Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
т.е.
σ
β+I
=
∥α∥6∥β∥+min(n,k1+...+kn)
(−1)
∥α∥+n
M
∆ · Q
β+(α1+1)β1+...+(αn+1)β
z
α
.
n
Доказательство. Сделаем в интеграле Jβзамену переменных zj=
j = 1, 2, . . . , n. При такой замене цикл γ(r) перейдет в цикл
(−1)nγ
1
1
,
r
, . . . ,
r
1
2
1
= (−1)nγ(R1, R2, . . . , Rn), Rj=
r
n
1
, j = 1, . . . , n
r
j
(с учетом изменения ориентации при данной замене).
Обозначим через γjмультииндекс βj+ sjej, j = 1, 2, . . . , n. Тогда из
вида (3.1.9.) многочленовfjполучаем
df
f
1
1
,
j
w
1
j
w
1
, . . . ,
w
1
2
1
,
, . . . ,
w
2
1
w
n
1
w
n
=
dfj(w)
fj(w)
,
поэтому
Jβ=
(−1)
(2πi)
n
n
γ(R)
w
β+I
df1(w)
f1(w)
−
n
k=1
1
γ
·
k
dw
w
k
∧
k
w
1
,
j
. . . ∧
dfn(w)
fn(w)
−
n
k=1
n
γ
·
k
dw
w
k
.
k
Покажем, что все интегралы вида
dw
w
j
j
n−l
n−l
(3.1.10.)
γ(R)
w
β+I
df
f
i
i
1
(w)
1
(w)
∧ . . . ∧
df
f
i
i
l
(w)
l
(w)
∧
dw
w
j
1
j
1
∧ . . . ∧
равны нулю, если 0 6 l < n и Rjдостаточно велики.
Действительно, при достаточно больших Rj, j = 1, 2, . . . , n, справедливы неравенства
s
j
|wj|
> |Qj(w)| на γ(R),
221
поэтому
1
fj(w)
=
∞
p=0
(−1)
w
p
p
Q
j
(p+1)s
j
(w)
, (3.1.11.)
j
следовательно, интегралы (3.1.10.) являются абсолютно сходящимися
рядами из интегралов вида
γ(R)
w
β+I
(p1+1)s
w
1
wαdw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw
1
· w
(p2+1)s
2
2
···w
(pl+1)s
i
l
l
· w
n
j
i
···w
1
j
.
n−l
Все они равны нулю по формуле кратного вычета.
Аналогично рассматриваются интегралы, в которые входят дифференциалы других функций fj, лишь бы их было строго меньше n.
Таким образом,
n
Jβ=
(−1)
(2πi)
n
w
γ(R)
β+I
df1(w)
f1(w)
∧ . . . ∧
dfn(w)
fn(w)
.
По теореме Южакова 2.2.3 о смещенном остове ([8, гл. 2]) последний
интеграл равен сумме значений голоморфной функции w
корнях системы (3.1.9.). Но значение функции w
β+I
в корне системы
β+I
(3.1.9.), лежащем на координатной плоскости, равно нулю.
Поэтому
Jβ= (−1)nσ
В примере 3.1.1 мы видим, что действительно σ
β+I
.
= (−1)na
β+I
(−1)nJβ.
Пример 3.1.3. Корень системы (3.1.6.), пример 3.1.1, равен z1=
−
т.е.
1
a
1
, z2=
b1− a
a1b
2
J
(β,0,0)
1
, z3=
σ
(β1+1,1)
= −σ
a1c2− b1c2− a1b
a1b2c
3
(−1)
=
(b1− a1)(a1c2− b1c2− a1b2)
(β1+1,1)
−
(b1− a1)(a1c2− b1c2− a1b2)
2
, поэтому степенная сумма
β+3
β+1
a
(−1)βa
2
b
c
1
3
2
2
2
b
c3b
1
2
β+1
1
,
+
во всех
2
β+I
=
222
+
(−1)
β+2
a1b2c2c
a
3
a1c2− b1c2− a1b
β+1
1
− b
2
β+1
1
. (3.1.12.)
Таким образом, вообще говоря, степенные суммы и вычетные интегралы не равны между собой.
Пример 3.1.4. Рассмотрим систему уравнений от трех комплексных
переменных
f1(z1, z2, z3) = 1 + a1z1= 0,
f2(z1, z2, z3) = 1 + b1z1+ b2z2= 0,
f3(z1, z2, z3) = 1 + c1z1+ c2z2+ c3z3= 0.
(3.1.13.)
Здесь функции не удовлетворяют условиям теоремы 3.1.2, но удовлетворяют условиям теоремы 3.1.1. Найдем интеграл
J
(β,0,0)
=
1
(2πi)
3
γ(r)
z
1
β1+1
1
z2z
df1∧ df2∧ df
·
3
f1· f2· f
3
=
3
=
(2πi)
×
3
1
×
γ(r)
β1+1
z
1
=
1
z2z
a1b2c
β!
