Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Монография.pdf
(−1)
s(J)
×
β(K, J)!
J
где K = (k1, . . . , kn) есть мультииндекс,QK=Q
m
(k
1j
1
+ 1) −1, . . . , m
j
1
||β(K,J )||
∂
·
∂wβ(K, J)
(k
nj
n
∆ · w
+ 1) −1, β(K, J)! =
j
n
···w
1
γ1+1
γn+1
n
·
k
1
p
K+I
q
1
···Q
m
Q
K
pj
(J)
p
w=a
k
n
, β(K, J) =
n
(k
+ 1) −1!,
j
p
,
J
Re = {K = (k1, . . . , kn): существует такое γi,
что ∥K∥ < γi+ 2, i = 1, . . . , n}.
Все обозначения здесь, как и в теореме 3.5.1.
Доказательство. Представление (3.5.20.) и лемма 3.3.2 показывают,
что
n
Jγ(t) =
(−1)
=
(2πi)
=
(−1)
(2πi)
n
n
Γ
h
×
Γ
∥K∥>0
h,a
×
w
=
n
γ1+1
1
(2πi)
∆ · w
J
J
Γ
h
···w
1
(−1)
∆ · w
γ1+1
w
1
γn+1
n
n
∥K∥>0
γ1+1
1
s(J)
β(K, J)!
γ1+1
1
···w
∥K∥>0
···w
(−t)
···w
γn+1
n
(−1)
J
γn+1
n
∥K∥ +n
γn+1
n
·
(−t)
·
·
dF
s(J)
q
1
·
q
dF
1
∧
F
1
||K||
∆ ·
F
2
q
∥K∥+n
(−t)
k
1
Q
···Q
1
k1+1
··· q
||β(K,J )||
∂
∂wβ(K, J)
K
Q
K+I
(J)
2
∧ . . . ∧
k
1
Q
1
k1+1
1
···Q
··· q
dF
F
k
n
n
kn+1
n
n
=
n
dw =
× (3.5.22.)
k
n
n
dw =
kn+1
n
× (3.5.23.)
. (3.5.24.)
w=a
J
Покажем, что суммирование в данной формуле ведется по конечному числу мультииндексов. Чтобы сделать это, оценим степени в w
числителя и сравним их с соответствующими степенями знаменателя в
(3.5.24.).
291
s
Степень числителя в wsменьше или равна выражению
ps= m1s+ . . . + mns− 1 + γs+ 1 + (m1i− 1)k1+ . . . + (mns− 1)kn.
Соответствующая степень знаменателя есть
qs= m1s(k1+ 1) + . . . + mns(kn+ 1).
Лемма 3.5.3 показывает, что все интегралы, для которых справедливо неравенство qs6 ps− 2 равны нулю, s = 1, . . . , n, так что
m1s+ . . . + mns− 1 + γs+ 1 + (m1s− 1)k1+ . . . + (mns− 1)k
n
6 m1s(k1+ 1) + . . . + mns(kn+ 1) − 2,
γs+ 1 − k1− . . . − kn− 1 6 −2,
γs+ 2 6 ∥K∥.
Поэтому ненулевыми могут только быть интегралы в (3.5.24.), для которых K пробегает множество γs+2 > ∥K∥ по меньшей мере для одного
γi.
Лемма 3.5.5. Пусть {w1, . . . , wp}, где wj= (wj1, . . . , wjn),
j = 1, . . . , n есть множество всех нулей (зависящим от t), считая
вместе с кратностями, системы (3.5.16.), тогда
s
Jγ= (−1)
n
j=1
Число p нулей равно перманенту матрицы (msj)
w
γ1+1
j1
· w
γ2+1
j2
···w
γn+1
jn
.
16s,j6n
(см. теорему
2.6.3).
Доказательство. Утверждение леммы следует из теоремы многомерного логарифмического вычета и теоремы Южакова 2.2.3 о смещенном
остове.
Обозначим через z
(j)
(t) = (zj1(t), . . . , zjn(t)), j = 1, . . . , p нули систе-
мы
(3.5.1.) с функциями tQi, где Qiопределены в (3.5.14.) и не лежат на
292
координатных плоскостях. Так как wjне лежат на координатных плос-
1
костях, то zjm=
, m = 1, . . . , p и, следовательно, это множество
w
jm
конечно, поэтому p 6 s.
