3.4.3. Степенные суммы и вычетные интегралы

α

ord ψ

i

> αi∥βi∥ = αiki,

i

i = 2, . . . , n. Поэтому степень числителя не меньше, чем

max(k1+ . . . + kn− n, 0) + α1(1 + k1) + α2k2+ . . . + αnkn.

Степень знаменателя равна

∥β∥ + n + ∥β1∥(α1+ 1) + . . . + ∥βn∥(αn+ 1) =

= ∥β∥ + n + (α1+ 1)k1+ . . . + (αn+ 1)kn.

Следовательно, в сумме (3.4.12.) все слагаемые, для которых степень числителя больше степени знаменателя на n, равны нулю. Таким образом, могут быть отличными от нуля лишь слагаемые, для которых

max(k1+ . . . + kn− n, 0) + α1(1 + k1) + α2k2+ . . . + αnkn6

6 ∥β∥ + n + (α1+ 1)k1+ . . . + (αn+ 1)kn,

α16 ∥β∥ + min(n, k1+ . . . + kn).

При фиксированном z1по z2, . . . , znстепень мономов, входящих в ∆ по z2, . . . , zn, ограничена

ord

z2...z

∆ > β

n

2

+ . . . + β

2

+ . . . + β

n

+ . . . + β

2

n

− (n − 1).

n

Для степени мономов, входящих в ψα, получаем оценку:

α

1

ψ

n

1

2

+ . . . + β

2

> 0,

i

+ . . . + β

2

+ 1),

n

i

n

),

ord

z2...z

ord

n

z2...z

ψ

α

2

n

ord

z2...z

2

> α2(β

α

i

ψ

i

> αi(β

i = 3, . . . , n. Степень знаменателя по z2. . . znравна

β2+ . . . + βn+ n −1 + (α1+ 1)(β

1

+ . . . + β

2

261

1

) + . . . + (αn+ 1)(β

n

+ . . . + β

2

n

).

n

Поэтому в сумме (3.4.12.) все слагаемые, для которых степень числителя больше степени знаменателя на n, равны нулю. Таким образом, могут быть отличными от нуля лишь слагаемые, для которых

α26 β2+ . . . + βn+ 2(n − 1) + (α1+ 1)(β

1

+ . . . + β

2

1

).

n

При фиксированном z1, z2по z3, . . . , znстепень мономов, входящих в ∆ по

z3, . . . , zn, ограничена

ord

z3...z

∆ > β

n

3

+ . . . + β

3

+ . . . + β

n

+ . . . + β

3

n

− (n − 2).

n

Для степени мономов, входящих в ψα, получаем оценку:

ord

z3...z

ord

z3...z

n

z3...z

ψ

α

3

n

α

ψ

n

1

3

> α3(β

α

i

ψ

i

1

> 0, ordψ

3

+ . . . + β

3

> αi(β

i

3

α

2

> 0

2

3

n

+ . . . + β

+ 1),

i

),

n

i = 4, . . . , n. Степень знаменателя по z3, . . . , znравна

β3+ . . . + βn+ n −2 + (α1+ 1)(β

1

+ . . . + β

3

1

) + . . . + (αn+ 1)(β

n

+ . . . + β

3

n

).

n

Поэтому в сумме (3.4.12.) все слагаемые, для которых степень числителя больше степени знаменателя на n, равны нулю. Таким образом, могут быть отличными от нуля лишь слагаемые, для которых

α36 β3+. . .+ βn+2(n −2)+ (α1+1)(β

1

+. . .+ β

3

1

)+ (α2+1)(β

n

2

+. . .+ β

3

2

).

n

Аналогично рассматриваются случаи для все остальных переменных. И при фиксированном z1, . . . , z

для znполучим степень мономов,

n−1

входящих в ∆ по zn:

ord

∆ > β

z

n

− 1.