·
(1 + a1z1)(1 + b1z1+ b2z2)(1 + c1z1+ c2z2+ c3z3)
3
β
∂
3
·
∂z
·
β
(1 + a1z1)(1 + b1z1)(1 + c1z1)
1
a1b2c3dz1∧ dz2∧ dz
1
3
.
z1=0
Для вычисления последней производной преобразуем выражение
1
(1 + a1z1)(1 + b1z1)(1 + c1z1)
A =
(a1−b1)(a1−c1)
B = −
C =
(a1−c1)(b1−c1)
=
(a1−b1)(b1−c1)
A
1 + a1z
2
a
1
2
b
1
2
c
1
1
+
1 + b1z
B
+
1
C
1 + c1z
1
,
,
(3.1.14.)
,
=
223
предположив, что a1= b1, a1= c1, b1= c1, тогда J
(β,0,0)
= (−1)βa1b2c3×
β+2
a
×
1
(a1− b1)(a1− c1)
β+2
b
−
1
(a1− b1)(b1− c1)
β+2
c
+
1
(a1− c1)(b1− c1)
.
Корень системы (3.1.13.)
z1= −
1
, z2=
a
1
b1− a
a1b
2
1
, z3=
b2c1− b1c2+ a1c2− a1b
a1b2c
3
2
,
если числитель в формуле для z3равен 0, то данный корень лежит на
координатной плоскости, и мы его не должны принимать в рассмотрение. Поэтому степенная сумма
β+3
σ
(β1+1,1)
β+1
(−1)
a
=
(b1− a1)(b2c1− b1c2+ a1c2− a1b2)
2
b
c
1
3
2
,
т.е.
β+1
2
b
c3b
1
2
J
(β,0,0)
= −σ
(β1+1,1)
−
(−1)βa
2
1
(b1− a1)(b2c1− b1c2+ a1c2− a1b2)
β+1
+
(−1)
a1b2c2c
3
×
(b2c1− b1c2+ a1c2− a1b2)
×−a1c2·
β+1
a
1
a1− c
− c
β+1
1
+ (b1c2− b2c1) ·
1
β+1
b
1
b1− c
− c
β+1
1
1
. (3.1.15.)
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции fjимеют вид
(1)
f
(z)
j
(2)
f
j
, j = 1, 2, . . . , n, (3.1.16.)
(z)
где f
(1)
(z) и f
j
fj(z) =
(2)
(z) — целые функции в Cn, разлагающиеся в бесконеч-
j
ные произведения, равномерно сходящиеся в Cn:
f
(1)
j
(z) =
∞
s=1
(1)
f
j,s
(z), f
(2)
j
(z) =
∞
s=1
(2)
f
(z),
j,s
224
j,s
причем каждый из сомножителей имеет форму (z
β
+Q
(z)), а Q
j,s
j,s
(z)
— функции вида (3.1.8.), s = 1, . . . , n.
Для каждого набора индексов j1, . . . , jn, где j1, . . . , jn∈ N, и каждого
набора чисел i1, . . . , in, где i1, . . . , inравны 1 или 2, системы нелинейных
уравнений
(i1)
f
(z) = 0, f
1,j
1
(i2)
(z) = 0, . . . , f
2,j
2
(in)
(z) = 0, (3.1.17.)
n,j
n
имеют (согласно лемме 3.1.1) конечное число корней, не лежащих на
координатных плоскостях.
Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях)
составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей):
z
Обозначим через σ
выражение
β+I
σ
β+I
=
(1)
∞
l=1
, z
(2)
β1+1
z
1(l)
, . . . , z
β2+1
· z
2(l)
(l)
ε
, . . .
l
···z
. (3.1.18.)
βn+1
n(l)
Здесь β1, . . . , βn, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак ε
равен +1, если в систему вида (3.1.17.), корнем которой является z
входит четное число функций f
(3.1.17.), корнем которой является z
(2)
f
.
j
s
(2)
, и равен −1, если в систему вида
j
s
, входит нечетное число функций
(l)
(l)
Для системы (3.1.17.), составленной из функций вида (3.1.16.), точки
l
,
z
являются корнями или особыми точками (полюсами). Все функции
(l)
(i)
f
— голоморфны в окрестности нуля и для них определены интегралы
j
Jβ, так как они имеют вид (3.1.1.). Обозначим через [Q
нулей (дивизор) функции Q
. Поскольку f
j,s
i
являются целыми функци-
j
ями, то объединение (по s) нулевых множеств функций Q
] множество
j,s
есть анали-
j,s
тическое множество. Следовательно, расстояние от начала координат
до множеств [Q
] (при фиксированном j) стремится к бесконечности.
j,s
В частности, начиная с некоторого номера s, все координаты всех мультииндексов β
j,s
равны нулю.