Теорема 3.5.2. Справедливы следующие равенства
p
=
×
zj1(t)
j=1
K ∈ Re
∆(t) · w
(−t)
γ1+1
||K||+n
γ1+1
1
· zj2(t)
···w
J
1
γ2+1
···zjn(t)
s(J)
(−1)
β(K, J)!
γn+1
·
n
q
||β(K,J )||
∂
·
∂wβ(K, J)
K
Q
K +I
(J)
γn+1
w=a
=
×
.
J
Доказательство. Утверждение следует из лемм 3.5.4 и 3.5.5.
Так как нули (3.5.16.) — полиномы по t, то равенство 3.5.2 также
выполняется при t = 1. Обозначим
p
где z
σ
(j)
= (zj1, . . . , zjn) = (zj1(1), . . . , zjn(1)), j = 1, . . . , n.
γ+I
=
j=1
γ1+1
z
j1
· z
1
γ2+1
j2
···z
γn+1
jn
,
Теорема 3.5.3. Для системы (3.5.1.) с функциями fj, определенны-
ми в (3.5.3.), и Qi, определенными в (3.5.14.), справедливы следующие
формулы:
p
×
σ
=
γ+I
1
(2πi)
=
n
j=1
∥K∥>0
γ1+1
z
j1
(−1)
∆ · w
Γ
h,a
J
γ1+1
1
. . . w
γn+1
n
γ2+1
· z
j2
∥K∥+n
·
q
1
k
Q
1
k1+1
1
···z
(−1)
J
1
· . . . ·Q
· . . . · q
γn+1
jn
=
s(J)
k
n
kn+1
n
×
n
dw =
293
=
K∈Re
∆ · w
(−1)
γ1+1
1
||K||+n
···w
J
γn+1
n
s(J)
(−1)
β(K, J)!
K
Q
·
K +I
q
(J)
||β(K,J )||
∂
·
∂wβ(K, J)
w=a
J
.
Доказательство. Утверждение теоремы есть следствие теоремы 3.5.2.
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть fj— целые функции в
Cnи
Здесь f
fj(z) =
(z) — целые функции в Cn, допускающие разложение в равно-
j,s
∞
s=1
f
(z), j = 1, . . . , n. (3.5.25.)
j,s
мерно и абсолютно сходящиеся в Cnбесконечные произведения и имеющие вид
f
где q
(z) и Q
j,s
(z) =q
j,s
(z) — полиномы, определенные в (3.5.2.) и (3.5.14.) соот-
j,s
j,s
+ Q
j,s
(z),
ветственно. Целые функции многих комплексных переменных не всегда
допускают разложение в бесконечное произведение функциями, ассоциированных с их нулями [42, 48]. Достаточные условия существования
такого разложения (в виде сходимости расстояний от начала координат
до нулей функций q
Обозначим через z
j,s
+ Q
(j)
(z)) даны в теоремах 3.2.2, 3.2.3.
j,s
= (zj1, . . . , zjn), j = 1, . . . нули системы (3.5.25.)
вместе с их кратностями.
Теорема 3.5.4. Рассмотрим систему (3.5.1.) с функциями, определенными в (3.5.25.), тогда справедливы следующие формулы:
∞
=
K∈Re
∆ · w
σ
γ+I
S
γ1+1
1
=
j=1
J
···w
z
(−1)
β(K, J)!
γn+1
n
γ1+1
j1
1
γn+1
···z
jn
||K||+n+s(J)
QK(s)
·
K +I
q
(J, s)
=
||β(K,J )||
∂
·
∂w
β(K,J )
w=a
,
J
294
гдеQK(s) =Q
k
1,s
1
···Q
k
n
n,s
.
Доказательство. Имеем
∞
d fj(z)
d
=
fj(z)
s=1
∞
s=1
fjs(z)
fjs(z)
=
∞
s=1
d fjs(z)
.
fjs(z)
Легко проверить, что вышеприведенные ряды равномерно сходятся на
Γ
. Действительно, если последовательность непрерывных на ком-
h,a
J
пактном множестве M функций fmравномерно сходится к функции f
на M и f = 0 на M, тогда, начиная с некоторого числа m0для m > m0,
функция fm= 0 на M и последовательность 1/fmравномерно сходятся
на M к функции 1/f . Аналогично можно показать, что равномерная
сходимость сохраняется при при почленном умножении различных последовательностей.
