форма полинома, 130
Область, 8
Однородные координаты, 122
Основная теорема алгебры
(многочленов), 45
Отображение неособое, 85
Перманент, 123
Подход Чеботарева, 70
Полином однородный, 124
Показатель сходимости ряда, 234
Порядок голоморфной
многомерной функции, 250
Построение результанта
многочленов, 77
Правило знаков целой функции
на комплексной плоскости, 68
Проективизация полинома, 105
Пространство теории функций,
172
Псевдостепенные суммы корней
систем, 175, 201
Разделяющие циклы, 317
Разложение целых функций в
бесконечные произведения, 183
Результант двух полиномов, 50
Результант полинома
относительно системы
функций, 160
Ньютона, 12
для целых функций, 16
для полиномов, 12
многомерные аналоги, 143
Ряд Лорана, 7
Ряд Штурма, 22
обобщенный, 23
Системы уравнений, 124
невырожденные, 132
Степенные суммы в пространстве
теории функций, 155
Системы трансцендентных
уравнений, 213
простейшие, 213
специального вида, 280
треугольного вида, 253
общего вида, 304
Старшая однородная часть
полинома, 145
Степенная сумма корней 135
Сравнение с классическим
результантом, 95
Тип целой функции, 52
Теорема Коши, 6
Теорема Адамара для целых
функций, 28
Теорема Айзенберга, 120
Теоремы
Айзенберга-Болотова-Циха,
157, 169
Теорема Айзенберга-Циха, 140
Теорема Безу, 143
Рекуррентные формулы для
невырожденных систем
уравнений, 191
Теорема Бюдана-Фурье, 25
Теорема Гильберта о нулях, 301
Теорема Декарта, 25
338
Теорема Каччиополи-
Теорема о логарифмической
Мартинелли-Сорани,
110
Теорема Коши-Пуанкаре, 98
Теорема Кронекера, 38
Теоремы Кытманова-Мкртчяна,
173, 175
Теорема о логарифмическом
вычете, 11
корней полинома, 12
корней системы, 126
Теорема Маколея, 300
Теорема Руше, 10
для полиномов, 15
Теорема Сарда, 104
Теорема Сильвестра, 61
Теорема Тарханова, 183
Теорема Фробениуса, 38
производной результанта, 159
Теоремы о числе вещественных
корней системы, 180, 184
Теорема Якоби, 19
Уравнение Коши-Римана, 8
Формальная производная, 8
Формула Бине-Коши, 47
Формула Варинга, 15
Формула для логарифмической
производной результанта, 167
Формула преобразования вычета
Гротендика, 116
обобщенная, 126
Формулы для вычисления
вычетных интегралов 214, 258,
283
для простейших систем
Теорема Циха о степенных
суммах, 144
теорема Циха о количестве
нулей, 145
Теорема Штурма, 23
Теорема Эрмита, 20
Теорема Южакова о смещенном
остове, 111
о глобальном вычете, 115
Теорема об отсутсвии нулей целой
функции, 28
Теорема о конечности нулей
целой функции, 38
Теорема о вещественности нулей
целой функции, 43
Теорема о чисто мнимых нулях
целой функции, 45
уравнений, 219
для треугольных систем
уравнений, 260
для систем специального
вида, 280
для общих систем уравнений,
310
Формулы для нахождения
степенных сумм, 223
для простейших систем
уравнений, 219
для треугольных систем
уравнений, 263, 230
для систем уравнений
специального вида, 285
для общих систем уравнений,
316
двух целых функций, 74
Целые функции, 25
339
порядок (роста) целой
показатель сходимости нулей
функции, 26
минимальный тип, 52
целой функции, 36
трансцендентные, 82
Ядро Бохнера-Мартинелли, 176
340