Для степени мономов, входящих в ψαпо zn, получаем оценку:

α

ord

1

ψ

i

> 0,

z

n

i = 1, . . . , n −1.

ord

α

n

ψ

z

n

> αn(β

n

+ 1).

n

262

Степень знаменателя по znравна

βn+ 1 + (α1+ 1)β

1

+ . . . + (αn+ 1)β

n

.

n

Поэтому в сумме (3.4.12.) все слагаемые, для которых степень числителя больше степени знаменателя на n, равны нулю. Таким образом, могут быть отличными от нуля лишь слагаемые, для которых

αn6 βn+ 2 + β

1

α1+ . . . + β

n

n−1

n

α

n−1

.

Поэтому в сумме (3.4.12.) содержится лишь конечное число ненулевых слагаемых. Обозначим его через S. Отсюда получаем доказательство утверждения. 2

3.4.3. Степенные суммы и вычетные интегралы

Наша дальнейшая цель — связать рассмотренные интегралы со степенными суммами корней системы (3.4.11.). Для этого мы введем дополнительные ограничения.

Для системы (3.4.11.) с функциями fjвида (3.4.1.) и функциями ψ вида (3.4.4.), (3.4.7.), многочленами Qjвида (3.4.3.) и полиномами φ вида (3.4.6.) сформулируем дополнительные предположения: для f1(z)

ord

ψ16 β

z

j

1

, j = 1,

j

т.е.

ord

Q16 β

z

j

1

, j = 1;

j

для f2(z)

ord

ψ26 β

z

j

2

, j = 2,

j

т.е.

ord

deg

Q26 β

z

j

φ216 β

z

i

2

, j = 2,

j

2

, i = 2;

i

для f3(z)

ord

deg

Q36 β

z

j

φ316 β

z

i

3

, j = 3,

j

3

, i = 3,

i

j

ij

263

deg

φ326 β

z

i

3

, i = 3;

i

аналогичные ограничения для все остальных переменных для fn(z)

ord

ψn6 β

z

j

т.е

deg

φnk6 β

z

i

ord

Qn6 β

z

j

n

, i = n, k = 1, 2, . . . , n − 1.

i

Тогда

 









ord ord deg

ψi6 β

z

k

Qi6 β

z

k

φij6 β

z

k

i

, k = i,

k

i

, i = k,

k

i

, k = i,

k

k = 1, . . . , n; i = 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n − 1.

Рассмотрим i-е уравнение системы:

fi(z1, z2, . . . , zn) = z

i

= z

β

1

· z

i

β

2

· . . . · z

2

n

, j = n,

j

n

, j = n,

j

i

β

+ ψi(z1, z2, . . . , zn) =

i

β

n

+ φi1(z1, z2, . . . , zn)+

n

(3.4.13.)

+φi2(z1, z2, . . . , zn) + . . . + φ

где ord Qi> ∥βi∥, φij= ∥βi∥, ord deg

φij6 β

z

k

i

, k = i, deg

k

φij< β

z

j

1

Сделаем замену zi=



1

w

1

,

, . . . ,

w

1

2

f

i

1

=

βi+sie

w

, i = 1, 2, . . . , n. При такой замене получим

w

i



1

=

w

n



si+β

w

i



=

w

1

i

β

1

· w

i

β

2

· . . . · w

2

+φ

i

β

n

i1

w

1

,

1



1

+φ

ii−1

w

1

,

, . . . ,

w

1

2

w

ii−1(z1

z

j

, z2, . . . , zn) + Qi(z1, z2, . . . , zn),

ψi6 β

k

i

, j = 1, 2, . . . , i − 1.

i

, k = i, т.е. ord

k



1

+ ψ

i

β

w

i

+˜ψi(w1, . . . , wn)=

1

w

,

1

i



w

1

, . . . ,

2



n

+ Q

w

1

+φ

n



1

w

,

w

1

i

264

1

w

i2

1

2

, . . . ,

2



1

w

, . . . ,

Qi6 β

z

k

i

, k = i,

k



1

=

w

n



1

,

, . . . ,

w

1

2

w

1

+. . .