∞
Равномерная сходимость
fjs(z) наΓ
s=1
влечет равномерную схо-
h,a
J
димость рядов
∞
s=1
d f
f
j,s
j,s
(z)
(z)
=
d
∞
s=1
∞
s=1
f
(z)
j,s
= lim
f
(z)
j,s
m→∞
d
m
s=1
m
s=1
f
j,s
f
j,s
на Γq, поэтому Jγ(1) определен и равен сходящемуся ряду из интегралов
1
(2πi)
n
1
γ+I
z
Γ
q
d f
·
(z)
1,s
1
f
(z)
1s
1
∧
d f
f
2s
2,s
2
(z)
2
(z)
∧ . . . ∧
d f
f
n,s
ns
n
(z)
n
(z)
,
где суммирование идет по кубам с центром в начале координат. А для
каждого из таких интегралов требуемые формулы были доказаны в
теореме 3.5.3.
∞
Если
s=1
f
(z) сходится абсолютно, то их значения не зависят от пе-
j,s
рестановки их множителей, т.е. изменение порядка суммирования корней не влият на значение бесконечного произведения функций f
j,s
(z).
Следовательно, Jγтакже не зависит от порядка перестановки его членов. Это влечет абсолютную сходимость Jγи σ
γ+I
.
295
Замечание 3.5.1. В работе [38] рассматривались более сложные
системы функций f1(z), f2(z), . . . , fn(z), чем в данном параграфе, а
именно:
f1(z) =(1 − a11z1)
f2(z) =(1 − a21z1)
m
11
···(1 −a1nzn)
m
21
···(1 −a2nzn)
m
1n
+ Q1(z)e
m
2n
+ Q2(z)e
P1(z)
P2(z)
,
,
(3.5.26.)
. . .
fn(z) =(1 − an1z1)
m
n1
···(1 −annzn)
m
nn
+ Qn(z)e
Pn(z)
,
где mij— натуральные, aij— комплексные числа, которые различны
при каждом фиксированном j, а Pm(z) и Qm(z) — целые функции, m =
1, . . . , n.
Были найдены вычетные интегралы и выражения для степенных
сумм, но они имеют более сложный вид, чем рассматриваемые здесь.
Пример 3.5.1. Рассмотрим следующую систему уравнений от двух
комплексных переменных:
f1(z1, z2) = (1 − a2z2)2+ a3z1z
f2(z1, z2) = (1 − b1z1)2(1 − b2z2) + b3z
2
2
= 0,
2
z2= 0.
1
(3.5.27.)
Тогда Qm, m = 1, 2 имеют вид (3.5.14.). Система (3.5.27.) имеет, как
нетрудно проверить, 5 корней (zj1, zj2), j = 1, 2, 3, 4, 5. Если a2= b2,
тогда эти корни не лежат на координатных плоскостях.
Сделаем замену переменных z1=
вид
f1= w1(w2− a2)2+ a3= 0,
f2= (w1− b1)2(w2− b2) + b3= 0.
1
w
, z2=
1
1
. Наша система примет
w
2
. (3.5.28.)
Якобиан системы (3.5.28.)
∆ =
(w2− a2)
2(w1− b1)(w2− b2) (w1− b1)
2
2w1(w2− a2)
=
2
= (w1− b1)2(w2− a2)2− 4w1(w1− b1)(w2− a2)(w2− b2).
296
Тогда по теореме 3.5.3 получим
×
5
σγ=
j=1
k1+1
w
Γ
h,a
1
J
γ1+1
w
1
(w2− a2)
z
j1
· w
γ1+1
1
γ2+1
2
2(k1+1)
1
·
γ2+1
z
j2
k
· a
3
· (w1− b1)
=
1
· b
J
K ∈ Re
k
2
·∆ · dw1∧ dw
3
2(k2+1)
∥K∥+s(j)
(−1)
(2πi)
(w2− b2)
×
2
2
. (3.5.29.)
k2+1
Где множество мультииндексов Re = {K = (k1, k2)| ∃m : γm+ 2 > k1+
k2, m = 1, 2}. ЦиклыΓ
есть циклы вида {|w1| = r11, |w2−b2| = r22},
h,a
J
берущиеся с положительной ориентацией, а {|w2− a2| = r12, |w1− b1| =
r21} — с отрицательной ориентацией.
В частности, вычисляя J
, после некоторых преобразований по-
(0,0)
лучаем
a3b
σ
= 4a2b1−
(1,1)
(b2− a2)
2
2
(3.5.30.)
без нахождения корней.
