5.1 Общие свойства цифровой фильтрация

Цифровой фильтр имеет наглядный эквивалент в виде линии задержки с отводами, в каждом отводе имеется весовой коэффициент перемножения (Рис 4.1). Далее все парциальные отводы суммируются (мы получили так называемый "транверсальный" фильтр). На входе линии задержки (или на выходе, ибо система линейна и элементы перестановочны) должен стоять фильтр НЧ с идеально прямоугольной частотной характеристикой (его граничная частота 1/2Т, где Т равно задержке между отводами нашей линии). Отклик этого фильтра Тsin(πt/Т)/πt. Фильтр устраняет помехи от сигналов, имеющих частоту выше 1/2Т. В структуре могут присутствовать обратные связи, в этом случае фильтр называется рекурсивным. Если имеются только прямые связи - не рекурсивным (показан на рис 4.1). Для нахождения общей частотной характеристики трансверсального фильтра нагляднее сперва найти его отклик (подавая на вход испытательный δ-импульс), а частотную характеристику получать через преобразование Фурье этого отклика.

Полное значение числа отводов трансверсального фильтра называется базой N или окном фильтра . На базе (окне) формируется весовая функция фильтра. Формы весовых функций разнообразны, но если выделяется центральная часть с величинами, близкими к 1 (например с уровнем ≥ 0.7), то можно приближенно оценить полосу пропускания ΔF такого фильтра НЧ:

ΔF ≈ 1/N_0,72T,

где N_0,7 - число отводов с весами, близкими к 1, а Т - период взятия выборки АЦП. Форма весовой функции вне зентральной части определяет поведение частотной характеристики в полосе задержания.

Если все весовые коэффициенты à_N заменить на коэффициенты (1-à_N), то получим сопряженный фильтр: ФВЧ вместо ФНЧ и наоборот (Рис 4.2).

5.2 Примеры простых, легко реализуемых фильтров

Фильтр с прямоугольным окном. Простейшим является не рекурсивный фильтр с прямоугольным окном. Схема показана на рис 4.1 с заменой линий задержки на операциями сдвига. Алгебраическая запись алгоритма фильтра имеет вид: .

На каждый такт нужно выполнить только три операции: заполнить основной и запаздывающий сумматоры, взять разность. Частотная характеристика такого ФНЧ имеет вид sinπx/x. Характерные точки фильтра (нули, полоса по уровню 0,7) так же показаны на рис 4.2. Обычно нули частотной характеристики совмещают с частотой сетевой помехи (например, с частотой 50Гц. Если частота квантования АЦП равна 500Гц, расстояние между выборками 2мс, то при суммировании 10 выборок (требующих 9 сдвигов) мы получаем фильтр, давящий частоту 50Гц). Отметим другие характерные особенности: фазовая характеристика такого фильтра линейно ломанная. Для всех спектральных составляющих формируется одна величина задержки, а именно NТ/2.

Работу фильтра с прямоугольным откликом можно так же представлять как нахождение наименее уклоняющейся оценки коэффициента а^ интерполирующего полинома у=(а + бх) на скользящем интервале. Оценка находится по формуле

, К=1,2,3..N, см рис 4.3.

Таким образом есть три интерпретации структуры фильтра: 1) структурная по типу трансверсального фильтра. Эту же форму можно считать как представление фильтра интегралом свертки , если интеграл заменим набором сумм,

2) алгебраическая запись в виде разностного уравнения ,

3) в виде оценки постоянного члена а^ интерполирующего полинома на скользящем интервале.

Разные интерпретации позволяют наглядно выделять, что мы теряем и что подавляем в сигнале в результате фильтрации.

У каждого фильтра НЧ имеется сопряженный с ним ФВЧ. ФВЧ=(1-ФНЧ). Выходной сигнал такого фильтра формируется как остаток между графиком входного сигнала и графиком оценки a^, т.е. отфильтрованного усредненного сигнала, как показано на рис 4.3. Некоторые примеры параметров простейших фильтров представлены в таблицах 1.

Таблица 1. Частота квантования 1 кГц (d=1мс)

Граничная частота Гц	База (ФВЧ) рис 3	База (ФНЧ) рис 1	ФНЧ/ФВЧ рис 4
5		N=118	A=31
15	N=30	N=40	A=10
35	N=13	N=17	A=4
90	N=5	N=6 (99Гц)
100	N=5	N=6
250	N=2	N=2

Частотные характеристики приведены ранее на рис 4.2. Отметим, что начальный участок частотной характеристики такого фильтра имеет вид К(f)=f², т.е. прохождение сигнала через этот фильтр эквивалентно выделению второй производной.

Рекурсивные фильтры рис 4.4

Это фильтры с обратными связями. Фильтры первого порядка показаны на рис 4.4. Его отклик и частотные характеристики соответствуют таковым у RC цепочки с постоянной времени τ_RC=Ткв(а+1) (1/а - величина ослабления сигнала в цепи обратной связи при рекурсивном суммировании). Алгебраическая запись

Рис 4.4 Диферецирующие фильтры

фильтра:

Интегратор y_i=Т_*x_i+y_i-1

Дифференциатор y_i=1/Т(x_i-х_i-1).