4. Выбор частоты квантования ацп

Подавляющее большинство современных диагностических приборов используют преобразование сигнала в код при помощи АЦП. Преобразование базируется на фундаментальной теореме Котельникова. Теорема утверждает, что:

1) произвольный сигнал f(t), спектр которого находится строго в пределах 0-F_в, может быть представлен последова­тельностью точек, рекурентно следующих с частотой 2F_в. Точки передают мгновенные значения сигнала через интервал T=1/2F_в.

2) Из этой последовательности точек сигнал может быть восстановлен в виде непрерывной гладкой функции, абсолютно точно повторяющей исходный сигнал f(t).

Эти операции записываются в следующих выражениях:

Практически преобразование связывает три элемента: входной фильтр, собственно временной квантователь (АЦП) взятия выборок и восстанавливающий интерполяционный фильтр. Применение этой теоремы осложняется из за того, что реальные характеристики элементов отклоняются от идеализаций, используемых в теореме Котельникова. Как следствие, возможно только приближенное преобразование. Ниже рассматриваются вопросы нахождения погрешностей преобра­зования в реальных цепях.

4.1. Влияние неограниченности спектра сигнала

Пусть наш сигнал имеет спектр F_c(ω) (рис 3.1). Этот спектр в основном сосредоточен в области 0-1/2Т но имеет неограниченный "хвост" в высокочастотной области. Приведем аппаратную структуру преобразования Котельникова. В первом выражении под интегралом присутствует операция умножения f(t) на рекурентную после­дова­тельность δ импульсов с периодом Т. На рис 3.1 это показано блоком перемножения. Операция умножения приводит к операции свертки спектров перемножаемых функций. Спектр рекурентной после­дова­тельности δ импульсов так же имеет решетчатый вид с периодом 1/Т. Свертка спектра F_c(ώ) с каждой δ - составля­ющей спектра импульсов имеет вид развернутых крыльев F_c(n2π/Т-ώ) и F_c(n2πТ+ώ) вокруг всех δ-импульсов на частотах n2π/Т. Результирующая картина представлена на рис 3.1б. Если F_c(ώ) имеет длинный "хвост", простирающийся до очень высоких частот, то все составляющие F_c(ώ) выше частоты π/2Т накладываются в области первого низкочас­тотного окна 0- π/2Т. Эти суммированные составляющие являются источником искажений, в основном в виде интерференционных биений. Величина искажений может быть оценена сравнением площади исходного спектра F_c(ώ) в области 0-π/2Т с площадью F_c(ώ) в области от π/2Т до ∞.

рис

1

К отельников Владимир Александрович

Родился в 1908г, в Казани, в семье профессора Казанского университета. В 1931 окончил Московский энергетический институт и начал преподавать в нём. В 1934г сделал доклад "О пропускной способности эфира". С 1954 директор института радиотехники и электроники АН СССР; с 1970 вице-президент АН СССР. Основные труды посвящены проблемам совершенствования методов радиоприёма.

Разобранная выше процедура преобразования непрерывного сигнала к точечной записи раскрывает важную особенность. Преобразование взятия отсчетов АЦП не обладает частотной селективностью. Если мы дополнительно к входному сигналу f(t) подадим на вход синусоиду с любой частотой Ω, то как бы она не была высока, ее преобразованный образ всегда полностью попадет в полосу частот входного сигнала 0-F_в. Поэтому наличие входного фильтра обязательно в реальных системах - только он обладает частотной селективностью и способен отсеивать помехи.

4.2. Требования к входному фильтру. Даже если спектр информационного сигнала ограничен, то на него накладываются помехи и артефакты. Спектр маскирующих тепловых шумов простирается практически до бесконечности. Только входной фильтр выполняет функции подавления помех вне полосы полезных частот. Именно полоса этого фильтра сопрягается с частотой квантования или взятия выборок.

Для выполнения условий теоремы Котельникова фильтр должен иметь идеально прямоугольную частотную характеристику и полосу пропускания Fкв/2. Любой реальный фильтр не имеет такой характеристики, следовательно часть высокочастотных шумов будет трансформироваться в полосу сигнала и увеличивать его зашумленность.

Пусть спектр помех имеет равномерный вид (белый шум). Он о граничивается входным фильтром, отсекающим высокие частоты. Полоса частот пропускания этого фильтра выбирается так, что бы без искажений пропускался спектр полезного биосигнала. В то же время в полосе задержания фильтр давит шум. Но не полностью. Вследствие этого дисперсии D шума на выходе преобразования увеличивается. Степень этого увеличения может быть найдена как отношение площадей квадрата модуля частотной характеристики коэффициента передачи в двух зонах частот: от 0 до Fкв/2 и от Fкв/2 до бесконечности.

Зададимся допустимым увеличением СКО (средне квадратичное отклонение) на 10%. Пусть наши фильтры выполнены из звеньев RC типа. На рис 3.2 показаны частотные характеристики входных фильтров типа RC от первого до шестого порядков, обеспечивающие увеличение СКО помех не более 10% (т.е. D не более 21%. Граничная частота входного фильтра считается сопряженной с высшей частотой спектра биосигнала). Из рисунка видно, что для фильтра первого порядка частота квантования (АЦП) должна выбираться в 4,46 раза выше информационной полосы сигнала (и граничной частоты фильтра). Для фильтра третьего порядка это значение снижается до 3х. Более сложные фильтры позволяют еще более снизить эти значения. На графике рис 3.2 представлено необходимое превышение частоты квантования над полосой полезного сигнала для фильтров разных порядков.