Пример 3.5.2. Рассмотрим систему уравнений от трех комплексных
переменных:
f1(z1, z2, z3) = 1 − a1z1− a2z2− a3z3+ a1a2z1z2+ a1a3z1z3+ a2a3z2z3=
= (1 − a1z1)(1 − a2z2)(1 − a3z3) + a1a2a3z1z2z3= 0,
f2(z1, z2, z3) = 1 − b1z1− b2z2− b3z3+ b1b2z1z2+ b1b3z1z3+ b2b3z2z3=
= (1 − b1z1)(1 − b2z2)(1 − b3z3) + b1b2b3z1z2z3= 0,
f3(z1, z2, z3) = 1 − c1z1− c2z2− c3z3+ c1c2z1z2+ c1c3z1z3+ c2c3z2z3=
= (1 − c1z1)(1 − c2z2)(1 − c3z3) + c1c2c3z1z2z3= 0.
. (3.5.31.)
Корни системы (3.5.31.) — (zj1, zj2, zj3), j = 1, . . . , 12.
Сделаем замену переменных z1=
система примет вид
f1= w1w2w3− a1w2w3− a2w1w3− a3w1w2+ a1a2w3+ a1a3w2+ a2a3w1=
= (w1− a1)(w2− a2)(w3− a3) + a1a2a3= 0,
f2= w1w2w3− b1w2w3− b2w1w3− b3w1w2+ b1b2w3+ b1b3w2+ b2b3w1=
= (w1− b1)(w2− b2)(w3− b3) + b1b2b3= 0,
f3= w1w2w3− c1w2w3− c2w1w3− c3w1w2+ c1c2w3+ c1c3w2+ c2c3w1=
= (w1− c1)(w2− c2)(w3− c3) + c1c2c3= 0.
w
1
1
, z2=
w
1
2
и z3=
w
1
3
. Наша
(3.5.32.)
297
Якобиан системы (3.5.32.)
∆ = (w2− a2)(w3− a3)[(w1− b1)(w3− b3)(w1− c1)(w2− c2)−
−(w1− b1)(w2− b2)(w1− c1)(w3− c3)]−
−(w1− a1)(w3− a3)[(w2− b2)(w3− b3)(w1− c1)(w2− c2)−
−(w1− b1)(w2− b2)(w2− c2)(w3− c3)]+
+(w1− a1)(w2− a2)[(w2− b2)(w3− b3)(w1− c1)(w3− c3)−
−(w1− b1)(w3− b3)(w2− c2)(w3− c3)].
Тогда по теореме 3.5.3 получаем J
(−1)
(2πi)
(w2− b2)
∥k∥
2
Γ
w1w2w3· (a1a2a3)
(w1− a1)
q,a
J
dw1∧ dw2∧ dw
k2+1
(w3− b3)
k2+1
×
(w1− b1)
∥k∥<2
k2+1
(0,0,0)
k1+1
(w2− a2)
3
· (w1− c1)
=
k
1
(b1b2b3)
k3+1
(w2− c2)
(−1)s(J)
J
k1+1
k
2
(c1c2c3)
(w3− a3)
k3+1
(w3− c3)
k
3
k1+1
·∆
k3+1
×
, (3.5.33.)
гдеΓ
есть циклы вида {|w1−a1| = r11, |w2−b2| = r22, |w3−c3| = r33};
q,a
J
{|w3− a3| = r13, |w1− b1| = r21, |w2− c2| = r32}; {|w2− a2| = r12, |w3−
b3| = r23, |w1− c1| = r31}, берущиеся с положительной ориентацией, а
{|w1−a1| = r11, |w3−b3| = r23, |w2−c2| = r32}; {|w2−a2| = r12, |w1−b1| =
r21, |w3− c3| = r33}; {|w3− a3| = r13, |w2− b2| = r22, |w1− c1| = r31} — с
отрицательной ориентацией.
Вычислив эти интегралы, получим
−σ
(1,1,1)
+
+
= J
a3c1c2c
a3− c
a2b1b2b
a2− b
+
+
(0,0,0)
3
·
3
3
·
2
a1c
1
a1− c
a2c
a2− c
= a1b2c3+ a1b3c2+ a2b1c3+ a2b3c1+ a3b1c2+ a3b2c1+
b
1
b1− c
c
3
c3− b
·
1
2
·
2
+
1
+
3
b2c2c
b2− c
b1c1c
b1− c
b
2
b2− c
c
1
c1− b
3
+
2
3
+
1
+
2
+
1
b3c2c
b3− c
b3c1c
b3− c
a1b1b2b
a1− b
a3b1b2b
a3− b
3
3
+
3
a2a3b
a2− b
+
a3− b
3
3
·
1
3
·
3
a1a3b
c3− b
c2− b
2
+
2
3
+
3
c
3
3
c
2
2
a2a3b
a3− b
a1a3b
a1− b
+
+
3
3
1
c2− b
c1− b
1
c
c
+
2
1
.