n



1

=

w

n

×(w

=

s

i

+ w1· ˜φi1(w1, w2, . . . , wn) + w2· ˜φi2(w1, w2, . . . , wn) + . . . +

i

w

i

β

1

· w

i

β

2

· . . . · w

2

si+β i

i i

· . . . · w

×

i

β

n

1

+w

i−1

· ˜φ

ii−1(w1

, w2, . . . , wn) +˜Qi(w1, w2, . . . , wn)),

где siнаибольшая степень полинома ψiпо wi, e1= (1, 0, . . . , 0), e2=

(0, 1, . . . , 0), . . . , en= (0, 0, . . . , 1), а полином

˜

Qi(w1, w2, . . . , wn) = w

= (w

i

β

1

· w

i

β

2

· . . . · w

2

si+β

i

sie

i

· . . . · w

i

· Q

i

β

n



i n

) · Q

w

1

,

, . . . ,

w

1

2



1

w

,

w

1

i

1

2



1

w

n

, . . . ,

=

w



1

n

имеет степень (по совокупности переменных), строго меньшую, чем s (в силу условий, наложенных на полиномы Qi(z)), и полиномы

= (w

˜φi1(w1, w2, . . . , wn) = w

i

β

−1

1

· w

i

β

2

· . . . · w

2

si+β

i

sie

· φ

· . . . · w

i1

β

n



i n

) · φ

w

1

,

, . . . ,

w

1

2



1

w

,

w

1

i1

w

1

2



1

n

, . . . ,

=

w



1

,

n

.......................................

= (w

β

1

i

1

· w

˜φ

ii−1(w1

i

β

2

, w2, . . . , wn) = w

i

β

−1

· . . . · w

i−1

· w

si+β i

i

sie

· φ

i

· . . . · w

ii−1

β n



i n

) · φ

w

1

,

1

ii−1

w

1

2



, . . . ,

1

w

1



1

w

n



1

,

, . . . ,

w

2

w

1

n

i

имеют степень (по совокупности переменных), строго меньшую, чем s (в силу условий, наложенных на полиномы φij(z)).

По теореме Безу система нелинейных алгебраических уравнений

s

i

+ψi(w) = 0, i = 1, 2, . . . , n, (3.4.14.)

i

, w2, . . . , wn)+˜Qi(w1, w2, . . . , wn) = 0, i = 1, 2, . . . , n



fi(w) = w

+ . . .+ w



fi(w) = w

· ˜φ

i−1

s

i

+ w1· ˜φi1(w1, w2, . . . , wn) + w2· ˜φi2(w1, w2, . . . , wn)+

i

ii−1(w1

265

i

имеет конечное число корней, равное (с учетом их кратностей) s1· s2···sn, и не имеет корней на бесконечной гиперплоскости CPn\ Cn.

Обозначим корни системы (3.4.12.), не лежащие на координатных плоскостях с учетом их кратностей, через w

1, 2, . . . , M , M 6 s1·s2···sn. Тогда точки z

(k)

= (w

(k)

=

1(k)



w

, w

1

1(k)

2(k)

,

w

, . . . , w

1

, . . . ,

2(k)

n(k)

), k =

1

w

n(k)



и только они являются корнями системы (3.4.11.), не лежащими на координатных плоскостях. Отсюда справедливо утверждение.

Лемма 3.4.2. Система (3.4.11.) с функциями fjвида (3.4.1.) и по- линомами ψjвида (3.4.3.)–(3.4.7.) имеет конечное число корней (с учетом их кратностей) z

(1)

, z

, . . . , z

(2)

, не лежащих на координатных

(M)

плоскостях {zs= 0}, s = 1, 2, . . . , n.

Обозначим

M

σ

β+I

= σ

(β1+1,β2+1,...,βn+1)

=



k=1

β1+1

z

1(k)

· z

1

β2+1

2(k)

···z

βn+1

n(k)

,

где β = (β1, . . . , βn) — некоторый мультииндекс.

Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих на координатных плоскостях, системы (3.4.11.), но в отрицательной степени (либо степенной суммой от обратных величин корней).