Существует связь между ростом нулевого множества голоморфной
функции конечного порядка роста и самим порядком (см. [42, гл. 3]),
похожая на аналогичную связь для функций одного переменного.
225
Для многих переменных, вообще говоря, отсутствует связь между
порядками целых функций и ростом их общих нулей.
Пример 3.1.5. В работе [73]; [42, гл. 5] построен пример двух целых
функций минимального типа в C2, общими нулями которых служат
точки {(2m, 1/j},
m ∈ N, j = 1, . . . , cm, где {cm} произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел. Ряд
∞
c
m
m=1
j=1
k
j
mp
2
расходится для любых положительных k и p, если cmвыбирать так, что
c
m
jp> 2mk,
j=1
поэтому сходимость ряда (3.1.18.) нужно доказывать.
Теорема 3.1.3. Для системы (3.1.4.) с функциями вида (3.1.16.)
ряд (3.1.18.) абсолютно сходится и справедливы формулы
Jβ= (−1)nσ
β+I
.
Доказательство. Так как
(1)
f
(z)
j
d
(2)
f
j
=
(z)
d f
f
(1)
j
(1)
j
(z)
(z)
−
d f
f
(2)
j
(2)
j
(z)
,
(z)
то
=
d f
f
(1)
1
(1)
1
(1)
f
1
d
(2)
f
1
(z)
(z)
∧. . . ∧
(z)
(z)
d f
−
f
∧ d
(2)
1
(2)
1
f
f
(z)
(z)
d f
f
(1)
2
(2)
2
(1)
n
(1)
n
(z)
∧ . . . ∧ d
(z)
∧
(z)
−
(z)
d f
f
d f
f
(1)
2
n
(1)
2
(2)
n
(2)
f
f
(z)
(z)
(z)
(z)
(1)
n
(2)
n
(z)
(z)
−
d f
f
=
=
(2)
2
(2)
2
(z)
∧
(z)
226
=
(−1)
s
d f
f
1
(i1)
1
(i1)
(z)
∧
(z)
d f
f
(i2)
2
(i2)
2
(z)
(z)
∧ . . . ∧
d f
f
(in)
n
(in)
n
(z)
,
(z)
где s — это число сомножителей, для которых il= 2, а сумма берется
по всевозможным наборам чисел i1, i2, . . . , in, равных 1 или 2. Поэтому
теорему достаточно доказать для целых функций fj(z). В этом случае
∞
d fj(z)
d
=
fj(z)
s=1
∞
s=1
fjs(z)
fjs(z)
=
∞
s=1
d fjs(z)
.
fjs(z)
Причем рассматриваемый ряд сходится равномерно на γr. Действительно, легко проверить, что если задана последовательность непрерывных
функций fmна компакте K, равномерно на нем сходящаяся к функции
f, и f = 0 на K, то начиная с некоторого номера функции fm= 0 на
K и последовательность 1/fmравномерно сходится к 1/f на K. Точ-
но так же проверяется, что последовательности функций, равномерно
сходящиеся на компакте, можно почленно умножать и равномерная сходимость остается.
∞
По условию все
fjs(z) сходятся равномерно к ненулевой на γ
s=1
функции. Поэтому ряд
∞
s=1
d fjs(z)
fjs(z)
=
d
s=1
∞
s=1
∞
fjs(z)
= lim
m→∞
fjs(z)
d
s=1
m
s=1
m
f
js
f
js
сходится равномерно на γ(r). Таким образом, интеграл Jβопределен и
равен сходящемуся ряду из интегралов вида
1
(2πi)
n
γ(r)
в котором суммирование ведется по кубам. Поэтому ряд из σ
z
1
β+I
d f
·
(z)
1s
1
f
(z)
1s
1
∧
d f
f
2s
2s
2
(z)
2
(z)
∧ . . . ∧
d f
f
ns
ns
n
(z)
n
(z)
,
схо-
β+I
дится. А поскольку сумма этого ряда не зависит от перестановок его
r
членов, то его сходимость абсолютная.
227
Для каждого из этих интегралов нужная формула доказана (теорема 3.1.2).