(3.5.34.)
+
2
+
1
Итак, мы нашли суммы корней σ
системы.
298
(1,1,1)
без вычисления самих корней
3.5.4. Нахождение сумм кратных рядов
Пример 3.5.3. Рассмотрим систему уравнений
f1=
f2=
=
m=1
sin2a2z2− a
2a2z2− a
sinb2z2+ 2b1z1− 2b1b2z1z2− b
b2z2+ 2b1z1− 2b1b2z1z2− b
∞
b1z
1 −
m2π
2
2
1
2
z
2
2
2
z
− a3z1z
2
2
2
− a3z1z
2
1 −
2
2
2
2
b2z
m2π
=
2
2
Каждая функция из этой системы разлагается в бесконечное произведение функций из системы (3.5.27.). Система (3.5.35.) имеет бесконечное число корней. Если мы предположим, что a2, b2имеют разные
знаки, тогда все корни системы (3.5.35.) не лежат на координатных
плоскостях. Используя равенства (3.5.30.), находим, что
∞
k=1
2
1
+
2
1
2
z
1
2
z
1
+ b
b3z
m2π
1 −
+ b
2
1
2
z
1
2
2
1
b2z
2
b2z
a2z
2
2
k2π
2
z2− b3z
1
2
z2− b3z
1
= 0.
2
+
a3z1z
k2π
2
z
1
2
z
2
1
2
2
2
2
=
= 0,
(3.5.35.)
σ
(1,1)
=
∞
j=1
1
1
·
z
j1
z
j2
=
∞
k,m=1
4a2b
π4k2m
∞
1
−
2
k,m=1
π2(a2m2− b2k2)
a3b
2
.
2
Здесь первые ряды из системы равны по формулам из [46] (гл. 5, п.
5.1.2, формула 2)
∞
k,m=1
4a2b
π4k2m
1
a2b
=
2
1
.
9
Мы вычислим значение второго ряда, использовав известные суммы
из [46] (гл. 5, п. 5.1.2, формула 2):
∞
k=1
1
(k2+ a2)
−1
=
2
2a
4
+
π
cth(πa) +
3
4a
2
π
cth2(πa).
2
4a
Получим
+
∞
4π√−a2b2k
k=1
k,m=1
a
3
∞
π2(a2m2− b2k2)
cth(π−b2/a2k) −
3
a3b
2
2
= −
∞
k=1
∞
k=1
2π2b2k
a
3
4a2k
a
3
+
4
cth2(π−b2/a2k).
2
299
В последнем равенстве значение первой суммы
∞
k=1
a
3
2π2b2k
4
=
180π6b
a
3
.
2
Найдем сумму второго ряда. Пусть2Φ1(e2t, e2t; e4t, x) — базисный ги-
пергеометрический ряд ([46] с. 793).
Используем хорошо известную формулу из [46] (гл. 5, п. 5.2.18, формула 13):
∞
k=1
k−1
x
2tk
e
=
− 1
x
1
∞
k=1
e
2tk
x
k
=
− 1
1
=
x
x
·
e4t− 1
тогда получим
∞
k=1
= ζ(3) + 2
e4t− 1
= ζ(3) +
Упростим выражение
cth2(ak) =
(e2t, e2t; e4t, x) =
2Φ1
cth(tk)
=
3
k
1
1
1
y
0
1
e4t− 1
1 + e
1 − e
1
2Φ1
1
2ts
k3(e
v
(e2t, e2t; e4t, u) du =
2Φ1
∞
k=1
dy
e4t− 1
∞
1
3
k
y
+ 2
k=1
1
dv
v
0
1
0
ln2y ·2Φ1(e2t, e2t; e4t, y) dy.
0
−2ak
−2ak
2
=1 +
e
2
2ak
(e2t, e2t; e4t, x),
=
− 1)
2
=
− 1
Заметим, что
∂
∂a
e
1
2ak
− 1
=1 +
= −
(e
2ak
e
2ke
2ak
4
− 1
2ak
− 1)
2
300
+
= −
(e
2ak
(e
4
− 1)
2k
2ak
2
− 1)
.
2k
−
(e
2ak
− 1)
.
2