Теорема 3.4.2. Для системы (3.4.11.) с функциями fjвида (3.4.1.) и полиномами ψjвида (3.4.3.)–(3.4.7.) с ограничениями вида (1.4.18.) справедливы формулы

Jβ= (−1)nσ

β+I

.

1

Доказательство. Сделаем в Jβзамену переменных zj=

w

,

j

j = 1, 2, . . . , n. При такой замене цикл γ(r) перейдет в цикл

(−1)nγ



1

,

r

, . . . ,

r

1

2



1

= (−1)nγ(R1, R2, . . . , Rn)

r

n

(с учетом изменения ориентации при данной замене).

266

Обозначим через γjмультииндекс βj+ sjej, j = 1, 2, . . . , n, тогда из вида (3.1.17.) полиномовfjполучим

df

f



1

,

j

w



1

j

w

1

, . . . ,

w

1

2

1

,

, . . . ,

w

2



1

w

n



1

w

n

поэтому



β+I

Jβ=

(−1)

(2πi)

n



w

γ(R)



dfn(w)

. . . ∧



fn(w)

Покажем, что все интегралы вида



df

γ(R)

w

β+I

(w)

i

1



f

i

1

∧ . . . ∧

(w)

df



f

i

l

(w)

l

(w)

dfj(w)

=



fj(w)

df1(w)



f1(w)

n



−

k=1

∧

−

γ

dw

w

n

k

j

−



k=1

·

1

n



k=1

n

1

γ

k



dw

k

w

k

∧ . . . ∧

·

γ

j

k

dw

w

.

dw

·

k

w

dw

w

k

j



j

n−l

k

,

k

∧ . . .

(3.4.15.)

равны нулю, если 0 6 l < n и Rjдостаточно велики.

Действительно, при достаточно больших Rj, j = 1, 2, . . . , n справедливы неравенства

s

j

|wj|

> |ψj(w)| на γ(R),

поэтому

1



fj(w)

=

∞



p=0

(−1)

w

p



ψ

j

(p+1)s j

(w)

, (3.4.16.)

j

следовательно, интегралы (3.4.15.) являются абсолютно сходящимися рядами из интегралов вида



γ(R)

w

β+I

(p1+1)s

w

1

wαdw1∧ dw2∧ . . . ∧ dw

1

· w

(p2+1)s 2

2

···w

(pl+1)s

i

l

· w

n

j

i

···w

1

j

.

n−l

267

Все они равны нулю по формуле кратного вычета. Таким образом,



n

Jβ=

(−1)

(2πi)

n

w

γ(R)

β+I

df1(w)



f1(w)

∧ . . . ∧

dfn(w)



fn(w)

.

По теореме Южакова 2.2.3 о смещенном остове последний интеграл равен сумме значений голоморфной функции w стемы (3.4.14.). Но значение функции w

β+I

во всех корнях си-

в корне системы (3.4.14.),

лежащем на координатной плоскости, равно нулю, поэтому

Jβ= (−1)nσ

β+I

.

2

Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции fjимеют вид

(1)

f

(z)

j

(2)

f

j

, j = 1, 2, . . . , n, (3.4.17.)

(z)

где f

(1)

(z) и f

j

fj(z) =

(2)

(z) — целые функции в Cnконечного порядка роста

j

не выше ρ, разлагающиеся в бесконечные произведения, равномерно сходящиеся в Cn,

∞



s=1

(1)

f

j,s

(z), f

(2)

j

(z) =

f

(1)

j

(z) =

причем каждый из сомножителей имеет форму z

∞



s=1

(2)

f

(z),

j,s

β

+ ψ

(z), а ψ

j,s

(z),

— функции вида (3.4.13.).

Для каждого набора индексов j1, . . . , jn, где j1, . . . , jn∈ N, и каждого набора чисел i1, . . . , in, где i1, . . . , inравны 1 или 2, системы нелинейных уравнений

(i1)

f

(z) = 0, f

1,j

1

(i2)

(z) = 0, . . . , f

2,j

2

(in)

(z) = 0, (3.4.18.)

n,j

n

имеют (согласно лемме 3.4.2) конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.