2
Замечание 3.1.1. В работе [36] исследована более сложная система уравнений, чем (3.1.1.), а именно: рассмотрена система функций f1(z), f2(z), . . . , fn(z), голоморфных в окрестности точки 0 ∈ Cn,
z = (z1, z2, . . . , zn), и имеющих следующий вид:
fj(z) = (z
j
где βj= (β
1
, β
j
, . . . , β
2
координатами, z
β
+ Qj(z))e
j
) — мультииндекс с целыми неотрицательными
n
j
β
= z
j
β
1
· z
1
β
2
j
2
···z
Pj(z)
, j = 1, 2, . . . , n, (3.1.19.)
j
β
n
и ∥βj∥ = β
n
j
1
+ β
j
+ . . . + β
2
j
= kj,
n
j
j = 1, 2, . . . , n. Функции Qj, Pjразлагаются в окрестности нуля в ряд
Тейлора, сходящийся абсолютно и равномерно, вида
Qj(z) =
∥α∥>k
Pj(z) =
∥γ∥>0
где γ = (γ1, γ2, . . . , γn), γj> 0, γj∈ Z, а zγ= z
j
a
zα,
α
j
j
b
zγ,
γ
γ
γ
1
2
· z
1
2
···z
γ
n
.
n
Хотя ее корнями являются корни системы (3.1.1.), но наличие
множителей с экспонентами в (3.1.19.) позволяет расширить класс
функций, которые разлагаются по функциям из (3.1.19.). При этом,
конечно, формулы для вычисления вычетных интегралов становятся
гораздо более сложными.
В качестве примера там была рассмотрена система уравнений от
двух комплексных переменных
2
f1(z1, z2) = (z2− az
f2(z1, z2) = (z1− bz
(c1z1+c2z2)
)e
1
2
(d1z1+d2z2)
)e
2
= 0,
= 0,
где a, b > 0.
228
3.1.3. Вычисление сумм кратных рядов
1. Напомним известные разложения синуса в бесконечное произведение
и степенной ряд [107]:
sin√z
√
z
=
∞
k=1
1 −
z
k2π
2
=
∞
k=0
(−1)kz
k
(2k + 1)!
,
которые равномерно и абсолютно сходятся на комплексной плоскости.
Рассмотрим систему уравнений
f1(z1, z2, z3) =
f2(z1, z2, z3) =
f3(z1, z2, z3) =
sin√z1− a
√
z1− a
2
=
2
sin√z2− z1− a
√
z2− z1− a
2
sin√z3− z2− a
√
z3− z2− a
2
∞
k=1
2
2
=
=
1 −
∞
m=1
∞
s=1
z1− a
k2π
1 −
1 −
2
= 0,
2
z2− z1− a
2
m2π
z3− z2− a
2
s2π
2
= 0,
2
= 0.
(3.1.20.)
Каждая из функций этой системы разлагается в бесконечное произведение функций из системы (3.1.6.). Корнями системы (3.1.20.) являются точки (π2k2+a2, π2(k2+m2)+2a2, π2(k2+m2+s2)+3a2), k, m, s ∈ N.
Поэтому степенная сумма σ
(β+1,1,1)
равна сумме ряда σ
(β+1,1,1)
=
∞
=
k,m,s=1
(π2k2+ a2)
(β+1)(π2(k2
который сходится при a = πki.
Для системы (3.1.20.)
∞
f1=
k=0
∞
f2=
k=0
∞
f3=
k=0
1
+ m2) + 2a2)(π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
(−1)k(z1− a2)
k
,
(2k + 1)!
(−1)k(z2− z1− a2)
k
,
(2k + 1)!
(−1)k(z3− z2− a2)
k
,
(2k + 1)!
229
,
поэтому
∞
f1(0, 0, 0) = f2(0, 0, 0) = f3(0, 0, 0) =
k=0
a2k
(2k + 1)!
=
sh a
.
a
Следовательно, чтобы применить формулу из теоремы 3.1.1, нужно
функции f1, f2,
f3разделить на эти константы (отнормировать).
Рассмотрим интеграл J
(β,0,0)
для системы (3.1.20.). Использовав ра-
венство (3.1.12.) и вид корней системы (3.1.20.), получим, что
+ ×
a1= −
∞
k,m,s=1
+(−1)
1
π2k2+ a
c2=
J
(β,0,0)
(m2π2+ a2)
∞
β+1
k,m,s=1
×
(m2π2+ a2)
, b1=
2
1
π2s2+ a
= −σ
β+1(π2(k2
2
(β+1,1,1)
(π2s2+ a2)(π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
1
β+1
1
π2m2+ a
, b2= −
2
1
π2m2+ a
1
, c3= −
+ (−1)
π2s2+ a
β+1
×
.
2
1
+ m2) + 2a2)(π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
1
×
β+1
,
+
(−1)
(k2π2+ a2)
β
,
2
+
J
(β,0,0)
=
+(−1)
∞
k,m,s=1
×
β+1
×
1
(π2(k2+ m2) + 2a2)(π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
−1
(k2π2+ a2)
∞
k,m,s=1
(π2s2+ a2)(π2(k2+ m2+ s2) + 3a2)
1
(m2π2+ a2)
β+1
β+1
+
(−1)
(m2π2+ a2)
1
(−1)
+
(k2π2+ a2)
β+1
β
β+1
β+1
,
230
×
×