268

Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более, чем счетное множество. Перенумеруем их (с учетом кратностей):

z

(1)

, z

, . . . , z

(2)

(l)

, . . .

Обозначим через σ

выражение

β+I

σ

β+I

=

∞



l=1

β1+1

z

1(l)

· z

ε

β2+1

2(l)

l

···z

. (3.4.19.)

βn+1

n(l)

Здесь β1, . . . , βn, как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак ε равен +1, если в систему вида (3.4.18.), корнем которой является z

входит четное число функций f (3.4.18.), корнем которой является z

(2)

f

.

j,s

(2)

, и равен −1, если в систему вида

j,s

, входит нечетное число функций

(l)

Для системы (3.4.11.), составленной из функций вида (3.4.17.), точки

z

являются корнями или особыми точками (полюсами). Все функции

(l)

(i)

f

— голоморфны и не равны нулю в окрестности нуля и вне коорди-

j

натных плоскостей, поэтому для них определены интегралы Jβ.

Теорема 3.4.3. Для системы (3.4.11.) с функциями вида (3.4.17.) справедливо равенство

Jβ= (−1)nσ

β+I

.

l

,

Доказательство. Так как

(1)

f

(z)

j

d

(2)

f

(z)

j

то

(1)

f

(z)

1

d

(2)

f

(z)

(1)

1

(1)

1

(z)

1

d f

−



d f

=

f

∧. . . ∧

∧ d

f

1



(2)

1

(2)

=

f

(z)

d f

f

d f

f

(1)

2

(2)

2

(1)

n

(1)

n

(1)

(z)

j

(1)

(z)

j

(z)

∧ . . . ∧ d

(z)

∧

(z)

−

(z)

269

−

d f

f

d f

f

(1)

2

n

d f

(1)

2

(2)

n

(2)

f

j

(z)

(2)

j

(1)

f

n

(2)

f

n

(z)

−



(z)

,

d f

f

=

(2)

2

(2)

2



(z)

∧

(z)

=



(−1)

s

d f

f

1

(i1)

1

(i1)

(z)

∧

(z)

d f

f

(i2)

2

(i2)

2

(z)

∧ . . . ∧

d f

f

(in)

n

(in)

n

(z)

,

(z)

где s — это число сомножителей, для которых il= 2, а сумма берется по всевозможным наборам чисел i1, i2, . . . , in, равных 1 или 2. Поэтому теорему достаточно доказать для целых функций fj(z). В этом случае

∞



d fj(z)

d

=

fj(z)

s=1

∞



s=1

fjs(z)

=

∞



s=1

d fjs(z)

.

fjs(z)

Причем рассматриваемый ряд сходится равномерно на γr. Действительно, легко проверить, что если задана последовательность непрерывных функций fmна компакте K, равномерно на нем сходящаяся к функции

f, и f = 0 на K, то начиная с некоторого номера функции fm= 0 на K и последовательность 1/fmравномерно сходится к 1/f на K. Точ-

но так же проверяется, что последовательности функций, равномерно сходящиеся на компакте, можно почленно умножать и равномерная сходимость остается.

∞



По условию все

fjs(z) сходятся равномерно к ненулевой на γ

s=1

функции, поэтому ряд

∞



s=1

d fjs(z)

fjs(z)

=

d

s=1

∞



s=1

∞



fjs(z)

= lim

m→∞

fjs(z)

d

s=1

m



s=1

m



f

js

f

js

сходится равномерно на γ(r). Таким образом, интеграл Jβопределен и равен сходящемуся ряду из интегралов вида



1

(2πi)

n

γ(r)

z

1

β+I

d f

·

(z)

1s

1

f

(z)

1s

1

∧

d f

f

2s

2

(z)

2

(z)

∧ . . . ∧

d f

f

ns

n

(z)

n

(z)

,

r

в котором суммирование ведется по кубам. Поэтому ряд из σ

β+I

схо-

дится. А для каждого из этих интегралов нужная формула доказана

270